0 引　言

随着时代的变迁和信息技术的发展，无人船所具备的智能化、高效率、低成本等优势在海洋勘探以及智能设备应用中占有举足轻重的地位，并且在近年来一直受到海洋工程领域的广泛关注^{[1 − 2]}。不仅如此，精确的轨迹跟踪性能也是其能够完成军事应用、资源勘探等水上特殊任务的基本前提。然而，考虑到各种参数的变化以及复杂的海洋环境，设计出有效且可靠的控制策略也面临着诸多挑战。

目前，国内外研究学者通过有效的控制算法对无人船进行控制方面也做了大量工作，如JIANG^[3]研究了仅有2个螺旋桨的欠驱动无人船的全局跟踪问题，利用李雅普诺夫第二法提出2种建设性解决方案。FOSSEN等^[4]基于Backstepping和Lyapunov函数通过递归系统构建反馈控制律，并充分考虑了船体本身的不稳定性以及洋流因素影响的情况，设计了鲁棒自适应控制器，并利用影算法设计了自适应律实时更新船舶控制参数。Larrazabal等^[5]提出一种结合自适应反推算法的非线性适应控制器，从而实现船舶航向自适应跟踪控制的目标。Fossen等^[6]提出自适应模糊神经网络控制系统，通过Backstepping实现高精度的航向跟踪控制。此外，还有通过自适应滑模控制^[7]、引入Nussbaum函数^[8]、鲁棒容错控制^[9]等方法。

在以往的工作当中，多数研究学者会将欠驱动无人船的模型局部线性化，然后根据其线性模型从而设计控制器，然而该方法不能保证系统的全局渐近稳定，并且随着现如今非线性控制理论的发展和实践，越来越多的控制算法也在实际问题中被采用。Shojaei等^[10]采用模糊PID控制和神经网络控制，并取得良好的效果。郭晨等^[1]基于改进的滑模控制方法，提出一种基于比例-微分-积分滑动模态控制（PID-SMC）的全局有限时间控制策略，该策略能在有限时间内全局稳定所有轨迹跟踪误差。然而由于洋流因素的影响，导致实际运动中的水动力系数难以获得精确值而产生摄动，因此对于欠驱动无人船控制器的设计也需要满足对于参数摄动所需要的强鲁棒性。

针对欠驱动水面无人艇所面临关于水动力参数摄动的问题，通过全局积分滑模控制设计出轨迹跟踪控制器。首先通过设计位姿控制器引入速度虚拟控制输入，从而建立轨迹跟踪误差方程；其次通过全局积分滑模控制设计动态控制器，并基于Lyapunov稳定性理论证明了系统在水动力参数摄动下的鲁棒性和稳定性，从而实现对水面无人艇的有效跟踪控制。

1 水面无人艇模型搭建

图1所示为USV在平面运动下变量描述图。对于水面无人艇而言，其整体皆有涉及到横滚轴、俯仰轴、偏航轴的旋转运动以及浪摇轴、摇摆轴和升沉轴的平移运动，然而对于绝大多数水面无人艇，其在升沉轴上的平移运动以及横滚轴和俯仰轴上的旋转运动是保持开环稳定的状态。因此在设计控制律的情况时可以不考虑这些运动，只研究其在浪摇轴和摇摆轴的平移运动以及偏航轴的旋转运动。欠驱动无人艇运动学方程如下：

$ \left\{\begin{array}{l} \dot{x}=u \cos \varphi-v \sin \varphi=U \cos \gamma ，\\ \dot{y}=u \sin \varphi+v \cos \varphi=U \sin \gamma，\\ \dot{\varphi}=r。\end{array}\right. $

(1)

式中：x和y为无人艇在坐标系位置E中的位置坐标；φ为无人艇的偏航角；u、v、r分别表示浪涌速度和摇摆速度以及偏航角速度；U=$ \sqrt{{u}^{2}+{v}^{2}} $用来定义无人艇的总速度，γ=φ+β为航向角，其中β为侧滑角。本文忽略了高阶水动力阻尼项和横摇运动对无人船本身的影响。欠驱动水面无人艇的动力学模型为：

$ \left\{\begin{array}{l} m_{11}\dot u = m_{22}vr - X_uu - X_{u|u|}u|u| + U_u ，\\ m_{22}\dot v = - m_{11}ur - Y_vv - Y_{v|v|}v|v|，\\ m_{33}\dot r = (m_1 - m_2)uv - N_rr - N_{r|r|}r|r| + U_r 。\end{array}\right. $

(2)

式中：m₁₁ = m − $ {X}_{\dot{u}} $ ；m₂₂ = m − $ {Y}_{\dot{v}} $；m₃₃ = I_z − $ {N}_{\dot{r}} $；m为水面无人艇本身质量；$ {X}_{\dot{u}} $、$ {Y}_{\dot{v}} $ 、$ {N}_{\dot{r}} $为附加质量项；X_u 、Y_v 、N_r为线性阻尼系数；X_u|u|、Y_v|v| 、N_r|r|为二次阻力项的水动力系数；I_z为转动惯量；U_u为纵向控制力；U_r为偏航控制力矩。

2 轨迹跟踪控制系统设计 2.1 位姿控制器设计

由于期望轨迹在大地坐标系中连续可微，根据水面无人艇跟踪轨迹的期望位置ξ_d = [x_d ，y_d ]^T以及其在大地坐标系下的位置坐标ξ = [ x ，y ]^T，定义姿态跟踪误差为：

$ \mathit{\xi } _{ \mathit{e} } \mathrm= \mathit{(x} _{ \mathit{e} } \mathit{,y} _{ \mathit{e} } \mathit{)} ^{ \mathrm{T}} \mathrm= \mathit{R(\eta )} \mathrm{(} \mathit{\xi } \mathit{-\xi } _{ \mathit{d} } \mathrm{)}。$

(3)

其中，

$ R(\eta) = \left[\begin{array}{cc}{\cos\psi }_{d}& -{\sin\psi }_{d}\\ {\sin\psi }_{d}& {\cos\psi }_{d}\end{array}\right] 。$

(4)

式中：$ \psi _d = \arctan \dfrac{{\dot y_d}}{{\dot x_d}} $，由于上述坐标矩阵皆为非奇异矩阵，因此在两坐标系中所定义的位置误差是等价的。结合式子(2)、式(4)，将跟踪误差的时间导数代入上述方程可得出以下微分方程：

$ \dot x_e = U\cos (\gamma - \varphi_d) - ur\cos (\alpha - \varphi_d) + y_e\dot \varphi_d，$

(5)

$ \dot y_e = U\sin (\gamma - \varphi_d) - x_e\dot \varphi_d 。$

(6)

式中：u_r为期望的浪涌速度，且$ u_r = \sqrt {\dot x_{d}^{2} + \dot y_{d}^{2}} $，$ \alpha = \arccos ({\dot x_d}/{u_r}) $。由运动学模型可以看出，系统控制输入只存在纵向控制和偏航控制。本文通过改进后的LOS制导方法设计位姿控制器，制导律如下所示：

$ \varphi_r = \varphi_d + \arctan ( - \frac{{y_e}}{\Delta }) - \arctan (\frac{v}{u}) 。$

(7)

式中：$ \varphi_r $为期望的航向角；$ \Delta $为前视距离。通过LOS制导，可设计出期望浪涌速度和偏航角速度为：

$ u_d = \frac{{(u_r\cos (\alpha + \varphi_d) - k_1x_e)\sqrt {y_{e}^{2} + {\Delta ^2}} }}{\Delta }，$

(8)

$ r_d = \dot \varphi_d - k_2\sin \varphi_e 。$

(9)

式中：k₁、k₂均为大于0的可调增益系数，为保证位姿误差的收敛性，因此构造Lyapunov函数如下：

$V_1=\frac{1}{2}x_e^2+\frac{1}{2}y_e^2+1-\cos\varphi_e 。$

(10)

结合上式并对其求导可得：

$\begin{split} \dot{V}_1=&x_e\dot{x}_e+y_e\dot{y}_e+\dot{\varphi}_e\sin\varphi_e=-k_1x_e^2-k_2\sin^2\varphi_e-\\&\frac{Uy_e^2}{\sqrt{y_e^2+\Delta^2}} \leqslant0 。\end{split}$

(11)

可知，k₁、k₂均小于0，$ \dot V_1 $是负定的，从而使跟踪误差收敛；因此可知当实际速度按照式(8)和式(9)所设计的期望速度时，位姿误差收敛。

2.2 动态控制器设计

通过设计动态控制器使浪涌速度以及角速度达到期望值，同时设计辅助控制律，从而使跟踪误差收敛至原点。首先定义速度跟踪误差u_e=u−u_d ，r_e=r−r_d并代入式(2)可得出：

$ \dot u_e = \frac{1}{{m_{11}}}(m_{22}vr - X_{uu} - X_{u|u|}u|u| + U_u - m_{11}\dot u_d) ，$

(12)

$ {\dot r_e = \frac{1}{{m_{33}}}((m_{11} - m_{22})uv - N_rr - N_{r|r|}r|r| + U_r - m_{33}\dot r_d)。}$

(13)

同样为了镇定速度跟踪误差u_e、r_e的稳定性，选取积分滑模面分别为：

$ S_1 = u_e + \lambda_1\int_0^t {|u_e{|^{\varepsilon 1}}} (\rho ){\mathrm{d}}\rho - u_e(0) ，$

(14)

$ S_2 = r_e + \lambda_2\int_0^t {|r_e{|^{\varepsilon 2}}} (\rho ){\mathrm{d}}\rho - r_e(0)。$

(15)

其中λ₁>0_、λ₂ >0 , 结合式(14)、式(15)并对滑模面分别进行求导，可得：

$ {\dot S_{1} = \frac{1}{{m_{11}}}(m_{22}vr - X_{u}u - X_{u|u|}u|u| + U_{u} - m_{11}\dot u_{d} + m_{11}\lambda_{1}|u_{e}{|^{\varepsilon_{1}}}) },$

(16)

${ \dot S_{2} = \frac{1}{{m_{33}}}((m_{11} - m_{22})uv - N_{r}r - N_{r|r|}r|r| + U_{r} - m_{33}\dot r_{d} + m_{33}\lambda_{2}|r_{e}{|^{\varepsilon_{2}}}) }。$

(17)

为了使u_e、r_e能通过任意状态到达滑模面，因此分别令S₁=0、S₂=0，从而得到纵向速度控制器和偏航角速度控制器的等效控制律：

$ U_{ueq} = - \hat m_{22}vr + \hat X_{u}u + \hat X_{u|u|}u|u| + \hat m_{11}u_d - \hat m_{11}\lambda_{1}|u_{e}{|^{\varepsilon_{1}}} ,$

(18)

$\begin{split} U_{req} =& - (\hat m_{11} - \hat m_{22})uv + \hat N_{r}r + \hat N_{r|r|}r|r| + \\&\hat m_{33}r_d - \hat m_{33}\lambda_{2}|r_{e}{|^{\varepsilon_{2}}}。\end{split}$

(19)

式中：上标“^”表示模型中参数标称值；由于考虑到系统参数摄动的影响，等效控制律并不能达到很好的控制效果，因此需要引入辅助控制律进行补偿。2种控制器的趋近律形式分别为：

$ U_{ur}=-h_1\mathrm{sgn}(S_1), $

(20)

$ U_{rr} = - h_{2}{{\mathrm{sgn}}} (S_{2})。$

(21)

式中：h₁、h₂为与参数摄动上界有关的趋近律增益系数。由于存在参数摄动和环境扰动，因此需满足以下条件：

$ |m_{11} - \hat m_{11}| \leqslant \bar m_{11} ;|m_{22} - \hat m_{22}| \leqslant \bar m_{22} ;|m_{33} - \hat m_{33}| \leqslant \bar m_{33} ;$

$ |X_{u} - \dot X_{u}| \leqslant \bar X_{u} ; |Y_{v} - \hat Y_{v}| \leqslant \bar Y_{v} ; |N_{r} - \hat N_{r}| \leqslant \bar N_{r} ; $

$\begin{split} & |X_{u|u}| - \dot X_{u|u|}| \leqslant \bar X_{u|u}| ;|Y_{v|v}| - \hat Y_{v|v|}| \leqslant \bar Y_{v|v|} ;|N_{r|r|} - \hat N_{r|r|}| \leqslant \bar N_{r|r|} ;\end{split}$

于是可以得出

$ h_{1}= \bar m_{22}vr - \bar X_{u}u - \bar X_{u|u|}u|u| - \bar m_{11}u_{d} + \bar m_{11}\lambda_1|u_e{|^{\varepsilon_1}} + \delta_1，$

(22)

$ h_2 = (\bar m_{11} - \bar m_{22})uv - \bar N_{r}r - \bar N_{r|r|}r|r| - \bar m_{33}r_d + \bar m_33\lambda_2|r_e{|^{\varepsilon _2}} + \delta_2 。$

(23)

其中δ₁ > 0、δ₂ > 0；最后根据上式可以得出无人艇的纵向控制力和偏航控制力矩分别为：

$\begin{split} U_{u} =& - \hat m_{22}vr + \hat X_{u}u + \hat X_{u|u|}u|u| + \\&\hat m_{11}u_{d} - \hat m_{11}\lambda_{1}|u_{e}{|^{\varepsilon_{1}}} - h_{1}{{\mathrm{sgn}}} (S_{1})，\end{split}$

(24)

$\begin{split} U_{r} =& - (\hat m_{11} - \hat m_{22})uv + \hat N_{r}r + \hat N_{r|r|}r|r| + \\& \hat m_{33}r_{d} - \hat m_{3}3\lambda _{2}|r_{e}{|^{\varepsilon_2}} - h_{2}{{\mathrm{sgn}}} (S_{2}) 。\end{split}$

(25)

3 稳定性分析

对于纵向控制力U_u，可以通过对h₁的调节从而使浪涌速度误差在有限时间内收敛于0，构造如下正定形式的Lyapunov函数：

$ V_u = \frac{1}{2}m_{11}S_{1}^{2}。$

(26)

结合式(17)并对其进行求导计算如式(28)，由此可见$ \dot V_u $负定，浪涌速度误差u_e可收敛至滑模面。

$\begin{split} \dot V_u = & S_1[(m_{22} - \hat m_{22})vr - (X_u - \hat X_u)u + (\hat X_{u|u|} - X_{u|u|})u|u| + \\ &(\hat m_{11} - m_{11})\dot u_d - (\hat m_{11} - m_{11})\lambda_1|u_e{|^{\varepsilon 1}} +\\ & h_1{\rm{sgn}} (S_1)] \leqslant - \delta_1|S_1| 。\end{split}$

(27)

同样形式对于偏航控制力矩U_r，构造Lyapunov函数如下：

$ V_r = \frac{1}{2}m_{33}S_{2}^{2} ，$

(28)

$ \begin{split} \dot V_r =& S_2[(m_{11} - \hat m_{11})uv - (m_{22} - \hat m_{22})uv - (N_r - \hat N_r)r +\\ & (\hat N_{r|r|} - N_{r|r|})r|r| + (\hat m_{33} - m_{33})\dot r_d - (\hat m_{33} - \\ & m_{33})\lambda_2|r_e{|^{\varepsilon 2}} + h_2{\rm{sgn}} (S_2)] \leqslant - \delta_1|S_2| 。\end{split}$

(29)

可知，$ \dot V_r $负定，因此偏航角速度误差r_e可收敛至滑模面。针对欠驱动USV摇摆运动没有直接控制力矩，因此构造Lyapunov函数如下：

$ {V_2} = \frac{1}{2}{v^2} 。$

(30)

结合无人艇模型并对上式求导可得：

$ \dot{V}_2=\frac{v(-m_{11}ur-Y_vv-Y_{v|v|}v|v|)}{m_{22}} 。$

(31)

由于欠驱动无人艇纵向速度和偏航角速度均为有界值，当v > $ \dfrac{{m}_{11}ur}{{Y}_{v}+{Y}_{v\left|v\right|}\left|v\right|} $时，根据无缘有界性定义可知，横向速度满足无缘有界性，因此$ v $是有界的。

由此可以证明，所提出的控制器能有效的实现存在参数摄动情况下欠驱动无人艇的轨迹跟踪控制，并利用Lyapunov理论保证了闭环控制系统的稳定性。

4 仿真研究

为验证所提出控制策略的鲁棒性和有效性，本文分别通过直线轨迹跟踪和曲线轨迹跟踪来进行仿真。结果表明，该跟踪控制器不仅能在参数摄动和环境扰动前提下有效完成轨迹跟踪任务，并且能将跟踪误差在有限时间内收敛至0点。本文所用水面无人艇详细信息参考文献[11]并假设各参数为10%的参数摄动。

$ m_{11} = 215 \pm 21.5\ {\text{kg}}；m_{22} = 265 \pm 26.5\ {\text{kg}} {；} m_{33} = 80 \pm 8\ {\text{kg}}\cdot{{\text{m}}^2} {；} $

$ X_u = 70 \pm 7\ {\text{kg}} \text{；} Y_v = 100 \pm 10\ {\text{kg}} \text{；} N_r = 50 \pm 5\ {\text{kg}}\cdot{{\text{m}}^2} \text{；} $

$ \begin{gathered}X_{u|u|} = 100 \pm 10\ {\text{kg}}/{\text{s}}\text{；}Y_{v|v|} = 200 \pm 20\ {\text{kg}}/{\text{s}} \text{；} \\ N_{r|r|} = 100 \pm 10\ {\text{kg}}\cdot{{\text{m}}^2}/{\text{s}} \text{。} \end{gathered}$

4.1 曲线轨迹跟踪

首先讨论曲线轨迹跟踪，其运动轨迹如式(20)所示。仿真初始条件：x(0)=3 m，y(0)=5 m，φ(0)=0.5°；u(0)=0 m/s，v(0)=0 m/s，r(0)=0 m/s；控制参数λ₁=λ₂=0.1，ε₁=1，ε₂=1，δ₁=0.1，δ₂=0.1；k₁=1.5，k₂=3.5。其余弦轨迹表达式为：

$ \left\{\begin{array}{l} x_d = t ，\\ y_d = - 100\cos (0.01t) + 100 。\end{array}\right. $

(32)

仿真结果如图2～图4所示，由此能看出控制律使得无人艇能快速沿期望轨迹进行跟踪，且快速收敛至期望轨迹；图2表明了对欠驱动无人艇的精确轨迹跟踪控制，图3～图4表示在跟踪过程中位置误差及偏航角误差能在有限时间内收敛于0。

图5为欠驱动无人艇速度误差响应曲线，由于无人艇初始为静止状态，因此其摇摆速度和偏航角速度误差在初始阶段最大。图6为无人艇纵向控制力和偏航控制转矩输出响应曲线，可以看出控制转矩U_u仍存在轻微抖振现象，但不影响控制器的稳定性。

4.2 直线轨迹跟踪

其次讨论直线型轨迹跟踪，以式(33)描述为例。仿真初始条件：x(0)=4 m，y(0)=10 m，φ(0)=0°；初始速度u(0)=0 m/s，v(0)=0 m/s，r(0)=0 m/s；控制参数λ₁=λ₂=0.1，ε₁=ε₂=1，δ₁=0.1，δ₂=0.1。其轨迹表达式为：

$ \left\{\begin{array}{l}{x}_{d}=1.2t，\\ {y}_{d}=0.25t。\end{array}\right. $

(33)

欠驱动USV直线轨迹跟踪仿真结果如图7所示，可以清楚看出，无人艇在存在初始位置误差的情况下仍能以较快的速度实现准确的轨迹跟踪；图8和图9表示USV位置误差和姿态误差。结果表明，在有限时间内，位置和姿态皆可以快速收敛至各自的期望值。

图10所示为线速度和角速度跟踪误差，可以看出，由于初始位置误差的影响，使得横摇速度在初始阶段明显大于期望值，当位置误差收敛时，横摇速度误差u_e也随之收敛，且当无人艇沿直线航行时，浪涌速度v_e和偏航角速度r_e保持为0；图11表示纵向控制力U_u和偏航控制力矩U_r 皆趋近于收敛。

5 结　语

本文针对欠驱动水面无人艇轨迹跟踪问题，通过积分滑模控制策略设计轨迹跟踪控制器，并进行稳定性分析，经数值仿真实验后可得出以下结论：

1）控制器设计采用全局积分滑模控制方法，与传统滑模控制相比，通过在控制器中引入积分项，可以更好地处理系统动态和外部扰动，提高系统对不确定性的鲁棒性。

2）针对水动力参数摄动情况下，通过对2种不同曲率进行轨迹跟踪并仿真，仿真结果表明了所设计出控制器的有效性，为相关研究提供参考。

3）由于所提出的控制律无需持久的激励条件和特殊的初始状态，因此可以跟踪多种类型的参考轨迹。