0 引　言

在海上航行时，船舶会受到各种外力的影响，如风浪、水流等。自动舵能够根据设定的航向，持续调整舵角，确保船舶在预定航向上稳定航行。对于大型船舶来说，其惯性较大，手动操舵难以保持长时间的精确航向。自动舵可以实时监测船舶的运动状态，并迅速做出调整，使船舶始终沿着设定的路径前进，从而提高航行的准确性和稳定性。自动舵的应用还可以将船员从长时间的手动操舵任务中解放出来，使他们能够更好地专注于其他重要的航海任务，如瞭望、通信、船舶设备监控等。自动舵系统能够根据船舶的实时运动参数和外界环境条件，精确计算出最佳的舵角调整策略。

尽管现代自动舵在一般情况下能够保持较好的航向控制，但在一些特殊情况下，如船舶处于低速航行、重载状态或受到持续的不规则干扰时，仍然可能出现航向偏差较大或调整不及时的情况。特别是船舶在低速航行时，舵效相对较弱，自动舵需要更精确的控制策略来克服水动力的影响。而在重载情况下，船舶的惯性增大，对舵角变化的响应速度变慢，这对自动舵的控制精度提出了更高的要求。此外，实际海况中的干扰往往具有随机性和不确定性，现有的自动舵控制算法可能难以完全准确地预测和补偿这些干扰，从而影响控制精度。现有的自动舵大多基于预设的控制算法和参数进行工作，缺乏对复杂航行环境和船舶自身状态变化的自主学习和自适应能力。在面对新的航行区域、未知的海况或船舶性能变化时，自动舵可能无法及时调整控制策略以达到最佳性能。

国内对自动舵的研究集中在自动舵设计、控制算法改进以及智能化控制上，辛博鹏等^[1]提出将非线性反馈积分滑模控制技术应用到船舶的自动舵设计中，分析了算法对船舶运动状态的影响。刘晓等^[2]提出了一种自抗扰控制技术的航向自动舵控制方法，对传统PID控制方法进行改进，并使用Simulink进行了仿真，周京等^[3]针对外界扰动情况下设计了一种航向保持控制器，朱丽燕等^[4]提出了一种船舶自动舵的智能控制方法，通过模糊输出反馈控制技术实现自动舵的自适应控制。针对船舶自动舵设计的数学模型研究较少，本文提出了一种基于改进船舶自动舵设计的数学模型，并对该数学模型进行仿真研究。

1 船舶动态模型 1.1 环境干扰模型

对船舶运动的干扰主要包括风、浪以及海流的干扰，因而需要建立相关的数学模型，以保证船舶自动舵能够适应复杂的海况^[5]。

纵向干扰力：

$ {{\boldsymbol F}_{x,tot}} = {{\boldsymbol F}_{wx}} + {\boldsymbol F}_{wx}^w + {{\boldsymbol F}_{cx}}\text{，} $

(1)

横向干扰力：

$ {{\boldsymbol F}_{y,tot}} = {{\boldsymbol F}_{wy}} + {\boldsymbol F}_{wy}^w + {{\boldsymbol F}_{cy}}。$

(2)

式中：${{\boldsymbol F}_{wx}}$和${{\boldsymbol F}_{wy}}$分别为风作用在船舶上的力在x轴和y轴上的分量；${\boldsymbol F}_{wx}^w$和${\boldsymbol F}_{wy}^w$分别为浪作用在船舶上的力在x轴和y轴上的分量，${{\boldsymbol F}_{cx}}$和${{\boldsymbol F}_{cy}}$分别为海流作用在船舶上的力在x轴和y轴上的分量。

1）风作用力的计算

风作用力与风速的平方成正比，与风阻力系数和投影面积有关。横向风作用力考虑了风向与船舶航向的夹角关系，当风向与船舶航向垂直时，横向风作用力最大，而随着夹角变化，作用力会按余弦规律变化。

$ {{\boldsymbol F}_{wx}} = 0.5{\rho _a}V_w^2{C_{wx}}{A_{wx}} \text{，} $

(3)

$ {{\boldsymbol F}_{wy}} = 0.5{\rho _a}V_w^2{C_{wy}}{A_{wy}}\cos ({\beta _w} - \psi ) \text{。} $

(4)

式中：$ {\rho _a} $为空气密度；$ V_w^{} $为风速；$ {C_{wx}} $和$ {C_{wy}} $分别为横向、纵向风阻力系数；$ {A_{wx}} $和$ {A_{wy}} $分别为船舶在纵向和横向的投影面积。

2）浪作用力的计算

假设规则波，波浪速度势函数：

$ \varphi (x,y,z,t) = Re[A{e^{Kx - \omega t}}\cosh (K(z + d))\cos (Ky)] \text{。} $

(5)

式中：A为波幅；K为波数，且$ K = 2{\text{π}} /{L_w} $，L_w为波长；ω为波浪圆频率；d为水深；(x, y, z)为船舶的空间坐标；t为时间。

波浪质点在x方向的速度u_w：

$ {u_w} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} = Re[iKA{e^{Kx - \omega t}}\cosh (K(z + d))\cos (Ky)] 。$

(6)

波浪质点在y方向的速度v_w：

$ {v_w} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}} = Re[ - KA{e^{Kx - \omega t}}\sinh (K(z + d))\sin (Ky)] 。$

(7)

波浪质点在z方向的速度w_w：

$ {w_w} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}} = Re[KA{e^{Kx - \omega t}}\sinh (K(z + d))\cos (Ky)] 。$

(8)

3）海流作用力

水流对船舶的作用力F_c也可分解为纵向和横向分量。纵向流作用力F_cx和横向流作用力F_cy：

$ {{\boldsymbol F}_{cx}} = 0.5{\rho _w}V_c^2{C_{cx}}{A_{{\text{w}}x}} \text{，} $

(9)

$ {{\boldsymbol F}_{cy}} = 0.5{\rho _w}V_c^2{C_{cy}}{A_{{\text{w}}y}}\cos ({\beta _c} - \psi ) \text{。} $

(10)

式中：V_c为水流速度；C_cx和C_cy为纵向流阻力系数，该系数与船舶形状、粗糙度等有关；β_c为水流方向角；ψ为船舶和水流速度之间的夹角。

1.2 船舶运动模型

基于牛顿力学和流体力学原理，建立船舶在水平面和垂直面的运动方程^[6]。在水平面内，考虑船舶的垂荡、横摇和纵摇运动，运动方程包括惯性力、水动力、舵力、螺旋桨推力和环境干扰等。以船舶的垂荡运动为例，垂荡运动方程为：

$ m\ddot z = {\boldsymbol{B}} - {\boldsymbol{G}} + {{\boldsymbol{Z}}_H} + {{\boldsymbol{Z}}_W} \text{。} $

(11)

式中：B为浮力，$ {\boldsymbol{B}} = \rho gV $；$ \rho $为海水的密度；g为重力加速度；V为船舶排开水的体积；G为船舶自身受到的重力。Z_H为水动力在垂荡方向的分量，其表达式为：

$ {{\boldsymbol{Z}}_H} = {Z_w}\dot z + {Z_{ww}}{\dot z^2} + {Z_{pp}}{p^2} + {Z_{qq}}{q^2} \text{。} $

(12)

式中：$ \dot z $为船舶垂荡速度；p为横摇角速度；q为纵摇角速度；Z_w、Z_ww、Z_pp、Z_qq为水动力系数。

同理可以推导出船舶的横摇和纵摇运动方程，进而推导出船舶在外界环境干扰下的运动方程。这些方程能够较为准确地描述船舶在各种力和力矩作用下的运动状态变化，为船舶自动舵控制算法的设计和优化提供了坚实的理论基础。但在实际应用中，由于船舶运动的复杂性，部分系数和力的精确计算仍面临挑战，需要不断结合试验和实际运行数据进行修正和完善。

2 船舶改进自动舵数学模型设计 2.1 控制目标

针对目前船舶自动舵设计中存在的问题，提出自动舵设计的目标如下：

1）能适应复杂海况与船舶工况

考虑到船舶在实际航行中会遇到各种复杂海况，如狂风巨浪、强流、浅水区域等，以及不同的船舶工况，如满载、空载、不同航速等，现有的自动舵数学模型在这些情况下的适应性有限。改进思路是构建一个能够动态调整参数以适应多种海况和船舶工况变化的数学模型。通过引入实时监测的海况参数（如浪高、浪向、流速、流向）和船舶状态参数（如吃水、排水量、主机功率），使数学模型能够根据实际情况自动优化控制策略，提高船舶在复杂环境下的操纵性能和稳定性。目标是实现船舶在不同海况和工况下的平稳航行，减少因环境变化和船舶状态改变导致的航向偏差和操纵困难，提高航行安全性^[7]。

2）提高控制精度与响应速度

当前船舶自动舵在控制精度方面存在一定的提升空间，尤其是在船舶受到高频小幅度干扰或进行小角度转向时，容易出现超调或响应滞后的问题。改进方向是优化数学模型中的控制算法，采用更先进的控制理论和技术，如预测控制、自适应控制与智能控制相结合的方法。通过对船舶未来运动趋势的预测，提前调整舵角，减少航向误差的累积，同时根据船舶实时运动状态快速调整控制参数，提高响应速度。将平均航向误差降低到更小的范围，使船舶能更精确地跟踪设定航向，并且在转向操作时能够更迅速、平稳地完成，提高船舶的操纵灵活性和效率。

3）增强鲁棒性与容错能力

船舶自动舵系统在运行过程中可能会受到各种干扰和故障的影响，如传感器测量误差、舵机故障、通信中断等。为了提高系统的可靠性，改进的数学模型需要具备更强的鲁棒性和容错能力。一方面，通过采用冗余设计和故障诊断技术，对关键部件和传感器进行备份和实时监测，当检测到故障时能够及时切换到备用设备或采取相应的容错措施；另一方面，在数学模型中引入不确定性处理机制，如鲁棒控制理论中的方法，使系统在面临参数不确定性和外部干扰时仍能保持稳定的性能。

2.2 改进自动舵的基本结构

图1为船舶自动舵自适应控制基本结构，船舶自动舵自适应控制基于船舶动态模型开展工作，首先借助传感器对船舶的航向、速度、位置等实际状态予以测量并进行状态估计，将所得数据和期望的船舶状态如期望航向作对比，算出两者间的误差，此误差体现了实际与期望状态的偏离程度。接着依据误差计算结果，控制器生成控制信号，该信号被传至自动舵，自动舵据此调整船舶舵角以改变航向。而船舶在舵角调整后的新状态又会被传感器和状态估计模块再次获取，如此形成闭环反馈机制，通过持续地测量、误差计算、控制信号调整以及舵角改变，即便外部环境中风浪流等因素发生变化，船舶依然能够自适应地维持在期望航向上，从而有效提升航行的精度与稳定性，同时减轻人工操作的负担并降低误差。在改进自动舵控制中，控制器是核心，本文提出基于模型预测控制（MPC）的自动舵控制模型。

2.3 基于MPC和自适应算法的的自动舵数学模型

传统的PID控制在船舶自动舵领域应用广泛，但其存在固有局限性。PID 控制基于当前时刻的误差进行反馈调节，缺乏对系统未来动态变化的前瞻性考量。船舶航行于复杂多变的海洋环境，海况、船舶负载及自身动态特性随时改变，PID 难以迅速适应这些变化。自适应控制是一种能够自动调整控制器参数以适应被控对象动态特性变化和外界干扰的控制策略。在船舶控制中，由于船舶的动态特性会因船舶工况、海况的变化而改变，自适应控制算法可以实时调整控制参数，使船舶自动舵系统保持良好的控制性能。

在船舶动态模型基础上，在每个控制周期T内，MPC 利用船舶当前状态，如位置、速度、姿态及上述动态模型，预测未来N个时间步长的船舶运动状态。通过数值积分方法求解运动方程，逐步推算船舶未来位置、航向、速度等的变化轨迹。

1）设定自动舵性能指标

为实现船舶高效、稳定航行，MPC 设定多元性能指标。航向误差最小化无疑是关键，以确保船舶精准沿预设航线行驶，用均方根航向误差衡量：

$ {J_1} = \sqrt {\frac{1}{N}\sum\limits_{k = 1}^N {{{({\psi _d}(t + kT) - \psi (t + kT))}^2}} } \text{。} $

(13)

式中：$ {\psi _d}(t + kT) $为期望航向；$ \psi (t + kT) $为预测航向。

2）自动舵预测控制

对于船舶的位置预测，如果船舶在x方向的速度为v_x，位置为x，假设当前位置为x(t)，速度为v_x(t)，时间步长为T，则下一个时间步长的位置预测为：

$ x(t + T) = x(t) + T \times {v_x}(t) 。$

(14)

对于每个时间步长，首先根据当前的船舶姿态、速度和舵角等信息，计算船舶所受的各种力（包括水动力、舵力、环境干扰力等），进而得到加速度。然后通过数值积分（欧拉法）更新速度和位置信息，同时根据运动方程更新姿态信息。在预测船舶艏摇角度变化时，根据当前的艏摇角速度、合力矩计算艏摇角加速度，再通过数值积分更新艏摇角速度和艏摇角度。

3）改进自动舵参数的自适应调整机制

基于预测的船舶未来运动状态及设定的性能指标，MPC 将计算最优控制序列转化为在线求解一个约束优化问题。决策变量即为未来N个时间步长的舵角指令序列：

$ {\mathbf{\delta }} = [\delta (t + T),\delta (t + 2T), \cdots ,\delta (t + NT)] 。$

(15)

依据船舶的新状态信息，重新评估船舶动态模型参数，如因船舶航速变化、海况波动致使水动力系数改变，及时更新模型，确保下一轮预测的准确性。随后进入下一控制周期，重复上述预测、优化、执行步骤，持续滚动优化控制，时刻依据最新情况调整舵向，有效应对船舶动态特性与外部干扰的千变万化。

MPC 虽具备基于预测的优化控制能力，但控制器参数的选取对控制性能影响显著，且在复杂多变海况下，固定参数难以保证全程最优。自适应学习算法提供了一种自适应寻优途径，它能使控制器依据船舶实时运行状态与环境变化动态调整参数，挖掘最优参数策略，弥补 MPC 静态参数配置短板，进一步释放其控制潜能。具体思路为：船舶的航向误差是核心奖励考量因素，航向偏差越小，奖励越高，以鼓励船舶精准跟踪期望航向，奖励项设置为：

$ {r_1} = - {({\psi _d}(t) - \psi (t))^2} \text{。} $

(16)

负号确保航向误差减小时奖励增大，通过这样的设置，可以保证在自动舵控制中误差变化时控制参数也会进行自适应调整。

3 改进自动舵的控制效果分析

为了验证基于自适应控制的改进的船舶自动舵的控制效果，以抗干扰能力以及航向跟踪精度等2个方面来说明。

3.1 抗干扰能力

抗干扰能力是基于自适应控制的改进的船舶自动舵的一个重要指标，在船舶受到环境干扰后，自动舵需要及时纠正航向，使得船舶回到原先预定的航线上。图2为改进自动舵、传统PID和模糊PID的抗干扰能力仿真对比，仿真条件为在第3 s时添加一个外界扰动，可以发现，本文提出的自适应控制策略能够较快地让船舶纠正自身航向，使得航向误差回到正常范围，因而其抗干扰能力要优于传统PID算法和模糊PID控制算法。

3.2 航向跟踪精度

自适应自动舵通过不断调整控制策略以适应船舶动态特性和外界干扰的变化，其核心目标之一是精确跟踪期望航向。在船舶正常航行状态下，自适应算法能够根据船舶运动模型和实时状态反馈，使航向误差渐近收敛，通过比较船舶实际运动与参考模型运动之间的差异，调整控制参数，使得船舶航向能够紧密跟随期望航向。图3为传统自动舵和改进自动舵的航向跟踪精度对比效果。可以发现，传统自动舵的航向跟踪误差较大，其误差范围为±1°，而改进自动舵的航向跟踪误差明显小于传统自动舵，为±0.3°。

图4为改进自动舵和传统自动舵航迹对比效果，其中改进自动舵的航迹和理想轨迹非常接近，而传统自动舵轨迹在航向不变时控制效果较好，但是一旦出现航向变化，其航向会出现较大偏差。

4 结　语

改进船舶自动舵设计的数学模型有助于提高船舶航行的精准度，能更精确地控制船舶的航向，减少航行过程中的偏差，从而提升船舶航行的安全性和可靠性。本文主要结论如下：

1）提出了一种船舶动态模型，设计了基于自适应控制的船舶改进自动舵的结构模型，其思路主要是通过信号测量与估计，实现船舶状态实时反馈，并使用MPC算法对船舶的控制参数进行预测，结合自适应控制算法，根据外界环境条件的变化实现自适应动态调整；

2）对改进自动舵的控制效果进行分析，在抗干扰能力和航向跟踪精度上，改进自动舵的控制精度都要优于传统自动舵。