0 引　言

水下机械臂是专为水下操作设计的高灵活性和多功能传动控制装置。其中双关节机械臂尤为典型，它能在复杂恶劣环境中展现其精准与灵活的优势，广泛应用于特种作业水下机械臂实际操作环境相比陆地领域更加错综复杂，诸如能见度、生物拍打、水草海藻干扰等，这将直接影响水下机械臂的工作效果。耦合机械臂自身承受的水流干扰、波浪载荷等外源无序载荷，这些无疑对机械臂的稳定性和对有关控制抗干扰能力提出了更高的要求，因此围绕这些因素开展机械臂的相关研究，是确保未来水下机械臂在国内现代化海洋牧场领域操作精度和安全性的重要前置性工作。

水下机械臂的动力学建模与精密控制一直是学术研究的重点和挑战，对于增进理论认知与实践应用效能至关重要。多项前沿探索已在这方面取得进展：Wang等^[1]通过融合仿生学原理，建立了由多自由度软手指和手掌构成的软体机械手系统，成功实现在高压环境中的灵活抓取；Oscar等^[2]借鉴鱼类游动效率，设计出具有生物启发的水下交通工具，显著增强了低速机动性；Xue等^[3]研发的缆索驱动水下蛇形臂机器人，为柔性操作任务提供了新方案；赵飞等^[4]设计的六自由度机械臂搭配平动式抓取装置，极大扩展了作业范围和提升了水下操作能力。尽管如此，现有研究大多未充分考虑海流影响，与真实海洋环境的复杂性存在偏差，因此准确评估与应对海流载荷对于提高控制精准性十分重要。在对机械臂轨迹跟踪控制的研究中，研究人员针对多样化的应用需求与控制策略，主要有以下控制策略：神经网络控制、模糊与自适应控制、动态学习及观测补偿技术、迭代学习策略、RBF神经网络应用、滑模控制，以及综合与改进型控制策略。1）神经网络控制^{[5 − 8]}利用其强大的非线性逼近能力，能够处理系统中的未知因素与不确定性，提升控制精度，并通过自适应学习调整网络权重，以应对系统参数变动，增强鲁棒性。该方法广泛适用于模型已知或未知的系统。然而，其复杂性在于网络训练、结构选择及参数优化，可能会导致局部最优解，且网络拟合误差需额外鲁棒性控制辅助。2）模糊控制与自适应方法^{[9 − 11]}提供了对模型不确定性和外部扰动的鲁棒解决方案，实现简单但依赖模糊规则会牺牲精度。3）迭代学习与动态面控制^{[12 − 13]}通过利用历史数据迭代更新，提升了控制精度，并简化了控制律设计，增强了实时性及稳定性。但是该策略对历史数据质量敏感，且设计不当可能导致系统振荡。4）RBF神经网络与径向基函数网络^{[14 − 17]}以其快速精确的非线性逼近能力和较少的参数需求，提高了控制效率和收敛速度。然而，对于高度复杂的动态系统，其逼近精度和参数调整仍面临挑战。

综上所述，本文将自适应神经网络滑膜控制应用于水下机械臂，融合神经网络的自适应学习与滑膜控制的鲁棒性，可有效应对复杂水下环境与不确定性，显著提升控制精度、响应速度与稳定性，大幅增强系统实际应用中的适应性与可靠性。此研究成果对水下机械臂研发、产业化应用及现代化海洋牧场建设具有积极意义。研究成果对机械臂的研发设计、推动其产业化应用和促进现代化海洋牧场发展具有一定意义。

1 水下机械臂动力学建模

双关节机械臂通常由底座、主臂、基本臂和链接铰等部件组成，底座是整个机械臂的支撑结构，它既提供了稳定的基础，又能使机械臂能够在水下环境中灵活地旋转，从而覆盖更广泛的作业区域。主臂负责承载和操作其他部分的工具或设备，基本臂连接主臂与底座，它能够在水下环境中实现水平旋转运动。通过控制双关节机械臂的运动，可以改变机械臂的方向和位置，使其适应不同的水下作业需求。图1为均匀海流干扰下的双关节水下机械臂示意图，图中$ {m}_{1} $和$ {m}_{2} $分别为基本臂和主臂的质量；$ {l}_{1} $和$ {l}_{2} $分别为基本臂和主臂的长度；$ {q}_{1} $和$ {q}_{2} $分别为基本臂和主臂的转动角度；$ {\tau }_{1} $和$ {\tau }_{2} $分别为基本臂和主臂的驱动力矩。假设机械臂的质量均匀分布，机械臂的基座固定。

采用Newton-Euler法可以构建得到如下的双关节机械臂系统的动力学模型^[18]：

$ \boldsymbol{M}\left(\mathit{q}\right)\ddot{\mathit{q}}+\boldsymbol{C}\left(\mathit{q},\dot{\mathit{q}}\right)\dot{\mathit{q}}+\boldsymbol{D}\left(\mathit{q},\dot{\mathit{q}}\right)\dot{\mathit{q}}+\boldsymbol{G}\left(\mathit{q}\right)+\boldsymbol{E}\left(\mathit{q}\right)=\boldsymbol{\tau } 。$

(1)

式中：$ \mathit{q} $、$ \dot{\mathit{q}} $、$ \ddot{\mathit{q}} $分别为机械臂运动时的角度、角速度和角加速度矢量；$ \boldsymbol{M}\left(\mathit{q}\right) $为机械臂的惯性矩阵；$ \boldsymbol{C}(\mathit{q},\dot{\mathit{q}}) $为离心力和哥氏力矩阵；$ \boldsymbol{D}(\mathit{q},\dot{\mathit{q}}) $为源自机械臂流体表面与水分子间的摩擦水阻力矩阵；$ \boldsymbol{E}\left(\mathit{q}\right) $为机械臂形状引起流体周围流体分离造成涡旋的水阻力矩阵；$ \boldsymbol{G}\left(\mathit{q}\right) $为等效重力矢量；$ \boldsymbol{\tau } $为关节驱动力矢量。

${ \left\{ \begin{array}{l} {\boldsymbol M}\left(\mathit{q}\right)=\left[\begin{array}{cc}{M}_{11}& {M}_{12}\\ {M}_{21}& {M}_{22}\end{array}\right],\\ \begin{split}{M}_{11}= & \dfrac{1}{3}{m}_{1}{l}_{1}^{2}+{m}_{2}{l}_{1}^{2}+\dfrac{1}{3}{m}_{2}{l}_{2}^{2}+{m}_{2}{l}_{1}{l}_{2}\cos{q}_{2}+\dfrac{1}{3}{a}_{3}{l}_{1}^{3}+\\ & {a}_{4}\left({{l}_{1}}^{2}{(\cos{q}_{2})}^{2}+{l}_{1}{{l}_{1}}^{2}\cos{\theta }_{2}+\dfrac{1}{3}{l}_{2}^{3}\right),\end{split}\\ \begin{gathered}{M}_{12}=\dfrac{1}{3}{m}_{2}{l}_{2}^{2}+\dfrac{1}{2}{m}_{2}{l}_{1}{l}_{2}\cos{q}_{2}+{a}_{4}\left(\dfrac{1}{2}l_{1}{{l}_{1}}^{2}\cos{q}_{2}+\dfrac{1}{3}{l}_{2}^{3}\right),\\ {M}_{21}=\dfrac{1}{3}{m}_{2}{l}_{2}^{2}+\dfrac{1}{2}{m}_{2}{l}_{1}{l}_{2}\cos{q}_{2}+{a}_{4}\left(\dfrac{1}{2}l_{1}{{l}_{1}}^{2}\cos{q}_{2}+\dfrac{1}{3}{l}_{2}^{3}\right),\\ {M}_{22}=\dfrac{1}{3}{m}_{2}{l}_{2}^{2}+\dfrac{1}{3}{a}_{4}{l}_{2}^{3}。\end{gathered}\end{array}\right. }$

(2)

$ \boldsymbol{C}\left(\mathit{q},\dot{\mathit{q}}\right)=\left[\begin{array}{cc}-{m}_{2}{l}_{1}{l}_{2}\mathrm{sin}{q}_{2}\dot{{q}_{2}}& -{m}_{2}{l}_{1}{l}_{2}\mathrm{sin}{q}_{2}\dot{{q}_{2}}\\ \dfrac{1}{2}{m}_{2}{l}_{1}{l}_{2}\mathrm{sin}{q}_{2}\dot{{q}_{1}}& 0\end{array}\right]。$

(3)

$ {\left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol{D}(\boldsymbol{q})=\left[\begin{array}{ll} D_{11} & D_{12} \\ D_{21} & D_{22} \end{array}\right]，\\ \begin{split}D_{11}=& a_{1}\left(-\dfrac{2}{3} u l_{1}^{3}+\dfrac{1}{4} l_{1}^{4} \dot{q}_{1}\right)+ a_{2}\Biggr(-2 u l_{1}^{2} l_{2} \cos ^{2} q_{2}- \\ &u l_{1} l_{2}^{2} \cos q_{2}+l_{1}^{3} l_{2} \cos ^{3} q_{2} \cdot \dot{q}_{1}+\dfrac{3}{2} l_{1}^{2} l_{2}^{2} \cos ^{2} q_{2} \dot{q}_{1} \\ &\dfrac{2}{3} l_{1} l_{2}^{3} \cos q_{2} \cdot \dot{q}_{1}+\dfrac{1}{3} l_{1} l_{2}^{3} \cos q_{2} \cdot \dot{q}_{1}+\dfrac{1}{4} l_{2}^{4} \dot{q}_{1}\Biggr)- \\ & a_{4} l_{1}^{2} \sin q_{2} \cos q_{2} \cdot \dot{q}_{2} ，\end{split}\\ \begin{split}D_{12}= & a_{2}\Biggr(l_{1}^{2} l_{2}^{2} \cos ^{2} q_{2} \cdot \dot{q}_{1}+\dfrac{2}{3} l_{1} l_{2}^{3} \cos q_{2} \cdot \dot{q}_{1}+\\ & \dfrac{1}{3} l_{1} l_{2}^{3} \cos q_{2} \cdot \dot{q}_{2}+\dfrac{2}{3} l_{1} l_{2}^{3} \cos q_{2} \cdot \dot{q}_{1}+ \\ & \dfrac{1}{4} l_{2}^{4} \dot{q}_{2}+\dfrac{1}{2} l_{2}^{4} \dot{q}_{1}\Biggr)-\dfrac{1}{2} a_{4} l_{1} l_{2}^{2} \sin q_{2} \cdot \dot{q}_{1} ，\end{split}\\ \begin{split}D_{21}= & a_{2}\Biggr(-u l_{1} l_{2}^{2} \cos q_{2}-\dfrac{2}{3} u l_{2}^{3}+\dfrac{1}{2} l_{1}^{2} l_{2}^{2} \cos ^{2} q_{2} \cdot \dot{q}_{1}+ \\ & \dfrac{2}{3} l_{1} l_{2}^{3} \cos q_{2} \cdot \dot{q}_{1}+\dfrac{1}{4} l_{2}^{4} \dot{q}_{1} -\dfrac{1}{2} a_{4} l_{1} l_{2}^{2} \sin q_{2} \cdot \dot{q}_{2}\Biggr) ，\end{split}\\ D_{22}=a_{2}\left(-\dfrac{2}{3} u l_{2}^{3}+\dfrac{2}{3} l_{1} l_{2}^{3} \cos q_{2} \cdot \dot{q}_{1}+\dfrac{1}{4} l_{2}^{4} \dot{q}_{2}+\dfrac{1}{2} l_{2}^{4} \dot{q}_{1}\right)。\end{array} \right. }$

(4)

${ \left\{\begin{array}{l} {\boldsymbol G}\left(\mathit{q}\right)=\left[\begin{array}{c}{G}_{1}\\ {G}_{2}\end{array}\right]，\\ \begin{split}{G}_{1}=& \dfrac{1}{2}{m}_{1}g{l}_{1}\mathrm{cos}{q}_{1}\cdot \left(1-\dfrac{\rho }{{\rho }_{1}}\right)+{m}_{2}g{l}_{1}\mathrm{cos}{q}_{1}\cdot \left(1-\dfrac{\rho }{{\rho }_{2}}\right)+ \\ & \dfrac{1}{2}{m}_{2}g{l}_{2}\mathrm{cos}\left({q}_{1}+{q}_{2}\right)\cdot \left(1-\dfrac{\rho }{{\rho }_{2}}\right)，\end{split}\\ {G}_{2}=\dfrac{1}{2}{m}_{2}g{l}_{2}\mathrm{cos}\left({q}_{1}+{q}_{2}\right)\cdot \left(1-\dfrac{\rho }{{\rho }_{2}}\right)。\end{array}\right. }$

(5)

$ \boldsymbol{E}\left(\mathit{q}\right)=\left[\begin{array}{c}\dfrac{1}{2}{a}_{1}{u}^{2}{l}_{1}^{2}+{a}_{2}{u}^{2}{l}_{1}{l}_{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{q}_{2}+\dfrac{1}{2}{a}_{2}{u}^{2}{l}_{2}^{2}\\ \dfrac{1}{2}{a}_{2}{u}^{2}{l}_{2}^{2}\end{array}\right], $

(6)

$ \boldsymbol{\tau }=\left[\begin{array}{c}{\tau }_{1}\\ {\tau }_{2}\end{array}\right]。$

(7)

式中：$ {a}_{1}=\dfrac{1}{2}\rho {C}_{{d}}{D}_{1};{a}_{2}=\dfrac{1}{2}\rho {C}_{{d}}{D}_{2};{a}_{3}=-\dfrac{\text{π}}{4}\rho \left({C}_{{m}}-1\right){D}_{1}^{2}; {a}_{4}=-\dfrac{\text{π}}{4}\rho \left({C}_{{m}}-1\right){D}_{2}^{2} $；$ \rho $为海水密度；$ u $为水的速度；$ {D}_{1} $和$ {D}_{2} $分别为基本臂和主臂的直径；$ {\rho }_{1} $和$ {\rho }_{2} $分别为基本臂和主臂的密度；$ {C}_{{d}} $和$ {C}_{{m}} $分别为水阻力系数和附加质量力系数。

通过分析机械臂的动力学特性，可以计算出机械臂的最佳运动轨迹从而确定执行器的控制策略，以实现精确控制。上述水下机械臂动力学建模在传统建模的基础之上，加入了水阻力和重力项。水阻力和重力因素的存在会影响机械臂的精确性和稳定性，考虑两者可以更准确地预测机械臂在水下作业时的运动轨迹和速度，从而确保机械臂能够有效地完成水下作业。

2 机械臂控制系统设计

定义机械臂的目标关节角度为$ {\mathit{q}}_{d}\left(t\right) $，实际关节角度为$ \mathit{q}\left(t\right) $，关节角速度跟踪误差$ \dot{\mathit{e}}\left(t\right) $和关节角速度跟踪误差$ \ddot{\mathit{e}}\left(t\right) $。

为使系统面对不确定性及外部扰动具有较强的稳定性，实现精确跟踪和抗干扰控制，选取线性滑模面。定义滑膜函数为：

$ {s}=\dot{\mathit{e}}+\mathit{\Lambda }\mathit{e} \text{。} $

(8)

式中：$ \mathit{\Lambda } = {{\mathit{\Lambda }}}^{\mathrm{{\rm T}}} > 0 $；$\mathit{\Lambda } = \mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\mathit{\Lambda }}_{1},{\mathit{\Lambda }}_{2},\cdots {\mathit{\Lambda }}_{n}) $，$ \mathit{s} = {[}{s}_{1} {s}_{2} \cdots {s}_{n}{]}^{\rm T} $。

对滑膜函数$ \mathit{s} $求导并代入式(8)和水下机械臂动力学模型中且令式子中$ \dot{\mathit{s}}=0 $，可得机械臂的控制律为：

$ \begin{split}{\boldsymbol{\tau }}_{\mathit{e}q}=& {\boldsymbol{M}}_{0}\left(\mathbf{q}\right){\ddot{\mathit{q}}}_{d}+{\boldsymbol{C}}_{0}\left(\mathit{q},\dot{\mathit{q}}\right)\dot{\mathit{q}}+{\boldsymbol{D}}_{0}\left(\mathit{q},\dot{\mathit{q}}\right)\dot{\mathit{q}}+{\boldsymbol{G}}_{0}\left(\mathit{q}\right)+\\ & {\boldsymbol{E}}_{0}\left(\mathit{q}\right)+{\boldsymbol{M}}_{0}\left(\mathit{q}\right)\mathit{\Lambda }\dot{\mathit{e}}。\end{split}$

(9)

式中：$ {\boldsymbol{\tau }}_{eq} $为等效控制力矩。

其中选取机械臂控制系统的趋近律为：

$ \dot{\mathit{s}}=-k\mathit{s}-\epsilon \tan {\rm h}\left(\mathit{s}\right) , {k} > 0,\epsilon > 0 。$

(10)

因此系统切换项的控制律为：

$ {\boldsymbol{\tau }}_{s}={\boldsymbol{M}}_{0}\left(\mathit{q}\right)(k\mathit{s}+\epsilon \tan {\rm h}(\mathit{s}\left)\right)。$

(11)

结合式(1)可以得到机械臂的总控制律为：

$ \begin{split}\boldsymbol{\tau }=&{\boldsymbol{\tau }}_{eq}+{\boldsymbol{\tau }}_{s}={\boldsymbol{M}}_{0}\left(\mathit{q}\right)\left({\ddot{\mathit{q}}}_{d}+\mathbf{\Lambda }\dot{\mathit{e}}+k\mathit{s}+\epsilon \tan {\rm h}\left(\mathit{s}\right)\right)+\\ & {\boldsymbol{C}}_{0}\left(\mathit{q},\dot{\mathit{q}}\right)\dot{\mathit{q}}+{\boldsymbol{D}}_{0}\left(\mathit{q},\dot{\mathit{q}}\right)\dot{\mathit{q}}+{\boldsymbol{G}}_{0}\left(\mathit{q}\right)+{\boldsymbol{E}}_{0}\left(\mathit{q}\right)。\end{split}$

(12)

通过应用径向基（Radial Basis Function，RBF）神经网络能够以一种简洁且灵活的方式拟合所有类型的复杂非线性关系模型，从而推测出机械臂系统的变量间的关系并将这些推测结果用作反馈环节的前置数据送入调节机制之中。RBF神经网络的结构如图2所示。

定义$ n $个输入层、$ m $个隐含层和1个输出层，因此输入层数据$ \boldsymbol{X}=\left[{x}_{1} \quad {x}_{2}\quad \cdots \quad {x}_{n}\right]^{\mathrm{{\rm T}}} $，隐含层$ \boldsymbol{h}= \left[{h}_{1} {h}_{2}\quad \cdots \quad {h}_{m}\right]^{\mathrm{{\rm T}}} $，在隐含层中，每一个神经元均代表特定的计算单元，并采用高斯基函数来计算各个神经元的输出值。

令神经网络输出层的理想权值为$ \boldsymbol{w}=\left[{\omega }_{1} \quad {\omega }_{2} \quad \cdots {\omega }_{m}\right]^{\mathrm{{\rm T}}} $，并且网络输入取$ \boldsymbol{x}=[{\mathit{e}}^{\rm{T}}\quad {\dot{\mathit{e}}}^{\rm{T}}\quad {\mathit{q}}^{\rm{T}}\quad {\dot{\mathit{q}}}^{\rm{T}}\quad {\ddot{\mathit{q}}}^{\rm{T}}]^{\mathrm{{\rm T}}} $，采用RBF神经网络对机械臂建模误差以及不确定外界扰动进行逼近，则估计输出为：

$ \text{y}={\widehat{\mathit{w}}}^{\mathrm{{\rm T}}}h\left(\mathit{x}\right) 。$

(13)

式中：$ \widehat{\mathit{w}} $为对输出层理想权值的估计值，且定义权值误差为：

$ \stackrel{~}{\mathit{w}}=\mathit{w}-\widehat{\mathit{w}} \text{，} {\parallel \mathit{w}\parallel }_{F} \leqslant {\mathit{w}}_{\max}。$

(14)

为了解决采用神经网络逼近产生的误差$ \epsilon $，定义鲁棒项$ \mathit{v} $。为保证滑膜控制的稳定性和收敛性，自适应律为：

$ \dot{\widehat{\mathit{w}}}=\mathit{\Gamma }h\left(\mathit{x}\right){\mathit{s}}^{\mathrm{{\rm T}}} 。$

(15)

式中：自适应律$ \mathit{\Gamma }={\rm{diag}}({\gamma }_{1},{\gamma }_{2},\cdots ,{\gamma }_{n}) $

因此基于RBF神经网络的机械臂系统的总控制律为：

$ \begin{split}\boldsymbol{\tau }=& {\boldsymbol{M}}_{0}\left(\mathit{q}\right)\left({\ddot{\mathit{q}}}_{d} + \mathbf{\Lambda }\dot{\mathit{e}} + k\mathit{s} + \epsilon \tan{\rm{h}}\left(\mathit{s}\right)\right) + {\boldsymbol{C}}_{0}\left(\mathit{q},\dot{\mathit{q}}\right)\dot{\mathit{q}} +\\ &{\boldsymbol{D}}_{0}\left(\mathit{q},\dot{\mathit{q}}\right)\dot{\mathit{q}} \text + {\boldsymbol{G}}_{0}\left(\mathit{q}\right) + {\boldsymbol{E}}_{0}\left(\mathit{q}\right) + {\widehat{\mathit{w}}}^{\mathrm{{\rm T}}}h\left(\mathit{x}\right) + {\epsilon }_{N}{\rm{sgn}}\left(\mathit{s}\right)。\end{split}$

(16)

式中：$ \mathit{v}={\epsilon }_{N}{\rm{sgn}}\left(\mathit{s}\right) $，其目的在于确保系统稳定性的同时，优化神经网络的估计效能，以减轻其对系统精确度的潜在影响。

3 机械臂控制系统稳定性证明

稳定性证明可以帮助理解系统的动态行为，保障系统运行的稳定性。对于整个机械臂控制系统的稳定性问题，建立Lyapunov函数来进行理论验证。选取Lyapunov函数如下所示：

$ {V}=\frac{1}{2}{\mathit{s}}^{\rm{T}}\mathit{s}+\frac{1}{2}tr\left({\tilde{\mathit{W}}}^{\rm{T}}{\mathit{\Gamma }}^{-1}\tilde{\mathit{W}}\right)。$

(17)

式中：$ tr(\cdot ) $为矩阵的迹。

对上式求导并推导可得:

$ \begin{split}\dot{V}= & {\mathit{s}}^{\mathrm{T}}(-k\mathit{s}-\epsilon {\rm{sgn}}(\mathit{s}\left)\right)+{\mathit{s}}^{\mathrm{T}}\big({\mathit{M}}_{0}^{-1}\left(\mathit{q}\right){\epsilon }_{1}-{\mathit{M}}_{0}^{-1}\left(\mathit{q}\right){\epsilon }_{{N}}\\ &{\rm{sgn}}\left(\mathit{s}\right)\big) \leqslant {\mathit{s}}^{\mathrm{T}}(-k\mathit{s}-\epsilon {\rm{sgn}}(\mathit{s}\left)\right) \leqslant 0。\end{split} $

(18)

当$ \dot{\mathit{V}}\equiv 0 $时，$ \mathit{s}\equiv 0 $，当$ \mathit{s} $=0时，利用LaSalle的不变定理可知：对任何非线性的动态系统来说，只要能寻得一个函数V(x)，使得它能在状态空间内保持正值并且它的导数总是趋近于0，那么整个系统的稳定性就能被确保。因此根据式(18)，在$ t $趋近于$ \mathrm{\infty } $时，有$ \mathit{e} $和$ \dot{\mathit{e}} $趋近于0。由此证明，闭环系统渐进稳定。

4 仿真实验结果及分析

水下双关节机械臂相关参数如表1所示。

海水密度ρ=1025 kg·m⁻³，$ {C}_{{d}} $=1.1，$ {C}_{{m}} $=1.1。双关节水下机械臂的理想轨迹分别是$ {\mathit{q}}_{d1}= \sin \left({\text{π}} t\right) $，$ {\mathit{q}}_{d2}= \cos \left({\text{π}} t\right) $，令机械臂中起始点和初始速度为$ [{\mathit{q}}_{1}\quad \dot{{\mathit{q}}_{1}} {\mathit{q}}_{2}\quad \dot{{\mathit{q}}_{2}}]^{\mathrm{{\rm T}}}={\left[\begin{array}{cccc}0.09& 0& -0.09& 0\end{array}\right]}^{\mathrm{{\rm T}}} $。为了对比本文所提出的控制方法的优势，因此设置一个对比实验，并利用Matlab软件分别对基于传统模型补偿的PD控制算法和本文自适应神经网络滑膜控制算法进行水下机械臂轨迹跟踪控制仿真实验，并对其仿真结果进行对比分析。

4.1 基于传统模型补偿的PD控制算法仿真分析

基于传统模型补偿的PD控制算法基于系统的数学模型，在控制过程中引入模型补偿项，以提高系统的控制性能。

定义$ \dot{{\mathit{q}}_{r}}=\dot{{\mathit{q}}_{d}}-\mathit{\Lambda }\stackrel{~}{\mathit{q}} $，$ \ddot{{\mathit{q}}_{r}}=\ddot{{\mathit{q}}_{d}}-\mathit{\Lambda }\dot{\stackrel{~}{\mathit{q}}} $，设计滑膜函数s为：

$ {s}=\dot{\stackrel{~}{\mathit{q}}}+\boldsymbol{\varLambda }\stackrel{~}{\mathit{q}} 。$

(19)

式中：$ \boldsymbol{\varLambda } $为一个常数矩阵，且$ {\boldsymbol{\varLambda}} > 0 $。

控制律τ如下：

$ \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{M}\left(\mathit{q}\right)\ddot{{\mathit{q}}_{\mathit{r}}} +\boldsymbol{C}\left(\mathit{q}\right)\dot{{\mathit{q}}_{\mathit{r}}} +\boldsymbol{D}\left(\mathit{q}\right)\dot{{\mathit{q}}_{\mathit{r}}}+\boldsymbol{G}\left(\mathit{q}\right)+\boldsymbol{E}\left(\mathit{q}\right) -{\boldsymbol{K}}_{D}\mathit{s}。$

(20)

式中：$ {K}_{D} $为微分增益，为正定矩阵，用来调节系统响应速度和稳定性。

令u=5 m/s，$ \boldsymbol{\varLambda }=\left[\begin{array}{cc}15& 0\\ 0& 15\end{array}\right] $，$ {\boldsymbol{K}}_{D}=\left[\begin{array}{cc}100& 0\\ 0& 100\end{array}\right] $。

应用Matlab软件进行仿真，结果如图3～图5所示。

采用传统模型补偿PD控制算法的双关节机械臂，在0.05 s内迅速达到较高的初始力矩，尽管初期因角度偏差导致控制扭矩增大，但在稳定阶段后，力矩波动减小并维持在较低水平（基本臂约−29～88 N·m，主臂约−3.8～28.7 N·m），显示了较好的控制效果。然而，该机械臂在位置和速度跟踪上响应较慢，基本臂和主臂分别需约0.32 s和0.16 s完成位置跟踪响应，0.35 s和0.2 s达到速度跟踪响应。鉴于水下环境的复杂性，包括水流干扰和波浪载荷，这种延迟可能影响效率与安全。因此，尽管此算法能满足一般应用需求，但对于现代化海洋牧场等高要求场景，追求更高精度控制以确保作业效率与安全显得尤为重要。

4.2 基于自适应神经网络滑膜控制算法仿真分析

设定参数值为：$ {k}=\left[\begin{array}{cc}20& 0\\ 0& 20\end{array}\right] $，$ {\mathit{\rho }}_{N}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right] $，$ {\mathit{\rho }}_{d}=\left[\begin{array}{cc}1.2& 0\\ 0& 1.5\end{array}\right] $，$ \mathit{\Lambda }=\left[\begin{array}{cc}200& 0\\ 0& 200\end{array}\right] $，$ \mathit{\Gamma }=\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right] $，根据图3选取输入层$ n $=5，隐含层$ m $=7，输出层为1。统一高斯基函数的宽度为$ {b}_{j}=0.2 $并且令网络初始化时的所有权值0，系统的初始状态向量设为$[0.09\;\;0\;\;-0.09\;\;0]^{\rm{T}} $；高斯基函数的中心点向量为：

$ \boldsymbol{c}=\left[\begin{array}{ccccccc}-1.5& -1& -0.5& 0& 0.5& 1& 1.5\\ -1.5& -1& -0.5& 0& 0.5& 1& 1.5\\ -1.5& -1& -0.5& 0& 0.5& 1& 1.5\\ -1.5& -1& -0.5& 0& 0.5& 1& 1.5\\ -1.5& -1& -0.5& 0& 0.5& 1& 1.5\end{array}\right]。$

令$ {\boldsymbol{M}}_{0}\left(\mathit{q}\right)=0.9\boldsymbol{M}\left(\mathit{q}\right) $，$ {\boldsymbol{C}}_{0}\left(\mathit{q},\dot{\mathit{q}}\right)=0.9\boldsymbol{C}\left(\mathit{q},\dot{\mathit{q}}\right)，{\boldsymbol{D}}_{0}(\mathit{q}, \dot{\mathit{q}})=0.9\boldsymbol{D}\left(\mathit{q},\dot{\mathit{q}}\right) $，$ {\boldsymbol{G}}_{0}\left(\mathit{q}\right)=0.9\boldsymbol{G}\left(\mathit{q}\right)，{\boldsymbol{E}}_{0}\left(\mathit{q}\right)=0.9\mathit{E}\left(\mathit{q}\right) $来模拟机械臂建模误差和不确定性扰动。双关节水下机械臂的理想轨迹指令分别是$ {\mathit{q}}_{d1}=\sin\left({\text{π}} t\right) $，$ {\mathit{q}}_{d2}= \cos\left({\text{π}} t\right) $。

应用Matlab软件进行仿真，结果如图6～图8所示。

自适应神经网络滑膜控制的机械臂在考虑海流速度和扰动下的表现显著提升。从图6和图7可见，该机械臂的基本臂和主臂分别在0.028 s和0.035 s达到位置跟踪响应，在0.11 s和0.08 s达到速度跟踪响应，响应速度快于传统PD控制。如图8所示，初始力矩达到时间也更快（基本臂0.036 s达到318 N·m，主臂0.03 s达到71 N·m），且稳定后力矩波动范围（基本臂−31.7～87.7 N·m，主臂−4.49～28.7 N·m）更窄，表明控制力矩更为精确且稳定。因此自适应神经网络滑膜控制法提升了水下机械臂的控制精度与稳定性，相比PD控制具有更重要的理论与实际意义。

4.3 对比分析

考虑到水下机械臂应用于现代化海洋牧场的场景，可能存在机械臂相关数据不精确以及突发的不确定性干扰影响机械臂的工作效果。因此通过图9可以看出采用RBF神经网络的方法可以通过调整其权重来对控制律进行修正对机械臂干扰项进行逼近，从而进一步地保障了机械臂水下作业时的工作效率和安全性。

如图10所示，对比PD控制和自适应神经网络滑膜控制，可以直观看出采用自适应神经网络滑膜控制的双关节机械臂在位置和速度跟踪误差更小，主臂位置、速度跟踪时间效率上分别显著提升了94.22%和77.58%；基本臂位置、速度跟踪时间效率上分别显著提升了94.88%和58.04%。因此采用自适应神经网络滑膜控制的办法更加稳定、高效，从而更好地达到了控制目标。

采用计算均方差（Mean Square Error,MSE）的方法来量化评估机械臂位置跟踪精度（机械臂的实际位置与期望位置之间的偏差）和速度跟踪精度（机械臂的实时速度与指令速度的匹配程度）。通过分别对比采用PD控制和ANN控制策略的机械臂MSE值可知，采用ANN控制策略能在复杂海流环境下的情况下提高机械臂运行的精度。MSE对比结果如表2所示。

5 结　语

针对双关节水下机械臂在现代化海洋牧场中应用的需求开展了相关研究工作，获得主要结论以及工作如下：

1）针对水下环境的特殊性，构建了考虑恒定均匀海流影响的双关节平面转动自由度动力学模型；设计自适应神经网络滑膜控制策略，该策略结合了神经网络的自适应学习能力和滑膜控制的鲁棒性，有效应对建模误差与外界扰动，特别是在动态变化的水下环境中提高轨迹跟踪精度和系统稳定性；在控制系统设计中，充分融入了水下特有的物理因素，如水的粘滞性、浮力和流体阻力。最后利用Matlab/Simulink进行仿真实验，验证了所提控制策略在提升水下机械臂位置跟踪速度、定位精度及适应性方面的有效性。

2）通过精确的动力学模型与自适应神经网络滑膜控制策略，显著提高了水下机械臂在复杂海流环境下的操作精度和稳定性。控制系统的响应时间得以缩短，系统误差减少，相比传统PD控制算法，自适应神经网络滑膜控制策略在面对外部干扰时展现出更好的适应性和控制性能。综合水下环境特性进行的系统设计，确保了机械臂在各种水下工作条件下的稳定可靠运行，为水下作业提供了更高效、精准的控制方案。

3）本文的水下机械臂理论动力学模型建立在受均匀海流干扰之下，但是实际应用时，但仍存在进一步探索的空间，未来可将波浪干扰纳入模型考虑，结合Morison理论进一步精确计算水动力载荷和运动响应，以更全面地模拟实际水下作业环境。结合实际海洋牧场环境，进行实地测试，根据实际运行数据反馈进一步优化控制策略，提升实用性和可靠性。以此来有望推动水下机械臂技术在现代化海洋牧场乃至更广泛的水下作业领域的革新与发展。