0 引　言

船舶尾浪是指船舶航行时产生的波浪，这些波浪对附近船舶的安全构成威胁。特别是在港口或狭窄水域，尾浪可能导致系泊船舶的运动响应和系泊力的变化，严重时可能会导致装卸操作的停摆，甚至系泊系统的崩溃。尾浪还可能影响船舶的稳性，特别是对于大型船舶而言，尾浪可能导致船舶横摇，甚至在极端情况下导致船舶倾覆。船舶尾浪对航行安全和环境有显著影响，而数值模拟作为一种有效的工具，可以帮助人们更好地理解和控制这些影响，从而提高航行安全和保护海洋环境。

数值模拟技术提供了一种预测和分析船舶尾浪影响的方法，通过建立数学模型并利用计算机进行模拟，可以预测不同条件下尾浪的产生和传播规律。数值模拟可以帮助研究者和工程师理解尾浪的形成机制，评估不同船型、航速、水深等因素对尾浪的影响。通过数值模拟，可以优化船舶设计，降低尾浪的产生，减少对航行安全和环境的负面影响。通过调整船体形态，可以减少尾流滚动到横梁平台上，从而减少对船舶运动的额外阻力，同时还可以为港口建设与安全提供必要的科学依据，帮助制定航行规则和安全管理措施，以减少尾浪对系泊船舶和环境的影响。

船舶尾浪数值模拟技术一直是国内外研究的热点，孟长霖等^[1]运用FEM/CFD对船舶螺旋桨产生的轴系振动进行了数值模拟；刘鹏等^[2]使用CFD研究了不同航速对船舶横摇阻尼的影响；龚家烨等^[3]提出了一种基于Open FOAM的三体船尾浪数值计算方法。综合来看，船舶尾浪数值模拟技术的研究主要集中在不同船舶类型、船舶尾浪不同区域、不同数值计算方法等方面，本文提出一种基于波形分析与测量的船舶尾浪数值模拟方法，并使用波高测量系统对目标船舶尾浪进行测量，将测量结果和模拟数值计算结果进行比较，从而对数值模拟技术的可靠性进行有效验证。

1 理论基础与数值方法 1.1 波形分析理论

使用波形分析理论可以有效对船舶尾浪数值进行计算和模拟，一般而言，波形分析有多种方法，包括纵切法、横切法等，横切法在数值计算中较为复杂，因而本文采用纵切法进行分析。

在船侧离舯剖面横向距离为y的纵切面上测量波形，当y足够大时，对该纵切面上的波形ζ(x,y)进行分析。设ζ(x,y)为离舯剖面横向距离为y纵切面上的波形，当y足够大时，其简化表达式为：

$ \begin{aligned}[b] &\xi(x, y)=\operatorname{Re}\left[j_{x_{0}}^{\infty}[g(\omega)-i f(\omega)] \exp \right. \\ & \left.\left\{i \omega x+i \dfrac{\omega}{k_{0}} \sqrt{\omega^{2}-k_{0}^{2}} y\right\} \dfrac{2 \omega^{2}-k_{0}^{2}}{k_{0} \sqrt{\omega^{2}-k_{0}^{2}}} {\mathrm{d}} \omega\right]。\end{aligned} $

(1)

式中：$\omega $为角频率；${\kappa _0}$为初始相位。

同时，在船侧y = y_c（y_c为一个特定的距离值）的纵切线上，纵切面上的波形又可表示为：

$ \xi (x,y) = \dfrac{1}{{\text π} }\mathop \smallint \nolimits_0^\infty [p(\omega ,y) + q(\omega ,y)]{{\mathrm{e}}^{ - i\omega x}}{\mathrm{d}}\omega 。$

(2)

式中：P(ω,y)和Q(ω,y)为ζ(x,y)的傅氏变换值。

将式(1)和式(2)进行对比可得：

$ \begin{split} &(g(\omega ) - if(\omega )){{\mathrm{e}}^{ - i\omega x}} =\\&{\left\{\begin{array}{l} \dfrac{{\kappa _0}\sqrt {{\omega ^2} - \kappa _0^2} }{(2{\omega ^2} - \kappa _0^2){\text π} }{\text{exp}}( - i\mu y)[p(\omega ,y) - q(\omega ,y)]{{\mathrm{e}}^{ - i\omega x}} ，\\ {\kappa _0} \leqslant \omega < \infty ，\\ {0，{\kappa _0} > \omega } 。\end{array}\right.}\end{split}$

(3)

式中：

$ f(\omega ) = \dfrac{{{\kappa _0}\sqrt {{\omega ^2} - \kappa _0^2} }}{{{\text π} (2{\omega ^2} - \kappa _0^2)}}[p(\omega ,y)\sin (\mu y) + q(\omega ,y)\cos (\mu y)]\text{，} $

(4)

$ g(\omega ) = \dfrac{{{\kappa _0}\sqrt {{\omega ^2} - \kappa _0^2} }}{{{\text π} (2{\omega ^2} - \kappa _0^2)}}[p(\omega ,y)\cos (\mu y) - q(\omega ,y)\sin (\mu y)]\text{，} $

(5)

$ \mu = \omega \sqrt {{\omega ^2} - 1} \text{。} $

(6)

对纵切面上的波形进行傅里叶变换，定义加权傅氏变换$ P^{*}(\omega, y)+Q^{*}(\omega, y)= \int_{-\infty}^{\infty} \sqrt{\omega^{2}-\lambda^{2}} \cdot \xi(x, y) \exp (i \omega x) {\mathrm{d}} x $，P^*(ω,y)和Q^*(ω,y)为修正后的傅氏变换值。

最终可以计算获得船舶尾浪的波幅谱函数计算公式为：

$ F(\omega ) = \dfrac{{2 \lambda }}{{{{\omega} ^2} - {\lambda ^2}}}[{P^ * }(\omega ,y)\sin ({\Omega }y) + {Q^ * }(\omega ,y)\cos ({\Omega}y)]，$

(7)

$ G (\omega ) = \dfrac{{2\lambda }}{{{\omega ^2} - {\lambda ^2}}}[{P^ * }(\omega , y)\cos ({\Omega}y) - {Q^ * }(\omega ,y)\sin ({\Omega}y)]。$

(8)

式中：$\Omega = \omega \sqrt {{\omega ^2} - {\lambda ^2}} $；$\lambda $为海浪波长。

1.2 数值模拟方法

船舶在航行过程中会产生尾浪，对周围的水环境和其他船舶产生影响。准确地模拟船舶尾浪对于船舶设计、海洋工程和环境保护等领域具有重要意义。数值模拟方法作为一种有效工具，可以在不进行实际物理实验的情况下，预测船舶尾浪的特性。目前常用的数值模拟方法包括广义边界元法、傅氏变换法、等价奇点法等^{[4 − 5]}，本文使用广义边界元法对船舶尾浪进行数值分析和计算。

广义边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法。它将问题的求解域划分为边界和内部区域，通过在边界上建立积分方程，将问题转化为求解边界上的未知量。在船舶尾浪模拟中，广义边界元法可以通过求解船舶表面和自由水面的边界积分方程，得到船舶尾浪的波形和水动力特性。广义边界元法具有计算精度高、适用于复杂几何形状等优点。它可以准确地模拟船舶尾浪的非线性特性，并且能够处理船舶与自由水面之间的相互作用。此外，广义边界元法的计算效率相对较高，可以在较短的时间内得到较为准确的结果。广义边界元法的计算结果受到边界条件的影响较大，需要确定边界条件才能得到可靠结果。此外，广义边界元法对于大规模问题的计算效率可能会受到限制，需要采用高效的数值算法和并行计算技术来提高计算效率。

通过求解船舶表面和自由水面的边界积分方程，可以得到船舶尾浪的波形和水动力特性。广义边界元法可以准确地模拟船舶尾浪的非线性特性，并且能够处理船舶与自由水面之间的相互作用。通过对船舶尾浪波形的分析，可以得到尾浪的高度、波长、波速等参数，为船舶设计和海洋工程提供参考。

2 波形分析与数值模拟实验 2.1 船舶尾浪波形分析与测量系统设计

使用纵切法对船舶尾浪测量相对简单，在船池中线面一侧用一台或多台浪高仪测一道或多道波形即可求波形阻力。这种方法存在一定局限性，如对截断误差敏感、忽略近场波影响。实验中假设水深无限、远场波且无壁面反射（实际需修正反射波影响）。在水池中部左右横向一字排开10个探头，设第一个探头距船模中线面距离为d₁，后续探头依次间隔距离△D放置。传感器负责感知波浪的高度变化，将其转换为电信号，然后通过前置放大器放大，再经水中电缆传送到数据记录装置。该装置包括主放大器、模数转换器、控制器等，能够对信号进行进一步处理，最终将数据传输到计算机进行存储和分析。船舶尾浪波形分析与测量系统各模块功能分析如表1所示。

通过实验测量可以得到船舶尾浪的实际波形和参数，为数值模拟方法的验证提供了重要依据。实验测量可以采用多种方法，如波高仪测量、激光测量、摄影测量等。通过对实验测量结果的分析，可以得到船舶尾浪的高度、波长、波速等参数，与数值模拟结果进行对比，验证数值模拟方法的准确性和可靠性。

2.2 船舶尾浪数值模拟方法

在船舶尾浪模拟中，CFD 软件计算出的船舶航行时周围水体的速度分布和压力分布，可作为广义边界元法计算尾浪传播的初始输入。因而首先使用CFD软件对尾浪进行初步模拟，然后再使用广义边界元法以及傅氏变换法对尾浪进行数值计算。

1）基于CFD的尾浪数值模拟

在船舶尾浪近对船舶尾浪数值使用CFD软件进行模拟，设置船舶长度为30 m，船宽7 m，速度为10 m/s，建立船舶基本模型后，设置初始条件，最终得到船舶尾浪的数值模拟结果，如图1所示。通过图1的模拟结果，可以初步获取船舶尾浪的基本分布情况，波浪在船舶尾部两侧形成了较高的波峰，呈现出一种对称的形态。波浪的等高线呈现出弧形，从船舶尾部向两侧和后方延伸，显示出波浪在水中传播的路径。

2）基于广义边界元法的尾浪数值计算

广义边界元法基于将求解域划分为边界和内部区域的思想，对于船舶尾浪问题，它将船舶表面和自由水面等作为边界，通过在这些边界上建立积分方程来求解问题。其基本原理是利用格林函数来表示如速度势在边界上的分布与内部区域的关系。对于一个三维不可压缩无旋流动问题，速度势$ \varphi $满足拉普拉斯方程$ {\nabla ^2}\varphi = 0 $。通过引入格林函数G，可以建立如下形式的边界积分方程：

$ (C(U)\varphi (U) = \int_\Gamma \left( \varphi (V)\dfrac{{\partial G(U,V)}}{{\partial {n_V}}} - G(U,V)\dfrac{{\partial \varphi (V)}}{{\partial {n_V}}} \right) {\rm d}{\Gamma _V}) $

(9)

式中：U为边界上或内部的点，V为边界Γ上的积分点，n_V为边界Γ在V点的外法向单位向量，C(U)为与点U位置有关的系数（当U在内部时C(U)= 1，当U在光滑边界上时C(U)=0.5），这个方程将内部点的速度势与边界上的速度势及其法向导数联系起来。

为了求解上述边界积分方程，需要对边界进行离散。通常采用边界元方法，将边界Γ划分为一系列的边界单元（如直线单元、曲线单元等），在每个单元上，假设未知量（速度势和法向导数）按照一定的插值函数进行分布，采用常数单元、线性单元或高阶单元等插值形式。将这些离散后的边界单元代入边界积分方程，得到一个线性代数方程组：

$ \sum_{j=1}^{N}\left({\boldsymbol{H}}_{i j} \varphi_{j}-{\mathrm{G}}_{i \bar{j}} \dfrac{\partial \varphi_{j}}{\partial n_{j}}\right)=C_{i} \varphi_{i}, \quad(i=1,2, \cdots, N)。$

(10)

式中：N为边界单元的总数；H_ij和G_ij为通过对格林函数及其法向导数在单元上积分得到的影响系数矩阵；${\varphi _j}$和$\dfrac{{\partial {\varphi _j}}}{{\partial {n_j}}}$为单元j上的未知速度势及其法向导数。通过求解这个线性代数方程组，可以得到边界上的速度势及其法向导数的数值解。

在船舶尾浪问题中，广义边界元法可以准确地处理船舶与自由水面之间的复杂边界条件。船舶表面的边界条件和自由水面的边界条件（动力学条件和运动学条件）都可以方便地纳入边界积分方程中。自由水面的运动学条件可表示为：

$ \dfrac{{\partial \varphi }}{{\partial z}} = \dfrac{{\partial \zeta }}{{\partial t}} + \dfrac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}\dfrac{{\partial \zeta }}{{\partial x}} + \dfrac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}\dfrac{{\partial \zeta }}{{\partial y}}\text{。} $

(11)

式中：ζ为自由水面的波高，动力学条件可表示为$\dfrac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} + \dfrac{1}{2}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi + gz = 0$，g为重力加速度。

2.3 数值模拟和系统测量结果对比

本文以不同点的波高数值的准确性作为船舶尾浪模拟研究的核心。对距离船舶侧弦1 m、船尾不同距离处的波高进行测量和数值计算，图2为距离船尾L=5 m处的波高数值模拟计算和测量的结果对比，可以发现，船舶尾浪数值计算结果和实际测量结果在形态上非常一致，且最大波高为0.5 m左右，一些波峰处的测量数据测量值和数值模拟仍然存在较小误差，因而需要进一步优化计算方法，提升准确率。

图3为距离船尾为L=8 m处的波高数值模拟计算和测量的结果对比。相比于L=5 m处的波高数值结果，L=8 m处时最大波高只有约0.3 m，距离越远，最大波高越小，同时测量数据和数值模拟数据在初始时存在误差，在t>10 s后两者曲线基本重合，说明模拟效果较好。

3 结　语

对船舶尾浪的数值模拟研究可以有效提升船舶航行安全和环境安全。传统数值模拟方法具有较大不确定性，本文构建船舶尾浪波形分析与测量系统，使用该系统对船舶尾浪的波高进行测量，提出基于广义边界元法的尾浪数值计算方法，比较数值模拟计算结果和测量结果，结果表明本文提出的基于广义边界元法的尾浪数值计算方法可以有效解决船舶尾浪数值计算问题，对尾浪波形分析和测量可以为数值计算的改进提供有效帮助。