0 引　言

低频振动造成的消极影响广泛存在于生产生活中。在船舶行业中，低频振动会产生噪声并影响船舶设备及管路的功能。设置隔振装置是降低舰船机械噪声最重要的技术之一^[1]。研究者们提出了包括非线性隔振在内的多种解决方法，而具有准零刚度特性的非线性隔振系统具有极低的主共振频率，甚至可以在超低频范围内起到隔振作用，在舰船机械噪声控制领域应用前景广阔。

现有的研究表明，根据选择的非线性元件的不同，非线性系统传递率曲线上的共振频率可能会产生转移^[2]。通过研究对比多种不同的非线性元件，Ravindra等^[3]发现具有弱非线性特性的系统具有更低的共振频率，从而提高隔振性能；Zhao等^[4]提出一种装有3对斜弹簧的准零刚度隔振器，这种由3对斜弹簧构成负刚度元件的隔振器有更宽的频率范围和更低的振动传递率。Zhou等^[5] 将准零刚度隔振器应用于舰船机械隔振浮筏，构造了单层准零刚度隔振浮筏，发现准零刚度隔振浮筏系统的起始频率远低于线性浮筏系统且隔振效率远高于线性系统。Cai等^[6]针对低频波在管道中的衰减问题，提出一种附加了柔性准零刚度谐振器的新型超材料管道结构，实现了弯曲波在准零刚度超材料管道中的低频衰减，为舰船管路系统的低频隔振提供了新思路。Yu等^[7]将欧拉梁型准零刚度隔振器和能量采集相结合，使隔振系统具有更高的输出功率和更低的工作频率。王晓斌^[8]设计了一种应用于舰船系统的凸轮-滚轮型的减振支架。Li等^[9]提出一种可以自定义凸轮型线的准零刚度隔振器，降低了隔振器的设计误差。Yao等^[10]提出一种凸轮-滚轮型准零刚度隔振器，该隔振器使用了分段函数来拟合力-位移曲线，该分段函数的每个区间都选用了最简单的线性表达式。Ye等^[11]提出一种使用异形凸轮的基于凸轮-滚轮型准零刚度隔振器的优化结构，使系统可以自适应不同载荷，支持多种负载条件下的低频隔振。赵含等^[12]建立了船舶推进轴系纵向振动的动力学模型，分析了在2种准零刚度隔振器模型下的推进轴系隔振效果。Yu等^[13]提出了一种由扭杆弹簧和负刚度结构组成的准零刚度隔振器，能够提高非线性刚度系统的支承能力，在低频区域具有较好的重型设备隔振性能。Shi等^[14]提出并设计了一种新型的复合式可调准零刚度空气弹簧，通过在水平空气弹簧中引入双向调节器能够根据有效载荷改变准零区域。Ling等^[15]受甲虫3种姿态的启发，提出一种具有变非对称刚度特性的被动甲虫结构，并对其刚度调谐和低频隔振性能进行了系统研究。本文提出并设计了一种新型的复合式可调准零刚度空气弹簧，通过在水平空气弹簧中引入双向调节器,可以根据有效载荷改变准零区域。Shi^[16]提出一种准零刚度隔振器，由悬臂梁与曲线夹具提供的正刚度精确抵消由一对倾斜弹簧提供的负刚度，从而实现从一个点到一个区域的连续和广泛的准零刚度特性。Liu等^[17]基于金属结构的高可靠性准零刚度超材料设计提出一种新型高可靠性准零刚度超材料的设计方法，为金属准零刚度隔振器的设计提供了新的思路。Yu等^[18]聚焦隔振器的负载能力，提出一种由碟形弹簧组和涡形弹簧组合的非线性刚度调制抗振结构，为许多工程实际中需要的重型低频隔振器的设计和分析提供了一种新的方法。Wei等^[19]将斜弹簧、外切凸轮-滚子-弹簧机构和内切凸轮-滚子-弹簧机构3种负刚度机构创新性地组合起来，设计了一种新型隔振器，进一步改善了传统单自由度准零刚度隔振器的性能。Sui^[20]等提出一种离散梁约束模型来研究大变形柔性梁的静力特性，并通过有限元分析法验证了该模型的准确性。Yang等^[21]提出一种基于对称连杆结构的准零刚度非线性低频隔振器，其具有较宽的准零刚度区间、较低的隔振频率和较好的隔振性能。

在以上介绍的多种负刚度机构中，弹簧-凸轮-滚轮式结构可以通过仅改变部分零件实现自定义回复力的效果，且相较现有的隔振器，选择弹簧-凸轮-滚轮结构为研究对象设计一种非线性全金属准零刚度隔振器，能够基于船舶筏架环境与空间的限制延长隔振器使用寿命，保证其隔振性能，并将这种隔振器应用于船舶筏架结构下方，可有效抑制筏架结构在垂直方向上的低频振动。

1 隔振器设计 1.1 隔振器基本结构设计

基于正、负刚度元件并联可实现准零刚度原理，设计了一种由3组弹簧-凸轮-滚轮机构组合共同形成负刚度元件的非线性隔振器。隔振器的模型如图1所示。

设计的隔振器由竖直方向的主弹簧提供正刚度，弹簧-凸轮-滚轮机构提供负刚度，其中负刚度机构中的凸轮型线可以根据回复力要求进行设计。主弹簧下方与一个调距螺母通过刚性垫片相连接，通过改变螺母的进给量，可以手动调节非线性隔振器的工作载荷，从而实现载荷可调特性。

设计的非线性隔振器的原理图如图2(a)所示，3组负刚度机构在水平面内对称放置，图中仅给出了一组弹簧-凸轮-滚轮机构作为示意。

隔振器主要包括提供正刚度的主弹簧，提供负刚度的辅助弹簧、凸轮和滚轮，以及调距螺母和载物平台。

在具体的隔振器设计中，首先选择一种符合准零刚度要求，且可使用分段多项式简单表达的回复力，然后根据选定的回复力曲线来设计负刚度机构中凸轮的型线。将回复力-位移的关系假设为：

$ F_r(u)=\left\{\begin{gathered}F_0-a\cdot(u+b)^2\text{ ，}u < -b，\\ F_0\text{ }，-b\leqslant u\leqslant b，\\ F_0+a\cdot(u-b)^2\text{，}u > b。\\ \end{gathered}\right. $

(1)

式中：F_r为竖直方向的回复力；u为系统偏离平衡位置的距离；F₀为隔振器位于平衡位置时受到的外力；参数a可以衡量非线性隔振系统回复力和静刚度的变化趋势；参数b可衡量零刚度区间的长度。

将式(1)对位移量u进行求导，可以得到这个非线性系统静刚度与位移的关系式：

$ k(u)=\left\{\begin{gathered}-2a\cdot(u+b)\text{，}u < -b，\\ 0\text{ ，}-b\leqslant u\leqslant b，\\ 2a\cdot(u-b)\text{ ，}u > b。\\ \end{gathered}\right. $

(2)

1.2 凸轮型线求解

在平衡位置处建立隔振器的力学模型如图2(b)所示，在求解非线性隔振器凸轮型线的过程中引入一些设计量。竖直方向的主弹簧的刚度为k_v，3个辅助弹簧的刚度均为k_h；初始状态时主弹簧的预压量为B_v，辅助弹簧的预压量为B_h；滚轮的半径为R。建立静、动2套坐标系，2套坐标系的原点均位于凸轮的旋转中心。静坐标系XOY的X方向竖直向下，Y方向水平向右；动坐标系UOV的U方向始终由辅助弹簧内侧的铰接点指向凸轮的旋转中心，V方向保持与U方向垂直并指向隔振器内侧；两坐标系之间的夹角为α(0 < α < 5°)。在静坐标系中，滚轮中心在初始位置时的坐标为(x_H, y_H)，在平衡位置时的静坐标为(x_e, y_e)，辅助弹簧内侧的铰接点坐标为(x_h, 0)。在运动过程中，载物平台受到的外力为F，主弹簧产生的弹力为F_v，辅助弹簧产生的弹力为F_h，凸轮与滚轮之间的作用力为F_s。另外，F_s与X轴的夹角表示为β，F_s与U轴的夹角为θ。

假设滚轮中心在XOY坐标系中的坐标为(x₁, y₁)，在UOV坐标系中的坐标为（u₁, v₁），可以列出静、动坐标系之间的转换关系如下：

$ \left\{ \begin{gathered} {u_1} = {x_1}\cos \alpha + {y_1}\sin \alpha，\\ {v_1} = {y_1}\cos \alpha - {x_1}\sin \alpha 。\\ \end{gathered} \right. $

(3)

$ x_1^2+y_1^2=u_1^2+v_1^2。$

(4)

主弹簧产生的弹力可以表示为：

$ {F_v} = {k_v}({B_v} + {x_1} - {x_H}) 。$

(5)

由于所设计的隔振器具有较大的静刚度，可以认为凸轮的旋转角度非常小，因此辅助弹簧在运动过程中可近似认为保持水平，每个辅助弹簧的弹力可表示为：

$ F_h=k_h(B_h-x_h\tan\alpha)。$

(6)

系统在外力$F$的作用下保持平衡状态，分析隔振器竖直方向的受力，有：

$ F=F_v+3F_s\cos\beta。$

(7)

对凸轮受到的力矩进行分析，有：

$ -F_s(x_1\sin\beta+y_1\cos\beta)+x_hF_h\cos\alpha=0。$

(8)

由于$\theta = \alpha + \beta $，联立式(3)～式(8)，可得到$\tan \theta $的表达式：

$ \tan \theta = \displaystyle\frac{{p + \displaystyle\frac{{3{x_h}{k_h}({B_h} - {x_h}p) - {y_1}q}}{{{x_1} \cdot q}}}}{{1 - p\displaystyle\frac{{3{x_h}{k_h}({B_h} - {x_h}p) - {y_1}q}}{{{x_1}q}}}} 。$

(9)

式中：$p = \displaystyle\frac{{{y_1} \cdot {u_1} - {x_1} \cdot {v_1}}}{{{x_1} \cdot {u_1} + {y_1} \cdot {v_1}}}$；$q = F - {F_v}$；其中$q$为分段函数，可表达为：

$ q = \left\{ \begin{gathered} {k_v}({x_e} - {x_1}) - a{({x_1} - {x_e} + b)^2}{\text{, }}{x_1} < {x_e} - b，\\ {k_v}({x_e} - {x_1}),{\text{ }}{x_e} - b \leqslant {x_1} \leqslant {x_e} + b，\\ {k_v}({x_e} - {x_1}) + a{({x_1} - {x_e} - b)^2}{\text{,}}{x_1} > {x_e} + b。\\ \end{gathered} \right. $

(10)

通过观察动坐标系发现滚轮中心在动坐标系中的运动轨迹可描述为：

$ \frac{\mathrm{d}v_1}{\mathrm{d}u_1}=\frac{1}{\tan\theta}。$

(11)

而滚轮中心在静坐标系中的运动轨迹是一条竖直的线，因此有：

$ \left\{ \begin{gathered} {y_1} = {y_H} ，\\ {x_1} = - \sqrt {{u_1}^2 + {v_1}^2 - {y_H}^2}。\\ \end{gathered} \right. $

(12)

假设凸轮与滚轮接触点在动坐标系内的坐标为（u₂, v₂），对凸轮进行几何分析有：

$ \left\{ \begin{gathered} {({u_2} - {u_1})^2} + {({v_2} - {v_1})^2} = {R^2}，\\ \frac{{{v_2} - {v_1}}}{{{u_2} - {u_1}}} = - \tan \theta 。\\ \end{gathered} \right. $

(13)

联立式(9)、式(11)、式(12)和式(13)，即可解出凸轮、滚轮接触点在动坐标系内的轨迹，即所求的凸轮型线。

1.3 凸轮型线验证

为验证所给出的凸轮型线计算公式是否可行，假定了一系列的参数取值见表1。

根据以上参数分别设计出仅有零刚度点隔振器和含零刚度区间隔振器的凸轮，由1.1节可知，参数$b$是否为0是非线性隔振器是否有零刚度区间的决定因素，在凸轮型线设计中除$b$以外的设计参数保持一致。使用数值方法可以解出2种非线性隔振器凸轮的型线，每个方案对应的型线如图3所示。

由图3验证了实现零刚度区间隔振的可行性，可知即使不改变非线性隔振器的其它几何参数，仅通过合理地设计凸轮型线即可控制零刚度区间的长度。

2 动态特性分析 2.1 运动微分方程求解

假设有一个质量为m物体被静止安装在隔振器上，系统恰好位于平衡位置。此时系统的刚度恰好为零，将该平衡位置设为坐标原点。当非线性隔振器受到来自承载物体传递的力激励时，隔振系统简化模型如图4所示，假定u为竖直方向上激励源相对于平衡位置产生的位移，f为外界的力激励。

此时非线性系统运动微分方程可表示为：

$ m\ddot u + c\dot u + {F_r}(u) - mg = f 。$

(14)

式中：${F_r}(u)$表达式见式(1)。

假设无加载状态和理想静力承载时载物平台相对位移为${l_0}$，被隔振物体质量与非线性隔振器设计参数的关系可表达为：

$ mg=F_0=k_v(B_v+l_0)。$

(15)

将式(1)和式(15)代入式(14)，可以得到减振系统受到来自被隔振物体的力激励时的运动微分方程如下：

$ m\ddot u + c\dot u + {f_r}(u) = f 。$

(16)

式中：${f_r}(u) = Fr(u) - mg$，${f_r}(u)$是分段函数：

$ f_r(u)=\left\{\begin{gathered}-a(u+b)^2\text{ ，}u < -b，\\ \text{0，}-b\leqslant u\leqslant b，\\ a(u-b)^2\text{ ，}u > b。\\ \end{gathered}\right. $

(17)

对运动微分方程进行无量纲化，设：

$ \begin{split}&\xi=\frac{c}{2m\omega_n},\text{ }\omega_n=\sqrt{\frac{k_v}{m}},\text{ }f=f_0\cos(\omega t), \\ &\tau=\omega_nt,\text{ }\hat{u}=\frac{u}{R},\text{ }\hat{u}'=\frac{\dot{u}}{\omega_nR},\text{ }\hat{u}''=\frac{\ddot{u}}{\omega_n^2R}, \\ &\delta_1=\frac{a}{k_v}R,\text{ }\delta_2=\frac{b}{R},\text{ }\hat{f}_0=\frac{f_0}{k_vR},\text{ }\mathit{\Omega}=\frac{\omega}{\omega_n}。\end{split} $

(18)

可以得出此隔振系统无量纲近似运动微分方程为：

$ \hat{u}''+2\xi\hat{u}'+\hat{f}_r(\hat{u})=\hat{f}_0\cos(\mathit{\Omega}\tau)。$

(19)

式中：$ {\hat f_r}(\hat u) $是无量纲非线性回复力，其表达式式如下：

$ \hat{f}_r(\hat{u})=\left\{\begin{gathered}-\delta_1(\hat{u}+\delta_2)^2\text{ }，\hat{u} < -\delta_2，\\ 0，-\delta_2\leqslant\hat{u}\leqslant\delta_2，\\ \delta_1，(\hat{u}-\delta_2)^2\text{ }\hat{u} > \delta_2。\\ \end{gathered}\right. $

(20)

令$ \mathit{\Omega}^2=\mathit{\Omega}_0^2+\varepsilon\sigma $，构造出方程如下：

$ \hat{u}''+\mathit{\Omega}^2\hat{u}=\varepsilon H(\hat{u}',\hat{u},\tau)+\varepsilon\sigma\hat{u}。$

(21)

式中：

$ H(\hat{u}',\hat{u},\tau)=\hat{f}_0\cos(\mathit{\Omega}\tau)-2\xi\hat{u}'-\hat{f}_r(\hat{u})+\mathit{\Omega}_0^2\hat{u}。$

(22)

在$\varepsilon = 1$时，式(21)与式(19)同解。使用平均法求解微分方程，假设有如下形式的稳态响应解：

$ \hat{u}=A_1\cos(\mathit{\Omega}\tau+\varphi)，$

(23)

$ \hat{u}'=-A_1\mathit{\Omega}\sin(\mathit{\Omega}\tau+\varphi)。$

(24)

式中：${A_1}$为系统稳态振动的谐波幅值；$\varphi $为相位角，两者均为与$\tau $相关的慢变函数。

将式(23)和式(24)两端对$\tau $求导对比后，有：

$ -A_1\varphi'\sin(\mathit{\Omega}\tau+\varphi)+A_1'\cos(\mathit{\Omega}\tau+\varphi)=0。$

(25)

将式(23)和(24)与求导后的结果代入式(21)，可得：

$ \frac{\varepsilon H( \hat{u}' ,\hat{u},\tau ) + \varepsilon\sigma\hat{u}}{\mathit{\Omega}} = -A_1\varphi' \cos(\mathit{\Omega}\tau + \varphi) - A_1' \sin(\mathit{\Omega}\tau + \varphi)。$

(26)

联立式(25)、式(26)，可以求解出${A_1}^\prime (\tau )$、${\varphi ^\prime }(\tau )$如下：

$ \left\{\begin{gathered}A_1'(\tau)=-\frac{\varepsilon H(\hat{u}',\hat{u},\tau)+\varepsilon\sigma\hat{u}}{\mathit{\Omega}}\sin(\mathit{\Omega}\tau+\varphi)，\\ \varphi'(\tau)=-\frac{\varepsilon H(\hat{u}',\hat{u},\tau)+\varepsilon\sigma\hat{u}}{A_1\mathit{\Omega}}\cos(\mathit{\Omega}\tau+\varphi)。\\ \end{gathered}\right. $

(27)

令$ \psi(\tau)=\mathit{\Omega}\tau+\varphi $，相对于$\psi $来说，${A_1}$和$\varphi $随$\tau $的变化十分缓慢，可用一个周期内积分的平均值来代替，即：

$ \left\{ \begin{gathered} {A_1}^\prime (\tau ) = - \frac{\varepsilon }{{2{\text π} \mathit{\Omega} }}\int_0^{2{\text π} } {\left[H(\hat u',\hat u,\tau ) + \sigma \hat u\right]} \sin \psi {\mathrm{d}}\psi，\\ \varphi '(\tau ) = - \frac{\varepsilon }{{2{\text π} {A_1}\mathit{\Omega} }}\int_0^{2{\text π} } {\left[H(\hat u',\hat u,\tau ) + \sigma \hat u\right]} \cos \psi {\mathrm{d}}\psi。\\ \end{gathered} \right. $

(28)

将式(20)、式(23)和式(24)代入式(28)，可以得出${A_1}^\prime (\tau )$、${\varphi ^\prime }(\tau )$的表达式：

$ \left\{\begin{gathered} A_1'=-\frac{\varepsilon}{2{\varOmega}}\left[\hat{f}_0\sin\varphi+\Phi(A_1,{\varOmega})\right]，\\ \varphi'=-\frac{\varepsilon}{2A_1{\varOmega}}\left[\hat{f}_0\cos\varphi+\Psi(A_1,{\varOmega})\right]。\\ \end{gathered}\right. $

(29)

当$0 \leqslant {A_1} \leqslant {\delta _2}$时，有：

$ \left\{\begin{split} & \Phi(A_1,\mathit{\Omega})=2\xi A_1\mathit{\Omega}，\\ & \Psi(A_1,\mathit{\Omega})=A_1(\mathit{\Omega}_0^2+\sigma)+H_{11}=A_1(\mathit{\Omega}_0^2+\sigma)。\end{split}\right. $

(30)

式中：${H_{11}} = 0$。令$\varepsilon = 1$，当系统的响应趋于稳定后，可以得到系统幅频响应的表达式：

$ A_1^2\mathit{\Omega}^4+(4\xi^2A_1^2+2A_1H_{11})\mathit{\Omega}^2+H_{11}^2=\hat{f}_0^2。$

(31)

当${A_1} > {\delta _2}$时，$H(\hat u',\hat u,\tau )$是一个分段函数。令${\delta _2} = {A_1}\cos {\psi _a}$，所求积分在一个周期内可被分为5个区间，在5个区间上分别求积后，有：

$ \left\{\begin{gathered}\Phi(A_1,\mathit{\Omega})=2\xi A_1\mathit{\Omega}，\\ \Psi(A_1,\mathit{\Omega})=A_1(\mathit{\Omega}_0^2+\sigma)+H_{12}。\\ \end{gathered}\right. $

(32)

式中，

$ {H_{12}} = [{4{\delta _1}{\delta _2}{A_1}{\psi _a} - \displaystyle\frac{8}{3}\left({\delta _1}A_1^2 + \displaystyle\frac{4}{3}{\delta _1}\delta _2^2\right)\sin {\psi _a}}]/{{\text π} } 。$

(33)

同理，令$\varepsilon = 1$，当系统的响应趋于稳定后，可以得到系统幅频响应的表达式：

$ A_1^2\mathit{\Omega}^4+\left(4\xi^2A_1^2+2A_1H_{12}\right)\mathit{\Omega}^2+H_{12}^2=\hat{f}_0^2。$

(34)

综上，谐波力激励下的非线性隔振系统幅频响应的表达式可以表示为：

$ \left\{\begin{gathered}A_1^2\mathit{\Omega}^4+\left(4\xi^2A_1^2+2A_1H_{11}\right)\mathit{\Omega}^2+H_{11}^2=\hat{f}_0^2\text{,} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\text{ (}0\leqslant A_1\leqslant\delta_2)，\\ A_1^2\mathit{\Omega}^4+\left(4\xi^2A_1^2+2A_1H_{12}\right)\mathit{\Omega}^2+H_{12}^2=\hat{f}_0^2\text{,} \\ \qquad\qquad\qquad\qquad\text{ (}A_1 > \delta_2)。\end{gathered}\right. $

(35)

2.2 幅频特性及隔振性能分析

令a=50，b=0.5，ξ=0.03，f₀=40 N，k_v=220 N/mm，R=5 mm。通过代入参数可以得到如图5所示的非线性系统和等效线性系统幅频特性曲线，其中等效线性系统指的是去掉负刚度机构后的隔振器和被隔振物体构成的线性系统。

可以看出，在简谐力激励的作用下，非线性系统的幅频特性曲线向右弯曲，体现出渐硬刚度的特性，而等效线性系统不具备此特性；在超低频范围内，非线性系统的稳态响应幅值大于等效线性系统，且随频率增加，两者之间的差距越来越明显，在非线性系统主共振频率处相差最大，而激励频率大于主共振频率后，非线性系统响应幅值跳跃至一个低值并保持下降趋势，然而当激励频率处于线性系统的固有频率点附近时，线性系统的响应幅值先迅速增加后迅速下降，这一过程中其稳态响应幅值始终小于线性隔振系统。

对于非线性隔振系统而言，经过隔振器传递到基座上的力可以表示为：

$ f_T=f-m\ddot{u}=f_0\cos(\omega t)-m\ddot{u}。$

(36)

令${\hat f_T} = {f_T}/({k_v}R)$，将式(36)无量纲化可以得出非线性隔振系统的力传递率分段表达式：

$ T_f=\left\{\begin{gathered}\sqrt{\hat{f}_0^2+A_1^2\mathit{\Omega}^4-2A_1\mathit{\Omega}^2\left(A_1\mathit{\Omega}^2+H_{11}\right)}/\hat{f}_0, \\ \qquad\qquad\qquad\text{ (}0\leqslant A_1\leqslant\delta_2)，\\ \sqrt{\hat{f}_0^2+A_1^2\mathit{\Omega}^4-2A_1\mathit{\Omega}^2\left(A_1\mathit{\Omega}^2+H_{12}\right)}/\hat{f}_0, \\ \qquad\qquad\qquad\text{ (}A_1 > \delta_2)。\end{gathered}\right. $

(37)

非线性隔振系统的等效线性系统力传递率可表示为：

$ T_{\mathrm{linear}}=\sqrt{\frac{1+4\xi^2\mathit{\Omega}^2}{(1-\mathit{\Omega}^2)^2+4\xi^2\mathit{\Omega}^2}}。$

(38)

为更清晰地衡量减振效果，力传递率以dB形式来表示。通过代入参数可以得到如图6所示的力传递率曲线。

可以看出，两者的力传递率均从0 dB开始缓慢增加，其中非线性系统的力传递率增加得相对更快。在简谐力激励的作用下，当激励频率增加到主共振频率时，非线性系统的力传递率达到最大值，并向下跳跃至0 dB以下，负刚度机构发挥作用，系统的减振性能得到有效提高，线性系统的力传递率在固有频率点附近迅速增加再减小，系统没有出现跳跃现象，其起始隔振频率低于等效线性系统。

3 隔振器隔振性能参数分析

通过对非线性隔振系统的动态特性进行理论推导，可以得到非线性隔振器幅频特性曲线和振动传递率曲线的大致趋势，证明非线性隔振系统在一定的频率范围内具有优于等效线性系统的减振效果。然而为了定性地探讨不同参数对幅频特性和隔振特性的影响，本节从阻尼比和激励幅值两方面对两者进行分析。

3.1 阻尼比对隔振性能的影响

分别将参数值代入式(35)和式(37)，可得到如图7(a)所示的含零刚度区间隔振系统在力激励下不同阻尼比对应的幅频特性曲线。以及如图7(b)所示的含零刚度区间隔振系统在力激励下不同阻尼比对应的力传递率曲线。

对比可以看出，阻尼比对非线性系统在力激励下的幅频特性曲线和力传递率曲线均有显著影响。阻尼比与主共振频率、主共振峰值、力传递率峰值、跳跃现象发生的频率范围均呈负相关；当阻尼比非常小时，系统的主共振峰值急剧增大，系统在主共振频率附近的振动放大效果明显；在阻尼比增加到某一值时，非线性系统的跳跃现象消失。阻尼比与跳跃现象发生后隔振系统的力传递率正相关。在主共振频率右侧，阻尼比对稳态响应幅值的影响逐渐降低，而对力传递率的影响显著。

综合对比不同阻尼比对非线性系统的影响，可认为阻尼比对非线性系统的影响与线性系统类似，主共振频率范围内增加阻尼可有效地降低振动传递率，当激励频率大于起始隔振频率后，阻尼增加反倒会降低隔振性能。当阻尼比ξ﹤0.03时，非线性系统的主共振频率大于等效线性系统的固有频率，此时非线性系统在激励频率增加方向上的起始隔振频率大于线性系统。当阻尼比ξ﹥0.2后，非线性系统在等效线性系统固有频率处的振级落差小于10 dB，低频减振效果不明显。因此在设计含零刚度区间隔振器时，非线性隔振系统的阻尼比应控制在0.03～0.2范围内。

3.2 激励幅值对隔振性能的影响

分别将参数值代入式(35)和式(37)，可得到如图8所示的含零刚度区间非线性隔振系统在力激励下不同幅值f₀对应的幅频特性曲线，以及如图9所示的含零刚度区间隔振系统在力激励下不同幅值f₀对应的力传递率曲线。

从图8中以看出，在简谐力激励的作用下，激励幅值对含零刚度区间非线性隔振系统的主共振频率和主共振峰值均有较为显著的影响。对非线性系统而言，激励幅值的增加会使系统的非线性特性增强，主共振频率、主共振峰值和跳跃现象发生的频率范围均随之增大。在低频范围内，非线性隔振系统的稳态响应的幅值与激励幅值呈正相关。图8还另外给出阻尼比取值不同时激励幅值对频响特性曲线的影响。

从图9中可以看出，随着力激励幅值增加，力传递率曲线向右弯曲的程度增加，含零刚度区间隔振系统起始隔振频率增加；在超低频和高频范围内激励幅值对力传递率无明显影响。

综合对比力激励下不同激励幅值对非线性系统的影响，可发现不同于线性系统，激励幅值对非线性系统的影响显著。一般来说，激励的幅值越大，系统的振动传递率峰值和起始隔振频率就越大。

4 隔振器试验研究 4.1 样机加工与静力学试验

加工一个零刚度区间长度为0.4 mm的隔振器，对其进行静态试验和筏架振动试验，测试该准零刚度隔振器的隔振性能。样机设计参数为R=5 mm，B_h=5 mm，x_h=−40 mm，k_v=220 N/mm，k_h=100 N/mm，a=100，b=0.2。

使用WDW-100E微机控制电子式万能试验机，对隔振器的静态特性进行测试。试验机的单位进程设置为10 mm/min，最大行程为11 mm，采样时间间隔为0.040 s，在保持隔振器处于准静态的状态下进行连续加载。将静态试验测得的数据进行整合，可以得到该准零刚度隔振器对应的力-位移曲线。

根据力-位移曲线可以找到隔振器的平衡位置。以平衡位置作为零点，直观地画出平衡位置附近的力-位移曲线如图10所示，并将其与理论值进行对比。

可看出加工后的非线性隔振器在平衡位置附近的力-位移关系与理论值拟合良好。

4.2 隔振器设备隔振试验

本试验主要模拟了安装在船体内部的非线性隔振系统。建立一个圆柱壳模型模拟艇体，底部通过隔振器与地面连接，模拟船舶置于水中的自由状态；被隔振设备为一双层钢架结构，两层之间刚性固定，下层钢架底部开孔，与4个非线性隔振器通过螺栓刚性连接；设备上层放置一个LM-05经济型振动时效仪作为激励源，通过控制机箱可手动调节振动频率，其转速的可调范围为200～10000 r/min。在钢架隔振系统加工和搭建时，尽量保持模型对称，重心处在中间位置，以确保传递到4个非线性隔振器上的振动情况一致。

钢架隔振平台及非线性隔振器安装完成后，使用DH5902N动态数据采集仪和OPTEX CD33系列激光位移传感器测量非线性隔振器上下两端的绝对位移，其中激光位移传感器与地面刚性连接。启动振动时效仪后，缓慢调节时效仪转速，直到激光位移传感器可以稳定测量出某一频率下稳定的信号，使用动态数据采集仪采集稳定后的信号，采集时间为10～15 s。采集完成后继续调节振动时效仪的激振频率，测量不同频率的位移信号。

将采集的时域数据通过FFT变换得到激励频率和激励幅值，将其转化为加速度信号，求出含零刚度区间隔振器上下端振级落差。绘制出含零刚度区间隔振器在振动试验中不同激励频率下的振级落差，如图11所示。

可知，经过了含零刚度区间隔振器后的振动均明显减小，证明了这类非线性隔振器在实际应用中同样具有减振的效果。而即便在筏架模型的固有频率点，经过隔振器后的振级落差仍然为负值，证明本文设计的非线性隔振器在低频范围内的减振效果大幅提升。

5 结　语

针对船用筏架的超低频减振，基于准零刚度原理，提出一种新型含零刚度区间的非线性隔振器。该隔振器主要构件均采用金属材料，与传统隔振器相比，其使用寿命更长，不易老化影响隔振效果。隔振器的正刚度由竖直方向的主弹簧提供，负刚度由3组弹簧-凸轮-滚轮机构提供，主弹簧下方的调距螺母能改变螺母的进给量，可以手动调节设计的隔振器的工作载荷，从而能够实现载荷可调特性。从理论角度给出了含零刚度区间非线性隔振器静、动态特性的分析，并从试验角度进行了验证。结果表明：1）设计含零刚度区间隔振器在力激励下的动态特性曲线均会向右弯曲，在激励频率大于主共振频率后，该隔振系统的隔振性能优于等效线性系统；2）力激励下激励幅值f₀和阻尼比ξ均对隔振器隔振性能有较大影响，在设计含零刚度区间隔振器时，非线性隔振系统的阻尼比应控制在0.03～0.2范围内。3）设备隔振试验验证了该含零刚度区间隔振器在2～16 Hz范围内的小幅值位移激励下具有明显的隔振效果，表明了该隔振器在船舶实际应用中具有超低频隔振性能。