0 引　言

智能船舶已在航运业开始应用，但其发展仍处于初级阶段。实现船舶系统及设备的实时状态评估对于智能船舶的发展至关重要，其可将传统的事后维护、定期维护模式转变为视情维护模式，既可避免船舶重大事故的发生，还可节省人力、物力以及时间^[1]。但由于船舶的特殊性，实现系统或设备的实时状态评估存在较多困难，如运行环境恶劣、数据种类多、数据量巨大以及数据结构非线性等。本文采用的核Fisher判别分析法，是一种统计分析方法，能够根据观测样本的若干数量特征对新获取的样本进行识别和预测，判断其所属类型^[2]。该方法不仅考虑了同一类样本数据的离散度，而且同时考虑了不同类样本数据间的离散程度，只需要更少的维数，就可以得到更精确的识别模型^[3]。同时，该方法引入核函数实现原始数据的升维，将非线性不可分的数据在高维空间中进行线性分割，具有高效、灵活、普适性强等优点。作为一种分类方法，核Fisher判别分析法在医药、图像识别等领域得到广泛应用，但在船舶领域应用较少。于健等^[4]以《地表水环境质量标准》（GB3838–2002）Ⅰ～V类水质标准生成核Fisher判别分析法的训练数据与测试数据，选用高斯核函数，核参数的选取是以测试集分类准确度为衡量标准，建立核Fisher判别分析评价模型。祝芹芹^[5]以集中监测系统采集到的道岔电流曲线为研究对象，深入探究多机牵引道岔的故障诊断技术，提出了一种基于核Fisher的多机牵引道岔故障诊断技术。王鹏等^[6]将Fisher判别分析（FDA）做核推广，形成核Fisher判别分析（KFDA），进一步利用Fisher判别中未提取的非线性信息，通过升维获得更多的非线性分类特征，然后再通过降维来提取利于岩性分类的特征。杨东海等^[7]基于核Fisher判别分析，搭建了高职学生期末考试成绩预测模型，以学生自身特点和平时表现等构成模型输入变量的维度信息，来预测学生是否可以通过期末考试。周欣等^[8]将接收信号的高阶累积量作为分类特征向量，利用核函数的思想把非线性向量映射到一个高维空间，并在高维空间中利用线性Fisher判别分析实现数字信号的分类。基于核Fisher判别分析法的特征，将其应用于船舶系统或设备的状态评估，以中央冷却器为例，利用正常数据和异常数据寻找到最佳投影方向，利用最佳投影方向对过程数据进行投影评估，并将评估结果与实际运行状况进行对比，验证核Fisher判别分析法用于船舶机械设备状态评估的有效性。

1 核Fisher判别分析法原理

核Fisher判别分析是核函数与Fisher判别分析相结合的产物。其中，Fisher判别分析是一种线性降维技术，其目标是找到一个线性变换矩阵来尽可能地分离不同类数据在低维空间的投影，但其通常适用于线性可分的情况。在实际工程中，大多属于非线性可分情况，因此引入核函数，与Fisher判别分析相结合，用以解决实际工程中的非线性数据问题。其原理是先通过一个非线性映射将非线性可分的数据样本映射到一个高维可分的特征空间F，然后在特征空间F中进行线性判别分析，找出使类间散度最大而类内散度最小的投影方向进行分类。其中非线性映射无需考虑映射的具体表达形式，可通过核函数内积运算来实现，可极大地降低核映射后的计算复杂度，避免了“维度灾难”现象^[9]。在核Fisher判别分析的实施过程中，核函数及其参数的选择会对分类性能产生较大影响。

设输入训练样本数为n，分为ω₁和ω₂类，n_i为第i类样本数。令$\varphi$为原始空间到特征空间的映射，若x为原始空间的训练样本，则${\boldsymbol{\varphi}}({\boldsymbol{x}})$可看作特征空间F的训练样本。在特征空间F中，不同数据点之间的类内离散度矩阵为：

${\bf{S}}_{{\bf{w}}}^{{\bf{\varphi}}}=\sum\limits_{\boldsymbol{i}={1},{2}}^{ }\sum\limits_{\boldsymbol{x}\in\boldsymbol{\omegaup_i}}^{ }\left(\mathrm{\varphi}(\boldsymbol{x})-\boldsymbol{m}_{\boldsymbol{i}}^{{\varphi}}\right)\left(\mathrm{\varphi}(\boldsymbol{\boldsymbol{x}})-\boldsymbol{m}_{\boldsymbol{i}}^{{\varphi}}\right)\mathrm{^{\boldsymbol{T}}} 。$

(1)

式中：$\boldsymbol{m}_{{i}}^{\boldsymbol{\varphi}}=\displaystyle\frac{1}{{n_i}}\displaystyle\sum\limits_{{j}=1}^{{n_i}}\varphi(\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{j}}^{\boldsymbol{i}})$。

不同类之间的类间离散度矩阵为：

$\mathrm{\boldsymbol{S}}_{\boldsymbol{b}}^{\varphi}=\left(\boldsymbol{m}_{{1}}^{\varphi}-\boldsymbol{m}_{{2}}^{\varphi}\right)\left(\boldsymbol{m}_{{1}}^{\varphi}-\boldsymbol{m}_{{2}}^{\varphi}\right)^{\bf{T}} 。$

(2)

为实现数据的分类，应使类间散度最大而类内散度最小，即最大化目标函数，在特征空间F中寻找最佳的投影方向w。

$\boldsymbol{J}_{\mathrm{F}}(\boldsymbol{w})=\frac{\boldsymbol{w}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{S}_{\boldsymbol{b}}^{\varphi}\boldsymbol{w}}{\boldsymbol{w}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{S}_{\boldsymbol{w}}^{\varphi}\boldsymbol{w}} 。$

(3)

由再生核理论知，F空间中的任意解w都由F空间中的样本所张成^[10]，即

$\boldsymbol{w}=\sum\limits_{{i}=1}^{{n}}\alpha_i\varphi(\boldsymbol{x_i})，$

(4)

${{\boldsymbol{w}}^{\bf{T}}}\boldsymbol{m}_{\boldsymbol{i}}^{\varphi}=\frac{1}{ {n_i}}\sum\limits_{ {j}=1}^{ {n}}\sum\limits_{ {k}=1}^{ {n_j}}\alpha_j{k}(\boldsymbol{x_j},\boldsymbol{x}\boldsymbol{_k^i})=\boldsymbol{\alpha^{\bf{T}}}\boldsymbol{M_i} 。$

(5)

式中：$\boldsymbol{(M_i)_j}=\dfrac{1}{ {n_i}}\displaystyle\sum\limits_{ {k}=1}^{ {n_i}} {k}(\boldsymbol{x_j,x_k^i})$，${k}(\boldsymbol{x_j,x_k^i})=\varphi^{ {\text T}}(\boldsymbol{x_j})\times\varphi(\boldsymbol{x_k^i})$为内积核函数；α_i为不同样本的权重系数；α为由系数α_i组成的N×1维矩阵。

将式(1)、式(2)、式(5)代入式(3)，式(3)的最大化问题即转化为式(6)的最大化问题。

$\mathop {{ \text{max}}}\limits_\alpha {{J}}({\boldsymbol{\alpha}} ) = \frac{{{{\boldsymbol{\alpha}} ^{\rm {T}}}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol{\alpha}} }}{{{{\boldsymbol{\alpha}} ^{\rm {T}}}{\boldsymbol {N}}{\boldsymbol{\alpha}} }} 。$

(6)

其中，${{\boldsymbol{M}}=({\boldsymbol{M}}_1 - {\boldsymbol{M}}_2)({\boldsymbol{M}}_1 - {\boldsymbol{M}}_2)^{\mathrm{T}}}$；${{\boldsymbol{N}} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1,2}^{ }{\boldsymbol{K}}_i({\boldsymbol{I}}_i - {\boldsymbol{Y}}_i){\boldsymbol{K}}^{\bf{T}}}$，当N为非奇异时，采用正则法对其进行处理；K为n×n由核映射得到的核函数矩阵；Y_i为所有元素均为1/n_i的n_i阶方阵；I_i为n_i阶单位阵。

式(6)的α可通过求解广义特征方程(7)的最大特征值λ所对应的特征向量得，其与最佳投影方向w是等价的，广义特征值λ指示了各个分类之间的分离程度^[11]。

$\boldsymbol{M}\boldsymbol{\alpha}={\lambda}\boldsymbol{N}\boldsymbol{\alpha}。$

(7)

给定一个样本x_n，它在w上的投影值为：

$\mathrm{g}( \boldsymbol{x_n})=\boldsymbol{w}\varphi( \boldsymbol{x_n})=\sum\limits_{{i}=1}^{{n}}\alpha_i{k} \boldsymbol{(x_i,x_n})。$

(8)

将g(x_n)与ω₁和ω₂类样本在w上投影值的均值作比较，即可对样本x_n进行分类判别。

2 船舶中央冷却器状态评估

中央冷却水系统是船舶的重要系统，其中关键设备之一中央冷却器与海水直接接触，受环境影响较大，易发生故障，如污垢沉积、泄漏、堵塞、腐蚀等。故选择中央冷却器作为研究对象，利用核Fisher判别分析法对其运行状态进行评估，验证方法的有效性。

在进行状态评估前，首先需确定所采用的核函数。常见的核函数包括Sigmoid核函数、高斯核函数、线性核函数、指数核函数等，高斯核函数具有非线性映射能力强、计算速度快、可调节性强等优点。因此本文选择高斯核函数：

${K(x,y)={\mathrm{exp}}}\left(-\frac{ \left\| {x-y} \right\| ^2}{2\sigma^2}\right) 。$

(9)

在进行评估前需要对其核参数σ赋值。在高斯核函数中，不同核参数得到的最佳投影方向不同。通常而言，σ越小，分类越严格。为确定合适的σ值，分别取σ为1、5、10、20、30、40进行试验。为了便于观察，利用核Fisher判别分析法对2组随机数据（x,y）进行分类分析。随机数据为二维数据点，无物理含义，如图1所示，分类分析效果如图2所示。

可以看出，当σ较小时，2组数据在最佳投影方向上的投影值存在交叉，即可能存在分类错误；随着σ的增大，2组数据的投影值逐渐分离开，没有交叉，即无分类错误。可以得出，核参数σ较小，分类严格，但在2类数据之间易出现误分类；核参数σ过大，分类宽松，但存在将第3类数据错误地划分到第1类或者第2类的可能性。为了能够直观地展示核Fisher判别分析法的分类效果，同时保证方法的工程应用有效性，本文选择核参数σ为20。

某实验室中央冷却水系统试验台的温度传感器、压力传感器记录了中央冷却器某正常稳定运行时间段内的8个参数，包括海水和低温淡水的进出口温度值以及进出口压力，共50组数据，记为正常数据，序号1～50，各参数随机变化范围如表1所示。

保持热源不变，在中央冷却系统运行较长时间后，中央冷却器换热板之间存在一定积垢，对其进出口的温度、压力都造成一定影响，在该时间段记录中央冷却器8个参数的50组数据，记为异常数据，序号61～110，各参数随机变化范围如表2所示。

通过式(7)、式(8)可求得最佳投影方向，即状态评估模型，以及正常数据和异常数据在最佳投影方向上的投影值，具体如图3所示。可以看出，正常数据和异常数据在特征空间最佳投影方向上的投影值没有交叉，评估模型将2个工况的数据投影值完全分离，即核Fisher判别分析法能够有效地区分正常工况和异常工况，证明了核Fisher判别分析法在实际工程中实现船舶机械设备状态评估的有效性。

在中央冷却系统长时间运行过程中，定期采集中央冷却器的8个参数数据，共10组数据，记为过程数据，序号为51～60，各参数值如表3所示。

通过式(8)求得过程数据数据在最佳投影方向上的投影值，具体如图4所示。可以看到，过程数据逐渐变化，其对应的投影值也是逐步由正常工况向异常工况靠拢，与实际情况相符，进一步证明了核Fisher判别分析法在实际工程中实现船舶机械设备状态评估的有效性。

在实际工程应用中，异常数据的获取较为困难。在系统设备发生某次故障时，可记录故障发生时及前期的数据，结合系统设备正常运行时采集的参数数据，利用核Fisher判别分析法建立评估模型，即最佳投影方向。根据实时运行参数数据在最佳投影方向上投影值的变化趋势来判断系统设备的状态，实现系统设备状态的实时评估，可避免重复性故障再次发生，减少损失。

3 结　语

本文以某实验室中央冷却水系统试验台的中央冷却器为研究对象，基于核Fisher判别分析法，利用其正常数据和异常数据建立评估模型，即最佳投影方向，并用过程数据验证其有效性。评估结果表明，核Fisher判别分析法能够有效地识别中央冷却器正常工况和异常工况，同时能够通过投影值精准地描述过程工况的变化过程。在故障发展的初期，根据运行参数投影值的变化趋势，可判断船舶系统设备状态的发展趋势，为早期发现船舶机械设备的重复性故障提供有效手段，具有重要的工程实际应用价值。