0 引　言

宽带信号携带的目标信息量大、混响背景相关性弱，有利于水下目标检测，因此研究宽带波束形成技术在水下的应用具有重要意义^[1]。波束形成技术作为现阶段宽带鱼雷自导系统中的核心环节，在波束主瓣精度、波束旁瓣抑制、实现手段、稳健抗干扰等方面仍有很大改进空间^[2]。传统恒定主瓣波束响应算法存在空、频域过渡带限制方面表现较差、过度依赖期望响应的选择等诸多问题^{[3 − 4]}，在某些场景下无法满足自导需求。因此，提出最小差异恒定主瓣波束形成算法，它将原优化问题中唯一恒定的期望响应，通过数学转化推导，转变为随具体优化问题可改变的自适应期望响应。通过仿真实验，验证了最小差异恒定主瓣波束形成算法在工程实践中的可行性。

目前自导系统中数字宽带波束形成算法的实现多依赖于DSP芯片，但就并行处理多通道乘及累加操作而言，FPGA更胜一筹。在鱼雷自导系统中用FPGA代替通用DSP芯片，不仅可以发挥二者各自的优势，同时可释放自导系统DSP部分算力资源，缓解算力紧张的现状。本文采用FPGA开发板搭建试验验证平台，设计数字波束形成（Digital Beam-Forming，DBF）系统、实现基于FIR结构的波束形成器，验证所提宽带波束形成方法在工程中的有效性。

1 宽带鱼雷自导波束形成

传统恒定主瓣响应波束形成算法采用分步设计法：首先将工作频带分为若干窄带，用每个窄带的中心频率代表该窄带^[5]。在某一参考频率（不一定是某个子带频率）下，利用某一优化准则来设计期望波束响应。再针对每个子带，在控制旁瓣的条件下，以最小均方主瓣逼近准则设计加权向量$w({f_k})$，即将宽带波束形成器分为子带波束设计和期望FIR滤波器设计两大模块执行，可表述为^[6]：

$\left\{ {\begin{aligned} &{{{\min }_w}\sum\limits_{j = 1}^{{N_{ML}}} {[{\lambda _j}|{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{p}}({\theta _j}) - {{\boldsymbol{B}}_d}({\theta _j}){|^2}]} } ，\\ &{{\text{s.t.}}\ \ |{{\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}{\boldsymbol{p}}({\theta _i})| \leqslant {\xi _{{\text{0}}i}}}，\\ &{{\text{||}}{{\boldsymbol{w}}^2}|| \leqslant {\xi _0}} 。\end{aligned}} \right.$

(1)

式中：${\boldsymbol{p}}({\theta _j})$为主瓣区域阵列向量；${\boldsymbol{p}}({\theta _i})$为旁瓣区域阵列向量；${{\boldsymbol{B}}_d}({\theta _j})$为期望主瓣响应；${\xi _{{\text{0}}i}}$为既定旁瓣值；${\xi _{\text{0}}}$为既定加权范数约束值。该分步设计法在理论上存在一些缺陷：

1）在子带波束设计部分和FIR滤波器设计部分，分别仅对工作频带内的波束旁瓣和滤波器阻带响应进行了一定的约束，而忽略了过渡带区域的旁瓣^[7]。

2）分步设计法无法根据波束图的旁瓣约束值确定FIR滤波器的阻带衰减级。

3）分步设计法仅能保证2个独立凸优化问题获得最优解，综合结果是否全局最优仍待考证^[8]。

4）实际波束形成器的主瓣响应依赖于期望主瓣响应${{B}_d}({\theta _j})$的选择，且该期望主瓣响应${{B}_d}({\theta _j})$一般来说选定后不再更改^[9]。

若在原来确定的期望主瓣响应${B_d}({\theta _j})$中再引入一个频率变量，即期望主瓣响应可由工作频带内任意频率得出，将会增加期望主瓣响应${B_d}({\theta _j})$选择的灵活性，有效遏制上述问题。

定义波束响应误差^[10]：

${\delta _{MS RV}}({f_k},{\theta _j}) = |B({f_k},{\theta _j}) - B({f_0},{\theta _j})| 。$

(2)

式中：${f_k}(k = 1,2, \cdots ,K)$为各子带的中心频率；${\theta _j} \in {\Theta _{ML}}$为主瓣区域。

在宽带波束形成器中可认为，在某一频率下，各通道的复数权值与期望频率响应一致^[11]。则有

${H_{d,m}}({f_k}) = w_m^*({f_k})\exp ({{i2}}{\text π} {f_k}{T_m})。$

(3)

式中：$w_m^*({f_k})$为某通道在某子带处的复加权值；${T_m} = - {{\mathrm{int}}} [{\tau _m}({\theta _0})/T{}_s] \cdot {T_s}$为第$m$阵元的预延迟，可以推导出FIR结构波束形成器在某一频率$f$处的等效加权向量为

${\hat w_m}(f) = conj[{\boldsymbol{h}}_m^{\text{T}}{\boldsymbol{e}}(f)\exp ( - {{i}}2{\text π} f{T_m})]。$

(4)

式中：${\boldsymbol{h}}_m$为该FIR结构滤波器系数，其中：

${{e}}(f) = {[1,\exp ( - {{i2}}{\text π} f{T_s}), \cdots ,\exp ( - {{i2}}{\text π} (L - 1)f{T_s})]^{\text{T}}}。$

(5)

因此，FIR结构波束形成器的波束响应为^[12]：

$\begin{split} B(f,\theta ) &= {{\boldsymbol{\hat w}}^{\text{H}}}(f){\boldsymbol{p}}(f,\theta ) =\\&{{{\{}}{\boldsymbol{e}}(f) \otimes {\text{[}}{\boldsymbol{p}}(f,\theta ) \circ \exp ( - {{i2}}{\text π} f{T_m}){{]\} }}^{\text{T}}}{\boldsymbol{h}} =\\ &{{\boldsymbol{u}}^{\text{T}}}(f,\theta ){\boldsymbol{h}} 。\end{split}$

(6)

则式(2)可变为：

${\delta _{MSRV}}({f_k},{\theta _j}) = |{{\boldsymbol{u}}^{\text{T}}}({f_k},{\theta _j}){\boldsymbol{h}} - {{\boldsymbol{u}}^{\text{T}}}({f_0},{\theta _j}){\boldsymbol{h}}| 。$

(7)

式中：${f_0}$为参考频率，可以取工作频带内的任意频率。

至此传统恒定主瓣响应波束形成算法中确定的期望主瓣响应${B_d}({\theta _j})$完成转型，$B({f_0},{\theta _j})$作为最终求解优化变量${\boldsymbol{h}}$的函数，实现了由确定到自适应的转化。

在引入主瓣空间响应差异后，提出最小差异恒定主瓣FIR波束形成器设计准则，构造旁瓣峰值约束Minimax主瓣差异设计优化问题为：

$\left\{ {\begin{aligned} &{\mathop {\min }\limits_h {{\max }_{k,j}}|{{\boldsymbol{u}}^{\text{T}}}({f_k},{\theta _j}){\boldsymbol{h}} - {{\boldsymbol{u}}^{\text{T}}}({f_0},{\theta _j}){\boldsymbol{h}}|} ，\\ &{{\text{s.t.}}\ \ {{\boldsymbol{u}}^{\text{T}}}({f_0},{\theta _s}){\boldsymbol{h}} = 1} ，\\ &{{{\boldsymbol{u}}^{\text{T}}}({f_k},{\theta _i}){\boldsymbol{h}} \leqslant {\xi _0}}。\end{aligned}} \right.$

(8)

式中：${\theta _s}$为期望指向角度。

以均匀32阵元线列阵，期望指向角度${\text{1}}{{\text{0}}^{\text{o}}}$为例设计FIR恒定主瓣波束形成器。在频域中，设工作频带$[{f_l} = {\text{18}}\ {\mathrm{kHz}}，{f_h} = {\text{30}}\ {\mathrm{kHz}}]$划分为33个子带，采样频率，归一化频带${f_{\text{d}}}$中的工作频带为$[{f_l}/{f_s},{f_h}/{f_s}] = [0.1{\text{2}},0,{\text{20}}]$；空间域中设主瓣区域为$[ - {8^{\text{o}}},{\text{2}}{8^{\text{o}}}]$，旁瓣区域$[-{90}^{\text{o}},-{12}^{\text{o}}]\cup [{\text{32}}^{\text{o}}，{\text{90}}^{\text{o}}]$，且旁瓣峰值控制在−25 dB；通过约束加权范数值在0.1778以下达到稳健性要求。2种波束形成算法结果如图1～图4所示。

由图1可知，传统分步设计实现的FIR波束形成器旁瓣峰值为−22.95 dB，相比设计的波束响应图有所升高，主瓣均方根误差达0.2045 dB。对比图1与图2，优化之后的最小差异恒定主瓣波束形成算法在增加过渡带约束后，频域中在过渡带与工作频带的交界处可实现快速衰减，使过渡带更窄，可认为各工作频带在主瓣中的波束响应完全一致；对比图3与图4，空间域中将旁瓣峰值完全控制−30 dB以下；综合结果如表1所示，就各频带在主瓣中的波束响应而言，相较于分步设计波束形成法的0.2045 dB主瓣均方根误差，最小差异法过渡带与工作频带交接处更陡且主瓣均方根误差为0.0175 dB。

2 FPGA时域波束形成器 2.1 DBF系统结构

FPGA由3部分构成：第一部分是实现01电路的逻辑要素，第二部分是和外部进行信号输入输出的IO要素，第三部分是连接前2个模块的布线要素^[13]。本文采用Xilinx Artix-7系列的FPGA来实现DBF算法，其主要面向低成本、低功耗应用，为广泛中低端市场提供了可编程逻辑解决方案^[14]。具体资源分配如下：DRAM中存储仿真得到的12通道接收信号；DROM作为权值存储器，存储根据最小主瓣差异波束形成算法求得的DBF复数权值；最后将SDROM作为数据结果存储器。在实验中仅验证算法在FPGA中的可行性和稳健性，暂不考虑波束形成前的数据预处理过程。

DBF系统设计^[15]包含4个模块，如图5所示。数据输入模块：接收由仿真得到的12通道信号数据；控制模块：主要发出时钟信号、其他各模块使能信号及复位信号等；15阶FIR滤波器模块：用来存储12通道各滤波器系数并完成卷积运算；数据结果存储模块：存储接收信号通过波束形成器后的结果数据，方便后期与仿真结果对比分析。

传统波束形成器由接收数据与对应的复数权值做累乘累加运算后得到波束输出结果，本文采用高精度的FIR结构来实现波束形成器，结合最小主瓣差异波束形成算法直接求得滤波器系数，在原理上也是将滤波器系数与接收数据进行累乘累加运算，但在实现过程中可简化操作步骤。因此，在存储数据格式相较于传统波束形成器存在一定差异，详见表2和表3。

2.2 DBF各模块设计 2.2.1 数据、滤波器系数输入模块

数据输入模块通过DRAM实现^[16]，用来存储DBF系统的输入信号，即接收的12通道信号和各滤波器的各阶系数，它们存放于不同的RAM中，通过地址线的高两位来决定读取的是接收信号数据还是滤波器系数。当系统复位时，将仿真产生的12通道接收信号加载到DRAM中，计算开始时由时钟信号控制，将数据写入到DBF模块的数据输入模块中。同时，通过控制信号从DRAM中加载各滤波器系数到对应的DBF系统存储模块中。

在实验中设置12通道的接收LFM信号为512个点的离散数据，宽带频率为15～30 kHz，采样率为0.09375 MHz（即3.125×30 kHz），采样周期为10667 ns，输入信噪比为40 dB。测试实验结果如下。

图6为仿真产生的1通道LFM信号，图7为FPGA实际的1通道接收信号，通过对比分析可得：仿真产生的信号与实际接收信号的误差如图8所示，均控制在0.4以内。由图6可知，接收信号的幅值在100以上，误差比正常幅值低3个量级，在可接受范围。其余11个通道与1通道结构一致，数据输入模块设计合理、准确无误，可作为波束形成器的一部分进行实验。

2.2.2 滤波器模块

相较于传统波束形成器通过接收数据与复数权值的乘累加运算^[17]，本文中将复数权值转化为滤波器系数，并在频域中验证了与期望响应一致。因此，将波束形成器的实现转化为滤波器的实现，在FPGA中用滤波器模块代替了传统的复数乘累加模块。虽然滤波过程的本质上也是延时后的乘累加运算，即时域中的卷积运算，但相较于传统的复数乘累加模块，滤波器模块在现行主流FPGA中更方便、更稳定。

图9为基于FPGA的滤波器模块设计流程。首先在System Generator中利用Simulink构建逻辑电路模型、进行系统级仿真、验证；转入SignalCompiler 中将实现模型的RTL级VHDL代码转换；一般还需通过Vivado综合生成的底层网表、约束布线布局及优化设计适配后，根据编译情况决定是否需要进行ModelSim的VHDL仿真，最后生成比特流编程文件并其下载到FPGA硬件平台，计算完成后通过Matlab等软件对输出数据结果做可视化处理与分析。

在Simulink中建立分布式算数（Distributed Arithmetic，DA）FIR滤波器模型，使用DA实现FIR滤波器时，可以直接调用根据最小差异主瓣波束形成算法中求得的滤波器系数使得$x\left[ n \right]$与$w\left[ n \right]$的乘法运算变成与常数相乘的运算。

对于FIR滤波器的表达式：

$\begin{split} y(n) =& \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} w(k)x(n - k) = w(0)x(n) +\\ & w(1)x(n - 1) + \cdots + w(N - 1)x(n - N + 1)。\end{split}$

(9)

式中：$w(0), \cdots w(n - 1)$为预先分配的$N$个FIR滤波器的权值系数。

对于每个采样值$x(n - k)$，可表示为二进制数形式：

$x(n - k) = \sum\limits_{b = 0}^{B - 1} {{x_b}(n - k) \times {2^b}} 。$

(10)

式中：${x_b}(n - k)$为二进制数的每一位；B为所用二进制数的位数。

对于对称系数的FIR滤波器而言，式(9)可表示为

${ y(n) = \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {w(k)x(n - k) = \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {w(k)\sum\limits_{b = 0}^{B - 1} {{x_b}(n - k) \times {2^b}} } }。}$

(11)

更进一步可以得到：

$\begin{aligned} y(n) &= \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {w(k)\sum\limits_{b = 0}^{B - 1} {{x_b}(n - k) \times {2^b}} }=\\ & \left[ {w(0) \cdot {x_{B - 1}}(0) + \cdots + w(N - 1) \cdot {x_{B - 1}}(N - 1)} \right] \cdot {{\text{2}}^{B - 1}} + \cdots =\\ & \left[ {w(0) \cdot {x_{\text{0}}}(0) + \cdots + w(N - 1) \cdot {x_{\text{0}}}(N - 1)} \right] \cdot {{\text{2}}^{\text{0}}} 。\end{aligned}$

(12)

其紧凑型格式为表示为：

$y = \sum\limits_{b = 0}^{B - 1} {{2^b}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {w(k){x_b}(k)}。}$

(13)

通过查找表LUT的映射关系就可以实现式(13)。对于式(13)而言，滤波器各阶系数$w(k)$已知，而${x_b}(k)$的取值为1或0，因此整体可看作是$w(k)$的组合。对于表达式：

${ \begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {w(0) \cdot {x_{B - 1}}(0) + \cdots + w(N - 1) \cdot {x_{B - 1}}(N - 1)} \right]} \end{array} \cdot {{\text{2}}^{B - 1}} 。}$

(14)

乘以2的幂次方不再是移位操作，需要将$x(n)$的不同位进行并置，用于建立一个表，给定所有已知的$w(n)$。

在Simulink中FIR滤波器的DA实现结构如图10所示，DA物理结构如图11所示。

填入低通滤波器系数，验证模型建立正确且通路运行。以300 Hz和5 Hz的叠加输入信号为例，由图12可得模型建立正确且通路运行，后续可根据实际波束形成器需要，填入特定滤波器系数。

根据本文相关滤波器配置需求，设计并调用了如图13所示的FIR IP核，它可根据不同场景需求在FPGA中灵活实现所需FIR滤波器，FIR IP核端口说明见表4。完成FIR IP核相关设计和配置后，将其接入任一接收通道测试滤波性能。

3 FPGA实现DBF系统结果分析

本文采用上述方案，在FPGA信号处理板上实现了12阵元、任意指向波束的通用宽带波束形成器，用Verilog语言实现，在Simulink中通过功能仿真和布局布线仿真后，在测试平台进行测试。

3.1 实验设计

为了尽可能贴合实际工程场景，工作模式如图14所示。

3.2 实验结果对比

图15为单数通道接收数据，图16为双数通道接收数据，通过仿真得到的波束形成输出结果如图17所示。经过实际DBF系统计算、结果数据读取与处理后，得到FPGA计算的波束形成输出结果如图18所示。

通过对比分析，仿真测试与实际实验的波束形成输出结果如图19所示，在数据处理的过程中，由于量化位数不足及FPGA自身特点，难以处理高精度的浮点数运算，产生了可接受的截断误差与量化误差，使得最终对比结果与仿真略有出入，验证所设计系统的可行性和合理性。

4 结　语

为解决传统波束形成器在空、频、时域上的表现不佳及自导系统中DSP算力紧张的问题，本文引入了一种基于二阶锥规划的最小差异恒定主瓣波束形成方法。通过引入滤波器系数${{h}}$，将旁瓣级与FIR滤波器的阻带衰减级联系在一起，将原有固定参考频率处的波束响应修改为某频率处${h}$的函数，因为最终求解的未知数也是${h}$，提出了基于旁瓣峰值约束Minimax主瓣差异的FIR波束形成器设计准则。仿真结果表明，在克服了主瓣参考波束响应的选择后，最小差异恒定主瓣波束响应法可将旁瓣峰值完全控制−30 dB以下，频域中过渡带与工作频带交接处更陡且主瓣均方根误差为0.0175 dB，可认为各工作频带在主瓣中的波束响应完全一致。

基于上述理论分析与仿真结果，本文设计并开展了在FPGA平台上的宽带鱼雷自导波束形成实验。完成DBF系统总体设计、建立DBF系统各模块并单独验证了各模块的准确度和可行性，其中滤波器模块是整个系统的核心，通过建模仿真、RTL级转换及软件综合3个主要过程，保证了滤波器模块稳定运行。最后设计实施通用宽带鱼雷自导波束形成试验，读取并分析处理了试验数据。试验结果表明，实际DBF系统输出结果与仿真波束形成输出结果基本一致，验证了本文所研究通用宽带鱼雷自导波束形成方法及所建立的基于FPGA的DBF系统的有效性和可行性，为后续自导工程实际应用奠定了一定基础。