0 引　言

随着海洋战略向深海迈进，在当今海洋研究与开发中，越来越多地利用水下传感器网络或潜航器采集海洋环境信息和勘探数据，与之相应的是在水面和水下之间跨界面传递控制、导航、数据信息的需求大增，利用水面舰艇平台指挥控制水下传感器网络或无人潜航器进行跨界数据传递和采集，十分具有必要性和紧迫性。作为一种电磁波通信方式，磁通信技术利用近场区的准静态磁场进行通信传输，在跨空水界面通信中受到广泛关注^{[1 − 4]}。与传统的水声通信、激光通信相比，磁通信有着对时变环境敏感度低、不易受多普勒频移影响等特点，在跨空水界面通信中具有独特优势。但是由于磁场分量会随着通信频率和传输距离的增加而急剧衰减，严重限制了磁通信的通信范围^{[5 − 6]}，如何有效处理微弱的磁通信信号成了该技术的关键点所在。

一般地，微弱信号可以通过线性或非线性方法处理改善信噪比。随机共振系统作为一种非线性处理方法，是Benzi等在1981年研究古气象冰川问题时提出的^{[7 − 8]}，该系统中的噪声将作为一种有利的因素用于改善系统的输出信噪比。但受限于绝热近似理论限制，一般的随机共振系统只能处理信号幅度、频率噪声远小于1的小参数信号^[9]。

基于此问题，本文着重研究了一种基于双稳态随机共振的微弱磁通信信号处理方法，介绍了双稳态随机共振模型、经典双稳态随机共振理论以及双稳态随机共振系统的衡量指标；利用互相关系数这一衡量指标研究了参数调节随机共振算法，并进行了2FSK信号的仿真实验，最后对不同信噪比下的信号进行算法验证。

1 双稳态随机共振模型

随机共振描述了一种非线性的物理现象：在非线性双稳态系统中，当非线性系统、噪声及有用信号三者之间达到共振状态时，噪声能量作为系统的一部分，可在共振状态下由无序的噪声能量向有序的信号能量发生转移，进而改善系统的输出信噪比^{[10 − 11]}。双稳态随机共振系统结构如图1所示。

一般地，经典的双稳态随机共振模型可由具有双势阱性质的朗之万方程（Langevin Equation, LE）描述^[9]，其系统方程可表示为：

$ \frac{{{\rm d}x}}{{{\rm d}t}} = ax - b{x^3} + s(t) + n(t)。$

(1)

式中：a、 b为双稳态系统参数；$x$为系统输出信号；$s(t)$为系统输入信号；$n(t)$ 为系统输入噪声。

在输入信号和噪声的共同作用下，系统的输出状态将在双稳态系统的左右2个势阱按照输入信号频率进行震荡，且系统输出信号的幅值远大于输入信号，达到改善输出信噪比的目的^[11]。

在采用朗之万方程方程描述双稳态系统方程并研究双稳态随机共振特性时，最主要的问题在于计算输出信号$x$的各阶矩，但是由于系统为非线性，求解$x$的各阶矩极其困难^[10]。想要研究该数学问题，只能借助于近似的方法进行求解，本文重点研究绝热近似理论^[9]。

在热近似条件下，即信号频率f_c<1、信号幅度A<1、噪声强度D<1时，双稳态系统逐渐达到共振状态的过程可以简单理解为输出信号$x(t)$在左右势阱点${x_ \pm } = \pm \sqrt {a/b} $的2个稳定状态以一定的概率进行周期跃。

在不考虑系统输入信号的情况下，由噪声引发的系统输出信号在2个稳态间的跃迁速率称之为克莱莫斯逃逸速率${R_k}$，且该速率为一常数。

$ {R_k} = \frac{a}{{\sqrt 2 {{\text π} }}}\exp \left( - \frac{{{a^2}}}{{4bD}}\right)。$

(2)

系统输出响应幅度$\overline x $和相位$\varphi $^[12]可进一步表示为：

$ \left\{ \begin{gathered} \overline x = \frac{A}{D}\frac{a}{b}\frac{{{R_k}}}{{\sqrt {R_k^2 + {{{\text π} }^2}f_c^2} }}，\\ \varphi = \arctan \left(\frac{{{{\text π} }{f_c}}}{{{R_k}}}\right)。\\ \end{gathered} \right. $

(3)

将克莱莫斯逃逸速率${R_k}$代入式(3)可得系统输出响应幅度$\overline x $的表达式：

$ \overline x = \displaystyle\frac{A}{D}\displaystyle\frac{a}{b}\displaystyle\frac{1}{{\sqrt {1 + \displaystyle\frac{{2{{{\text π} }^4}f_c^2}}{{{a^2}}}\exp \left(\displaystyle\frac{{{a^2}}}{{2bD}}\right)} }}。$

(4)

经计算可进一步得到系统输出信号的单边功率谱密度^[13]：

${ \begin{aligned}[b] S(\omega ) =& \left[ {1 - \displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{{a^2}{A^2}x_ \pm ^2}}{{{{{\text π} }^2}{D^2}}}{e^{ - 2\Delta U/D}}}}{{\displaystyle\frac{{2{a^2}}}{{{{{\text π} }^2}}}{e^{ - 2\Delta U/D}} + \omega _c^2}}} \right]\left[ {\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{4\sqrt 2 ax_ \pm ^2}}{{{\text π} }}{e^{ - \Delta U/D}}}}{{\displaystyle\frac{{2{a^2}}}{{{{{\text π} }^2}}}{e^{ - 2\Delta U/D}} + {\omega ^2}}}} \right] +\\& \left[ {\displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{2{a^2}{A^2}x_ \pm ^4}}{{{{\text π} }{D^2}}}{e^{ - 2\Delta U/D}}}}{{\displaystyle\frac{{2{a^2}}}{{{{{\text π} }^2}}}{e^{ - 2\Delta U/D}} + \omega _c^2}}} \right]\delta (\omega - {\omega _c}) = {S_n}(\omega ) + {S_s}(\omega )，\end{aligned}} $

(5)

定义双稳态系统输出信噪比$SN{R_{{{\mathrm{out}}}}}$为系统输出信号功率谱密度和噪声功率谱密度之比^[13]，可得系统输出信噪比：

${ S N {R_{{{\mathrm{out}}}}} = \left[ {\displaystyle\frac{{\sqrt 2 a{A^2}x_ \pm ^2}}{{4{D^2}}}{e^{ - \Delta U/D}}} \right]{\left[ {1 - \displaystyle\frac{{\displaystyle\frac{{{a^2}{A^2}x_ \pm ^2}}{{{{{\text π} }^2}{D^2}}}{e^{ - 2\Delta U/D}}}}{{\displaystyle\frac{{2{a^2}}}{{{{{\text π} }^2}}}{e^{ - 2\Delta U/D}} + \omega _c^2}}} \right]^{ - 1}}。} $

(6)

通常情况下，系统输出信号能量在总的能量中占比很小^{[14 − 15]}，式(6)可进一步简化为：

$ \begin{gathered} SN{R_{{{\mathrm{out}}}}} \approx \frac{{\sqrt 2 a{A^2}x_ \pm ^2}}{{4{D^2}}}{e^{ - \Delta U/D}} = \frac{{\sqrt 2 {a^2}{A^2}}}{{4b{D^2}}}{e^{ - \Delta U/D}}。\end{gathered} $

(7)

可知，双稳态系统在噪声和输入信号共同作用下，输出信噪比与输入信号幅值$A$、噪声强度$D$以及系统参数$ a、b $有关。当其他条件不变，噪声强度$D$较小时，${e^{ - \Delta U/D}}$的趋近于0的速度远大于${D^2}$，系统输出信噪比整体趋近于0；反之，当噪声强度$D$较大时，${e^{ - \Delta U/D}}$趋近于1，但是${D^2}$趋近于无穷，系统输出信噪比整体亦趋近于0。由此可知，在绝热近似条件下，噪声强度$D$从$0 \to \infty $变化时，会存在一个最优噪声强度值，使得系统输出信噪比$SN{R_{{{\mathrm{out}}}}}$最大。

2 参数调节随机共振算法

在实际情况中，跨界磁通信所采用的大频率参数输入信号和噪声强度往往都不满足绝热近似理论的系统条件。以绝热近似理论下系统为参考模型，本文采用了调节系统参数a和b的方式，实现对大频率参数信号的处理，以满足跨界磁通信的处理需求。首先，建立一个输入信号频率大于1的大频率参数2FSK信号的双稳态随机共振模型，系统方程为：

$ \frac{{{{\mathrm{d}}}x}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = ax - b{x^3} + {A_0}\sin (2{{\text π} }{\text{max}}{f_n}'t) + n(t) 。$

(8)

对式(8)引入以下参数变换^{[14 − 16]}

$ \left\{ \begin{gathered} y = \sqrt {\frac{b}{a}} x，\\ \tau = at。\\ \end{gathered} \right. $

(9)

将式(9)代入式(8)可得

$ \frac{{{{\mathrm{d}}}y}}{{{{\mathrm{d}}}\tau }} = y - {y^3} + \sqrt {\frac{b}{{{a^3}}}} {A_0}\sin (2{{\text π} }\frac{{\max {f_n}'}}{a}\tau ) + \sqrt {\frac{b}{{{a^3}}}} n(\tau )。$

(10)

经过参数变换后，式(10)的变量前系数实现了归一化，且输入信号频率相对于式(8)在频域上压缩了$1/a$倍。与此同时，输入信号幅值和噪声同比例的缩放了$\sqrt {b/{a^3}} $倍，二式是等价的。因此对于大频率参数信号而言，通过选取较大的系统参数$a$，可以将信号频率等效压缩进低频区域进行处理，即满足

$ {f_{ref}} = \frac{{\max {f_n}'}}{a}。$

(11)

式中：${f_n}'$ 为 2FSK信号的载波频率，n=1, 2；${f_{ref}}$为归一化双稳态系统的参考频率，且满足${f_{ref}} < 0.083$。

其中，双稳态系统方程的求解采用四阶龙格库塔法^[16]求解近似值。

式(11)给出了大频率参数信号与归一化双稳态系统下小频率参数信号的尺度变换关系。可知，系统参数$a$应选取较大的值以满足大频率参数信号的处理需要，而系统参数$b$的选取则没有强制性的限制，可以根据双稳态系统的衡量指标进行自适应调整最佳取值。

针对多频信号或者非周期信号，信噪比这一衡量指标无法准确的进行随机共振系统性能评价。本文采用了归一化功率范数$C$对随机共振系统输出信号质量进行评价^[17]，即

$ C = \frac{{ < [s(t) - \overline {s(t)} ][x(t) - \overline {x(t)} ] > }}{{\sqrt { < {{[s(t) - \overline {s(t)} ]}^2} > < {{[x(t) - \overline {x(t)} ]}^2} > } }}。$

(12)

式中：$s(t)$为系统输入信号；$x(t)$为系统输出信号；$\overline {s(t)} $、$\overline {x(t)} $为输入、输出信号均值；

现定义互相关系数为系统输出归一化功率范数${C_{sx}}$和输入归一化功率范数${C_{sz}}$的比值^[18]，即

$ CI = \frac{{{C_{sx}}}}{{{C_{sz}}}}。$

(13)

式中：${C_{sx}}$为输入信号$s(t)$与输出信号$x(t)$的归一化功率范数；${C_{sz}}$为输入信号$s(t)$与含噪信号$z(t)$的归一化功率范数。

若经过随机共振处理后，$CI$的值大于1，则说明对于含有噪声的微弱信号而言，随机共振系统处理对其有一定的改善作用，且$CI$的值越大，系统输出信号相较于原始的含噪信号改善越明显。

3 算法仿真分析 3.1 系统参数分析

由绝热近似理论可知，输入信号频率对于双稳态系统输出信号有着极其重要的影响，且需要满足${f_c} < < 1$。假设系统参数$a = b = 1$，根据式(4)对不同噪声强度和输入信号频率的情况下，系统输出信号幅值进行定性仿真分析，结果如图2所示。

可知，系统输出信号幅值随着噪声的增大存在一个最优噪声强度值，使得输出信号幅值最大。同时，输入信号频率越大，系统输出信号幅值越小，这说明随着输入信号频率的增大，随机共振现象逐渐消失导致输出信号幅值减小。由此可知，随机共振现象只能被较小频率的输入信号驱动产生，即存在一个理论频率极限值${R_{k\lim }} = {a \mathord{\left/ {\vphantom {a {\sqrt 2 {{\text π} }}}} \right. } {\sqrt 2 {{\text π} }}}$，这表明系统输出信号在左右势阱之间跃迁速度不会超过该极限值${R_{k\lim }}$。这个频率极限值可以通过克莱莫斯逃逸速率${R_k}$解释，且该极限频率值与系统参数$ a、b $有关。当输入信号频率小于输出信号在左右势阱跃迁速率时，双稳态系统才会产生随机共振现象。因此克莱莫斯逃逸速率${R_k}$是制约系统处理大频率信号的关键所在。

选取不同系统参数$ a、b $，仿真大频率信号下克莱莫斯逃逸速率${R_k}$随噪声强度$D$的变化曲线，如图3所示。

由图3(a)可知，当系统参数$b = 1$时，增大参数$a$可以使得系统克莱莫斯逃逸速率极限值${R_{k\lim }}$增大，也就是说增大参数$a$，可以增加双稳态系统处理大频率信号的能力。由图3(b)可知，当系统参数$a = 1$时，系统克莱莫斯逃逸速率极限值${R_{k\lim }}$固定，增大参数$b$可以使得系统克莱莫斯逃逸速率${R_k}$更快逼近极限值${R_{k\lim }}$，减少系统对噪声强度$D$的依赖。

为了解决大频率参数信号处理问题，可以通过适当增大系统参数$ a、b $，使得系统既能满足大频率信号的处理需求，又能尽量降低大噪声强度的要求。针对于不同$ a、b $参数时的大频率参数信号，适当调节系统参数$ a、b $，仿真分析系统输出信号幅值，仿真时系统输入信号频率为${f_c} = 5$ Hz，仿真结果如图4所示。

图4(a)表明，对于大频率参数信号，系统参数$a = b = 1$时随机共振后的输出信号幅值$\overline x $很小，这也说明了绝热近似理论下双稳态系统只能处理小频率参数信号。当参数$ a=50、b=5{\mathrm{E}}3 $时，系统输出信号幅值$\overline x $增加，即系统产生随机共振现象；当参数$ a=1{\mathrm{E}}2、b=5{\mathrm{E}}3 $时，系统输出信号幅值$\overline x $大幅增加，但是系统产生随机共振时的噪声强度相较于$a = 50$时更大。图4(b)表明，参数$a$固定不变时，参数$b$越大，系统产生随机共振时所需的噪声强度值越小，但是输出信号幅值$\overline x $也越小。

以上仿真结果表明，适当增大参数$a$，可以使系统能够处理大频率参数信号，但是产生随机共振时所需的噪声强度过大；适当增加参数$b$，可以减少系统产生随机共振时需要的噪声强度，但是会降低输出信号幅值$\overline x $。

3.2 算法性能分析

在实际应用场景中，跨空水界面磁通信时采用的2FSK信号频率远大于绝热近似理论的要求。按照3.1节参数调节理论，选定一个满足绝热近似理论的小频率信号作为参考频率，按照式(11)选取系统参数$a$使双稳态系统能够处理大频率参数的2FSK信号。在3.1节中通过对公式的仿真得到，增大系统参数$b$可减少系统对噪声强度的依赖，即大的噪声强度时参数$b$的取值相对较小，下面分别取不同信噪比的加噪信号进行仿真验证。

仿真条件设置为：假设系统参数$a = {f_n}'/{f_{ref}} = 1\ 000$，参数$b$从小到大进行搜索以便得到最佳取值；输入信号为幅值$A = 1$，载波频率${f_1} = 10$Hz，${f_2} = 15$Hz，采样频率${f_s} = 3\ 000$ Hz，码元宽度${T_b}$=1 s，传输的码元个数为13个，按照13位巴克码进行扩频编码；噪声强度为${D_1} = 5$、${D_2} = 15.8$、${D_3} = 50$，其可以等效为信噪比$S N {R_1} = {10\lg {A^2}} /{2D}= - 10$ dB、$S N {R_2} = - 15$ dB、$S N {R_3} = { - 20}$ dB的高斯白噪声。

图5(a)为不同信噪比的输入信号，互相关系数$CI$随系统参数$b$的变化曲线。可知，输入信号信噪比分别为−10、−15、−20 dB时，输出互相关系数分别在参数$b$为1.3×10⁷、2.8×10⁶、6.1×10⁵时达到最大值，随机共振系统输出信号效果最好。输入信号信噪比越低时，系统参数$b$的取值越小，且系统对输入波形的改善相对越明显，这与绝热近似理论下仿真结果相符。图5(b)为系统参数$a$取不同值时，不同信噪比下参数$b$最优值的曲线。从图中可更加直观地反映出信噪比和参数$b$的取值关系，且参数$a$的值越大，系统的势垒高度越大，相同信噪比下产生随机共振时的参数$b$也更大。

由图5可知，信噪比为−10 dB时，通过从小到大搜索参数$b$，系统输入输出信号互相关系数$CI$在参数$b = 1.3 \times {10^7}$时存在一个最大值2.93，这表明双稳态系统对于输出信号处理效果最好，即随机共振现象最为明显。系统参数$b = 1.3 \times {10^7}$，噪声强度为SNR=−10 dB，其他仿真条件设置不变时，2FSK信号时域、频域仿真结果见图6。

图6(a)为未加噪声的原始局部波形；图6(b)为加入高斯白噪声的双稳态系统输入信号波形；图6(c)为经过双稳态系统随机共振处理后的输出信号波形，且信号幅值${A_x}$相较于输入信号幅值A缩小$\sqrt {b/{a^3}} $倍；图6(d)为随机共振处理后的输出信号频谱。从图中可以看出，大频率参数2FSK信号经过参数调节后的双稳态随机共振系统处理后，信号波形及输出信噪比有了明显的提升。

经随机共振处理后的2FSK信号，首先采用2个中心频率分别为${f_1}$和${f_2}$的带通滤波器滤波；然后经过包络检波器分别取包络，二者相减得到2FSK信号的完整包络；最后利用巴克码的相关性，取13位巴克码作为参考信号与信号包络做互相关处理，并根据互相关峰进行码判决、恢复，仿真结果如图7所示。

图7(a)为随机共振处理后的波形；图7(b)为接收信号经过随机共振处理后解调得到的信号包络；图7(c)为信号包络与13位巴克码互相关运算得到的相关峰；图7(d)为对相关峰进行判决恢复得到的发射信息，可以看到恢复得到的信息为完整的13位巴克码。仿真结果表明，低信噪比下的2FSK信号经过双稳态系统随机共振处理后，再进行解调解扩并判决，可准确恢复信息。

对不同信噪比下的2FSK信号进行算法仿真验证，分别经过随机共振处理和未经过随机共振处理，并解调解扩判决恢复发射信息，绘制出误码率曲线见图8。

可知，相同信噪比下的2FSK信号，经过随机共振处理后的误码率远小于未经随机共振处理的处理结果。若以10⁻²的误码率为判决标准，经随机共振和相关接收处理的方法可处理最低信噪比为−24 dB的2FSK信号，优于未经随机共振处理的方法5～7 dB。通过以上仿真结果可知，经过尺度变换后的参数调节随机共振克服了绝热近似理论的小参数条件限制，可以有效处理大频率参数2FSK信号，且相较于直接进行解调、解扩判决的处理方法，对低信噪比磁通信信号的处理性能有着显著提升。

4 结　语

本文利用双稳态随机共振系统模型，对跨空水界面磁通信中的微弱磁通信信号处理进行研究，仿真了系统参数与输出信号的关系，借助于互相关系数这一系统衡量指标研究了参数调节随机共振算法，并进行了不同信噪比条件下2FSK信号的误码率仿真分析，结果表明，相比未经随机共振处理的方法，采用参数调节随机共振结合相关接收方法可获得5～7dB的信噪比增益，能够有效完成低信噪比条件下的2FSK信号处理，也可用于其他场景下的微弱信号处理，例如复杂海况下的舰船辐射噪声处理、水下目标检测等。此外，算法信噪比增益与发射信号的编码方式与抗干扰手段也密切相关。随着跨界通信系统的应用范围和需求逐步扩大，可针对通信距离和传输速率等指标，研究有效的信号编码方式以及抗干扰方式，进一步提高水面舰船与潜艇或自主水下机器人的跨空水界面磁通信的实用性。