0 引　言

船用起重机作为海洋工程领域的核心装备之一被广泛应用于海上吊装作业，如风电叶片安装、舰船补给和转运等，由于船舶在海上受到非线性激励的作用下会产生吊重的摆动及起重机的摇晃，在进行吊装作业时往往会对现场作业人员和船舶甲板设备的安全造成威胁^[1]。

在实际工程应用中，经常会遇到船用起重机对细长杆件类的吊重进行单点起吊作业的情况，主要包括以下方面：1）风电设备安装。在海上风力发电场的建设中，需要船用起重机等设备将风电叶片这类细长结构物从陆上或船上吊装到指定位置。2）舰船物资补给。在物资转运的过程中，需要经常将管道、钢板等细长杆件类结构物从陆上吊装到船上安装，或将细长杆件类结构物从一个位置移动到另外一个指定位置。3）海工模块吊装。在海上进行海工模块装卸作业时，常见的任务是将细长杆结构从岸上吊装到平台安装位置，以确保模块的准确定位和稳定连接。在这些过程中存在一大难点，单点起吊作业的过程依赖于细长杆件与地面接触的条件，如果细长杆件与地面的摩擦力约束不足的情况下，在起吊过程中随着摩擦力的减小则会导致细长杆件发生侧向的滑动，这种不确定因素使得海上细长杆件起吊作业过程变得十分困难。

海上细长杆件单点起吊的一种典型的情况为：细长杆件平放在地面上，在起吊过程中细长杆件的一端与地面接触，另一端与船用起重机吊索连接，细长杆件需要从水平方向旋转90°到竖直方向来完成起吊作业，但是如果工作人员不能控制吊臂的变幅与吊索的起升速度，那么吊索相对于垂直方向便会发生倾斜，这也是导致细长杆件与地面间发生滑动的主要原因，往往会导致不安全的情况发生。因此，吊装作业需要工作人员控制起重机的变幅角度和吊索的收放速度，使得船用起重机的吊臂头始终处于吊钩正上方的一定范围内，这对工作人员操作熟练度有着很高的要求。

目前，国内外研究人员针对此类问题进行了大量研究，但是对于船用起重机吊重摆动的问题，现有研究大多数集中在吊重离开地面后摆动抑制的问题，而对于吊重尚未离开地面时起吊过程的分析还相对较少。对于双摆系统，王辉堤等^[2]提出一种光滑整形与自抗扰相结合的控制方法来抑制桥式起重机的双摆摆动，通过仿真验证了其所提方法的优越性和抗扰性。Sun等^{[3 − 5]}针对欠驱动系统的起重机双摆摆动效应的问题，提出了输出反馈控制和非线性PID控制等多种控制方法，并通过一系列实验验证了所提出控制方法的有效性。欧阳慧珉等^[6]针对旋臂式起重机的双摆抑制设计了一种变阻尼的滑模控制算法，解决了旋臂的精确定位和双摆抑制问题。Singhose等^[7]在单摆模型的基础上，提出了一种输入整形技术来抑制吊重摆动的方法，并有效消除了双摆引起的载荷残余摆动。对于细长杆件类载荷，孙茂凱等^[8]在机械式防摆装置的基础上，提出了一种针对细长杆件的多柔索并联驱动的防摆系统，将细长杆件简化为多柔索约束二级摆进行建模，并通过仿真和实验验证了防摆装置的有效性。Garcia等^{[9 − 10]}分析了起重机载荷在吊离地面时所产生的侧向摆动问题，建立了二维和三维偏心起吊控制模型并进行实验研究，结果验证了该模型的准确性。Peng等^[11]在起重机偏心起吊控制问题的基础上，提出了一种细长杆件铺放操作的运动控制方法并建立了铺放过程的运动轨迹模型，通过实验结果验证了铺放过程建模的准确性。Wang等^{[12 − 13]}将细长杆件起吊过程分为受约束和自由悬挂2个阶段，对受约束阶段进行了详细的动力学建模，分析其作业过程中工作空间范围问题保证起吊作业过程的安全性，同时开发了一种PID和速度包络相结合的控制方法防止细长杆件的滑动，在自由悬挂阶段提出了基于观测器的LQR控制策略抑制双摆的摆动，通过对起吊全过程进行实验分析，验证了模型的准确性及控制方法的鲁棒性。然而在现有的国内外研究中，针对船舶动基座激励下船用起重机对细长杆件类结构物进行单点起吊过程的问题研究还相对较少。

近年来，随着国际形势的变化，海上重要物资转运、海底管道铺设、海上风电安装等作业愈加频繁，针对这些海上细长杆件类结构物的吊装作业通常危险性高，作业效率低，减摇难度大。因此本文针对海上细长杆件的单点起吊作业过程进行了动力学模型的建立和分析，并研究了吊装作业过程中细长杆件不发生滑动的安全工作空间范围，通过实验得到不发生滑动的最小摩擦系数。研究结果为海上细长杆件类结构物吊装提供了一定的理论基础，同时对实际工程应用中的安全作业、路径规划及细长杆件类结构物吊装过程中相关控制策略的研究提供一定的参考价值。

1 静力学分析 1.1 静力学模型

在海上细长杆件单点起吊的过程中，由于船舶和起重机的运动存在大量的外界扰动，如风载荷、起重机及吊索振动等因素，对模型建立的准确性有很大影响。因此为使模型的建立具有普适性，能正确描述海上细长杆件单点起吊的一般规律，本文作出如下假设：忽略风载荷及空气阻尼；吊索质量忽略不计且无弹性形变；起重机吊臂为刚体且无形变；忽略起重机运行过程中及钢丝绳在吊点处的摩擦；将吊钩视作空间内无质量的质点。

如果忽略船舶的运动且吊索的提升速度十分缓慢，那么整个过程可以看作为一个准静态的过程，海上细长杆件起吊过程的模型如图1所示。其中，D点为吊臂头位置，P点为吊钩位置，G点为细长杆件质心位置，O点为细长杆件与地面的接触点，L_PD为吊索的长度，L_OP为细长杆件的长度，$\theta$为细长杆件与地面间的夹角，$\phi$为吊索与水平方向的夹角。

假设细长杆件、吊索和起重机吊臂均在一个平面内，细长杆件与地面接触点O点静止无滑动，细长杆件长度L_OP为定值，吊索长度L_PD、起重机吊臂头位置D点与细长杆件与地面接触点的水平距离x_OD和垂直距离z_OD均为随时间变化的函数，使用$\theta$与$\phi$两个角度对受约束阶段细长杆件起吊过程进行分析，其中$\theta \in \left[ {0,{\text π} /2} \right)$，$\phi \in \left( {0,{\text π} } \right)$。

细长杆件的受力如图2所示，假设细长杆件质量均匀，有4个力作用在有效载荷上，沿吊索方向的张力T，作用在质心G点的重力mg，作用在细长杆件与地面接触点O的支持力N和细长杆件与地面间的摩擦力f。

对x方向和z方向上的力求和，并对关于O点的力矩求和，可得到：

$T\cos \phi + f = 0，$

(1)

$T\sin \phi + N - mg = 0 ，$

(2)

$f = - \frac{{mg\cos \theta \cos \phi }}{{2\sin \left( {\phi - \theta } \right)}} 。$

(3)

求解(1)～式(3)，可以得到：

$T = \frac{{mg\cos \theta }}{{2\sin \left( {\phi - \theta } \right)}}，$

(4)

$N = mg\frac{{\sin \phi \cos \theta - 2\cos \phi \sin \theta }}{{2\sin \left( {\phi - \theta } \right)}}，$

(5)

$f = - \frac{{mg\cos \theta \cos \phi }}{{2\sin \left( {\phi - \theta } \right)}} 。$

(6)

在细长杆件起吊过程中，由于静摩擦系数有限，会发生细长杆件滑动的情况，严重威胁甲板和作业人员的安全。有限的静摩擦系数对最小静摩擦系数具有限制作用，即：

${\mu _{\min }} = \left| {\frac{f}{N}} \right| \leqslant {\mu _{{\text{static}}}} 。$

(7)

式中：${\mu _{\min }}$为防止滑动的最小摩擦系数，${\mu _{{\text{static}}}}$为静摩擦系数。

将式(5)和式(6)代入式(7)可以得到${\mu _{\min }}$、$\theta$和$\phi$之间的关系：

${\mu _{\min }} = \left| {\frac{1}{{\tan \phi - 2\tan \theta }}} \right| \leqslant {\mu _{{\text{static}}}} 。$

(8)

可以看出，${\mu _{\min }}$仅与$\theta$和$\phi$有关，只有当${\mu _{\min }}$=${\mu _{{\text{static}}}}$时，细长杆件才会发生滑动。

1.2 工作空间分析

由于细长杆件与地面接触受到摩擦力f的限制，除了摩擦力的限制条件外，还有另外2个重要限制条件：细长杆件必须始终与地面保持接触，即支持力$N \geqslant 0$，另一个限制条件为吊索必须时刻保持张紧状态，即吊索拉力$T \geqslant 0$。由式(4)可知，为满足$T \geqslant 0$必须令$\phi > \theta$；由式(5)可知，为满足$N \geqslant 0$必须令$\tan \phi - 2\tan \theta \geqslant 0$。因此得到细长杆件单点起吊过程的工作空间如图3所示。

在图3中，在区域①内，N、f、T、均大于0；在区域②内，N和T大于0，f小于0；在区域③内，T大于0；N和f小于0，在区域④内，N和f大于0，T小于0。由先前的限制条件可知，只有①和②是在限制条件允许范围内的可行工作空间，在2个区域内，细长杆件起吊过程的安全工作空间进一步的受到静摩擦系数的限制。

假设细长杆件质量分布均匀，根据式(8)可以得到${\mu _{\min }}$与$\theta$和$\phi$之间的关系，其三维图像如图4所示。可以看出，当$\theta$和$\phi$的组合接近$\tan \phi - 2\tan \theta = 0$时，摩擦系数${\mu _{\min }}$趋于无穷大，当$\theta$较小且$\phi$较大时，${\mu _{\min }}$也有较大的增加。

不同摩擦系数条件下细长杆件起吊作业的安全工作空间范围如图5所示。各等值线表示最小静摩擦系数下细长杆件发生滑动的边界，边界线所包围的区域为细长杆件起吊作业的安全工作空间，可以看出，不发生滑动的区域范围随摩擦系数的增加而变大。

2 动力学分析 2.1 动力学模型

海上细长杆件起吊过程的动力学模型如图6所示，其中D、P、G、O、$\phi$、$\theta$、L_PD和L_OP的含义与静力学分析中相同。L_O2D为起重机吊臂长度，x₀y₀z₀为惯性坐标系，x₁y₁z₁为船舶坐标系，x₂y₂z₂为起重机坐标系。${\theta _{1x}}$为船舶纵摇角度，${\theta _{1y}}$为船舶横摇角度，${\theta _{2y}}$为起重机吊臂变幅角度，${\theta _{2z}}$为起重机吊臂的回转角度。

假设细长杆件、吊索和起重机吊臂均在一个平面内，定义${}^0{P_D} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_D}}&{{y_D}}&{{z_D}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$为D点在x₀y₀z₀中的坐标，L_PD为D到P的空间距离。

通过图6可以得到D点在x₂y₂z₂中的坐标：

${}^2{P_D} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{L_{{O_2}D}}\cos {\theta _{2y}}}&0&{{L_{{O_2}D}}\sin {\theta _{2y}}} \end{array}} \right]^{\rm T}} 。$

(9)

定义${R_x}$、${R_y}$和${R_z}$分别为绕x轴、y轴和z轴的旋转矩阵，分别表示为：

${\begin{split} &{R_x} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {\cos {\theta _x}} & {\sin {\theta _x}} \\ 0 & { - \sin {\theta _x}} & {\cos {\theta _x}} \end{array}} \right],\;\;{R_y} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\theta _y}} & 0 & { - \sin {\theta _y}} \\ 0 & 1 & 0 \\ {\sin {\theta _y}} & 0 & {\cos {\theta _y}} \end{array}} \right],\\ &{R_z} =\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {\theta _z}} & {\sin {\theta _z}} & 0 \\ { - \sin {\theta _z}} & {\cos {\theta _z}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}} \right]。\end{split}}$

(10)

定义${}_n^mR$为从x_ny_nz_n到x_my_mz_m的旋转矩阵，从船舶坐标系和起重机坐标系到惯性坐标系的旋转矩阵为：

${}_0^1R = {R_x}\left( {{\theta _{1x}}} \right){R_y}\left( {{\theta _{1y}}} \right)，$

(11)

${}_0^2R = {R_x}\left( {{\theta _{1x}}} \right){R_y}\left( {{\theta _{1y}}} \right){R_z}\left( {{\theta _{2z}}} \right)。$

(12)

由式(9)～式(12)可求得D点在惯性系的坐标：

${}^0{P_D} = {}^0{P_1} + {}_0^1{R^{\rm T}}{}^1{P_2} + {}_0^2{R^{\rm T}}{}^2{P_D}。$

(13)

式中：${}^0{P_1} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0 \end{array}} \right]^{\rm T}}$为O₁在x₀y₀z₀中的坐标；${}^1{P_2} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{L_x}}&{{L_y}}&{{L_z}} \end{array}} \right]^{\rm T}}$为O₂在x₁y₁z₁中的坐标，通过求解式(13)可以得到x_D、y_D和z_D的表达式：

$\begin{split} {x_D} = &{L_x}\cos {\theta _{1y}} + {L_{{O_2}D}}\cos {\theta _{1y}}\cos {\theta _{2y}}\cos {\theta _{2z}}+ \\ & {L_y}\cos {\theta _{1x}}\sin {\theta _{1y}} + {L_z}\cos {\theta _{1x}}\sin {\theta _{1y}} + {L_{{O_2}D}}\sin {\theta _{2y}} \times \\ &\left( {\cos {\theta _{1x}}\cos {\theta _{2z}}\sin {\theta _{1y}} \sin {\theta _{1x}}\sin {\theta _{2z}}} \right) ，\\[-10pt] \end{split}$

(14)

$\begin{split} & {y _D} = {L_y} \cos {\theta _{1x}} - {L_z} \sin {\theta _{1 x}} + {L_{{O_2}D}} \cos {\theta _{1 y}} \cos {\theta _{2 y}} \sin {\theta _{2 z}} + \\ &{L_{{O_2}D}}\sin {\theta _{2 y}}\left( {\cos {\theta _{1 x}}\sin {\theta _{1 y}}\sin {\theta _{2z}} - \cos {\theta _{2 z}}\sin {\theta _{1 x}}} \right) ，\end{split}$

(15)

$\begin{split} {z_D} = & {L_y} \cos {\theta _{1 x}} \cos {\theta _{1 y}} + {L_z} \cos {\theta _{1 x}} \cos {\theta _{1 y}} - {L_x} \sin {\theta _{1 y}} - \\ & {L_{{O_2}D}}\left( {\cos {\theta _{2y}}\sin {\theta _{1y}} - \cos {\theta _{1x}}\cos {\theta _{1y}}\sin {\theta _{2y}}} \right)。\end{split}$

(16)

定义O点在x₀y₀z₀中的坐标为${}^0{P_O} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_O}}& {{y_O}}& {{z_O}} \end{array}} \right]^{\rm T}}$，可得到P点在x₀y₀z₀中的坐标为：

${}^0{P_P} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_O} + {L_{OP}}\sin \theta }&{{y_O}}&{{z_O} + {L_{OP}}\cos \theta } \end{array}} \right]^{\rm T}}，$

(17)

由式(14)和式(16)可得：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{OD}} = {x_D} - {x_O}}，\\ {{z_{OD}} = {z_D} - {z_O}} 。\end{array}} \right.$

(18)

假设吊索在起吊过程中始终处于张紧状态，那么吊索的长度L_PD就是P到D的空间距离：

${L_{PD}} = \sqrt {{{\left( {{x_P} - {x_D}} \right)}^2} + {{\left( {{y_P} - {y_D}} \right)}^2} + {{\left( {{z_P} - {z_D}} \right)}^2}} 。$

(19)

由图6，可以得到以下几何关系：

3.2不同提升速度下安全工作空间

对式(20)求导，可得：

${\dot \theta = - \dfrac{{{{\dot L}_{PD}}}}{{{L_{OP}}}}\dfrac{1}{{\sin \left( {\phi - \theta } \right)}} + \dfrac{{{{\dot z}_{OD}}}}{{{L_{OP}}}}\dfrac{{\sin \phi }}{{\sin \left( {\phi - \theta } \right)}} + \dfrac{{{{\dot x}_{OD}}}}{{{L_{OP}}}}\dfrac{{\cos \phi }}{{\sin \left( {\phi - \theta } \right)}} ，}$

(21)

${ \dot \phi = \dfrac{{{{\dot L}_{PD}}}}{{{L_{PD}}}}\dfrac{{\cos \left( {\phi - \theta } \right)}}{{\sin \left( {\phi - \theta } \right)}} - \dfrac{{{{\dot z}_{OD}}}}{{{L_{PD}}}}\dfrac{{\sin \theta }}{{\sin \left( {\phi - \theta } \right)}} - \dfrac{{{{\dot x}_{OD}}}}{{{L_{PD}}}}\dfrac{{\cos \theta }}{{\sin \left( {\phi - \theta } \right)}} 。}$

(22)

假设吊索匀速提升，即${\dot L_{PD}}$为常数，对式(21)求导，可得：

${ \ddot \theta =\dfrac{ \left( \begin{gathered} {{\ddot z}_{OD}}\sin \phi {\sin ^2}\left( {\phi - \theta } \right) + {{\ddot x}_{OD}}\cos \phi {\sin ^2}\left( {\phi - \theta } \right) +\\ {{\dot L}_{PD}}^2\left( {\cos \left( {\phi - \theta } \right) + {{\cos }^2}\left( {\phi - \theta } \right)/{L_{PD}}} \right) - \\ 2{{\dot L}_{PD}}{{\dot x}_{OD}}\left( {\cos \phi \cos \left( {\phi - \theta } \right) + \cos \theta \cos \left( {\phi - \theta } \right)/{L_{PD}}} \right) -\\ 2{{\dot z}_{OD}}{{\dot L}_{PD}}\left( {\sin \phi \cos \left( {\phi - \theta } \right) + \sin \theta \cos \left( {\phi - \theta } \right)/{L_{PD}}} \right) +\\ 2{{\dot z}_{OD}}{{\dot x}_{OD}}\left( {\sin \phi \cos \phi \cos \left( {\phi - \theta } \right) + \sin \theta \cos \theta /{L_{PD}}} \right) \\ \end{gathered} \right)}{{L_{OP}}{\sin ^3}\left( {\phi - \theta } \right)}。}$

(23)

O点到细长杆件质心G的位置矢量为${r_{OG}} = \dfrac{{{L_{OP}}}}{2} ( \cos \theta i + sin\theta j )$，并求二阶导可得G点的加速度：

${a_G} = \frac{{{L_{OP}}}}{2}\left( \begin{gathered} \left( { - \ddot \theta \sin \theta - {{\dot \theta }^2}\cos \theta } \right)i \\ + \left( {\ddot \theta \cos \theta - {{\dot \theta }^2}\sin \theta } \right)j \\ \end{gathered} \right)。$

(24)

对$i$、$j$方向上的力求和，并对O点的力矩求和（定义$\theta$在逆时针方向为正），可得：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {T\cos \phi + f = \dfrac{1}{2}m{L_{OP}}\left( { - \ddot \theta \sin \theta - {{\dot \theta }^2}\cos \theta } \right)} ，\\ {T\sin \phi + N - mg = \dfrac{1}{2}m{L_{OP}}\left( {\ddot \theta \cos \theta - {{\dot \theta }^2}\sin \theta } \right)} ，\\ {T{L_{OP}}\sin \left( {\phi - \theta } \right) - \dfrac{1}{2}mg{L_{OP}}\cos \theta = I\ddot \theta } 。\end{array}} \right.$

(25)

式中：$I = \dfrac{1}{3}m{L_{OP}}^2$为细长杆件绕O点的惯性矩。

由式(25)可求得动力学模型中的作用力为：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {T = \dfrac{{mg\cos \theta }}{{2\sin \left( {\phi - \theta } \right)}} + \dfrac{{m\ddot \theta }}{{3\sin \left( {\phi - \theta } \right)}}} ，\\ {N = mg - T\sin \phi + \dfrac{1}{2}m{L_{OP}}\left( {\ddot \theta \cos \theta - {{\dot \theta }^2}\sin \theta } \right)}，\\ {f = - T\cos \phi - \dfrac{1}{2}m{L_{OP}}\left( {\ddot \theta \sin \theta + {{\dot \theta }^2}\cos \theta } \right)} 。\end{array}} \right.$

(26)

与静力学分析中的限制条件相同，如式(7)所示，为满足动力学模型的可行性，需满足$T > 0$且$N > 0$，则对于细长杆件起吊过程中不发生滑动必须满足的最终条件为：

${\mu _{\min }} = \left| {\frac{f}{N}} \right| \leqslant {\mu _{{\text{static}}}} 。$

(27)

综上，式(27)为海上细长杆件单点起吊过程的动力学模型，且仅在细长杆件不发生滑动时成立。

2.2 摩擦系数计算

由式(8)可知，静态摩擦力只与$\theta$和$\phi$有关，如果细长杆件起吊的过程足够慢，而可以将起吊过程视为一个准静态的过程，当细长杆件发生滑动时，最小摩擦系数${\mu _{\min }}$等于静摩擦系数${\mu _{{\text{static}}}}$。计算静摩擦系数的方法如图7所示，在吊索上设置2个标记点M₁和M₂，在细长杆件上设置2个标记点M₃和M₄。

实验过程使用相机对细长杆件起吊过程进行记录，并使用Matlab图像识别程序进行标记点位置的计算分析，实验过程设置如图8和图9所示。

为简单起见，假设标记点与地面接触点之间的距离可忽略不计，标记点M₁的坐标记录为$\left( {{M_{1x}},{M_{1y}}} \right)$，同理可得到M₂、M₃和M₄的坐标，进一步可以得到：

$\tan \theta = \left| {\frac{{{M_{3y}} - {M_{4y}}}}{{{M_{3x}} - {M_{4x}}}}} \right| ，$

(28)

$\tan \phi = - \left| {\frac{{{M_{1y}} - {M_{2y}}}}{{{M_{1x}} - {M_{2x}}}}} \right| 。$

(29)

由式(28)和式(29)可以计算出起吊过程中的$\theta$和$\phi$变化情况，从而计算出${\mu _{\min }}$的大小，在细长杆件发生滑动的时刻记录此时$\theta$和$\phi$的大小，经过计算得出的最小摩擦系数${\mu _{\min }}$即为静摩擦系数${\mu _{{\text{static}}}}$，实验参数设置如表1所示。

通过多次实验测量发生滑动时$\theta$和$\phi$的大小，通过式(8)、式(28)和式(29)计算得到本文实际的静摩擦系数${\mu _{{\text{static}}}}$平均值约为0.358。

3 安全工作空间分析 3.1 不同摩擦系数下安全工作空间

在动力学分析中，由式(27)可知，只有当最小摩擦系数${\dot L_{PD}} = 0.15$等于静摩擦系数${\theta _{1y}} = 3\sin \left( {{{{\text π} t} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text π} t} 3}} \right. } 3}} \right)$时，细长杆件才会发生滑动。假设细长杆件质量分布均匀，${\theta _{1y}} = 2.5\sin \left( {{{{\text π} t} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text π} t} 8}} \right. } 8}} \right)$，${\theta _{1x}} = 0$m/s，$N = 0$m，的条件下，不同静摩擦系数条件下海上细长杆件单点起吊过程不发生滑动的安全工作空间范围如图10所示。其中，实线为$N = 0$的边界，虚线为细长杆件发生滑动的边界线，点标记的区域为安全工作空间的范围。可以看出，随着静摩擦系数的增加，海上细长杆件单点起吊过程的安全工作空间范围也随之增加。

同样的，通过动力学分析，不同静摩擦系数条件下，海上细长杆件单点起吊作业过程细长杆件发生滑动的边界如图11所示，将图11中细长杆件发生滑动的边界线与图5中细长杆件发生滑动的边界线进行对比，可以看出，在动态情况下细长杆件的安全工作空间范围比静态情况下细长杆件的安全工作空间范围要小很多。

3.2 不同提升速度下安全工作空间

假设细长杆件质量分布均匀，${\mu _s} = 0.4$m，${\theta _{1y}} = 2.5\sin \left( {{{{\text π} t} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text π} t} 8}} \right. } 8}} \right)$，${\theta _{1y}} = 3\sin \left( {{{{\text π} t} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text π} t} 3}} \right. } 3}} \right)$，不同提升速度情况下细长杆件不发生滑动的区域如图12所示。其中实线为$N = 0$的曲线，虚线为细长杆件发生滑动的边界线，点标记的区域为安全工作空间的范围。可以看出，随着吊索提升速度的增加，海上细长杆件单点起吊过程的安全工作空间范围逐渐减小。

但值得注意的是，在图12(b)和图12(c)中，在细长杆件安全工作空间的范围内，当$\phi$相对$\theta$较大时，存在着一个细长杆件会发生滑动的区域。而这个区域的存在，对于一定吊索提升速度的条件下对海上细长杆件单点起吊作业是否会发生滑动的预测分析变得较为复杂且具有不确定性。

3.3 不同船舶运动下安全工作空间

船舶在海上受到横摇、纵摇等激励的耦合作用，不同海况下船舶运动的部分参数如表2所示，其中船舶横摇、纵摇运动均用正弦曲线代表。

在实际的生产应用中，为方便船用起重机的海上吊装作业，通常情况下大部分的起重机都安装在甲板一侧，船用起重机受到横摇激励的扰动远大于纵摇激励的扰动，因此本文中忽略纵摇激励的情况，只考虑对起吊过程影响最大的横摇激励。表2给出不同海况下的船舶运动参数，船舶横摇角度${\theta _{1y}}$的曲线如图13所示。

假设细长杆件质量分布均匀，${\mu _s} = 0.4$ m/s，${\dot L_{PD}} = 0.15$ m，$N = 0$的条件下，海上细长杆件单点起吊过程不发生滑动的安全工作空间范围如图14所示。其中，实线为$N = 0$的边界，点划线为$\phi - \theta = {\text π} /2$的曲线，虚线为细长杆件发生滑动的边界线，点标记的区域为安全工作空间的范围。可以看出，随着海况等级的增加，海上细长杆件单点起吊过程的安全工作空间范围也有着较为明显减少，这是由于船舶运动会影响x_OD和z_OD的变化从而导致吊索拉力的变化，进一步使得最小摩擦系数发生变化。因此在进行海上细长杆件吊装作业时，较小的海况可以提升起吊过程的安全性和稳定性。

3.4 结果分析

通过静力学和动力学对海上细长杆件单点起吊作业的过程进行分析，得到了细长杆件在单点起吊过程中发生滑动边界以及不同参数对细长杆件安全工作空间范围的影响的分析，可以得出：

1）静力学分析的结果表明，细长杆件发生滑动只与静摩擦系数${\mu _{{\text{static}}}}$有关，而在动力学分析中，随着摩擦系数的增大，安全工作空间范围增大，静力学与动力学分析之间细长杆件发生滑动的边界逐渐靠近。

2）在一些特定的条件下，细长杆件不发生滑动的区域内会出现一个发生滑动的区域，而在这样的情况下，由于这个区域的存在可能会导致细长杆件的起吊作业失败，造成严重的损害和危险，因此很难对起吊过程有一个准确的预测。

3）在以上的分析中，都有一个假设条件是起重机的姿态是固定的，通过图10、图12和图14可以看出，在绝大多数的情况下，当$\phi = 90^\circ$接近$\phi$时都是防止细长杆件发生滑动的最佳角度，因此在实际作业时通常需要起重机操作人员控制起重机姿态，使吊臂头保持在细长杆件与吊钩正上方，使$\phi$接近${\text π} /2$附近。

4 结　语

本文对海上细长杆件单点起吊问题进行研究，建立了海上细长杆件起吊过程的静力学模型和动力学模型，通过实验计算得到本文海上细长杆件单点起吊过程中发生滑动时与地面间的摩擦系数，研究了不同摩擦系数、不同吊索提升速度和不同船舶运动激励对海上细长杆件起吊过程中的安全工作空间的影响，可以得到以下结论：

1）通过静力学分析，将海上细长杆件单点起吊过程的工作空间根据限制条件分为4个区域，进一步确定了其过程中可行的工作空间，并探讨了在可行的工作空间中细长杆件不发生滑动的条件。

2）提出了一个海上细长杆件单点起吊过程中细长杆件发生滑动时的摩擦系数的测量方法，并通过实验测量并计算出特定工况下细长杆件在船舶运动激励下发生滑动时的摩擦系数。

3）通过Matlab软件对不同条件下海上细长杆件单点起吊过程中的安全工作空间范围进行了仿真分析。结果表明，随着摩擦系数、吊索提升速度和船舶运动激励的增加，都会导致细长杆件不发生滑动的区域有着不同程度的减少，与动力学分析中的规律相同。

本文的研究结果可为海上细长杆件类结构物单点起吊过程中控制器的设计提供数学基础，同时可以对工程作业中的安全作业、同步控制以及细长杆件吊装过程的路径规划设计等问题提供一定理论参考。