0 引　言

在船舶隔振领域，机械设备低频振动引起的辐射噪声在水中传播距离较远，衰减较慢，容易成为船舶在航行过程中的特征信号。因此，如何提高隔振系统的低频隔振效果，是当前该领域研究的难点和热点。通常情况下，为了提高低频隔振效果，需要降低隔振元器件的固有频率^[1]，一般通过减小隔振器刚度的方式实现。但刚度的减小会使弹性元件出现较大的静变形，影响系统的稳定性^{[2 − 4]}。准零刚度隔振器的出现为解决上述问题提供了有效手段，然而由于当前多数准零刚度隔振器采用的是被动形式，其设计参数固定，对工况变化的适应能力不足。因此，提出一种刚度可在线调节的新型准零刚度隔振器件成为了解决上述问题的关键。为此，通过改变输入的励磁电流，便可实现电磁刚度在线调节的电磁弹簧逐渐引起研究人员的关注。

1 基于磁齿结构的电磁负刚度机构研究 1.1 工作原理

基于磁齿结构的电磁负刚度机构主要由动子、定子、线圈以及磁齿组成。其中，动子和定子各自的表面分别设计了矩形齿状结构，且动子的齿与定子的槽相对应，中间留有一定的工作气隙^[5]。当线圈通电后，在负刚度机构周围空间产生了磁场，其磁场分布如图1所示。对于磁齿部分来说，磁力线由单一的动子磁齿流出，分别流向与其相对的2个定子磁齿，当动子位于图1所示的静平衡位置时，在平行于齿面的方向上，向上和向下的电磁力大小相等，方向相反，系统整体处于平衡状态。此时，如果动子位置发生变化，由此产生的向上与向下的电磁力将不再平衡，整个机构产生了对外的作用力，并且力的方向与动子偏移的方向一致，此时，整个机构表现出负刚度特性，这就是基于磁齿结构的电磁负刚度机构工作原理^[5]。

1.2 等效磁路模型

文中的电磁负刚度机构共包含上下两部分磁齿，每部分分别由2个动子磁齿以及3个定子磁齿组成。其中，每个动子磁齿分别与相邻的2个定子磁齿组成齿对，为此，整个负刚度机构共由8对齿对组成。如果将电磁负刚度机构看作上下对称的两部分，并根据不同的铁芯截面积对磁路进行分段，则整个机构总体上可看作由图2所示的六部分铁芯、磁齿以及工作气隙g组成。因此，整个磁路磁阻等于图中六部分铁芯、磁齿及空气气隙磁阻之和。

由于工作气隙较小，因此，可以将气隙磁场看作是均匀的，以气隙1为例，假设其磁共能为${W_1}$，动子与定子磁齿间的相对位移为x，则齿对1间的电磁力可以通过虚功法求得^{[5 − 6]}：

$F_1 = -\dfrac{{\partial}{W_1}}{\partial x} = -\dfrac{\left(NI\right)^2}{8}\dfrac{\partial\left\{\dfrac{\Lambda_{i-up}^2\Lambda_{e1}}{\left[\Lambda_{i-up} + 2(\Lambda_{e1} + \Lambda_{e2})\right]^2}\right\}}{\partial x}。$

(1)

式中：Λ_i−up⁻¹=Λ_m−up⁻¹+Λ_s−up⁻¹+Λ_t−up⁻¹，Λ_e1、Λ_e2、Λ_i−up、Λ_m−up、Λ_s−up、Λ_t−up分别代表齿对1、齿对2、上半部分铁芯、上半部分动子、上半部分定子、上半部分磁齿磁导。

1.3 电磁力表达式推导验证 1.3.1 磁齿气隙磁导的计算

对于文中的磁齿结构来说，通电后产生的磁力线由每个动子磁齿流出，分别流向与其相对的2个定子磁齿，组成2组相互作用的齿对，因此，一个负刚度单元由这2组相邻的齿对组成。对于图1所示的磁齿式负刚度机构来说，共由4个这样的负刚度单元组成。本节以一个单元作为研究对象，探讨其电磁力的大小。

首先以一个动子磁齿靠近与其相邻的定子磁齿为例进行研究。图3中的上、下矩形分别代表定子、动子磁齿，假设两者相等且其表面宽度为w，图中实线的位置是动子磁齿的初始位置，虚线是其沿着轴向运动了x后的位置(x<w)。

则该齿对之间的气隙磁导可以表示为图3中Λc、Λa及Λb三部分磁导之和。因此，当动子磁齿靠近定子磁齿时，Λ_e1可近似表示为^[5-7]：

$\begin{split}\varLambda_{e1}=&\varLambda_a+\varLambda_b+\varLambda_c=\\ &\left\{\mathrm{ln}\left[\dfrac{\text{π}}{2}(w-x)^2+\dfrac{\text{π}}{2}g(w-x)+g^2\right]-\ln g^2\right\}4\mathrm{\muup}_0r+ \\ &\dfrac{2\muup_0\text{π}xr}{g}。\end{split}$

(2)

式中：g为气隙宽度；r为负刚度机构轴与动子齿面之间的距离。

同理可以求出当动子磁齿远离定子磁齿时，总的气隙磁导Λ_e2可近似表示为：

${\varLambda_{e2} = \varLambda_a+\varLambda_b = \left\{\begin{gathered}\ln\left[\dfrac{\text{π}}{2}(w+x)^2+\dfrac{\text{π}}{2}g(w+x)+g^2\right]- \\ \ln\left[\dfrac{\text{π}}{2}x^2+\dfrac{\text{π}}{2}gx+g^2\right] \\ \end{gathered}\right\}4\mathrm{\muup}_0r。}$

(3)

1.3.2 铁芯磁导的计算

假设h_l为电磁负刚度机构高度，a为线槽边缘到轴线的距离，h_s为线槽高度，r_s为线槽宽度，d为线圈直径，r_d为定子壁厚，r为动子的齿面到相应轴线的距离，g为气隙宽度，μ为导磁体磁导率。根据式(1)，要得到齿对1之间的电磁力还需求出上半部分铁芯磁导Λ_i−up。

${\varLambda_{i-up}}^{-1}={\varLambda^{-1}_{m-upl}}+{\varLambda^{-1}_{m-up2}}+{\varLambda^{-1}_{s-up}}+{\varLambda^{-1}_{t-up}}。$

(4)

式中：${{\varLambda_{m-upl}}}{\text 、}{{\varLambda_{m-up2}}}{\text 、}{{\varLambda_{s-up}}}{\text 、}{{\varLambda_{t-up}}}$分别为图2中上半部分动子区域1、上半部分动子区域2、上半部分定子以及上半部分磁齿的磁导，其取值可以表示为：

${\varLambda _{m - up1}} = \dfrac{{2\muup {\text{π}} {a^2}}}{{{h_1}}} \text{，}$

$\begin{aligned}[b]&{\varLambda _{m - up2}} = \dfrac{{\muup {\text{π}} ({h_s} + 2a)({h_l} - {h_s})}}{{2{r_s}}} \text{，} \\&{\varLambda _{s - up}} = \dfrac{{2\muup {\text{π}} (2r + 2g + 2w + {r_d}){r_d}}}{{{h_l}}} \text{，} \\&\quad {\varLambda _{t - up}} = \dfrac{{12{\text{π}} r\muup (r + g)}}{{5r + 3g}} 。\end{aligned}$

则磁路总的磁导可以表示为：

$\varLambda_{_{{\mathrm{total}}}}=\frac{(\varLambda_{_{e1}}+\varLambda_{_{e2}})\varLambda_{_{i-up}}}{\varLambda_{_{i-up}}+2(\varLambda_{_{e1}}+\varLambda_{_{e2}})} 。$

(5)

式中：Λ_e1、Λ_e2、Λ_i−up分别如式(2)～(4)所示。

1.3.3 电磁力的计算

动子磁齿靠近定子齿磁情况下齿对1间的电磁力可以用式(1)表示，同理可以得到动子磁齿远离定子齿磁情况下，即齿对2间的电磁力表示为：

$\begin{split} {F_{e2}} = - \dfrac{{\partial {W_2}}}{{\partial x}} = - \dfrac{{{{(NI)}^2}}}{8}\dfrac{{\partial \left\{ \dfrac{{\varLambda _{i - up}^{\text{2}}{\varLambda _{e2}}}}{{{{[{\varLambda _{i - up}} + 2({\varLambda _{e1}} + {\varLambda _{e2}})]}^2}}}\right\} }}{{\partial x}} 。\end{split}$

(6)

式中：Λ_e1、Λ_e2、Λ_i−up分别如式(2)～式(4)所示。由于磁路可能达到饱和，为此，先求出饱和情况下的电流I_s。

$I_{s}=\dfrac{B_{s} S_{\min }}{N \varLambda_{ {{\mathrm{total}} }}}。$

(7)

式中：B_s为饱和磁感应强度，S_min为磁路中最小截面积，N为线圈匝数（$N=\dfrac{h_{s} \times r_{s}}{d^{2}}$，d为线圈直径），Λ_total为磁路中总的磁导，具体见式(5)。

为此，对于单个负刚度机构来说，其电磁力可以表示为：

当I<I_s时，

$\begin{gathered} F = {\rm {sgn}} (x)({F_{e1}} + {F_{e2}})= \\ {\rm {sgn}} (x)\left\{ - \dfrac{{{{(NI)}^2}\varLambda _{i - up}^2}}{{8{{[{\varLambda _{i - up}} + 2({\varLambda _{e1}} + {\varLambda _{e2}})]}^4}}}\right\} (A + B)。\\ \end{gathered}$

当$I\geqslant I_{s}$时，

$\begin{split} F =& {\rm {sgn}} (x)({F_{e1}} + {F_{e2}})= \\ & {\rm {sgn}} (x)\left\{ - \frac{{{{(N{I_s})}^2}\varLambda _{i - up}^2}}{{8{{[{\varLambda _{i - up}} + 2({\varLambda _{e1}} + {\varLambda _{e2}})]}^4}}}\right\} (A + B) 。\end{split}$

(8)

其中，

$\begin{gathered} A = \varLambda _{e1}^{'}\varLambda _{i - up}^2 + 4\varLambda _{e1}^{'}{\varLambda _{e2}}{\varLambda _{i\_up}} + 4\varLambda _{e1}^{'}\varLambda _{e2}^2 - 4\varLambda _{e1}^2\varLambda _{e1}^{'} - \\ \quad\;\;4{\varLambda _{e1}}{\varLambda _{i\_up}}\varLambda _{e2}^{'} - 8\varLambda _{e1}^2\varLambda _{e2}^{'} - 8{\varLambda _{e1}}{\varLambda _{e2}}\varLambda _{e2}^{'}，\\ \end{gathered}$

$\begin{gathered} B = \varLambda _{e2}^{'}\varLambda _{i - up}^2 + 4\varLambda _{e2}^{'}{\varLambda _{e1}}{\varLambda _{i\_up}} + 4\varLambda _{e2}^{'}\varLambda _{e1}^2 - 4\varLambda _{e2}^2\varLambda _{e2}^{'} - \\ \quad\;\;4{\varLambda _{e2}}{\varLambda _{i\_up}}\varLambda _{e1}^{'} - 8\varLambda _{e2}^2\varLambda _{e1}^{'} - 8{\varLambda _{e1}}{\varLambda _{e2}}\varLambda _{e1}^1 。\\ \end{gathered}$

由于文中负刚度机构共由4个这样的负刚度单元并联组成，因此整个负刚度机构总的电磁力可以表示为4F。

1.3.4 电磁力解析表达式的验证

为了进一步检验负刚度机构电磁力解析表达式的正确性，建立了电磁负刚度机构的仿真模型，相关参数取值见表1。

经过仿真计算得出负刚度机构电磁力的计算结果，并将其与考虑铁芯磁阻前后的电磁力解析表达式计算结果进行对比，如图4所示。可以看出，在上述电磁负刚度机构中，存在一个静平衡位置，在该位置附近的刚度小于0，证明了电磁负刚度是存在的；当偏离静平衡位置较远时，则呈现正刚度特性。此外，从总体上看，电磁力解析表达式计算结果与仿真结果吻合程度较好，尤其是考虑了铁芯磁阻之后与仿真结果更为接近。与未考虑铁芯磁阻相比，由于总的磁阻增大，电磁力有所减小。上述计算结果进一步验证了考虑铁芯磁阻后电磁力解析表达式的正确性以及仿真模型的准确性。

根据式(8)计算得到该结构参数下的饱和电流为5.7041 A，分别作出考虑磁路饱和前后的电磁力–位移曲线，如图5所示。可以看出，未考虑磁路饱和时，电磁力随电流的增加一直呈增大趋势。考虑磁路饱和时，达到饱和电流前，电磁力随着电流的增加而增大，当达到饱和电流后，电磁力不再继续增大，而是趋于某一个固定值。为此，考虑磁路饱和与实际情况更为接近，为该负刚度机构实际使用时工作电流的选择提供了参考。

2 电磁准零刚度隔振器设计

对于隔振器来说，并联后的刚度等于每个并联部分的刚度之和，因此，如果将具有正、负刚度特性的隔振器并联，并联后整个系统的刚度将小于并联之前。为此，这里采用并联的形式将基于磁齿结构的电磁负刚度机构与具有正刚度特性的弹簧有机结合，得到电磁准零刚度隔振器设计方案。

2.1 金属弹簧的选型

在本设计中，电磁准零刚度隔振器的承载质量设定为75 kg，正刚度部分由4根刚度为50.8 N/mm的金属弹簧并联组成，并联后的总刚度约为203 N/mm。

2.2 电磁负刚度机构参数的优化

准零刚度隔振器设计的关键在于相应负刚度机构的实现，其结构参数的取值对性能影响较大。对于电磁类元器件来说，通常的设计方法大多是从磁场角度考虑，机构难以达到综合性能最优的状态。本节将在得出的负刚度机构电磁力解析表达式基础上，以负刚度机构在功耗较小的情况下，输出较大电磁力为设计目标，采用NSGA-Ⅱ遗传算法对电磁负刚度机构主要结构参数进行多目标优化，进而得到最优结构参数解。这样的解被称为Pareto解，多目标优化的目的就是为了寻找这些Pareto最优解^[8]。

2.2.1 电磁负刚度机构的多目标优化设计

1）优化目标选取

为了最大限度发挥机构性能，本文选取电磁负刚度机构电磁力$F$最大和功耗$P$最小为优化目标，其中，单个负刚度单元电磁力的解析表达式如式(9)所示，再根据磁齿结构的负刚度单元数量得到电磁力$F$的表达式。

负刚度机构功耗可近似表示为：

$P = \dfrac{{{I^2} \times p \times {h_s} \times {\text{π}} \times ({{(r - w)}^2} - {{(r - {r_s} - w)}^2})}}{{{d^4}}} 。$

(9)

2）优化变量确定

电磁负刚度机构出力性能主要与机构半径、线槽宽度、线槽高度、气隙宽度等参数有关。从式(9)可以看出，影响功耗的结构参数主要有机构半径，线槽高度、宽度以及齿宽、齿距。

由齿宽、齿距对电磁负刚度特性的影响规律可知^[5]，随着齿宽、齿距的增加，静平衡位置处的电磁力和电磁刚度变化并不显著，但可以拓宽负刚度机构的最大工作行程。为此，这里不将其作为优化参数。对于气隙来说，当其他条件一定，且磁路未达到饱和的情况下，理论上其值越小产生的电磁力越大。然而过小的气隙可能增加加工和装配的复杂性，还可能导致定子与动子的齿产生碰撞，降低机构的可靠性，因此，在实际设计时，应该综合考虑上述因素及工程经验选择适当的气隙值，这里不将其作为优化参数。

综上所述，最终确定的优化变量为机构半径$r$、线槽宽度$r_{s}$、线槽高度$h_{t}$，可用如下向量的形式表示^[9]：

$X=\left(r,r_s,h_s\right)\mathrm{^T}=\left(x_1,x_2,x_3\right)^{\mathrm{T}}。$

(10)

考虑到整个机构的结构尺寸、长径比以及出力需求等约束条件，最终确定机构半径的取值范围为40～60 mm，线槽宽度的取值范围为10～45 mm，线槽高度的取值范围为10～25 mm。在上述3个优化变量中，机构半径的取值应大于线槽宽度和齿宽的和。因此，优化变量存在着如下约束关系：

${x_2} - {x_1} \lt - w 。$

(11)

3）非优化变量取值

综合考虑电磁负刚度机构的尺寸及工作行程等因素，最终确定齿宽、齿距的取值w=4 mm，根据加工装配经验确定气隙宽度取值g=0.5 mm。除了上述结构参数，电流也是影响电磁负刚度机构性能的主要参数，这里设定其取值I=3 A。对于磁齿结构来说，由于齿数的增加不能增大整个机构的负刚度范围，还会造成机构尺寸的增大^[5]，为此，在满足要求的前提之前，通常选择较少的齿数，这里齿数的取值为2，由于上下结构对称，总齿数为4。定子壁厚的取值为8 mm，导线直径的取值为1 mm。此外，电磁负刚度机构高度$h_{t}$可以用线圈高度$h_{t}$与齿高$w$表示，线槽边缘到轴线的距离$a$可以用机构半径$r$、线槽宽度$r_{s}$与齿宽$w$表示。

2.2.2 电磁负刚度机构优化设计结果

1）优化模型建立

本文采用gamultiobj函数对电磁负刚度机构进行多目标优化，其主要参数设置分别为最优个体系数取值为0.3，种群大小取值为100，最大进化次数取值为1000，停止代数为500，编写并运行相应程序，对影响电磁负刚度机构性能的主要结构参数进行寻优求解。

2）优化设计结果

经过221代迭代后停止运算，并返回Pareto最优解。综合考虑实际应用需求、机构尺寸等约束条件，选取的电磁负刚度机构主要结构参数优化设计方案为：线槽半径为54.3 mm，线槽宽度为21.0 mm，线槽高度为20.1 mm，此时的最大电磁力为367.0956 N，功耗为16.5109 W。

3 电磁准零刚度隔振器静力学试验 3.1 试验系统组成

电磁准零刚度隔振器静力学试验涉及的测试系统及仪器主要包括电子式万能材料试验机、数据采集计算机以及直流电源等，试验系统实物如图6所示。

3.2 试验方案设计

试验时将准零刚度隔振器平置于材料试验机夹具平面中心位置，通过计算机控制试验机的运动状态，测试其在不同电流下产生的电磁力及负刚度。结合磁齿尺寸，设定0 A、1 A、2 A、3 A、4 A和5 A共6组电流，测试位移从–3 mm到4 mm（正常工作行程±2 mm，磁齿高4 mm）。

3.3 试验结果分析

图7为电磁准零刚度隔振器合力（弹簧弹力与电磁力）–位移曲线。可以看出，当准零刚度隔振器中未通入电流时，负刚度机构未产生电磁力，此时求得的刚度为金属弹簧刚度，其数值约为205 N/mm，与金属弹簧刚度的理论值203 N/mm接近，系统静平衡位置附近整体刚度表现为正刚度状态。当电流从0开始增大时，负刚度机构开始产生电磁力，电磁负刚度逐渐增大，但数值仍小于正刚度，此时系统静平衡位置附近的整体刚度仍表现为正刚度，力–位移曲线斜率为正，但总刚度数值越来越小。当电流增大至某一临界值时，此时正、负刚度大小相等，在负刚度机构的静平衡位置附近系统的整体刚度接近0，为准零刚度状态。随着电流的进一步增大，系统所产生的电磁负刚度大于金属弹簧的正刚度，此时静平衡位置附近系统整体刚度表现为负刚度状态，力–位移曲线斜率为负。

用不同电流下的合力减去0 A电流下的合力，可以得到该电磁准零刚度隔振器的电磁力，其结果如图8所示。可以看出，电磁力随着电流的增大而增大，电流为3 A时最大电磁力超过350 N，与利用电磁力解析表达式计算的设计结果367.0956 N相比，误差为4.88%。在区间–1～1 mm之间，两者基本呈线性关系，且越接近平衡位置，线性度越好。

4 结　语

为解决船舶隔振领域低频隔振难题，在现有基于磁齿结构的电磁负刚度机构基础上，针对其电磁力解析表达式推导过程中忽略铁芯磁阻以及未考虑磁路饱和的问题，对其进行了修正，使电磁负刚度的判定更为准确。在此基础上，通过遗传算法对电磁负刚度机构主要结构参数进行了多目标优化，设计形成一种电磁式准零刚度隔振器。在此基础上，开展了电磁准零刚度隔振器静力学特性试验，结果表明，本文设计的电磁负刚度机构可实现负刚度特性，此外，产生的负刚度大小、作用区间均与理论计算结果接近，验证了理论计算结果的正确性。下一步，将开展相关动力学特性试验，摸清其特性规律，为该电磁准零刚度隔振器的进一步研究应用打下良好基础。