0 引　言

毂帽鳍螺旋桨（PBCF）是在螺旋桨毂帽上放置几个适当的叶片（一般与桨叶叶数相同）且与螺旋桨同步旋转的水动力节能装置。毂帽鳍自1987年被发明出来后，在多种船舶上都取得了不错的节能效果，是一种非常实用的节能装置，且与其他节能装置相比，其具有安装较为简单、质量轻、安全实用等优点。此外，毂帽鳍螺旋桨的主要作用有：1）改变桨毂附近的水流分布，打散毂涡，恢复桨毂上的压力；2）减小尾流旋转能量损失；3）螺旋桨加毂帽鳍后，使推力系数变大而转矩系数减小^[1]。

毂帽鳍早期的研究集中在实验上，大内之一等^[2]和Yuichi^[3]分别将毂帽鳍安装在螺旋桨和导管桨上，研究分析了毂帽鳍对螺旋桨和导管桨的水动力性能影响。随着船舶螺旋桨理论以及计算机的发展，有一些学者开始使用面元法和CFD方法对毂帽鳍展开研究。王超等^[4]基于FluenT研究了毂帽鳍的节能机理，熊鹰等^[5]基于CFD方法研究了毂帽鳍对可调距式螺旋桨的节能机理，刘泽娟^[6]和孙守超^[7]等分别采用Fluent、STAR-CCM+对毂帽鳍进行参数优选，徐璐荣等^[8]基于OpenFOAM研究了毂帽鳍的节能机理和节能效果。Hassan等^[9]开发了基于面元法的毂帽鳍螺旋桨水动力性能预报程序并分析了不同毂帽鳍参数对节能效果的影响。

本文拟通过基于诱导速度的面元法快速预报毂帽鳍螺旋桨的水动力性能，通过变参数的方法对毂帽鳍展开参数优选。

1 面元法基本公式

对于一个任意三维空间的单联区域V，如图1所示，整个流域的边界面S是由物面S_B，尾涡面S_W和外边界面${S_\infty }$组成的S。在该流域中可由扰动速度势$\phi$来表示升力体的扰动，$\phi$满足拉普拉斯方程。根据格林第三公式，可以将流场中的速度势表示出来^[10]：

${4E{\text{π}} \varphi {\text{(}}P{\text{)}} = \iint_{{S_B} + {S_\infty } + {S_W}} {\left[ {\varphi (Q)\frac{\partial }{{\partial {n_Q}}}\left( {\frac{1}{{{R_{PQ}}}}} \right) - \frac{{\partial \varphi (Q)}}{{\partial {n_Q}}} \cdot \frac{1}{{{R_{PQ}}}}} \right]}{\mathrm{d}}S。}$

(1)

其中，

$E=\left\{\begin{array}{ll} 0，P \text { 在 } S \text { 之内 }，\\ 1 / 2，P \text { 在 } S \text { 之上 }，\\ 1，P \text { 在 } S \text { 之外 }。\end{array}\right.$

式中：${R_{PQ}}$为场点P和边界上点Q之间的距离；${\partial}/{\partial n_{Q}}$为边界面S上在Q点处的法向导数。

假定其尾涡厚度为0，并认为其在法向上没有压力跳跃和速度跳跃，就可以得到以下的边界条件：

1）当${S_\infty } \to \infty ，\nabla \varphi \to 0；$

2）在物面边界上，${{\partial \varphi }}/{{\partial {\boldsymbol{n}_Q}}} = - {V_0} \cdot {\boldsymbol{n}_Q}$，$\boldsymbol{n}_{Q}$是边界面上的单位法向量，指向流场内；

3）在尾涡边界上，${P^ + } - {P^ - } = 0，{\left( {\dfrac{{\partial \varphi }}{{\partial {\boldsymbol{n}_{Q1}}}}} \right)^ + } - {\left( {\dfrac{{\partial \varphi }}{{\partial {\boldsymbol{n}_{Q1}}}}} \right)^ - } = 0$。

式中：Q₁为尾涡面上的点；上标 + 和 – 分别表示在尾涡面上、下表面的值。

由此，物面点P的速度势积分方程可以写为式(2)所示形式：

$\begin{split} 2{\text{π}} \varphi (P) = & \iint_{{S _B}} \varphi (Q)\frac{\partial}{{\partial{n_Q}}}\left( {\frac{1}{{{R_{PQ}}}}} \right){\mathrm{d}}S + \iint_{{S _W}} \Delta \varphi ({Q_1})\frac{\partial}{{\partial{n_{{Q_1}}}}} \cdot \\ & \left( {\frac{1}{{{R_{P{Q_1}}}}}} \right){\mathrm{d}}S + \iint_{{S_B}} {\left( {{V_0} \cdot {n_Q}} \right)}\frac{1}{{{R_{PQ}}}}{\mathrm{d}}S。\end{split}$

(2)

对式(1)左右取梯度，则可以得到流场中P点诱导速度$V$的求解方程：

$\begin{split} 4{\text{π}} V( P ) = & \iint_{{S _B}} \varphi ( Q ){\nabla _p} \frac{\partial }{{\partial {n _Q}}} \left( \frac{1}{{{R _{PQ}}}} \right){\mathrm{d}}S + \iint_{{S _W}} \Delta \varphi ( {Q_1} ){\nabla _p} \frac{\partial }{{\partial {n_{{Q _1}}}}} \cdot \\ & \left(\frac{1}{{{R_{P{Q_1}}}}}\right){\mathrm{d}}S + \iint_{{S_B}} ({V_0} \cdot {n_Q}){\nabla _p}\frac{1}{{{R_{PQ}}}}{\mathrm{d}}S。\end{split}$

(3)

2 方程的离散求解方法

建立直角坐标系，将毂帽鳍螺旋桨系统的原点定位坐标系的原点，X轴方向为来流方向，Y轴为桨叶的一个参考线，Z轴与X、Y轴满足右手定律。分别对螺旋桨和毂帽鳍的物面积分方程(2)以及诱导速度积分方程(3)进行离散，可以分别得到毂帽鳍、螺旋桨的离散方程。

螺旋桨物面速度势的离散方程为：

$\begin{split}\sum\limits_{j = 1}^{{N_1}} {({\delta _{ij}} - {C_{ij}})} {\varphi _j} - & \sum\limits_{l = 1}^{{N_{1W}}} {{W_{il}}} \vartriangle {\varphi _l} = - \sum\limits_{j = 1}^{{N_1}} {{B_{ij}}} \left( {({V_0} + {V_{21}}) \cdot {n_j}} \right){\text{ }}，\\ & i = 1,2,3,...,{N_1} 。\end{split}$

(4)

式中：${N_1}$为桨叶和桨毂上的控制点数；${N_{1W}}$为螺旋桨尾涡条带数；${C_{ij}}$、${{W}}_{{i}{l}}$、${B_{ij}}$均为速度势影响系数；${V_{21}}$为毂帽鳍对螺旋桨的诱导速度的周向平均值。

毂帽鳍物面速度势的离散方程为：

$\begin{split} \sum\limits_{j = 1}^{{N_2}} {({\delta _{i j}} - {C_{i j}})} {\varphi _j} - & \sum\limits_{l = 1}^{{N_{2W}}} {{W_{il}}} \vartriangle {\varphi _l} = - \sum\limits_{j = 1}^{{N_2}} {{B_{i j}}} \left( {({V_0} + {V_{12}}) \cdot {n _j}} \right)，\\ & i = 1,2,3,...,{N_2} 。\end{split}$

(5)

式中：${N_2}$为毂帽鳍上的控制点数；${N_{2W}}$为毂帽鳍尾涡条带数；${V_{12}}$为螺旋桨对毂帽鳍的诱导速度的周向平均值。

螺旋桨对毂帽鳍诱导速度的离散方程为：

$\begin{split} &V_{12}(P_i)= \frac{1}{4\text{π}}(\sum\limits_{j=1}^{N_2}\varphi_j\nabla_PC_{ij}+\sum\limits_{l=1}^{N_{2W}}\Delta\varphi_l\nabla_PW_{il}+ \\ &\;\; \sum\limits_{j=1}^{N_1}((V_0+V_{21})\cdot n_{Qj})\nabla_{{P}}B_{ij})，\text{ }i=1,2,3,...,N_2。\end{split}$

(6)

式中：$\nabla_PC_{ij}$、$\nabla_PW_{il}$、$\nabla_PB_{ij}$均为速度影响系数。

毂帽鳍对螺旋桨诱导速度的离散方程为：

$\begin{split} &{V_{21}}({P_i}) = \frac{1}{{4{\text{π}} }}(\sum\limits_{j = 1}^{{N_1}} {{\varphi _j}} {\nabla _P}{C_{ij}} + \sum\limits_{l = 1}^{{N_{1W}}} \vartriangle {\varphi _l}{\nabla _P}{W_{il}} + \\ &\;\; \sum\limits_{j = 1}^{{N_1}} {((} {V_0} + {V_{12}}) \cdot {n_{Qj}}){\nabla _{{P}}}{B_{ij}})，{\text{ }}i = 1,2,3,...,{N_1}。\end{split}$

(7)

毂帽鳍螺旋桨的水动力性能计算公式为：

$J = \frac{V}{{nD}}，\;\; {K_T} = \frac{{{T_p} + {T_h}}}{{\rho {n^2}{D^4}}}，\;\; {K_Q} = \frac{{{Q_p} + {Q_h}}}{{\rho {n^2}{D^5}}}，\;\; \eta = \frac{J}{{2{{\text{π}}} }} \cdot \frac{{{K_T}}}{{{K_Q}}}。$

(8)

式中：${T_p}$、${Q_p}$为螺旋桨的推力和扭矩；${T_h}$、${Q_h}$为毂帽鳍的推力和扭矩；$\rho$为水的密度；$n$为螺旋桨的转速；$D$为螺旋桨直径；$V$为螺旋桨进速；$J$、${K_T}$、${K_Q}$、$\eta$分别为进速系数、推力系数、扭矩系数和敞水效率。

诱导速度迭代的具体应用步骤为：首先令螺旋桨与毂帽鳍相互之间的诱导速度为0，通过式(4)、式(5)求解出螺旋桨和毂帽鳍的速度势分布，其次将求解出的速度势分布代入到式(6)、式(7)中计算螺旋桨对毂帽鳍的诱导速度以及毂帽鳍对螺旋桨的诱导速度，然后将诱导速度返回代入到式(4)、式(5)中，再次求解速度势分布，最后重复这个过程进行迭代计算，直到毂帽鳍螺旋桨水动力性能收敛，跳出迭代过程输出最终结果。

3 算例验证

螺旋桨研究对象为KP505螺旋桨，毂帽鳍选用已发表的文献中模型，模型的基本参数和实验数据见文献[7]。螺旋桨和毂帽鳍在径向和弦向均采用余弦分割，尾涡模型均为线性尾涡模型。单个螺旋桨桨叶的面元个数为18×18×2，单个毂帽鳍鳍片的面元个数为9×9×2。

将水动力预报结果与实验值进行对比，如图2所示。经过分析发现：1）敞水效率的误差较小，在不同进速条件下，误差均小于5% ；2）在较低进速下，计算误差较小，推力系数和扭矩系数的误差均小于6%。随着进速系数的增大，计算误差会缓慢增大，但都在可接受范围内。由此可见，基于面元法的计算方法有着不错的计算精度。

将常规螺旋桨KP505的水动力性能与毂帽鳍螺旋桨水动力性能对比，如图3所示。

图中，左侧y轴为柱状图，右侧y轴为曲线图，曲线图是敞水性能曲线，柱状图是毂帽鳍螺旋桨与螺旋桨的水动力性能之差。通过分析可以发现：1）毂帽鳍的存在会给螺旋桨提供额外的推力和扭矩；2）观察图中柱状图变化趋势，可以发现随着进速系数的增大，水动力性能提升，毂帽鳍的节能效果增大；3）毂帽鳍对螺旋桨效率的提升基本在4.5%以内。

4 毂帽鳍的变参数分析

针对毂帽鳍直径、鳍桨相位角、鳍桨间距比等3个参数展开变参数分析，各参数定义可以参考图4。

4.1 毂帽鳍直径对毂帽鳍螺旋桨的水动力性能影响分析

保证螺旋桨的参数和毂帽鳍的其他基本参数保持不变，仅改变毂帽鳍的直径进行计算分析。毂帽鳍的直径采用直径比的形式研究，直径比定义为毂帽鳍直径与螺旋桨直径之比。

通过计算不同直径比在不同进速系数之下的水动力性能，并与常规螺旋桨的水动力性能作差，以更直观明确地分析毂帽鳍对螺旋桨的节能效果，计算结果如图5所示。

分析可知，毂帽鳍直径对毂帽鳍螺旋桨的水动力性能有着较大的影响：1）随着直径比的提升，毂帽鳍对螺旋桨的推力提升效果减弱，值得注意的是，在直径比为0.33~0.42之间，推力的提升效果降低变得平稳；2）在较低进速系数下，毂帽鳍直径的改变对敞水效率的影响不大，随着进速系数的提升，毂帽鳍的直径的影响有着明显的增大。在进速系数为0.9时，不同毂帽鳍直径间最大的效率差值有5%左右；3）随着直径比的增大，毂帽鳍对螺旋桨的节能效果减小，当直径比为0.5时，毂帽鳍的节能效果消失并会降低螺旋桨的水动力性能。毂帽鳍鳍片上产生的是负压，随着直径的提升，负压会越来越大，当其超过毂帽鳍自身对螺旋桨的性能提升时，毂帽鳍的节能效果消失甚至会降低螺旋桨的性能。通过对比分析可知，该型号的毂帽鳍螺旋桨的最佳鳍桨直径比为0.25。

4.2 鳍桨间距对毂帽鳍螺旋桨的水动力性能影响分析

将毂帽鳍直径设定为4.1节中计算得到的最佳毂帽鳍直径，保持毂帽鳍的其他基本参数不变，以鳍桨间距比为自变量，分别计算不同鳍桨间距比在不同进速系数之下的水动力性能，结算结果如图6所示。

可以看出，鳍桨间距比对毂帽鳍螺旋桨系统的水动力性能也有着较大的影响：1）当进速系数不小于0.6时（${J}\geqslant 0.6$），图6(a)和图6(c)中的曲线堆在一起，说明不同鳍桨间距比下的毂帽鳍对螺旋桨的推力提升和扭矩提升基本一致，即当进速系数较高时，间距比对推力和扭矩的影响较小；2）分析图6(b)，发现间距比为0.25时是一个分界点。当间距比小于0.25时，不同进速系数下敞水效率的提升效果均随着间距比有着明显的下降，当间距比大于0.25时，敞水效率的提升效果间距比的变化曲线开始变的平缓，即其受间距比的影响开始减小，甚至当间距比在0.3~0.35范围内变化曲线接近水平；3）在间距比为0.35时，毂帽鳍对螺旋桨的水动力性能提升很小，各个水动力性能提升都接近0。当鳍桨间距比变大时，毂帽鳍与螺旋桨间的相互作用开始减小，当间距增加到足够大时，二者间的相互作用会变的很小，以至于毂帽鳍对螺旋桨的水动力性能影响几乎没有。另外，当鳍桨间距比足够小时，二者间的相互作用会过大，甚至使其不再满足势流假设，导致面元法的预报精度大幅降低甚至无法预报。

4.3 鳍桨相位角对毂帽鳍螺旋桨的水动力性能影响分析

将毂帽鳍直径和间距设定为前面计算得到的最佳参数，保持毂帽鳍的其他基本参数不变，以鳍桨相位角为自变量，分别计算了不同鳍桨相位角在不同进速系数之下的水动力性能，如图7所示。

可以发现，鳍桨相位角对毂帽鳍螺旋桨的性能有一定的影响：1）推力和扭矩的提升效果随着相位角的变化趋势基本一致，在48°有着明显的峰值，在其之前增大而后减小。并且与直径比和间距比2个参数不同的是，相位角对较低进速性能的影响更大，随着进速系数的增大，水动力性能受其影响程度减弱；2）分析图7(b)，可以发现敞水效率的提升效果与前2个参数有着明显的区别，在相位角为48°之前，曲线变化较为平缓。这说明相位角在48°之前，毂帽鳍对螺旋桨的效率提升较为稳定，而48°之后，相位角对敞水效率的提升有着明显的下降；3）不同相位角下，毂帽鳍对螺旋桨均有节能效果，与间距比、直径比相比，相位角对节能效果的影响最小。

在相位角为12°~60°范围内，在36°时，不同进速系数下效率提升最明显，而48°时，推力系数提升最大。因主要考虑节能减排，其次2种相位角下最大推力系数之差0.002左右，因此最佳相位角选为36°。

5 结　语

毂帽鳍能给传统螺旋桨提供额外的推力并提升其敞水效率，是一种常用的水动力节能装置。本文采用基于诱导速度的面元法以KP505螺旋桨为研究对象，分析了鳍桨直径比、鳍桨间距比和鳍桨相位角3种参数对毂帽鳍螺旋桨水动力性能影响，鳍桨直径比影响最大，当毂帽鳍直径大于0.5倍的螺旋桨直径，会产生负面效果，导致整体能耗增加；鳍桨间距比影响次之，当间距超过0.35倍的螺旋桨直径时，节能效果几乎消失；鳍桨相位角影响相对较小。采用基于诱导速度的面元法，可高效完成螺旋桨毂帽鳍设计迭代，优选出匹配的鳍桨直径比、间距比和相位角，提升螺旋桨的效率；同时，该方法与CFD计算方法相比，计算资源需求较少，也可作校核使用，提升工程设计过程的准确性和效率。