0 引　言

在现代军事作战中，被攻击目标对来袭武器的探测识别能力和自身动力性能在不断提升，其在避免被我方武器锁定和攻击的情况下需要进行加速逃逸机动，因此对机动目标跟踪的准确性已成为我方武器能否命中目标的关键影响因素之一^[1]。描述目标运动的模型选取是否合适直接影响了目标运动数据处理的质量。然而，目前应用于目标跟踪滤波领域的各种目标运动模型，如运用于直线运动目标的CV、CA模型和运用于转弯机动目标的CT模型均不能准确描述目标的运动状态，尤其是目标的加速度信息等。Singer模型作为一种全局统计模型可以较好弥补上述不足，同时兼顾了非机动模型和机动模型的精度，可以很好适用于上述场景下的机动目标逃逸策略模型构建的过程^[2]。近年来，为了提高目标跟踪的准确性，魏喜龙等^[3]针对高超声速飞行器的周期跳跃运动特点，提出结合Singer模型的扩展卡尔曼滤波方法对目标运动状态进行估计，但是由于高超声速飞行器的运动特点，需要雷达对其连续跟踪；张燕等^[4]针对由于Singer模型不准确导致卡尔曼滤波发散的问题，引入渐消因子抑制滤波器长度，从而避免发散，但其对量测方程的数据获取并没有进行深入研究；周琳等^[5]为提高空间目标跟踪效果，采用无迹卡尔曼滤波器估计空间目标运行轨迹，但该方法计算难度大，且容易受到量测数据误差等影响，降低目标跟踪精度；贾舒宜等^[6]研究了利用Radon-Ambiguity变换估计出目标的径向加速度并将其加入量测向量中，相比传统不带加速度信息的无迹卡尔曼滤波算法精度有所提高，但对于无径向加速度的机动目标提升效果不大；陈立军等^[7]提出一种噪声自适应调整的改进交互式多模型算法，仿真结果表明该方法比传统交互式模型算法准确性高，但在仿真中将主动声呐探测周期设计为1 s，不符合现实应用场景；Zhang等^[8]引入支持向量机来估计目标运动模式，降低了目标机动时的跟踪误差，但需要选择合适的核函数，由于算法的复杂度随着数据量的增加而增加，在处理大规模数据集时计算和存储的成本较高。

此外，目标跟踪算法的信息来源如果依赖于主动探测获取，实际应用场景下由于长探测周期间隙中获取目标信息的缺失会造成较大的跟踪误差，但若仅依赖于单独的被动探测信息，同样无法对目标进行较为准确的跟踪。Dong等^[9]提出一种基于卡尔曼滤波框架的多传感器协同无源定位方案，并通过IMM-SRCKF算法实现对目标的状态估计；刘妹琴等^[10]基于水下传感器网络技术，从数据融合的角度论述了水下目标跟踪技术的关键思想和发展现状，为多传感器联合工作发展提供借鉴。

因此，本文基于Singer模型提出将被动探测信息与主动探测信息相融合的方法，在主动观测模式探测信息获取的间隙插入被动模式获取的信息，通过信息的共享和互补提高了对目标的跟踪精度，同时避免对量测值进行非线性的处理导致算法复杂度提升，构建了虚拟量测值，解决目标对抗逃逸机动场景中由于主动信息缺失导致解算误差较大的问题。本文提出的方法在对抗逃逸目标机动模型中相比主动跟踪模式的平均解算精度更高，提升了跟踪算法性能。

1 运动模型与滤波算法 1.1 Singer模型

Singer模型是一种基于全局统计的具有普遍意义的机动运动模型，同时兼顾了非机动和机动模型的精度。将目标加速度的分布视为随机过程建模，目标加速度$ r(\tau ) $为：

$ r(\tau ) = Ea(t)a(t + \tau ) = \sigma _m^2{e^{ - \alpha \left| \tau \right|}},\alpha \geqslant 0。$

(1)

针对水面机动目标，将其状态矩阵${\boldsymbol{X}}$为：

$ {\boldsymbol{X}}{\text{ = }}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x&{\dot x}& {\ddot x}&y &{\dot y}&{\ddot y} \end{array}} \right]^{\text{T}}}。$

(2)

式中：$x$、$ \dot x $、$ \ddot x $分别为目标在${{X}}$轴上的位置、速度和加速度分量；$y$、$ {\dot y} $、$ \ddot y $分别为目标在$Y$轴上的位置、速度和加速度分量。目标的离散状态方程为：

$ {\boldsymbol{X}}\left( {k + 1} \right) = {\boldsymbol{FX}}\left( k \right) + {\boldsymbol{w}}\left( k \right)。$

(3)

式中：$ {\boldsymbol{w}}\left( k \right) $为过程噪声，服从均值为0，方差为${\boldsymbol{Q}}$的概率分布；$ {\boldsymbol{F}} $为状态转移矩阵，其计算公式为：

$ {\boldsymbol{F}} = {\text{diag}}\left( {{\varPhi _{11}},{\varPhi _{22}}} \right)，$

(4)

$ {\varPhi _{11}}{\text{ = }}{\varPhi _{22}}{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&T&{\displaystyle\frac{1}{{{\alpha ^2}}}[ - 1 + \alpha T + {e^{ - \alpha {{T}}}}]} \\ 0&1&{\displaystyle\frac{1}{\alpha }[1 - {e^{ - \alpha {{T}}}}]} \\ 0&0&{e^{ - a{{T}}}} \end{array}} \right] 。$

(5)

式中：$ T $为信息传输速率；$ \alpha $为机动频率。$ \sigma _m^2 $为目标加速度的方差；${\boldsymbol{Q}}$为协方差矩阵，计算公式为：

$ {\boldsymbol{Q}}{\text{ = 2}}\alpha \sigma _m^2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{q_{11}}}&{{q_{12}}}&{{q_{13}}}&0&0&0 \\ {{q_{12}}}&{{q_{22}}}&{{q_{23}}}&0&0&0 \\ {{q_{13}}}&{{q_{23}}}&{{q_{33}}}&0&0&0 \\ 0&0&0&{{q_{11}}}&{{q_{12}}}&{{q_{13}}} \\ 0&0&0&{{q_{12}}}&{{q_{22}}}&{{q_{23}}} \\ 0&0&0&{{q_{13}}}&{{q_{23}}}&{{q_{33}}} \end{array}} \right]。$

(6)

协方差矩阵中$ {q_{11}}～{q_{33}} $的计算可参考文献[11]。

1.2 滤波算法

由于量测值的非线性特点，结合离散卡尔曼滤波算法原理，基于信息融合的Singer模型机动目标跟踪滤波算法流程如图1所示。

滤波算法是一种递推算法，随着滤波过程的进行，历史数据会不断累积，若模型不准确，会存在观测数据与模型不匹配的问题，导致滤波结果发散。为了防止可能出现系统状态模型或过程噪声模型建立不准确，影响模型输入，最终导致结果发散的问题，在滤波的基础上引入自适应渐消滤波的思想，降低旧数据的作用，增强跟踪算法的鲁棒性。具体实现为引入渐消因子对预测协方差进行调整：

$ {\boldsymbol{P}}\left( {k + 1|k} \right) = {\boldsymbol{FP}}\left( {k|k} \right){{\boldsymbol{F}}^{\text{T}}} + \lambda \left( k \right){\boldsymbol{Q}}。$

(7)

式中，渐消因子$ \lambda \left( k \right) $的计算公式如下：

$ {\boldsymbol{N}}\left( k \right) = {{\boldsymbol{V}}_0}\left( k \right) - {\boldsymbol{HQ}}\left( {k - 1} \right){{\boldsymbol{H}}^{\text{T}}} - {\boldsymbol{R}}\left( k \right), $

(8)

$ {\boldsymbol{M}}\left( k \right) = {\boldsymbol{HFP}}\left( {k - 1|k - 1} \right){{\boldsymbol{F}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{H}}^{\text{T}}}, $

(9)

$ c\left( k \right) = \frac{{tr\left[ {{\boldsymbol{N}}\left( k \right)} \right]}}{{tr\left[ {{\boldsymbol{M}}\left( k \right)} \right]}}, $

(10)

$ \lambda \left( k \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {c\left( k \right)}, {c\left( k \right) > 1} ,\\ 1, {c\left( k \right) \leqslant 1} 。\end{array}} \right. $

(11)

式中：$ {{\boldsymbol{V}}_0}\left( k \right) = {\boldsymbol{HP}}\left( {k|k - 1} \right){{\boldsymbol{H}}^{\text{T}}} + {\boldsymbol{R}}\left( k \right) $为残差协方差矩阵。

通过上述算法流程即可实现基于信息融合的Singer模型的滤波过程。

2 目标机动策略模型及观测数据融合算法 2.1 目标机动策略模型

目标在避免被我方武器锁定和攻击的情况下需要进行加速逃逸机动，对典型目标机动对抗逃逸行为进行研究，定义2种目标机动策略用于算法仿真验证，如图2和图3所示。

图2为第1种目标机动策略示意图，目标以18 kn的速度沿南偏东60°的方向航行，同时制导站导引水下武器主动运动靠近目标。当水下武器距离目标5 km时，目标发现来袭武器，此时目标开始机动规避，${N_0}$～${N_2}$为目标在反应时间内运动的距离。在${N_2}$点处目标旋回机动，旋回至与武器连线夹角120°航向。${N_2}$～${N_3}$段目标开始以0.5 m/s²的加速度进行加速逃逸，到达${N_3}$点时目标速度为30 kn。${N_3}$～${N_4}$段目标以30 kn的速度匀速行驶5 min。${N_4}$～${N_5}$段目标开始以相同加速度大小减速，达到${N_5}$点时目标速度重新降为18 kn。此后目标以18 kn的速度做匀速直线运动。

图3为第2种目标机动策略示意图，当武器到达距离目标5 km的位置时目标报警，A为报警时刻武器的位置，B为报警时刻目标的位置。报警后目标在B点开始机动规避并释放诱饵，诱饵不需要跟踪，只需要通过诱饵计算机动航向，BD为诱饵方向（$\psi _b^{'} = {x_0}t \pm {50^ \circ }$，左舷取正，右舷取负）；${x_0}t$为报警时刻武器舷角（$\angle ABC$）；目标机动航向变更为${\psi _t} = \psi _b^{'} + {180^ \circ } \pm \Delta \psi $，其中$\Delta \psi = {20^ \circ }$，速度保持不变。

2.2 观测数据融合算法

为了对目标运动要素进行解算，建立观测方程如下：

$ {\boldsymbol{Z}}\left( K \right) = {\boldsymbol{HX}}\left( K \right) + {\boldsymbol{W}}\left( K \right)。$

(12)

式中：$ {\boldsymbol{H}} $为观测矩阵；$ {\boldsymbol{W}}\left( K \right) $为观测噪声。

制导站通过发射探测信号对目标进行观测，其初始所在位置为$\left( {{x_0},{y_0}} \right)$，第$k$时刻目标所在位置为$\left( {{x_t}\left( k \right),{y_t}\left( k \right)} \right)$，主动观测信息包括距离信息$ {{{R}}_z} $和方位信息$ {\beta _z} $，第$k$时刻的主动探测信息$ {{{R}}_z}\left( k \right) $和$ {\beta _z}\left( k \right) $计算公式如下：

$ {{{R}}_z}\left( k \right) = \sqrt {{{\left( {{x_t}\left( k \right) - {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {{y_t}\left( k \right) - {y_0}} \right)}^2}} + {v_R}\left( k \right)，$

(13)

$ {\beta _z}\left( k \right) = \arctan \left( {\frac{{{y_t}\left( k \right) - {y_0}}}{{{x_t}\left( k \right) - {x_0}}}} \right) + {v_\beta }\left( k \right)。$

(14)

式中：$ {v_R}\left( k \right) $为$k$时刻主动距离观测噪声；$ {v_\beta }\left( k \right) $为$k$时刻主动方位观测噪声。被动观测信息仅包括方位信息$ {\delta _b} $，第$k$时刻的被动探测信息$ {\delta _b}\left( k \right) $计算公式如下：

$ {\delta _b}\left( k \right) = \arctan \left( {\frac{{{y_t}\left( k \right) - {y_0}}}{{{x_t}\left( k \right) - {x_0}}}} \right) + {v_\delta }\left( k \right)。$

(15)

式中：$ {v_\delta }\left( k \right) $为$k$时刻被动方位观测噪声。

由于主动探测装置需要发射信号并接收目标反射的回波信号，具有一定时段的信息空档期，在这期间由被动探测装置持续接收来自目标的辐射信号，通过将两者的探测信息进行共享与融合，可以提高目标跟踪的准确性和可靠性。

假定主动探测间隔周期为$N$，被动探测间隔为最小周期，在主动模式信息缺失阶段，距离信息保持为最近一次探测结果，角度信息来自被动模式的观测结果作为补充，则完整流程中主被动联合探测信息为：

$ R\left( k \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{{R}}_z}\left( k \right)}，{k = {k_0},{k_0} + N,{k_0} + 2N...}，\\ {pre{{R}_z}\left( k \right)}，{k = {k_0} + 1,{k_0} + 2...{k_0} + N - 1...} ，\end{array}} \right. $

(16)

$ \beta \left( k \right) = \left\{{\begin{array}{*{20}{l}} {{\beta _z}\left( k \right)}，{k = {k_0},{k_0} + N,{k_0} + 2N...}，\\ {{\delta _b}\left( k \right)}，{k = {k_0} + 1,{k_0} + 2...{k_0} + N - 1...} 。\end{array}} \right. $

(17)

式中：$ pre{R_z} $为主动探测信息空挡期间的最近一次距离探测结果。

传统的纯主动或纯被动目标跟踪算法需要观测方程的线性化，将观测矩阵用雅克比矩阵代替，即式(15)和式(16)的观测矩阵为：

$ \left\{\begin{aligned} {{\boldsymbol{H}}= \displaystyle\frac{{\partial {R_z}\left( k \right)}}{{\partial {\boldsymbol{X}}\left( k \right)}} }，\\ {{\boldsymbol{H}}= \displaystyle\frac{{\partial {\beta _z}\left( k \right)}}{{\partial {\boldsymbol{X}}\left( k \right)}}} 。\end{aligned} \right. $

(18)

为了降低算法复杂度，避免对量测信息进行线性化的处理，融合后的观测信息通过构建虚拟量测值$x$和$y$，将卡尔曼滤波观测值定义为：

$ {\boldsymbol{Z}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {R\cos \beta } \\ {R\sin \beta } \end{array}} \right]。$

(19)

观测矩阵简化为：

$ {\boldsymbol{H}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&1&0&0 \end{array}} \right]。$

(20)

综上，基于信息融合的Singer模型机动目标跟踪，包含了机动目标策略模型、Singer模型、观测数据融合和滤波等4个部分，算法原理框图如图4所示。

3 仿真分析

在仿真过程中，假设主动模式下具有较长的探测周期即10 s，被动探测周期为1 s，主动距离、主被动方位探测精度分别为100 m、3°和3°。制导站位置在[0,0] m处，目标初始位置在[5000,5000] m处，Singer模型的机动频率$ \alpha $设置为1/60，仿真时长为1000 s，仿真次数设置为50次。

3.1 第一种机动策略仿真

图5为第一种机动策略轨迹估计情况。在没有被动信息的情况下，信息空档期时的方位量测值为最近一次方位探测结果，从图5(a)中可以看出在纯主动模式下的信息空挡期间估计轨迹与真实轨迹存在明显误差，并且在机动阶段误差更大。图5(b)为基于信息融合的第1种机动策略轨迹估计情况，加入被动信息的Singer模型可以更为准确估计速度大小和方向变化的机动目标的航迹。

图6为仿真实验50次的情况下，2种模式下x方向距离估计和y方向距离估计的均方差对比示意图，x方向距离估计的均方差，主动观测模式下区间基本在$ \left[ {50,100} \right] $，主被动联合观测模式下区间基本在$ \left[35，85\right] $内；y方向距离估计的均方差，主动观测模式下区间基本在$ \left[50，200\right] $，主被动联合观测模式下区间基本在$ \left[35，\text{55}\right] $。平均解算精度了提升$39.85\text% $。从结果可以看出内基于主被动联合观测的距离均方差在相同观测步数下均小于主动观测下的距离均方差，且均方差波动收敛明显。

3.2 第2种机动策略仿真

图7(a)为基于主动观测信息的第2种机动策略轨迹估计情况，图7(b)为基于信息融合的第2种机动策略轨迹估计情况，加入被动信息的Singer模型依旧能有效估计速度大小和方向变化的机动目标航迹。

图8将2种模式下x方向距离估计和y方向距离估计的均方差进行了对比，x方向距离估计的均方差，主动观测模式下区间基本在$ \left[50，100\right] $，主被动联合观测模式下区间基本在$ \left[30，\text{50}\right] $内；y方向距离估计的均方差，主动观测模式下区间基本在$ \left[50，120\right] $，主被动联合观测模式下区间基本在$ \left[35，\text{50}\right] $。平均解算精度了提升$45.71\text% $。

Singer模型在描述目标运动时，可以很好兼顾机动状态与非机动状态的精度，可以准确地描述典型对抗逃逸机动模型，影响跟踪精度的主要因素为观测信息的完整性与准确性，在面对主动观测信息缺失的情况下，在主动观测模式探测信息获取的间隙插入被动模式获取的信息，通过信息的共享和互补提高了观测信息的完整性，进而提升了平均解算精度。

3.3 渐消因子有效性

在模型准确的情况下加入渐消因子解算精度略有提升。为验证渐消因子的有效性，假设系统状态模型建立或过程噪声模型不准确，导致错误输入，反映在系统矩阵发生变化：

$ \varPhi _{11}^{'}{\text{ = }}\varPhi _{22}^{'}{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&{\displaystyle\frac{1}{{{\alpha ^2}}}[ - 1 + \alpha T + {e^{ - \alpha T}}]} \\ 0&0&{\displaystyle\frac{1}{\alpha }[1 - {e^{ - \alpha T}}]} \\ 0&0&0 \end{array}} \right] 。$

(21)

以2种机动策略为例，跟踪效果对比如图9所示。可知，由于模型状态输入错误，估计轨迹与真实轨迹都存在较大偏差，但在加入渐消因子的情况下增大了新量测值的作用，跟踪效果相比于未加入渐消因子效果有明显提升，使目标不易摆脱跟踪，对滤波发散的情况有抑制作用。

4 结　语

针对在目标机动规避场景中的主动观测模式下，由于长周期间隙中探测信息的缺失导致机动目标跟踪误差较大的问题，本文基于Singer模型提出将被动探测信息与主动探测信息相融合的方法，在主动模式探测信息获取的间隙插入被动模式获取的信息，通过信息的共享和互补提高了对目标的跟踪精度，同时避免对量测值进行非线性的处理导致算法复杂度提升，构建了虚拟量测值。同时为了避免边界条件导致算法发散，在滤波中引入渐消因子，提升了算法的鲁棒性。仿真结果表明，在2种典型对抗逃逸目标机动模型下该算法相比于主动跟踪模式的解算结果在平均解算精度上分别提升了39.85%和45.71%，验证了算法的有效性。

本文将主动模式信息缺失阶段的距离探测信息保持为最近一次探测结果，会与实际有偏差，在未来的研究中可以考虑对其进行进一步处理，以更符合实际应用场景。