0 引　言

波浪滑翔器逐渐成为海洋领域研究和实践中备受瞩目的设备，其独特的波浪能量捕获方式，为多个领域中的广泛应用提供了基础^[1]。现有的波浪滑翔器SV2、SV3双体波浪滑翔器^[2]和AutoNaut单体波浪滑翔器^[3]，在续航力和机动性方面受到限制，传统波浪滑翔器存在航行速度慢、转向能力弱等问题。为解决上述问题，在AutoNaut构型波浪滑翔器基础上加入风帆助航系统。

SWG的机动性对实现有效的位置保持、路径跟踪以及转向避障均有其重要意义。此外，准确预测其机动性对SWG结构改进、控制系统优化、路径规划算法开发具有重要的参考价值。

相关学者们对帆船和其他海上无人设备的建模和机动性能研究取得了诸多进展，Sang等^[4]通过建立AutoNaut水翼的数值模型，分析了船体响应及摆动水翼机构的弹簧刚度和波浪频率对推进性能的影响，获得了航速、波频与弹簧刚度系数的关系。Wang等^[5]使用牛顿-欧拉方法建立了双体波浪滑翔器的四自由度数学模型，考虑了水平平面上的二阶波浪漂移力和垂直方向上的一阶波浪力，对浪流敏感性和航向控制能力进行了运动模拟。刘浩等^[6]采用分离建模方法，综合考虑风和浪环境扰动，通过经验公式和计算流体力学方法进行参数计算，建立了无人帆船的运动学模型，通过试验复现并验证了模型的准确性。

1 考虑风浪的SWG运动模型 1.1 坐标系的建立

建立的随体坐标系及大地坐标系，如图1所示。大地坐标系$\left( {\xi ,\eta ,\zeta } \right)$的$\xi $轴指向正北方向；$\eta $轴指向正东方向；$\zeta $轴垂直于地球表面并指向地心方向。随体坐标系$\left( {x,y,z} \right)$的$x$轴指向SWG的船体纵轴前方；$y$轴指向SWG的船体右舷；$z$轴指向SWG的船底。

1.2 五自由度SWG数学模型

本文建立纵荡、横荡、垂荡、俯仰和偏航五自由度运动学及动力学模型，而SWG运动学模型的建立，本质上是将随体坐标系下的运动转换为大地坐标系下的运动，可表示为：

$ \dot {\boldsymbol{\eta}} = {{\boldsymbol{J}}_\Theta }({\boldsymbol{\eta}} ){\boldsymbol{v}}。$

(1)

依据牛顿-欧拉法^[7]建立含有静水力、水动力和环境力的SWG刚体动力学模型，可表示为：

${\boldsymbol{ M}}\dot v + {\boldsymbol{C}}(v)v + {\boldsymbol{D}}(v)v + {\boldsymbol{g}}{\text{(}}\eta {\text{)}} = {\boldsymbol{\tau}}。$

(2)

式中：$ {\boldsymbol{M}} = {{\boldsymbol{M}}_{{\text{RB}}}} + {{\boldsymbol{M}}_{\text{A}}} $为SWG的刚体惯性矩阵和附加质量矩阵；$ {\boldsymbol{C}}(v) = {{\boldsymbol{C}}_{{\text{RB}}}}(v) + {{\boldsymbol{C}}_{\text{A}}} $为SWG的科氏向心力系数矩阵；$ {\boldsymbol{D}}(v) = {{\boldsymbol{D}}_{\text{l}}}(v) + {{\boldsymbol{D}}_{{n}}} $为SWG的线性和非线性阻尼系数矩阵。外力矩阵$ {\boldsymbol \tau} = {\boldsymbol \tau} _{{\text{wave}}}^{} + {{\boldsymbol \tau} _{{\text{wingsail}}}} + {{\boldsymbol \tau} _{{\text{rudder}}}} + {{\boldsymbol \tau} _{{\text{hydrofoil}}}} $。其中，$ {\boldsymbol \tau} _{{\text{wave}}}^{} $为波浪力；$ {{\boldsymbol \tau} _{{\text{wingsail}}}} $为翼帆提供的力；$ {{\boldsymbol \tau} _{{\text{rudder}}}} $为尾舵的控制力；$ {{\boldsymbol \tau} _{{\text{hydrofoil}}}} $为水翼提供的力。其中，附加质量及阻尼系数由CFD方法仿真得到^[4]。

假设浮体船的垂荡运动与其水平面的三自由度运动是解耦的，为简化研究，使用机动理论描述船体在水平面三自由度下的运动，将船体五自由度运动模型分解为x-y平面上的零频运动模型和x-z平面上的波频运动模型。

x-y平面上的三自由度动力学方程可表示为：

$ \begin{split} & \left[ {{{\boldsymbol{M}}_{{\text{RB}}}} +{{\boldsymbol{M}}_{\text{A}}}} \right]\dot v + \left[ {{{\boldsymbol{C}}_{{\text{RB}}}}(v) + {{\boldsymbol{C}}_{\text{A}}}(v)} \right]v +{\boldsymbol{ D}}(v)v = \\ &\;\;\;\;{\boldsymbol{\tau}} _{{\text{wingsail}}}^{\{ 1,2,6\} } + {{\boldsymbol{\tau}} _{{\text{rudder}}}} + {\boldsymbol{\tau}} _{{\text{hydrofoil}}}^{\{ 1,2,6\} }。\end{split} $

(3)

SWG采用NACA翼型水翼和对称型刚性翼帆，其产生的升力和阻力的可表示为：

$ \left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{F}}_{\text{L}}} = \frac{1}{2}{\text{ρ }}{C_{\text{L}}}S{V^2}，\\ {{\boldsymbol{F}}_{\text{D}}} = \frac{1}{2}{\text{ρ }}{C_{\text{D}}}S{V^2}。\\ \end{gathered} \right. $

(4)

水平面上刚性翼帆在风作用下提供的动力和偏移力$ {\boldsymbol{\tau}} _{{\text{wingsail}}}^{\{ 1,2,6\} } $为：

$ \begin{gathered} {\boldsymbol{\tau}} _{{\text{wingsail}}}^{\{ 1,2,6\} }{\text{ = }} \\ \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {({F_{{\text{L\_ws}}}}\sin {\alpha _{{\text{wind}}}} + {F_{{\text{D\_ws}}}}\cos {\alpha _{{\text{wind}}}})\cos \theta } \\ {{F_{{\text{L\_ws}}}}\cos {\alpha _{{\text{wind}}}} - {F_{{\text{D\_ws}}}}\sin {\alpha _{{\text{wind}}}}} \\ {{L_{{\text{OS}}}} \cdot ({F_{{\text{L\_ws}}}}\cos {\alpha _{{\text{wind}}}}{\text{ + }}{F_{{\text{D\_ws}}}}\sin {\alpha _{{\text{wind}}}})} \end{array}} \right]。\\ \end{gathered} $

(5)

式中：$ {L_{{\text{OS}}}} $为船体质心到翼帆受力点在水平面上的投影；$ {\alpha _{{\text{wind}}}} $为表观风向角；$ {F_{{\text{L\_ws}}}} $和$ {F_{{\text{D\_ws}}}} $为翼帆产生的升力与阻力，其升力阻力系数由CFD方法仿真获得^[9]。

${\alpha _{{\text{fhf}}}}$和${\alpha _{{\text{bhf}}}}$为前部水翼和后部水翼的流体入射方向与水平面的夹角，因水翼距离船体质心较远，将水翼处因船体俯仰产生的线速度近似为$z$方向上的速度，则${\alpha _{{\text{fhf}}}}$和${\alpha _{{\text{bhf}}}}$为：

$ {\alpha _{{\text{fhf}}}} = \arctan \left(\frac{{w + q{L_{OF}}}}{u}\right)，$

(6)

$ {\alpha _{{\text{bhf}}}} = \arctan \left(\frac{{w - q{L_{OF}}}}{u}\right)。$

(7)

升阻力计算所需水翼与流相对速度$ {V_{{f}}} $为：

$ {V_{{f}}} = u + q{L_{{\text{OF}}}} + w。$

(8)

水翼力在水平面上产生的推力$ {{\boldsymbol{\tau}} }_{\text{ hydrofoil}}^{\{1,2,6\}} $为：

$ {{\boldsymbol{\tau }}}_{\text{ hydrofoil}}^{\{1,2,6\}}\text=\left[\begin{array}{c}{F}_{\text{fhf\_x}}+{F}_{\text{bhf\_x}}\\ 0\\ 0\end{array}\right]。$

(9)

式中：$ {F_{{\text{fhf\_x}}}} $和$ {F_{{\text{bhf\_x}}}} $为前水翼和后水翼在水平方向上提供的推力。

尾舵控制力$ {{\boldsymbol{\tau}} _{{\text{rudder}}}} $为：

$ {{\boldsymbol{\tau}} _{{\text{rudder}}}}{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {F_{{\text{D\_rudd}}}}} \\ {{F_{{\text{L\_rudd}}}}} \\ { - {F_{{\text{L\_rudd}}}} \cdot {L_{{\text{OR}}}}} \end{array}} \right]。$

(10)

船体在x-z平面上的波频运动模型为二阶质量-阻尼-弹簧系统，其主频率为固有频率，则x-z平面上的升沉和俯仰二自由度的波频动力学方程可表示为：

$ \begin{split} &\left[ {{{\boldsymbol{M}}_{RB}} + {{\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{A}}}} \right]\dot {\boldsymbol{v}} + {\boldsymbol{D}}v + \mu + {\boldsymbol{G}}\eta = \\ &\;\;\;\;{{\boldsymbol{\tau}} _{{\text{wingsail}}}} + {{\boldsymbol{\tau}} _{{\text{hydrofoil}}}} + {{\boldsymbol{\tau}} _{{\text{wave}}}}。\end{split} $

(11)

水翼在纵垂面下产生的力$ {{\boldsymbol \tau} }_{\text{ hydrofoil}}^{\{3,5\}} $为：

$ {{\boldsymbol{\tau }}}_{\text{ hydrofoil}}^{\{3,5\}}=\left[\begin{array}{c}{F}_{\text{fhf\_z}}-{F}_{\text{bhf\_z}}\\ {F}_{\text{of}}{L}_{\text{OF}}+{F}_{\text{ob}}{L}_{\text{OB}}\end{array}\right]。$

(12)

式中：$ {F_{{\text{fhf\_x}}}} $和$ {F_{{\text{bhf\_x}}}} $为前水翼和后水翼在升沉方向上提供的力；$ {L_{{\text{OF}}}} $和$ {L_{{\text{OB}}}} $为水翼受力中心到船体重心的距离；$ {F_{{\text{of}}}} $和$ {F_{{\text{ob}}}} $分别为前水翼和后水翼的受力垂直于船体重心到受力重心的分量。

翼帆在纵垂面下产生的力为：

$ {{\boldsymbol{\tau}} }_{\text{wingsail}}^{\left\{3\text{，}5\right\}}\text=\left[ \begin{array}{c}({F}_{\text{L\_ws}}\mathrm{sin}{\alpha }_{\text{w}}+{F}_{\text{D\_ws}}\mathrm{cos}{\alpha }_{\text{w}})\mathrm{sin}\theta \\ ({F}_{\text{L\_ws}}\mathrm{sin}{\alpha }_{\text{w}}+{F}_{\text{D\_ws}}\mathrm{cos}{\alpha }_{\text{w}})\mathrm{sin}{\alpha }_{\text{os}}{L}_{\text{os}}\end{array} \right]。$

(13)

为了研究SWG在波浪中的响应，采用JONSWAP谱模拟波浪，该波浪谱在有限水深和有限风程的假设下，描述了由风产生的波浪^[7]，其谱密度函数为：

$ S(\omega ) = 155\frac{{H_{\text{S}}^2}}{{T_1^4}}{\omega ^{ - 5}}\exp \left(\frac{{ - 944}}{{T_1^4}}{\omega ^{ - 4}}\right){\gamma ^Y}。$

(14)

在海上最常见的是短波峰波浪，这种情况表现为沿波峰方向观察到的与风向成直角的不规则性。其影响可以通过二维波谱来建模：

$ {S_M}(\omega ,\mu ) = S(\omega )M(\mu )。$

(15)

式中：$\mu = 0$为主波浪传播方向。

为了计算时域中波引起的响应，波谱$ S(\omega ) $和波幅${A_k}$的关系为：

$ \frac{1}{2}A_k^2 = {S_M}({\omega _k},{\mu _i} - \beta )\Delta \omega \Delta \mu。$

(16)

则一阶与二阶波浪力可以表示为：

$ \begin{split} \tau _{{\text{wave1}}}^{\{ {\text{dof}}\} } =& \sum\limits_{k = 1}^N {\sum\limits_{i = 1}^M {{{\rho g}}\left| {F_{{\text{wave1}}}^{\{ {\text{dof}}\} }({\omega _k},{\mu _i} - \beta )} \right|} }\times \\ &{A_k}\cos ({\omega _e}(U,{\omega _k},\beta )t +\\ &\angle F_{{\text{wave1}}}^{\{ {\text{dof}}\} }({\omega _k},{\mu _i} - {\beta _i}) + {\varepsilon _k}) ，\end{split} $

(17)

$ \tau _{{\text{wave2}}}^{\{ {\text{dof}}\} } = \sum\limits_{k = 1}^N {\sum\limits_{i = 1}^M {{\text{ρ g}}} } \left| {F_{{\text{wave2}}}^{\{ {\text{dof}}\} }({\omega _k},{\mu _i} - \beta )} \right|A_k^2\Delta \omega \Delta \mu。$

(18)

式中：$ F_{{\text{wave2}}}^{\{ {\text{dof}}\} }({\omega _k},{\mu _i} - \beta ) $和$ F_{{\text{wave1}}}^{\{ {\text{dof}}\} }({\omega _k},{\mu _i} - \beta ) $为浮体运动幅值响应算子，由Aqwa仿真计算得出。

2 运动性能仿真模拟

为了正确模拟风力等级与海浪等级的对应情况，本文根据蒲福氏风级^[10]模拟海况如表1所示。其中，波频均为0.84 rad/s，方向均为0°，为了分析各海况下SWG的最优性能，假设海面上产生恒定的130°真实风向风场^[11]，尾舵采用PID方法进行控制，翼帆使用基于最大航向推进力为原则的控制策略^[9]，且不考虑洋流的影响。

2.1 直航能力仿真分析

在所模拟海况下，仿真直航性能。海况#3下，船体的垂荡距离及俯仰角如图2(a)所示，水翼推力、翼帆推力和前进速度如图2(b)所示。

表2为SWG在模拟海况#1到海况#5下的运动性能时序数据的平均值及最大值，由图表中数据可知，在#1海况下，水翼推力和翼帆推力较弱，均在5 N以下，平均航向速度仅为0.29 m/s，这是由于平静的海面无法引起船体纵垂面下的升沉和俯仰运动，船体的运动较为平缓，且风速较低。随着海况等级的增加，SWG的升沉、俯仰运动更加剧烈，在较高风速下翼帆推进力也逐渐增加，使SWG的前进速度显著增加，在#3海况下，SWG的平均航速达到0.59 m/s，与传统波浪滑翔器的速度相持平^[5]，这是因为SWG虽有风帆助航，但与传统双体波浪滑翔器相比缺少了4对水翼。而随着海况继续增加，风速的影响逐渐占据主导，在#5海况下翼帆推进力约为水翼推进力的3倍，且平均航向速度达到了1.13 m/s，前进速度明显高于双体波浪滑翔器。

2.2 转向能力仿真分析

转弯半径是评价SWG机动性的重要标准，模拟SWG在海况#1到海况#5下的满舵角45°回转轨迹，如图3(a)所示。

由于SWG船体的特殊结构，在转向时受风力影响较大，从图中可知，SWG的转向轨迹受持续风的影响，出现了不完整的交叉圆，且海况越高，SWG的航向从0°变为180°的回转半径越大。

SWG在海况#1到海况#5下的偏航速度如图3(b)所示，可以看出其具有明显的波频振荡特征，这是因为SWG在做回转运动时，遇到的波浪方向也会发生变化，在不同的航向角下表现出不同的频率波动。在波浪力引起的高频运动同时，还存在操纵运动引起的低频运动，使得偏航速度的高频振荡幅度随波浪方向的变化而变化。

由此可知，SWG因海况不同而具有不同的速度波动周期，海况越高，转弯半径越大，平均偏航速度越高，这是因为海况越高，波高和风速越高，SWG所获得的风能和波浪能的总和越大。

3 海试验证

为了验证SWG模型的有效性及机动性，于2023年2月19日在青岛千里岩附近海域进行了海试试验，如图4所示。部署点为(121.05223°E, 36.21236°N)，试航时，波浪高度范围为0.5～0.9 m；洋流速度范围0.3～0.6 m/s；风速范围为0.8～9.2 m/s，风向以正北风为主。试验过程中，通过GPS获取SWG的位置和速度，并通过罗盘获取SWG的姿态信息。

为分析SWG的最大转向能力，试航时应用最大舵角45°。从图5(a)可知，风向为正北风。平均风速为3.7 m/s；平均波高为0.5 m；洋流流速为0.33 m/s；洋流方向为正北；在该环境参数下，SWG的平均航速为0.26 m/s；平均旋转最大位移约为89 m；平均旋转最小位移约为38 m。

由于洋流和翼帆横向侧推力的影响，SWG的运动轨迹包含许多不完整的圆，并且存在较大的交叉圆。在一个回转周期内，SWG回转半径的最大值和最小值有明显差距。结果表明，SWG的回转半径受风、波浪和洋流参数影响。

模拟环境条件进行数值模拟，回转轨迹如图5(b)所示，平均旋转最大位移与平均旋转最小位移与海试轨迹基本符合，但观察到实际海试中发生了轨迹偏移，其主要原因是洋流的存在，而模型在建立过程中未充分考虑洋流的影响，这导致了实际海试轨迹与仿真轨迹之间在洋流方向上存在一段偏差，距离约为100 m。通过对比海试与仿真结果，可以看出本文所构建的SWG五自由度运动模型能够准确预测SWG的回转半径。

4 结　语

本文以风帆助航波浪滑翔器为研究对象，建立了包含风、浪扰动的无人帆船运动模型，结合SWG的运动方式，分析其垂荡和俯仰运动姿态、水翼及翼帆的推进力，构建仿真环境对模型进行了验证，仿真分析了不同海况下SWG的直航性能和转弯性能。最后进行实际海试，并对比了仿真结果，结果表明所建立的SWG 5自由度运动模型较为准确。