0 引　言

船舶主体三维造型建模技术的引入，标志着船舶设计和制造进入了一个新的阶段^[1]。传统的船舶二维设计只能提供平面视图，而三维建模技术可以直观展示船舶各部分和整体结构，便于设计师和客户更清晰地理解设计方案，进行有效沟通。有助于优化船舶结构，提高船舶性能，降低成本^[2]。

Rachman等^[3]将紧密耦合的整体与分区策略，应用于船舶三维模型构建中，能够确保构建船舶三维模型时，保持高度的整体性和一致性，避免模型在构建过程中出现断裂、错位或不一致的问题，提高了模型准确性。但是该方法构建的船舶三维模型，对特定软件或平台的依赖性过高，如果软件或平台发生变化或更新，将导致模型无法兼容或需要进行大量的修改工作。太志伟等^[4]研究三维船舶模型边界表示转构造表示方法。将边界表示转换为构造表示后，利用构造表示的灵活性对模型进行添加、删除或替换基本体等修改，提高模型修改效率，构建更加复杂、精细且易于修改的船舶三维模型。但是边界表示转构造表示的转换过程涉及复杂的几何和拓扑分析，需要解析边界表示的几何结构，根据拓扑结构组合为构造表示实体，转换过程中容易导致数据丢失。杨晓等^[5]通过VR技术，构建高度逼真的三维虚拟船舶模型，使用户能够身临其境地感受船舶的实际环境和操作过程，提高了仿真的沉浸感，但该方法需要处理大量的三维数据和实时交互数据，数据处理能力不足时，容易出现仿真效果下降或系统崩溃等问题。何丽丝等^[6]通过特定的数据转换方法，实现船体结构三维模型在不同软件平台之间的无缝传输，避免了数据丢失和格式不兼容的问题。技术转换后的模型数据，采用标准化格式进行存储和传输，增强了模型的可读性。但该模型在复杂模型转换时，容易出现细节丢失或变形等问题。

非均匀有理B样条（Non-Uniform Rational B-Spline，NURBS）曲线方程通过控制顶点和相应权因子，改变曲线形状。NURBS曲面能够利用数学模型对初级曲线曲面、二次曲线曲面以及自由曲线曲面进行准确表示。针对以上方法在船舶建模中存在的问题，提出基于NURBS曲面的船舶主体三维造型建模方法，实现船体曲面的参数化设计和灵活修改，为船舶设计和制造提供可靠的技术支持。

1 船舶主体三维造型建模方法 1.1 船舶主体曲面型值点的坐标转换

船舶主体由多个叶片曲面组成。在$ u $方向上，不同半径的圆锥面，将叶片曲面分为$ n $个截面；在$ v $方向上，展平空间截面后，可得$ m $个二维型值点。所获取的二维型值点，无法直接应用于船舶主体造型设计中。利用NURBS曲面建立船舶主体三维造型模型前，需要对船舶主体的曲面型值点进行坐标转换处理。设$ OXY $坐标系内，存在型线上的随机点$ S\left( {{x_1},{y_1}} \right) $，将该型线卷回至锥面后，存在于$ O'X'Y' $坐标系内，对应的点即$ S\left( {{x_2},{y_2}} \right) $。存在几何关系$ \overline {OO'} = z\csc \phi $，$ \phi $为该点与$ z $轴的夹角，可得叶片截面上随机点半径的表达式如下：

$ {r_i} = \overline {OS} = \sqrt {{{\left( {z\csc \phi + {x_1}} \right)}^2} + y_1^2} 。$

(1)

式中：$ A $与$ S $点的子午投影对应。

设存在$ \angle SO'A = \beta $，$ \angle SOA = \xi $，则存在如下的表达式：

$ SA=\overline{{O}^{\prime }S}\beta =\overline{OS}\xi 。$

(2)

依据式(2)，可得如下表达式：

$ {r_i}\sin \phi \beta = {r_i}\arcsin \left( {\frac{{{y_1}}}{{{r_i}}}} \right)，$

(3)

$ \beta = \csc \phi \arcsin \left( {\frac{{{y_1}}}{{{r_i}}}} \right)。$

(4)

因此，$ O'X'Y' $坐标系下，$ S $点坐标如下：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} = {r_i}\cos \phi - {z_0}{\rm{ctg}}\phi } ，\\ {{y_1} = {r_i}\sin \phi \sin \left( {\csc \phi \cdot \arcsin \left( {{y_1}/{r_i}} \right)} \right)} ，\\ {{z_1} = {r_i}\sin \cos \left( {\csc \phi \cdot \arcsin \left( {{y_1}/{r_i}} \right)} \right)} 。\end{array}}\right. $

(5)

利用以上过程，实现船舶主体造型的二维平面坐标至三维坐标系的映射。

1.2 船舶主体三维造型的NURBS曲面

S_i为坐标转换后的船舶主体造型控制点，其数量为$ n + 1 $；W_i为船舶主体造型控制点对应的权因子，船舶主体三维造型的$ k $阶$ k - 1 $次NURBS曲线的表达式如下：

$ C\left( u \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{W_i}{S_i}{N_{i,k}}\left( u \right)} /\sum\limits_{i = 0}^n {{W_i}S{N_{i,k}}\left( u \right)} 。$

(6)

式中：W_i与S_i分别为权因子以及多边形顶点的位置矢量；N_{i, k}与$ u $分别为调和函数以及自变量。

依据递推公式，定义式(6)中调和函数的初始状态表达式如下：

$ {N_{i,1}}\left( u \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,\left( {{t_{k - 1}} \leqslant u \leqslant {t_{n + 1}}} \right)} ，\\ {0,{\rm{other}}} 。\end{array}} \right. $

(7)

依据式(7)，获取船舶主体三维造型模型构建的调和函数更新公式如下：

$ {N_{i,k}}\left( u \right) = \frac{{\left( {u - {t_i}} \right){N_{i,k - 1}}\left( u \right)}}{{{t_{i + k - 1}} - {t_i}}} + \frac{{\left( {{t_{i + k}} - u} \right){N_{i + 1,k - 1}}\left( u \right)}}{{{t_{i + k}} - {t_{i + 1}}}} 。$

(8)

式中：$ {t_i} $为船舶主体造型节点。节点$ {t_{i + 1}} - {t_i} $为常数时，为均匀B样点函数；当节点$ {t_{i + 1}} - {t_i} $不等于常数时，为非均匀B样条函数。

依据船舶主体的造型曲线，获取船舶主体造型的NURBS曲面表达式如下：

$ C\left( {u,v} \right) = \frac{{\displaystyle\sum {{w_{i,j}}{d_{i,j}}{N_{i,k}}} \left( u \right){N_{j,l}}\left( v \right)}}{{\displaystyle\sum {{w_{i,j}}{N_{i,k}}\left( u \right){N_{j,l}}\left( v \right)} }} 。$

(9)

式中：d_{i, j}为由控制顶点组成的控制网格；w_{i, j}为控制顶点d_{i, j}对应的权因子，N_{j, l}(v)为由$ u $向节点矢量与$ v $向节点矢量决定的$ k $次与$ l $次的规范B样条基。

利用以上过程确定船舶主体三维造型的NURBS曲面，作为构建船舶主体三维造型模型构建的基础。

1.3 NURBS曲面反求的船舶主体三维造型模型

为了利用船舶主体造型NURBS曲面的控制点，构成1条3次B样条曲线，通过NURBS曲线反求方法，使曲线首末端点与控制点相通。由n个控制顶点D_i与节点矢量$ u $定义船舶主体造型的B样条插值曲线。对数据点进行规范积累弦长参数化处理获取的结果用$ {\tilde u_i} $表示，利用该值确定船舶主体造型定义域内的节点值$ {u_{3 + i}} $。依据插值条件，获取由未知矢量组成的，包含n+1个控制顶点的m+1个线性方程如下：

$ S\left( u \right) = \sum\limits_{j = i - 3}^i {{D_j}{N_{j,3}}\left( u \right)}。$

(10)

式(10)需满足如下的插值条件：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {S\left( {{u_i}} \right) = \displaystyle\sum\limits_{j = i - 3}^i {{D_j}} {N_{j,3}}\left( u \right)}，\\ {S\left( {{u_{n + 1}}} \right) = \displaystyle\sum\limits_{j = n - 3}^i {{D_j}} {N_{j,3}}\left( {{u_{n + 3}}} \right)} 。\end{array}} \right. $

(11)

利用以上过程获取$ m + 1 $个方程，作为船舶主体三维造型模型的曲线。

在超平面w=1上，利用所获取的控制顶点D_i，投影获取船舶主体造型NURBS曲线的控制顶点d_i。沿$ u $向，依据给定的型值点，反求NURBS曲线，控制船舶主体的多边形顶点，获取控制点D_j；再沿$ v $向，通过反求NURBS曲线方法，进行多边形顶点控制。通过2次NURBS曲线反求，获取控制点网格d_i,j，作为船舶主体三维造型的原始插值型值点。

依据所获取的NURBS曲面，构建船舶主体三维造型模型的流程图如图1所示。

分析图1可知，对船舶主体的曲面型值点进行坐标转换。利用转换后的曲面型值点，创建船舶主体基准面，生成船舶主体型线，光顺处理利用船舶主体型线构建的型线模型。确定船舶主体三维造型模型的NURBS曲面，对NURBS曲面反求处理，构建船体曲面造型模型。对所构建的船体曲面模型光顺处理，完成船舶主体三维造型模型构建。

2 实例分析

为了验证本文方法构建船舶主体三维造型模型有效性，将该方法应用于某船舶制造公司的船舶设计中。选取某5000 t的集装箱船舶作为设计对象，采用本文方法确定船舶主体造型的型值点，组成船舶主体造型型线。船舶主体造型型线的确定结果如图2所示。由图2可知，采用本文方法能够有效确定船舶主体造型的型值点。由型值点组成的型线，是船舶主体造型模型构建的基础。确定型值点时，NURBS方法通过对船体进行细致地划分和定位，确保由型值点组成的型线，能够准确反映船舶主体的几何特征。

采用本文方法对船舶主体曲面进行三角形划分，获取船舶主体曲面的线框图如图3所示。可知，本文方法能够有效对船舶主体的造型曲面进行三角形划分。通过三角形面片绘制方法，实现船舶主体造型曲面的绘制。

基于图3的船舶主体曲面线框图，构建船舶主体造型的NURBS曲面如图4所示。可知，NURBS曲面能够有效创建更逼真、生动的造型，是因为NURBS曲面具有高度的灵活性，可以根据设计需求进行自由的修改和调整，有助于设计人员快速响应各种变化和要求，提高设计效率。

对船舶主体曲面进行三角形填充以及浓淡处理，获取逼真的部分船舶主体三维造型模型如图5所示。本文方法通过合理选择控制参数，构造精确、光滑且满足航行性能要求的船体NURBS曲面。NURBS技术具有强大的表达能力，能够精确地捕捉和表示船体曲面的复杂形状。通过合理设置控制点和权重，确保生成的曲面与预期的船体形状高度一致，满足船舶设计与性能分析需求。

3 结　语

NURBS曲面建模技术能够准确表示不同类型的曲线曲面，适用于包含多种曲线类型的复杂船体曲面建模。采用NURBS技术进行船体曲面建模，实现高精度的曲面表达。通过合理的控制点布局和权因子调整，显著提高建模效率，减少设计周期。通过实际案例验证，利用NURBS技术构建的船舶主体三维造型模型，具有较高的可靠性。该技术提高了船体曲面建模效率，满足船舶主体三维造型参数化设计需求。