0 引　言

当前，船舶结构健康监测系统的研究和应用受到广泛关注^[1]，其通过将光纤光栅传感器布设于船体结构中的方式，对船体关键结构状态进行实时监测，以便在结构失效前发出预警，是保障船舶结构安全可靠性的重要手段之一。然而传感器布设成本较高且数量有限，布设区域受设备大小及信息传输等因素限制，严重制约船舶结构健康监测系统的实际应用^{[2 − 5]}，难以实现全船结构响应的实时监测与评估。

得益于信息化背景下大数据、物联网、云计算等配套技术的快速发展，基于数字孪生（Digital Twin, DT）的船舶结构监测技术逐渐成为智能船舶的重要发展方向^{[6 − 9]}。其旨在数字虚拟世界构造一个与现实世界完全一致的虚拟实体，且虚拟实体与物理实体间实现孪生数据的双向互通，使数字孪生体具备实时迭代优化的能力，从而实现针对物理实体高精度高可靠性的实时监测。船体结构数字孪生旨在同结构监测有机结合，为全船结构监测及评估提出新的思路^{[10 − 13]}。

精确性、实时性与可交互性是构建船体结构数字孪生的重点与难点。针对上述技术难题，日本船舶技术研究协会于2018年启动“船体结构数字孪生研发”项目，旨在构建包含载荷识别，降阶模型与安全评估等方面的大型船体结构数字孪生体系，以便在虚拟空间精确再现船体结构的实际状态^[14]。其中降阶模型（Reduced Order Model, ROM）作为一种降低大型复杂系统的分析难度以及数据计算量的方法，能够在保证精度的前提下快速获得结构整体响应，是解决数字孪生面临的精确性和实时性问题的主要方法之一。常见的降阶方法包括本征正交分解法（Proper Orthogonal Decomposition, POD）^[15]，子空间法（Krylov subspace）^{[16 − 17]}与动态模态分解法（Dynamic Mode Decomposition, DMD）^{[18 − 19]}等，其中基于POD的模型降阶方法具有计算效率高、通用性强的特点，近年被广泛应用于结构领域^[20]。Feeny等^[21]分别针对结构自由振动及强迫共振进行固有正交模态研究，并在低维数值中有较好拟合效果。Phalippou等^[22]提出一种新的误差估计方法，大幅降低计算时间，并针对泰勒梁进行可行性验证。梅冠华等^[23]基于本征正交分解法建立兼具高效性和全局性的降阶模型，相较于Galerkin法可在同等精度情况下大幅提升计算效率。在悬臂板应用上，陈兵等^[24]利用POD探究其对不同系统降阶效果，并验证其在频域分析中的可靠性。肖龙辉等^[25]采用POD完成船体典型结构位移场降阶，从而实现了快速求取结构降阶模型在各工况下的位移值，并与有限元结果吻合较好。

综上所述，基于POD的模型降阶技术已日益成熟，并在结构响应预报与模型降阶方面具有较好的应用潜力。然而常规模型降阶技术并未考虑物理空间的船舶结构响应情况，仅通过有限元计算结果进行模型降阶，导致降阶模型缺乏足够的精确性；缺乏通过结构实际响应情况对已有降阶模型的修正方法，无法满足数字孪生的可交互性，因此针对现有降阶模型进行修正更新具有重要意义。目前，模型修正方法主要分为矩阵修正及参数修正，Tariq等^[26]基于对多跨梁桥非线性动力时程分析，研究边界条件对模态参数的影响，并依据此对桥梁模型进行修正。Li等^[27]提出一种通过降阶模型在离线及在线状态下更新有限元模型的方法，提取快照矩阵中的降阶基对有限元模型进行更新，并应用于加筋汽缸结构中。王立忠等^[28]通过剪切系数对梁模型进行迭代优化修正，提高其振型及频率与试验结果的相关性。

本文提出一种基于POD方法的船舶典型结构高精度降阶模型修正技术，通过变截面梁结构垂弯载荷试验进行降阶模型及试验结果对比，验证本文方法的可靠性及有效性。进一步探究方法在动载条件下的适用性，开展变截面梁结构在波浪载荷下的模型试验研究，采用模型降阶方法创建变截面梁结构降阶模型，并基于试验测点数据对降阶模型进行修正更新，实现时域载荷下船体结构的全局响应快速精确评估。经过试验验证，本文提出模型降阶技术解决了传统模型降阶未考虑结构实际响应的问题，实现物理及虚拟模型间的交互更新，为船体结构监测及数字孪生技术提供支撑及建议。

1 计及结构实际应力状态的模型降阶技术

计及结构实际应力状态的模型降阶技术主要包含2个方面：基于POD理论的降阶模型创建与计及结构实际应力状态的降阶模型迭代。

1.1 基于POD理论的模型降阶技术

针对数值仿真计算得到的结构响应数据进行POD降阶，将快照矩阵转换为模态系数及基底向量，从而在保证精度的同时减少计算规模。

根据数值仿真计算结果，创建全阶模型所有设计样本点快照矩阵${{\boldsymbol{R}}^{n \times m}}$^[29]：

$ {{\boldsymbol{R}}^{n \times m}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{X}}_1^{(1)}}&{{\boldsymbol{X}}_2^{(1)}}& \cdots &{{\boldsymbol{X}}_m^{(1)}} \\ {{\boldsymbol{X}}_1^{(2)}}&{{\boldsymbol{X}}_2^{(2)}}& \cdots &{{\boldsymbol{X}}_m^{(2)}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {{\boldsymbol{X}}_1^{(n)}}&{{\boldsymbol{X}}_2^{(n)}}& \cdots &{{\boldsymbol{X}}_m^{(n)}} \end{array}} \right] 。$

(1)

式中：n为所有样本点数量；m为快照矩阵中降阶矩阵数目。以有限元法求解结果为例，m为网格节点数；${\boldsymbol{X}}_m^{(n)}$为第n个样本点下第m个节点的仿真结果。

针对快照矩阵${{\boldsymbol{R}}^{n \times m}}$求得最优标准正交基使得$ \left\{ {{\boldsymbol{X}}_m^n} \right\} $投影在基函数上的平方投影最大。采用拉格朗日乘数法求解最大值，需满足下式条件：

$ ({\boldsymbol{R}}{{\boldsymbol{R}}^{\rm T}} - \lambda {\boldsymbol{I}}){\boldsymbol{\varPhi }} = 0。$

(2)

将$ {\boldsymbol{R}}{{\boldsymbol{R}}^{\rm T}} $进行奇异值分解，可得：

$\begin{split} {\boldsymbol{R}}{{\boldsymbol{R}}^{\rm T}} =\;& {\boldsymbol{US}}{{\boldsymbol{V}}^{\rm T}}{\boldsymbol{V}}{{\boldsymbol{S}}^{\rm T}}{{\boldsymbol{U}}^{\rm T}} = {\boldsymbol{USI}}{{\boldsymbol{S}}^{\rm T}}{{\boldsymbol{U}}^{\rm T}} =\\ &{\boldsymbol{U}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sigma _1^2}&{}&{}&{}&{}&{} \\ {}&{\sigma _2^2}&{}&{}&{}&{} \\ {}&{}& \ddots &{}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{\sigma _n^2}&{}&{} \\ {}&{}&{}&{}& \ddots &{} \\ {}&{}&{}&{}&{}&0 \end{array}} \right]{{\boldsymbol{U}}^{\rm T}}。\end{split} $

(3)

式(3)为协方差矩阵${\boldsymbol{A}} = {\boldsymbol{R}}{{\boldsymbol{R}}^{\rm T}}$的特征值分解，矩阵${\boldsymbol{U}} $的列向量为矩阵${\boldsymbol{A}}$的特征向量，即本征正交分解基底；对角阵上为矩阵${\boldsymbol{A}}$的特征值${\lambda _i} = \sigma _i^2$。通过奇异值分解法即可获得一组能够描述全阶模型的标准正交基$ {\boldsymbol{\varPhi }} $。

通过选取前k阶特征值，进一步将原矩阵的维度进行压缩。子空间总能量与全阶模型总能量之比$ I(k) $为：

$ I(k)=\frac{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^k\lambda_i}{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i}。$

(4)

式中：$ {\lambda _i} $为第i个特征值；$\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^k {{\lambda _i}} $为前k阶特征值之和；$\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}} $为全阶模型特征值之和，$ k \leqslant n $。

由于奇异值分解的特性，前k阶特征值即可有效反映原始数据的特征。其中，k的取值由能量比$ I(k) $决定。通过模态系数与特征向量的线性叠加计算得降阶后任意样本向量$ {{\boldsymbol{X}}^{(n)}} $：

$ {{\boldsymbol{X}}^{(n)}} = {\alpha _{1n}}{\phi _1} + {\alpha _{2n}}{\phi _2} + \cdots + {\alpha _{kn}}{\phi _k} 。$

(5)

式中：α_kn为第n个工况下第k个基底向量对应的模态系数，与载荷幅值相关。

在完成基于POD理论的仿真样本数据降阶，并获得设计样本空间下对应的基底向量$ {\phi _k} $和模态系数α_kn后，需进一步建立模态系数α_kn与结构载荷幅值的关系映射，从而获得不同载荷幅值所对应模态系数α_kn，进而快速反馈结构全局响应特性。本文所提出的计及结构实际应力状态的降阶模型技术，采用人工神经网络算法建立载荷-模态系数关系映射。

1.2 计及实际应力状态的模型降阶技术

由于受到初始缺陷、残余应力、边界约束条件等因素影响，结构应力响应的试验监测结果与有限元数值仿真计算之间不可避免地存在一定偏差。由POD理论可知，基于POD的降阶模型由载荷-模态系数映射及基底向量组成，当输入载荷F时，通过映射关系获取模态系数α_kn，模态系数与基底向量的线性叠加构成结构整体响应，其中基底向量为不变量，因此可通过更新模态系数以提升结构响应精度。基于神经网络理论^[32]，增加学习样本数量可有效提高神经网络泛化能力，因此本文提出一种基于结构实际应力状态的模态系数求解方法，以对降阶模型进行迭代更新。

当结构受载荷F_t作用时，其降阶模型各节点处响应可由下式表述：

$ x_i=\sum\limits_{{k}=1}^i\alpha_{kt}\phi_{ki}。$

(6)

式中：x_i为编号为i的节点处结构监测响应数据；α_kt为载荷为F_t时对应的第k个模态系数；ϕ_ji为第k个基底向量中的第i行的值。

将式(6)进行求解，即可获得载荷为F_t时各模态系数：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _{1t}}}&{{\alpha _{2t}}}& \cdots &{{\alpha _{kt}}} \end{array}} \right] = {x_i}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\phi _{1i}}} \\ {{\phi _{2i}}} \\ \vdots \\ {{\phi _{ii}}} \end{array}} \right]^{ - 1}}。$

(7)

使式(7)有解，需选取与模态系数数量相同的结构测点数量。一般情况下结构测点数量大于模态系数数量，因此需采用冒泡算法对选取测点进行迭代。计算修正后的降阶模型测点预测值，与试验结果进行比较，根据决定系数R²判断回归数据拟合程度，并遍历全测点组合形式。选取R²最优测点组合作为模型修正数据，创建新的载荷-模态系数映射并对原降阶模型进行更新。计及结构实际应力状态的降阶模型创建流程如图1所示。

2 变截面梁试验模型

针对船体典型结构变截面梁开展模型试验研究，提供结构模型实时动态响应，以建立计及结构实际应力状态的降阶模型用于模型迭代与结果验证。为满足各剖面的结构刚度相似关系，采用铝制变截面梁以满足与实船结构相似动力条件，其型式及各截面尺寸如图2所示，为明确不同载荷幅值下变截面梁结构响应特性，试验选择A、B两个监测截面进行研究，利用光纤光栅传感器体积小、抗腐蚀、布设周期短、稳定性高等优点^[30]，在各监测截面上布置6个采样频率为100 Hz的光纤光栅传感器如图3所示。测点采集各截面的应力响应分布情况，为创建降阶模型提供数据基础。变截面梁试验模型材质为铝合金，材料屈服强度σ_Y为100 MPa，弹性模量E为69 GPa，泊松比为0.3。

3 垂弯载荷降阶模型创建及分析 3.1 仿真模型

通过有限元直接计算法对变截面梁结构开展垂弯载荷静态响应分析，变截面梁结构有限元模型如图4所示，共计3692个单元。变截面梁固支端为固支约束条件，加载端作用垂向载荷F。通过拉丁超立方分层采样方法创建样本数为30的样本空间，并基于样本点进行有限元求解，得到降阶模型所需的快照矩阵。

3.2 变截面梁降阶模型创建及试验验证

采用POD得到快照矩阵特征值以及对应基底向量，前5阶特征值能量占比情况如表1所示。可见当保留前2阶特征值时能量占比已超过99.99%，可知前2阶特征值及基底向量即可表征全阶模型特征，故而保留前2阶特征值进行各样本点模态系数计算，可得到基于仿真计算的变截面梁降阶模型。

基于变截面梁结构模型试验监测数据，完成创建降阶模型所需数据处理工作。根据梁弯曲理论^[31]，在小变形范围内，截面梁上下面板所受拉压应力数值相等。为避免试验测试干扰因素造成降阶模型迭代误差，本文选取试验模型监测截面上测点1～测点4测试结果的算数平均值来表征模型截面实际应力状态。降阶模型计算得到的A、B监测截面测点应力与试验数据对比如图5所示。降阶模型计算结果与不同载荷下的结构实际响应拟合较好，趋势一致，但仍然存在一定误差，B监测截面上测点误差相对较大，因为有限元模型未能准确考虑实际结构中的初始缺陷以及边界约束效应。因此基于有限元计算结果的降阶模型与实测数据间出现误差，有必要通过实测数据对已获得降阶模型进行迭代更新，考虑变截面梁结构实际应力状态，以提高降阶模型预报准确性。

3.3 计及结构实际应力状态的降阶模型创建

基于本文模型降阶技术，对垂弯静载作用下的变截面梁进行降阶模型修正。针对A监测截面测点进行研究，遍历测点组合后确定测点1及测点3组合下模型修正效果最优，其线性回归如图6所示。基于此测点组合不同载荷工况下的实际应力响应进行模态系数计算，并添加至神经网络训练数据中，重新创建迭代后的降阶模型。最终所得到计及结构实际应力状态的降阶模型计算结果，与试验模型A和B监测截面上实测数据对比情况如图7所示，取典型工况F = 98 N时变截面梁应力结果云图进行对比，如图8所示。

由图7与图8可知，降阶模型同试验数据拟合较好，但仍存在误差，在最大值处误差达到6.443%。通过结构测点数据对模态系数的更新迭代后，降阶模型精度大幅提升，其中A监测截面测点平均误差减少55.83%，B监测截面测点平均误差减少48.42%。证明本文计及实际应力状态的降阶模型可以在原降阶模型的基础上进行迭代，使计算结果更接近真实结构响应情况。

通过降阶模型与有限元仿真计算各工况的应力场，二者计算时间对比如表2所示。相较有限元计算，降阶模型计算效率平均提升84.82%，满足数字孪生的实时性要求。对于降阶模型而言，计算样本空间内结构响应及数据降阶会消耗大量时间，然而基底向量及载荷-模态系数关系映射建立完成后，仅需输入载荷幅值并获得对应模态系数，进而同基底向量进行线性叠加即可获得结构整体响应结果，因此在完成降阶模型建立后，可大幅减小计算所需时间，为实现数字孪生体实时性提供技术基础。

4 波浪载荷降阶模型创建及分析 4.1 仿真模型

为验证本文模型降阶技术在时域载荷情况下的适用性，针对B监测截面进行波浪载荷下的结构响应特性研究。根据光纤光栅传感器监测数据计算各监测截面的波浪载荷垂向弯矩，并作为输入载荷对变截面梁结构进行应力响应分析。选取变截面梁B监测截面段进行有限元模型建立，如图9所示，共计1430个单元。模型两端分别设置RP1及RP2两个与模型的端面运动耦合独立点，在RP1独立点设置线位移约束U_y = U_z = 0及转角约束UR_x = UR_y = 0，在RP2独立点设置线位移约束U_x = U_y = U_z = 0及转角约束UR_x = UR_y = 0，并在两端的独立点上施加大小相等，方向相反的波浪载荷垂向弯矩，以模拟B监测截面在波浪载荷下的响应情况。

4.2 时域降阶模型创建方法

在创建时域的结构降阶模型时，需将时间作为自变量，在全时域下选取不同时间步长组成快照矩阵，并进行降阶模型建立。进一步通过选取不同时间步长来增加或替换原本的模态系数，即可实现降阶模型的更新迭代。时域降阶模型的创建及更新方法如图10所示。

截取监测过程中3 s内B监测截面采集到的剖面垂向弯矩，通过快速傅里叶变换获得频域响应结果，如图11所示。B监测截面垂向弯矩的一阶谐振频率为0.63 Hz，幅值为896.72 N·m。将第一阶谐振时历曲线作为输入载荷进行有限元计算，以模拟结构在理想规则正弦载荷下的响应。创建时间步长为0.10 s，共包含30个样本点的快照矩阵，并进行本征正交分解。截取前2阶特征值，计算各时间步长对应的模态系数${\alpha _{nm}}$，创建时域下基于仿真数据的降阶模型。

4.3 变截面梁时域降阶模型创建

通过B监测截面测点实际监测数据对降阶模型进行修正更新。遍历测点组合并计算各组合决定系数，选取决定系数较高的测点1及测点5组合监测结果进行处理，其线性回归如图12所示。截取0～3 s内两测点各300个响应数据通过式(7)计算，获得各采样时间对应的模态系数$ {\alpha}_{{jm}}' $并更新降阶模型中载荷-模态系数映射，从而实现降阶模型的迭代。更新前后的第一阶模态系数随时间变化曲线如图13所示。

选取B监测截面的测点2及测点6响应情况进行对比研究，以验证计及结构实际应力状态降阶模型的精确性。分别读取试验过程中监测数据，基于仿真数据的降阶模型及计及结构实际应力状态的降阶模型计算结果进行比较，结果如图14所示。通过比较应力时程曲线可知，修正前的降阶模型计算结果在极值处能较好表达结构响应情况，且应力响应趋势同模型试验相同，但无法精确表达高频部分的响应情况，且在部分时间域与试验结果相差较大，最大相对误差为8.743%。而考虑结构实际应力响应后，降阶模型的精度大幅提升。误差主要集中在响应峰值区域，在神经网络拟合过程中产生，在全时间域中最大相对误差为1.062%，在可接受范围内。各测点的计算结果在高低频区域均与试验响应高度重合，能够很好反映结构在实际波浪载荷下的响应情况。

5 结　语

本文提出一种计及结构实际应力状态的降阶模型技术，针对典型船舶变截面梁结构，开展模型试验研究，并建立了计及结构实际应力状态的降阶模型，以实现降阶模型与物理模型间交互，进而对降阶模型进行迭代更新以表征结构真实响应情况。

在变截面梁静载垂弯试验中，计及结构实际应力状态的降阶模型的结构测点预报精度较仿真降阶模型提升55.83%和48.42%，在各载荷工况下的计算结果同试验监测数据拟合良好，同时可提升84.81%的计算效率，减小求解结构响应时间，满足孪生体实时性需求。在变截面梁波浪载荷试验中，计及结构实际应力状态的时域降阶模型可对仿真降阶模型进行修正迭代，在全时间域中最大相对误差由8.743%减小至1.062%。

本文提出的降阶模型技术为解决物理模型和虚拟模型交互提出了一种新的方法，满足孪生体结构状态实时性及精确性的需求，可为实际船舶结构数字孪生模型的构建提供技术支撑。