0 引　言

近年来，人类开发海洋的步伐不断加快，与海洋之间的关系愈发紧密，但深海环境复杂，大多数作业依靠人工难以独立完成，而自主水下机器人（AUV）^[1] 可以充分满足水下特殊的作业需求。控制系统是AUV完成水下自主作业任务的关键技术^[2]之一，针对不同海洋环境及作业任务需求，开展相应的控制系统开发研究，成为国内外科研工作者研究的热点问题，如预测控制^[3]、反步控制^[4]、滑模控制^[5] 、神经网络^[6]等。如何克服外部环境干扰和艇体附加质量的动态变化对AUV运动轨迹控制的影响是当前一个重要的研究方向。

面对洋流等外部海洋环境的干扰，武建国等^[7]提出一种基于扰动补偿的控制器，具有很好的鲁棒性。王金强等^[8]结合神经网络快速逼近的特性，设计的控制器具有快速收敛的特点，结合反步滑模的方法，具有很好的跟踪效果。刘丽萍等^[9]利用自适应动态滑模控制理论设计了 AUV的水平面轨迹跟踪控制器，在控制器的设计过程中引入自适应率，得到 AUV 水平面轨迹跟踪的自适应反演滑模轨迹跟踪控制器，该控制器具有很好的稳定性和鲁棒性。张国成等^[10]提出一种新型二阶滑模控制，并采用自适应调谐律估计扰动上限来对便携式AUV 进行轨迹跟踪。Yan等^[11]针对存在时变干扰影响的UUV轨迹跟踪控制问题，设计一种基于反步滑模模糊切换增益的欠驱动AUV轨迹跟踪控制方法，能够在存在扰动的情况下获得较好的跟踪效果。曹晓明等^[12]针对存在未知海流扰动条件下无人水下航行器的轨迹跟踪控制问题，提出一种欠驱动UUV的动态面反演轨迹跟踪控制方法，实验结果表明所设计观测器能够有效应对时变海流干扰问题，精确地完成UUV的轨迹跟踪控制任务。张伟等^[13]提出一种欠驱动UUV自适应RBF神经网络反步跟踪控制，实验结果表明该控制方法具有很好的实时控制和精准轨迹跟踪效果。

基于上述观察，研究人员使用干扰补偿、神经网络逼近、自适应控制等单一的方法或多种控制方法交叉引用，都对水下AUV的精确控制取得了显著成果。但研究中并未考虑AUV自身质量改变以及外界因数导致的质量改变，例如作业中海藻的缠绕，艇体附件舍弃等因素。本文采用非线性干扰观测器与自适应反步滑模算法相结合的方法，设计轨迹跟踪控制率，提高AUV的运动控制精度。在应对外部扰动的情况下，基于AUV运动模型和一般反步法，设计非线性干扰观测器进行输入补偿以及滑模自适应算法进行干扰补偿，在此基础上，考虑附加质量，提出一种新型非线性观测器（即T观测器），并将反步自适应的方法纳入闭环控制系统，以提高AUV控制的可靠性和鲁棒性。

1 建立运动模型

本节将对水下航行器（AUV）的相关问题进行阐述，包括2个坐标系建立、AUV的运动学、动力学方程，以及最终的数学模型。

AUV不仅可以沿3个坐标轴做直线运动，还可以绕着3个坐标轴旋转运动^[14]。通过对复杂海洋环境中的AUV运动特性进行分析，获取艇体的受力情况，建立AUV运动控制方程，通过对运动控制方程进行求解，可为AUV轨迹跟踪及精准控制提供实时的外界输入。

水下航行器的建模一般可以分为运动学模型建立和动力学模型建立，动力学模型则主要考虑能够引发水下航行器运动和其动态特性变化的各种外力情况；而运动学模型主要用于实现水下航行器在运动状态下的动力学解耦，描述航行器位置、姿态、速度、加速度等物理量随时间变化的问题。为了方程构建的统一性，对AUV建立惯性坐标系和附体坐标系，具体定义如图1 所示。

在水下航行器的空间运动中，通常定义2种常见的坐标系，一种是以地球作为参考系的惯性坐标系${O}_{0}-{X}_{0}{Y}_{0}{Z}_{0}$；另一种是以水下航行器载体的运动坐标系$O - XYZ$，即附体坐标系。

本文对水下航行器各参数变量定义为如下状态变量：

$\eta = {[\eta _1^{\mathrm{T}},\eta _2^{\mathrm{T}}]^{\mathrm{T}}},v = {[v_1^{\mathrm{T}},v_2^{\mathrm{T}}]^{\mathrm{T}}},\tau = {[\tau _1^{\mathrm{T}},\tau _2^{\mathrm{T}}]^{\mathrm{T}}} 。$

(1)

其中：η₁=[x, y, z]^T；η₂=[ϕ, θ, ψ]^T；v₁=[u, v, w]^T；v₂=[p, q, r]^T；τ₁=[X, Y, Z]^T；τ₂=[K, M, N]^T；${\tau _1}$和${\tau _2}$分别为定系下水下航行器的位置向量和方向向量；${v_1}$和${v_2}$分别为动系下水下航行器的线速度和角度；$\tau$为在动系下作用于水下航行器上的力和力矩向量。

1.1 运动学方程

水下航行器在惯性坐标系下的线速度表示为：

$\dot{\eta}_1=\boldsymbol{J}_1(\eta_2)v_1。$

(2)

水下航行器运动角速度变换关系表示为：

$\dot{\eta}_2=\boldsymbol{J}_2(\eta_2)v_2。$

(3)

其中：${{\boldsymbol{J}}_1}({\eta _2})$为线速度旋转变换矩阵；${{\boldsymbol{J}}_2}({\eta _2})$ 为角速度旋转变换矩阵。

故水下航行器运动学模型为：

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot \eta }_1}} \\ {{{\dot \eta }_2}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{J}}_1}({\eta _2})}&{{0_{3 \times 3}}} \\ {{0_{3 \times 3}}}&{{{\boldsymbol{J}}_2}({\eta _2})} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{v_1}} \\ {{v_2}} \end{array}} \right] \Rightarrow \dot \eta = {\boldsymbol{J}}(\eta )v。$

(4)

1.2 动力学方程

航行器在水下的运动可以看作刚体在流体中的运动，将运动坐标系的原点设在水下航行器的重心位置，则可以在运动坐标系下建立水下航行器的动力学方程：

$\boldsymbol{M}\dot{v}+\boldsymbol{C}(v)v+\boldsymbol{D}(v)v=g(\eta)=\tau+\tau_d。$

(5)

其中：${\boldsymbol{M}} = {{\boldsymbol{M}}_{RB}} + {{\boldsymbol{M}}_A} \in {R^{6 \times 6}}$为包含附加质量在内的水下航行器的惯性矩阵；${{\boldsymbol{M}}_{RB}}$ 为刚体质量及惯性矩阵；${{\boldsymbol{M}}_A}$为水动力附加矩阵；${\boldsymbol{C}}(v)$为水下航行器的科氏力和向心力矩阵；$D(v)$为流体阻力矩阵；$g(\eta )$为重力和浮力所产生的恢复力和力矩向量；$\tau \in {R^{6 \times 1}}$为水下航行器的控制输入；${\tau _d} \in {R^{6 \times 1}}$为水下航行器所受到的海流干扰。

综合AUV动力学模型和运动学模型，在三维运动空间中，忽略横摇运动对 AUV 运动的影响，可以建立五自由度 AUV 的数学模型^[15]：

$\left\{\begin{array}{l} \dot{\eta}=\overline{\boldsymbol{J}}\left(\eta\right)V，\\ \boldsymbol{M}\dot{v}+\boldsymbol{C}(v)v+\boldsymbol{D}(v)v=g(\eta)=\tau+\tau_d。\end{array}\right.$

(6)

位置跟踪误差可定义为：

$\tilde{\eta }=\eta -{\eta }_{d} 。$

(7)

2 控制器设计 2.1 非线性干扰观测器控制率设计

面对洋流，工作随机附加质量等未知干扰${\tau }_{d}$，根据 AUV 的数学模型，设计一个非线性干扰观测器T补偿未知扰动，设计T观测器为：

$\left\{ {\begin{split}& d=z+p(v)，\\ &\dot{z}=-Lz-L[p(v)+q+\tau ] 。\end{split}} \right.$

(8)

式中：$q = - [{\boldsymbol{C}}(v) + {\boldsymbol{D}}(v) + g(\eta )]$；d为T观测器中间变量；$p(v)$为待设计的非线性方程，L为T观测器的增益，同时满足：

$Lv=\dot{p}(v)。$

(9)

定义干扰误差$\tilde d = d - \hat d$ ，一般可以认为$\dot d = 0$，于是能够得到：

$\dot{\tilde{d}}=-\dot{z}-\dot{p}(v)=-L\tilde{d}。$

(10)

定义跟踪误差：

$s_1=\eta-\eta_d。$

(11)

则${\dot s_1} = \dot \eta - {\dot \eta _d} = J(\eta )v - {\dot \eta _d}$，设计滑模面为：

$s_2=\dot{s}_1+cs_1。$

(12)

其中，$c > 0$，则：

$\dot{s}_2=\dot{J}(\eta)v+J(\eta)\dot{v}+c\dot{s}_1。$

(13)

设计Lyapunov函数：

$V_1=\frac{1}{2}s_1^2+\frac{1}{2}s_2^2+\frac{1}{2}\tilde{d}^2。$

(14)

求导得：

$\begin{split}{l}{\dot{V}}_{1}= &{s}_{1}{\dot{s}}_{1}+{s}_{2}{\dot{s}}_{2}+\tilde{d}\dot{\tilde{d}} = {s}_{1}({s}_{2} - c{s}_{1})+{s}_{2}[\dot{J}(\eta )v + \\ & J(\eta ){M}^{-1}(\tau + q + \tilde{d}）\text - {\ddot{\eta }}_{\text{d}} + c{\dot{s}}_{1}] - L{\tilde{d}}^{2}。\end{split}$

(15)

设计控制率：

$\tau=MJ(\eta)^{-1}[\ddot{\eta}_{\text{d}}-c\dot{s}_1-k_1s-s_1-J(\eta)v-k_2{\rm{sgn(s)}}]-q-\tilde{d}。$

(16)

其中，${k_1} > 0,{k_2} > 0$，故：

${\dot V_1} = - cs_1^2 - {k_1}s_2^2 - {k_2}\left| {{s_2}} \right| - L{\tilde d^2} \leqslant 0。$ 式中：${\dot V_1}$为负半定，根据Lyapunov稳定判据判定系统是渐近稳定的，即可证明所设计控制律可以镇定误差，使AUV以期望轨迹航行。

(17)

2.2 自适应反步滑模控制器设计

在T观测器扰动对输入补偿的基础上，设计自适应反步滑模控制器，要求AUV 能从任意初始状态出发, 跟踪参考轨迹${\eta }_{d}$ , 并对外界扰动有鲁棒性, 跟踪误差全局渐进收敛至指定范围。

假设1　AUV 动力学模型中经过T观测器补偿的不确定项存在上界，即${\tau _u} \leqslant {\left. {\bar \delta } \right|_\infty }$，其中${\tau _u} = {\tau _d} - d$。

假设2　 跟踪参考轨迹及其导数${\dot \eta _d}$有界。

定义轨迹跟踪误差：

$s_3=\eta_u-\eta_d。$

(18)

式中：${\eta _u}$为T观测器干扰后的轨迹。

构建Lyapunov函数：

$V_3=\frac{1}{2}s_3^{\mathrm{T}}s_3。$

(19)

求导得到

$\dot{V}_3=s_3^{\mathrm{T}}[J(\eta_u)v-\dot{\eta}_d]。$

(20)

将速度$v$设为虚拟输入，设计参考轨迹的镇定函数为：

$\alpha=-J^{-1}(\eta_u)(k_3s_3-\dot{\eta}_d)。$

(21)

其中，${k_3} > 0$。

设计滑模面：

$s_4=v-a。$

(22)

设计Lyapunov函数：

$\dot{V}_4=V_3+\frac{1}{2}s_4^Ts_4+\frac{1}{2}\tilde{d}^2。$

(23)

将式(19)、式(21)代入式(23)中，求导得：

$\begin{split} \dot{V}_4= & -s_3^{\mathrm{T}}k_3s_3-s_4^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{C}(\eta_u)+\boldsymbol{D}(\eta_n))s_4+s_4^{\mathrm{T}}[\tau+\tau_u+ \\ &J^{\mathrm{T}}(\eta_u)s_3-(\boldsymbol{C}(v)+\boldsymbol{D}(v))\alpha-g(\eta_u)-\boldsymbol{M}\dot{\alpha}]-L\tilde{d}^2。\end{split}$

(24)

设计控制率：

$\begin{split} \tau= & -k_4s_4-J^{\mathrm{T}}(\eta_u)s_3- \\ &\Lambda {\rm sgn}(s_4)+\boldsymbol{M}\dot{\alpha}+(\boldsymbol{C}(v)+\boldsymbol{D}(v))\alpha+g(\eta_u)。\end{split}$

(25)

其中，$\Lambda = {\rm diag}({a_1},{a_2},{a_3},{a_4},{a_5},{a_6})$，满足${a_i} > \bar \delta ;{k_4} > 0$。故

$\begin{split} \dot{V}_4 = & -s_3^{\mathrm{T}}k_3s_3-s_4^{\mathrm{T}}(C(\eta_u)+D(\eta_n))s_4-s_4^{\mathrm{T}}k_4s_4- \\ & (s_4^{\mathrm{T}}\Lambda\rm{s}gn(s_4)+\tau_u)-L\tilde{d}^2\leqslant 0。\end{split}$

(26)

${\dot{V}}_{4}$为负半定，因此可以判定系统渐近稳定，因此该控制器可实现AUV 的运动跟踪功能。

3 仿真结果与分析

为了验证本文控制算法的有效性，以某型AUV为研究对象，以15 s为时间步长，施加复合扰动，进行轨迹跟踪控制仿真，AUV具体参数如表1所示。

在仿真验证过程中, 设计了螺旋上升轨迹跟踪。控制器参数${k_1}$=0.2、${k_2}$=0.3、${k_3}$=0.06、${k_4}$=0.08，T观测器增益$L = {\rm diag}(0.02,0.04,0.08,0,0,0)$，选取设计滑模面参数c=10，期望轨迹为：${\eta _d} = {\left[\dfrac{1}{2}{\mathrm{cos}}\dfrac{t}{2},\dfrac{1}{2}{\mathrm{sin}}\dfrac{t}{2},\dfrac{t}{{10}} - 10,0, \theta ,\psi \right]^{\mathrm{T}}}$，定义AUV初始速度为$v(0) = [1,1,1,0,0.2,0.2]$，定义AUV初始位置为$\eta (0) = [0.3,0, - 0.21,0, - 9.6,0]$，定义干扰周期T=15 s，仿真时长为45 s。

为了验证T观测器有效性，在相同初始条件的情况下，分别用基本的反步法控制器和加入T观测器的控制器进行对比。仿真结果如图2所示。

可以看出在存在外界干扰的情况下，没有加入T控制器的实际轨迹与期望轨迹偏差较大，加入T控制器后误差进一步减小。仿真结果表明加入T控制器后，控制器的控制效果更好，证明了T控制器的有效性。图3为T控制体的期望干扰观测值与实际干扰值对比，从仿真结果可知T控制器的干扰观测值十分接近期望值，经过3 s 左右的预估计，曲线逐渐趋于稳定，基本与期望干扰值重合。

为了证明反步滑模自适应控制器的有效性，在加入T观测器的初始条件下，加入反步滑模自适应控制环节。仿真结果如图4所示，实际轨迹与期望轨迹基本重合。

各方向的自适应干扰力如图5所示，自适应干扰力十分接近期望干扰力。图6中可以看出各方向位置跟踪误差趋近于0。

图4～图6 的仿真的结果表明，本文所设计的自适应反步滑模控制器有较好的补偿效果，有效解决了水下AUV轨迹跟踪的外界干扰和附加质量变动问题。

4 结　语

针对 AUV 在洋流等外部未知环境干扰和自身附加质量变动情况下的轨迹跟踪及控制问题，设计一种基于自适应反步滑模的AUV控制器。该控制器通过非线性观测器补偿控制输入，提高了轨迹跟踪的精确度，达到了一定的跟踪效果。通过自适应反步滑模的方法进一步补偿误差，得到想要的跟踪效果。仿真结果表明，本文所设计的控制器可以有效的提升AUV水下运动轨迹控制的稳定性和精准性。后期将针对欠驱动AUV跟踪控制中的抖震问题展开研究，并通过实验手段对控制器进行验证。