0 引　言

声自导是利用目标辐射或反射的声能量对鱼雷产生控制信号使鱼雷导向目标的。通常把声自导鱼雷发现并跟踪目标时的运动轨迹称为导引弹道。由定义不难看出对导引弹道的基本要求是：一是鱼雷能在最短的时间内以最短的航程去接近目标；二是鱼雷航迹中的最小的曲率半径应不小于鱼雷的最小回旋半径，即弹道曲线的需用法向过载不大于鱼雷可用法向过载^[1-2]。

比例导引法是声自导雷导引过程的一种重要方法，是鱼雷弹道切线的旋转角速度与视线的旋转角速度成正比的一种导引方法；尾追法是鱼雷的速度矢量始终指向目标，即弹道的切线始终与视线重合^[3]。本文在建立比例导引法模型的基础上对鱼雷声自导导引弹道进行空间仿真，并与尾追法进行比较，进而对仿真弹道进行检验分析，最后计算得到使鱼雷命中概率不低于0.90时目标速度的可攻性范围。

1 比例导引法的数学模型

研究鱼雷导引运动时通常采用相对运动方程^[4]，图1为极坐标建立的相对运动方程。图中，$ T $为鱼雷的初始位置，$ M $为目标的位置，$ MT $是为视线，也称瞄准线，r为鱼雷与目标之间的距离，$ q $是为视线与基准线间的夹角，$ {\eta _t} $、$ {\eta _m} $分别为鱼雷和目标速度矢量与视线的夹角，称为提前角或前置角^[5]，$ {\sigma _t} $和$ {\sigma _m} $分别为鱼雷和目标速度矢量和基准线的夹角，称为鱼雷和目标的弹道偏角。

根据鱼雷与目标的相对运动关系，由两者的速度在视线上的投影可得到相对距离的变化率：

$ \frac{{{\mathrm{d}}r}}{{{\mathrm{d}}t}} = {V_m}\cos {\eta _m} - {V_t}\cos {\eta _t} 。$

(1)

舷角的变化率则由两者速度在垂直视线方向的投影可得：

$ \frac{{{\mathrm{d}}q}}{{{\mathrm{d}}t}} = \frac{1}{r}({V_t}\sin {\eta _t} - {V_m}\sin {\eta _m})。$

(2)

比例导引法是鱼雷的弹道切线的旋转角速度与视线的旋转角速度成正比的一种导引方法^[6]。其约束方程为：

$ \frac{{{\mathrm{d}}\sigma }}{{{\mathrm{d}}t}} = k\frac{{{\mathrm{d}}q}}{{{\mathrm{d}}t}}。$

(3)

式中：$ k $为比例常数。

又因为$ q = {\sigma _m} + {\eta _m} = {\sigma _t} + {\eta _t} $，所以可以建立比例导引法数学模型为：

$ \left\{ \begin{gathered} \frac{{{\mathrm{d}}r}}{{{\mathrm{d}}t}} = {V_t}\cos {\eta _t} - {V_m}\cos {\eta _m}，\\ \frac{{{\mathrm{d}}q}}{{{\mathrm{d}}t}} = \frac{1}{r}({V_m}\sin {\eta _m} - {V_t}\cos {\eta _t}) ，\\ \frac{{\mathrm{{d}}\sigma }}{{{\mathrm{d}}t}} = k\frac{{{\mathrm{d}}q}}{{{\mathrm{d}}t}} ，\\ q = {\sigma _m} + {\eta _m}，\\ q = {\sigma _t} + {\eta _t}。\\ \end{gathered} \right. $

(4)

模型的第3个公式实际上是前2个公式的补充，因为前2个公式含有3个未知数，要求解就需要补充一个方程，这个方程就是由比例导引法确定的约束条件。上述方程组中$ {V_t} $、$ {V_m} $、$ {\eta _m} $为已知，方程组是封闭的，可以求得定解。根据$ r(t) $、$ q(t) $可求得鱼雷相对目标的运动轨迹。

2 模型仿真分析

根据上述数学模型运用Matlab软件^[7]对比例导引法的弹道进行仿真。假定仿真条件如下：鱼雷速度$ {V_t} = 10～30\ {\mathrm{m/s}} $，目标速度$ {V_m} = 6～12\ {\mathrm{m/s}} $，仿真步长0.1 s，仿真时间156 s，命中目标的判断条件为雷目距离小于等于3 m。鱼雷发现目标初始位置（5000，0，−25），目标初始位置（4000，2500，−10），这样的攻击态势是假定鱼雷在水下25 m发现并攻击水下10 m的目标，仿真中假设目标航深不变，且沿X负轴方向匀速行进。同时为便于说明比例导引法的弹道特性和尾追法弹道进行了对比，仿真结果如图2和图3所示：

图2的仿真得出鱼雷命中点为（2132.9，2497.1，−10.1），从开始导引到命中目标时间为156 s。图3为同一态势下的尾追法导引弹道，鱼雷命中点为（1877.8，2500，−10），从开始导引到命中目标时间为178 s。

比较图2和图3可知，比例导引法弹道比较平直，中末程弹道近似直线，航程损失小，且从舷侧命中目标，引信等效面大，提高了攻击可靠性。尾追法导引时间长，弹道弯曲明显，航程损失大，末程时绕到目标尾部跟踪，造成引信等效面减小不利非触发引信动作，此外，这种导引方式对主动声自导尤为不利，因为尾追的情况下一方面目标强度显著降低而易丢失目标，另一方面易造成鱼雷体目标识别错误而放弃跟踪。

图4～图6为不同比例导引系数下的导引弹道，可以看出当k=2时，弹道弯曲较大，当k=5时，弹道几乎成一条直线，也就是说当k越小导引弹道越弯曲，k较大时，弹道平直。可见比例常数的选取在鱼雷导引过程中至关重要，太小则弹道的弯曲程度增加，法向过载增加；太大也不行，因为视线的微小变化率将引起弹道切线旋转角速度的较大变化，从而需用法向过载就可能超过可用法向过载。图7为尾追法导引下鱼雷需用法向过载随不同的速率比、舷角的变化曲线，当雷目速率比大于2时，弹道需用过载单调增加，接近目标时过载显著增大，这种情况下弹道需用法向过载将大于鱼雷可用法向过载而导致鱼雷脱靶。

3 导引弹道效果检验 3.1 弹道机动性检验

鱼雷的机动性一般用法向过载来评价，基本要求是弹道需用法向过载不大于鱼雷可用法向过载，这是鱼雷速度矢量能跟上目标的转动不造成脱靶的必要条件。对于比例导引法可以从鱼雷在导引过程中舷角的变化量来评价导引弹道法向过载的变化情况，如下式：

$ \left| {{q_k} - {q_0}} \right| \leqslant \frac{{\arcsin (1/p)}}{{k - 1}}。$

(5)

式中：$ {q_k} $为鱼雷和目标相遇时的舷角；$ {q_0} $为初始舷角；$ p $为速率比；$ k $为比例系数。由表1可以看出比例导引法弹道的弯曲程度。

由表看出随着k值的增大鱼雷在整个运动过程中舷角的变化减小，这表明随着k值的增加弹道的弯曲程度减小，或者说弹道的法向过载减小，这个理论结果和上述图4～图6中仿真弹道所得出的结论一致。对于尾追法弹道，从图7可知，当速率比$ p $>2时，鱼雷接近目标弹道需用过载单调增加，若大于鱼雷可用法向过载，则导致鱼雷脱靶。可见，对于比例导引法选取合适的比例系数能获得较为平滑的导引弹道，减小弹道所需法向过载，提高鱼雷的机动性。

3.2 命中概率检验

本文采用蒙特卡洛统计模拟法^[8]对比例导引法弹道和尾追法弹道的战术效果进行评定，评定的准则是以导引航程限制下的鱼雷捕获概率为依据，分别考虑鱼雷速度及其误差，目标速度及其误差下的命中概率。最后在确定的命中概率下对目标速度的可攻性进行了仿真分析。

3.2.1 命中概率分析

以上一节的攻击态势为基础，考虑鱼雷速度和目标速度的误差分布，在两者速度的分布区间随机模拟1000次攻击试验，计算比例导引法和尾追法的命中概率。假设鱼雷速度为20±2 m/s；目标速度为12±2 m/s；导引段最大航程为4300 m，命中目标的判断条件为雷目距离不大于3 m，试验结果如表2所示。

由表可以看出在同等试验条件下，比例导引法的命中概率显著高于尾追法。

3.2.2 目标可攻性分析

通过蒙特卡洛试验以鱼雷命中概率不低于0.90为准则^[9]，以鱼雷速度误差和最大导引航程为约束条件，求得使鱼雷命中概率不低于0.90的目标速度可攻性范围，为鱼雷作战使用提供参考，如表3所示。

表中求得的可攻目标速度范围是命中概率为0.90时的目标最大速度区间，可以看出比例导引法的可攻目标速度范围明显大于尾追法，也就是说比例导引法在攻击目标时对目标速度的适应性可以更高。通过进一步计算，采用比例导引法对于目标速度范围9～13 m/s的命中概率可达到0.98；相反的，采用尾追法对于目标速度范围10～15 m/s的命中概率仅有0.68。

4 结　语

本文在声自导雷比例导引法模型的基础上，以某典型空间攻击态势为例，采用Matlab软件进行了弹道仿真，获得了声自导雷比例导引法下的鱼雷导引弹道，为做比较同时仿真得到尾追法的导引弹道。进而以命中概率和机动性作为评价准则对比例导引法弹道的导引效果进行了检验分析。从仿真结果可以看出比例导引法弹道无论是鱼雷命中效果还是机动性均优于现行的尾追法。通过蒙特卡洛模拟试验，可以看出在同等试验条件下，比例导引法的命中概率显著高于尾追法。最后通过仿真计算给出了鱼雷在确定的命中概率下对目标速度的可攻性范围。

应用比例导引法时需要准确测得视线角速率，当鱼雷声自导的波束较宽时，难以利用目标所在波束的变化及鱼雷航向角推算视线转动速率。但随着现代数字波束形成、高分辨方位估计等技术的日渐成熟和工程化完善，比例导引法将声自导导引方法上有着很好的应用前景。