0 引　言

海洋内波是发生在密度稳定层结的海水内部波动，海洋内波是界面波，它的最大振幅出现在海面以下，海洋内波导致的等密面波动不仅与海洋水声学、海洋生物学、海洋光学、海洋沉积学有着重要联系，而且与军事学、水下建筑学也有密切联系^{[1 − 5]}。水下航行体光学隐蔽深度是保障其光学安全的重要因素，其定义是指在良好大气环境条件下，在200 m高度使用光学方法能够观测到航行体的最大深度^{[6 − 7]}。

朱海荣等^{[8 − 9]}在光学隐蔽深度方面做了很多深入的研究工作，建立了海水光学性质均匀情况下的光学隐蔽深度模型（OCD模型）。针对现实情况下，海水的光学性质是不均匀分布的特点，并基于光学性质非均匀海水，建立了非均匀海水条件下光学隐蔽深度模型（OCD_LAYER）。本文针对海洋内波的结构特性，基于海水中对比度传输方程和两层流体内孤立波KDV方程，通过构造内波垂向结构，计算出位移均方根最大层为内波简化两层界面，基于对比度的传输理论^{[10 − 12]}，建立内波简化模型条件下光学隐蔽深度模型（OCD_KDV），并针对模型参数开展仿真分析。

1 内波简化两层模型 1.1 KDV方程

1978年，Djordjevic等建立了内孤立波KDV方程^[13]：

$ {\zeta _t} + {c_0}{\zeta _x} + \frac{3}{2}\frac{{{H_1} - {H_2}}}{{{H_1}{H_2}}}{c_0}\zeta {\zeta _x} + \frac{1}{6}{H_1}{H_2}{c_0}{\zeta _{xxx}} = 0。$

(1)

式中：$ \zeta $为垂向的位移量；$ {H_1} $、$ {H_2} $分别为上下层流体的厚度；$ {c_0} = g\Delta \rho \dfrac{{{H_1}{H_2}}}{{{H_1} - {H_2}}} $；$ \Delta \rho = \dfrac{{{\rho _2} - {\rho _1}}}{{{\rho _2}}} $；$ {c_0} $为微振幅长内波的相速度；$ {\rho _1} $、$ {\rho _2} $分别为上下层流体的密度。

发生在密度界面处的孤立子型的内波，沿$ x $轴传播方程：

$ \frac{{\partial \eta }}{{\partial t}} + {C_0}\frac{{\partial \eta }}{{\partial x}} + \alpha \eta \frac{{\partial \eta }}{{\partial x}} + \beta \frac{{{\partial ^3}\eta }}{{\partial {x^3}}} = 0 。$

(2)

式中：$ \eta $为内波垂向位移；$ {C_0} $为线速度；$ \alpha $为一阶项；$ \beta $为弥散系数。

对于发生在强跃层处的内波，近似两层模型在其上下的水层海水密度为别为$ {\rho _1} $和$ {\rho _2} $，厚度分别为$ {h_1} $和$ {h_2} $。可以得出：

$ \alpha = \frac{3}{2}\frac{{{C_0}}}{{{h_1}{h_2}}}\frac{{{\rho _2}{h_1}^2 - {\rho _1}{h_2}^2}}{{{\rho _2}{h_1} + {\rho _1}{h_2}}} \approx \frac{{3{C_0}({h_1} - {h_2})}}{{2{h_1}{h_2}}} ，$

(3)

$ \beta = \frac{{{C_0}{h_1}{h_2}}}{6}\frac{{{\rho _1}{h_1} + {\rho _2}{h_2}}}{{{\rho _2}{h_1} + {\rho _1}{h_2}}} \approx \frac{{{C_0}{h_1}{h_2}}}{6}，$

(4)

$ {C_0} = {\left[\frac{{g\Delta \rho {h_1}{h_2}}}{{\bar \rho ({h_1} + {h_2})}}\right]^{\frac{1}{2}}} 。$

(5)

式中：$ \Delta \rho = {\rho _2} - {\rho _1} $，为下层与上层海水密度之差；$ \bar \rho $为海水平均密度。

求解式(2)得：

$ \eta (x,t) = \pm {\eta_0}{\text{sec}}{{\text{h}}^{\text{2}}}\left[\frac{{x - {C_p}t}}{l}\right] 。$

(6)

式中：$ {\eta_0} $为内波最高振幅；$ {C_p} $为相速度；$ l $为半宽度。$ {C_p} $和$ l $分别为：

$ {C_p} = {C_0} + \frac{\alpha }{3}{\eta _0} \approx {C_0}\left[1 + \frac{{{\eta _0}({h_2} - {h_1})}}{{2{h_1}{h_2}}}\right] ，$

(7)

$ l \approx \frac{{2{h_1}{h_2}}}{{\sqrt {3{\eta _0}\left| {{h_2} - {h_1}} \right|} }}。$

(8)

由式(3)可知，当$ {h_1} \lt {h_2} $时，$ \alpha \lt 0 $，此时两层流体的界面为下降形内波；当$ {h_1} \gt {h_2} $时，$ \alpha \gt 0 $，此时两层流体的界面为上升形内波。

1.2 内波垂向结构方程

根据式(1)和式(6)求解可得内波跃层位移方程^[14]：

$ \eta (x,z,t) = \pm \sum\limits_i {} {\eta _{0i}}{W_n}(z)\sec {h^2}[{k_i}(x - {x_{0i}}) - \omega _i^{}t]。$

(9)

式中：i为孤立子内波序号；$ {\eta _{0i}} $为振幅；$ \omega _i^{} $为频率；n为内波模态；$ {W_n}(z) $为结构函数；$ {k_i} $为波数。

根据式(9)，构造某海域内波多发区波长分别为1000、900、800 m内孤立波水下结构，该区温度、盐度、密度、浮频率及内波垂向结构如图1 ~ 图4所示。

1.3 内波简化两层模型

根据式(9)构造的内波垂向结构，计算每一层位移的均方根，找出位移均方根最大的一层，视该层为内波两层界面，将内波水下结构简化为两层模型。

根据图5，计算得到的每层起伏位移均方根如图6所示。

可知，构造的内波垂向结构中第12层界面的位移起伏均方根最大，取该层为内波简化两层界面，如图7所示。

2 OCD_KDV模型建模 2.1 OCD模型引入

OCD模型为^[15]：

$ {D_{{\text{OCD}}}} = \frac{{\ln \left( {\left| ( {{{r_t}{E_d} - {E_u}}} ) / {{{E_u}}} \right| \cdot \gamma \cdot \beta \cdot {{10}^{2 - {{\left( {{{\log }_{10}}\alpha + 0.5} \right)}^{ - 1}}}} \cdot \exp \left( { - \mu H} \right)} \right)}}{{c + k\cos \theta }} 。$

(10)

式中：D_OCD为光学隐蔽深度；H为观察测量高度；$ {E_{{u}}} $为海水上行辐照度；$ {E_{{d}}} $为下行辐照度；$ {r_{{t}}} $为航行体表面反射比；$ k $为海水漫衰减系数；$ \mu $为消光系数；$ \alpha $为目标视角；$ \gamma $为海面反射效应；$ \beta $为波浪效应透射衰减系数。

2.2 建立OCD_KDV模型

根据表观对比度方程^[15]：

$ {C_r} = \tau \cdot \gamma \cdot \beta \cdot {a_r} \cdot {C_0} 。$

(11)

式中：$ \tau $为大气光谱透射比；$ {a_r} $为路径对比度。

根据内波垂向结构，在垂向上把海水划分为多个跃层，根据式(11)推导可得：

$ i=1，{C_{r1}} = \tau \cdot \gamma \cdot \beta \cdot {a_{r1}} \cdot {C_0} ，$

(12)

$ i=2，{C_{r2}} = \tau \cdot \gamma \cdot \beta \cdot {a_{r1}} \cdot {a_{r2}} \cdot {C_0} ，$

(13)

$ i=n，{C_{rn}} = \tau \cdot \gamma \cdot \beta \cdot \left( {{a_{r1}} \cdot {a_{r2}} \cdot \cdot \cdot {a_{rn}}} \right) \cdot {C_0} 。$

(14)

2个连续路径r和s，有：

$ {a_{r + s}} = {a_r}{a_s}。$

(15)

进一步得：

$ {C_{rn}} = \tau \cdot \gamma \cdot \beta \cdot \left( {{a_{r1}} \cdot {a_{r2}} \cdot \cdot \cdot {a_{rn}}} \right) \cdot {C_0} = \tau \cdot \gamma \cdot \beta \cdot {a_{r1 + r2 + \cdot \cdot \cdot + rn}} \cdot {C_0} 。$

(16)

当$ {C_r} $下降到$ {C_t} $时，有：

$ {C_t} = \tau \cdot \gamma \cdot \beta \cdot {C_0} \cdot \exp \left[ { - \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{c_i} + {k_i}\cos {\theta _i}} \right) \cdot {D_i}} } \right] 。$

(17)

化简得：

$ D = \frac{{\ln \left[ {\left| ({{{{r_t}{E_d} - {E_u}}})/{{{E_u}}}} \right| \cdot \gamma \cdot \beta \cdot {{10}^{2 - {{\left( {{{\log }_{10}}\alpha + 0.5} \right)}^{ - 1}}}} \cdot \exp \left( { - \mu H} \right)} \right]}}{{^{\displaystyle \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{c_i} + {k_i}\cos {\theta _i}} \right)} }}} 。$

(18)

当i=2时，选取位移均方根最大层内波界面时即为内波简化OCD_KDV模型，即

$\begin{aligned} &D_{\mathrm{OCD\_KDV}}=\\ &\ \ \ \ \frac{\ln\left[\left|({r_tE_d-E_u})/{E_u}\right| \cdotp \gamma \cdot \beta \cdot 10^{2-(\log_{10}\alpha + 0.5)^{ - 1}} \cdot \exp\left( - \mu H\right)\right]}{c_1 + c_2+k_1\cos\theta_1 + k_2\cos\theta_2} 。\end{aligned}$

(19)

3 实验与结果 3.1 表面反射比分析

设置参数：H=200 m，$ \mu = 0.{\text{13}}\;\ {{\text{km}}^{ - {\text{1}}}} $，分别取$ {k_{\text{1}}} = 0.0{\text{3}}\ {{\text{m}}^{ - {\text{1}}}} $（清澈水）、$ {k_{\text{2}}} = 0.0{\text{5}}\ {{\text{m}}^{ - {\text{1}}}} $（公海）、$ {k_{\text{3}}} = 0.{\text{1}}\ {{\text{m}}^{ - {\text{1}}}} $（沿岸水）。依据近似关系$ c \approx \left( {2.7 - 3.3} \right)k $，取$ {c}_1=\text{3}{k}_{\text{1}}，{c}_2=\text{3}{k}_{\text{2}}，{c}_3=\text{3}{k}_{\text{3}} $，$ {r_{{b}}} = 0.0{\text{2}} $，$ \gamma = 0.{\text{8}} $，$ \beta = {\text{1}} $，水下航行体长度L₁=36 m，$ {r_t} $取值范围为0.01～0.08，仿真分析表面反射比的影响。

根据图8仿真结果，航行体表面反射比越大，OCD_KDV值也越大，越易被观察到；反射比越接近海水漫反射比，OCD_KDV值越小，越不容易被观察到。

3.2 海水漫衰减系数分析

设置参数：H=200 m，$ \mu = 0.{\text{13}}\ {{\text{km}}^{ - {\text{1}}}} $，$ r_{\mathit{b}}=0.0\text{2} $，$ \gamma = 0.{\text{8}} $，$ \beta = {\text{1}} $，$ {r_t} $取2.0%、4.0%、6.0%、8.0%；$ {k_{\text{1}}} = 0.0{\text{3}}\ {{\text{m}}^{ - {\text{1}}}} $，$ {k_{\text{2}}} = 0.0{\text{5}}\ {{\text{m}}^{ - {\text{1}}}} $，$ {k_{\text{3}}} = 0.{\text{1}}\ {{\text{m}}^{ - {\text{1}}}} $，仿真分析海水漫衰减系数的影响。

根据图9仿真结果，海水漫衰减系数对OCD_KDV值影响明显，海水漫衰减系数越大，OCD_KDV值越小，越不易被观察到。

3.3 空气消光系数分析

设置参数：H=200 m，$ {k_{\text{1}}} = 0.0{\text{3}}\ {{\text{m}}^{ - {\text{1}}}} $，$ {k_{\text{2}}} = 0.0{\text{5}}\ {{\text{m}}^{ - {\text{1}}}} $，$ {k_{\text{3}}} = 0.{\text{1}}\ {{\text{m}}^{ - {\text{1}}}} $，$ {r_{\text{b}}} = 0.0{\text{2}} $，$ \gamma = 0.{\text{8}} $，$ \beta = {\text{1}} $，$ {r_t} = {\text{0}}{\text{.6\% }} $，$ \mu $取值0.13～0.75 km⁻¹（能见度范围为5～30 km），仿真分析空气消光系数的影响。

根据图10仿真结果，空气消光系数对OCD_KDV值影响较小，与此同时，海水漫衰减系数对OCD_KDV值影响大于空气消光系数的影响作用。

3.4 观测天顶角分析

设置参数：H=200 m，$ \mu = 0.{\text{13}}\ {{\text{km}}^{ - {\text{1}}}} $，$ r_{\mathit{b}}=0.0\text{2} $，$ \gamma = 0.{\text{8}} $，$ \beta = {\text{1}} $，$ {r_t} = {\text{0}}{\text{.6\% }} $，$ {k_{\text{1}}} = 0.0{\text{3}}\ {{\text{m}}^{ - {\text{1}}}} $，$ {k_{\text{2}}} = 0.0{\text{5}}\ {{\text{m}}^{ - {\text{1}}}} $，$ {k_{\text{3}}} = 0.{\text{1}}\ {{\text{m}}^{ - {\text{1}}}} $，仿真分析观测天顶角的影响。

根据图11仿真结果，观测天顶角对OCD_KDV值影响明显，观测天顶角越大，OCD_KDV值越小，当观测天顶角为接近90^o时，OCD_KDV值非常小，说明非常不易观察到水下航行体。

3.5 最高探测概率OCD_KDV分析

最高探测概率条件：$ {r_t} $取最大值，$ \mu $取最小值，仿真结果如图12所示。

最高探测概率下水下航行体光学隐蔽深度见表1。

根据仿真结果，最高探测概率下，OCD_KDV值在深远海海水中数值为36.79 m；在近海海水中数值为22.08 m；在沿岸海水中数值为11.04 m。

4 结　语

为了研究海洋内波条件下OCD_LAYER模型的适用性，根据对比度和两层流体内孤立波KDV方程，通过构造内波垂向结构，计算出位移均方根最大层为内波简化两层界面，并依此建立内波简化模型条件下光学隐蔽深度模型OCD_KDV，仿真分析了各因素对内波简化模型条件下光学隐蔽深度模型的影响。仿真结果表明，在最高探测概率下，特征尺度为36 m的水下航行体的OCD_KDV值为36.79 m；在近海海水中数值为22.08 m；在沿岸海水中数值为11.04 m。研究工作为水下航行体光学隐蔽性提供了重要参考。