2024, Vol. 46
2. 湖北工业大学 机械工程学院，湖北 武汉 430068
2. School of Mechanical Engineering, Hubei University of Technology, Wuhan 430068, China
装备制造业总是要求在保证质量、可靠性和制造时间的前提下降低零部件的成本。减少结构材料的使用是对体系结构的重要要求[1]。为了这一要求，通过改进几何设计，可降低要制造部件的成本，如提出变截面舷台悬臂结构的轻量化设计[2]。
为此，人们对各个部件进行设计来实现优化目标。在机械部件的设计中，设计者根据要求考虑与产品的体积、面积、质量、成本等有关的目标，有效地处理约束优化问题。优化设计时，需设置较多的变量来完成目标函数，提出可能的解决方案。而配合整体机械装配的优化，导致目标函数复杂，设计变量多。设计变量的合理选择是降低成本、提高生产率、提高可靠性和提高质量的必要条件[3]。
悬臂结构是生活中应用极其广泛的典型简化模型，如机械结构、塔吊、灯架等。为了降低成本、提高生产效率、可靠性和质量，必须正确选择设计变量来进行设计。当材料和具体工况一定时，悬臂梁的结构优化主要包括截面形状的优化、尺寸参数的优化等。一般悬臂梁的截面有工字型、箱型、空心圆轴等，根据平行移平行移轴定理也有部分组合式悬臂梁。其结构优化设计是以某种目标（包括质量最小、成本最低或者刚度最大等）为最优解，同时满足一定的约束条件（包括强度、挠度等）而制定的设计方案。针对尺寸参数的优化，20世纪60年代，Schmit[4]将有限元思想和数学规划思想有效结合，创造了全新的结构优化思想及理论，对结构优化设计具有创造性的指导作用。
随着工程建设科技水平的不断提升，对梁结构的轻量化设计需求也越来越高[5 − 6]，参数优化得到广泛应用[7]，通过数值模拟找到最佳结构参数的策略被用于建造之中[8]。本文以悬臂梁为研究对象，利用Ansys Workbench进行力学响应分析及直接优化设计变量，通过参数化建立有限元模型，对梁结构进行设计，在确保总变形量的前提下设计梁质量最小的最优方案，实现梁的轻量化设计，为类似的结构优化设计提供参考。
1 优化设计的数学模型 1.1 优化对象已知该悬臂梁材料为钢结构。为了保证整个机械设备质量较轻，对该悬臂梁需进行轻量化设计。在项目设置中，设计优化要求识别输入和输出参数。输入参数通常是要优化的几何参数。输出参数通常是模拟后评估的表达式值。
直接设计优化提供了一个优化解决方案，将几何形状作为数学表达，分析不同几何性质导致不同的应力状态，并观察到不同的变形。根据识别出的输入和输出参数，可以确定参数关联，得出输入和输出参数之间的关联。
1.2 建立数学模型待优化的悬臂梁如图1所示，该悬臂梁制有2个工艺圆孔，优化设计的几何变量分别为2个圆孔圆心距离L、厚度W、左边圆孔半径R1和右边圆孔半径R2。其中，L取值范围为0.1～1 m，W取值范围为0.01～0.15 m，R1和R2的取值范围均为0.01～0.085 m。材料特性见表1。
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图 1 悬臂梁几何示意图（单位：m） Fig. 1 Schematic of cantilever beam geometry (units: m) |
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表 1 悬臂梁材料特性参数 Tab.1 Material characteristics parameters of cantilever beam |
有限元模型采用笛卡尔坐标系，左侧端面完全固定约束，右侧端面施加一个竖直向下的集中力F=
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图 2 悬臂梁的未优化的网格划分 Fig. 2 The layout optimization model of cantilever beam structure |
| $ \left\{ {\begin{split} & {\min M(x)}，\\ & x = (L,W,{R_1},{R_2}),\; 0.1 \leqslant L \leqslant 1，\; \\& 0.01 \leqslant W \leqslant 0.15,\; 0.01 \leqslant {R_{1,2}} \leqslant 0.085 ，\\ & {D_{\rm{MAX}} < 0.003\,5} 。\end{split}} \right. $ | (1) |
在给定的设计约束条件下，通过改变模型参数，提取悬臂梁的质量为输出参数，设置为目标函数，将悬臂梁的最大总体变形参数化，采用MOGA（多目标遗传算法）用于优化设计。
Ansys Workbench中的直接优化组件为单目标优化和多目标优化提供了多种方法。用一种基于梯度的单目标方法适用于连续参数。自适应多目标方法基于NSGA-II，适用于连续输入参数。在当前优化中，自适应单目标方法使用17个初始样本，评估的最大数量为65。图3为总变形与固体质量下降之间的关系，图4列出了优化参数的候选方案（设计点）。
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图 3 总变形与固体质量下降之间的关系 Fig. 3 The relationship between total deformation and decrease in solid mass |
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图 4 优化方案的折中图 Fig. 4 Trade-off chart of the optimization scheme |
通过参数分析，可以得到优化求解的最终设计结果与初始结果的对比分析。优化计算时参数的取值如图5所示，优化前后梁的总变形和等效应力对比分别如图6和图7所示。
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图 5 优化参数的取值 Fig. 5 The value of the optimized parameters |
两圆孔间距1 m，左边孔半径
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图 6 悬臂梁总变形对比图 Fig. 6 Total deformation comparison of cantilever beams |
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图 7 悬臂梁等效应力对比图（单位：MPa） Fig. 7 Comparison of effect forces such as cantilever beams (units: MPa) |
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图 8 悬臂梁最优参数几何示意图（单位：m） Fig. 8 An optimal parameter schematic of the cantilever beam (units: m) |
1）针对某悬臂梁结构的轻量化设计问题，采用有限元方法提出了悬臂梁结构设计，参数化建立了悬臂梁的数学模型，并利用Ansys Workbench直接优化设计，求解得到满足条件下质量最小的悬臂梁的最优尺寸参数。
2）通过优化对悬臂梁进行结构优化，快速求解最终悬臂梁质量为104.29 kg，优化后质量减轻了47.8%，达到了轻量化设计的目的，提高了材料的利用率。
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