0 引　言

旋转调制技术是实现误差自补偿的有效手段，基于旋转调制技术的旋转惯性导航系统，可以从系统层面实现导航器件误差的补偿，是提高导航精度的有效手段^{[1 − 3]}。其机理是通过周期性的旋转，将惯性器件的主要误差源调制成周期变化的形式，从而在积分环节使误差均化，提高系统长航时的定位精度。由于旋转系统结构较为复杂，受到部件加工精度和装配工艺等限制，实际系统存在旋转轴不正交、测角器件误差等因素，影响了旋转系统的姿态解调精度。

为提高旋转惯导的姿态精度，国内外学者提出了诸多补偿方法，并取得了不错的效果。本文针对姿态误差补偿方法进行归纳分析，探讨各方法的适用性。

1 旋转调制中的姿态误差影响因素分析

对于单轴旋转系统，如图1所示，载体坐标系$b$相对于导航坐标系$n$下的理想解调姿态$ {\boldsymbol{C}}_b^n $可表达为^{[4 − 5]}：

$ {\boldsymbol{C}}_b^n = {\boldsymbol{C}}_s^n{\boldsymbol{C}}_b^s。$

(1)

式中：$ s $为理想旋转轴坐标系。

惯导解算中，首先根据惯性元件输出计算出$ {\boldsymbol{C}}_s^n $，然后在$ {\boldsymbol{C}}_s^n $基础上根据编码器测角信息等解算得到$ {\boldsymbol{C}}_b^s $，最后解调出姿态$ {\boldsymbol{C}}_b^n $。由于实际设备中，加工、安装及角度测量等误差的存在，实际旋转轴坐标系$ s' $与理想的旋转坐标系$ s $之间不完全重合，实际情况下姿态的解析表达为：

$ {\boldsymbol{C}}_b^n = {\boldsymbol{C}}_{s'}^n{\boldsymbol{C}}_s^{s'}{\boldsymbol{C}}_b^s。$

(2)

因此，实际姿态解算是会带入相关误差，而且相关误差会随旋转机构所处位置的不同，而发生波动。主要影响因素有旋转轴不正交误差、角度测量误差等^{[6 − 10]}。

1）旋转轴非正交误差

旋转调制中，初始位置的理想旋转轴坐标系s应与载体坐标系b重合，但由于轴系间隙、安装误差等影响，实际旋转轴坐标系$ s' $与与理想旋转轴坐标系s并不重合，即存在非正交角。以$ {z_{s'}} $为例，当轴系的非正交角为定值时，旋转过程中$ {z_s} $将沿着图2虚线所示进行规则的涡动，但由于转轴两端由电机和轴承连接，轴系间存在不均匀的间隙，导致在旋转涡动的同时产生不规则的晃动，实际产生的轨迹如图2实线所示，引起姿态解调误差^{[6 − 8]}。

2）角度测量误差

角度测量误差主要是由编码器轴和电机轴不重合引起的，如图3所示。此时电机驱动惯性测量单元旋转时，安装误差会造成编码器输出角度含有部分误差，进而导致$ C_s^{s'} $的产生，影响姿态解调结果^[9-10]。

2 姿态误差拟合补偿方法 2.1 周期为2π的三角函数拟合补偿方法

周海渊和Gao等^{[2, 4]}通过对旋转惯导姿态误差的分析，并结合旋转惯导测试总结出，横摇、纵摇和航向差与转台角度表现出明显的三角函数特性。因此，按照周期函数参数估计方法，根据转轴角度和姿态误差建立如下的误差补偿数学模型，建立了周期为2π的三角函数补偿方法：

$ \Delta {R_i} = {R_{i0}} + {A_i}\sin ({\theta _i} + {\phi _i}),i = x,y,z 。$

(3)

式中：$ \Delta {R_i} $为橫摇、纵摇或者航向误差；$ {R_{i0}} $为$ \Delta {R_i} $中的常值项；$ {\theta _i} $为转轴角度；$ {\phi _i} $为$ \Delta {R_i} $中的初始相位。

上式展开后可转化为：

$ \Delta {R_i} = {R_{i0}} + {a_i}\sin ({\theta _i}) + {b_i}\cos ({\theta _i}),i = x,y,z 。$

(4)

式中：$ {a_i} = {A_i}\cos \left( {{\phi _i}} \right) $；$ {b_i} = {A_i}\sin \left( {{\phi _i}} \right) $。

为求解误差模型各参数，作者采用转台0°、180°、270°、90°等4个转动位置的横摇、纵摇、航向误差平均值进行求解，补偿后取得了较好的效果，原误差中的阶梯和毛刺现象得到明显改善。

2.2 周期为π的三角函数拟合补偿方法

曹文、Sui等^{[3, 11]}以方位轴转动为例，通过分析系统航向、姿态调制解调误差与轴系非正交误差的关系，将转轴角度与姿态、航向误差关系模型，统一简化为周期为π的三角函数补偿方法：

$ \begin{split} \Delta {R_i} =& {R_{i0}} + {a_i}\sin ({\theta _i}) + {b_i}\cos ({\theta _i}) + {c_i}\sin (2{\theta _i}) +\\ &{d_i}\cos (2{\theta _i}),i = x,y,z。\end{split}$

(5)

式中：$ \Delta {R_i} $为橫摇、纵摇或者航向误差；$ {R_{i0}} $为$ \Delta {R_i} $中的常值项；$ {\theta _i} $为转轴角度；$ {\phi _i} $为$ \Delta {R_i} $中的初始相位。

通过上述方法进行拟合方法，实现了较好的补偿效果。并且，指出类似方法通用性较好，可以实现对轴系非正交误差进行任意角度的估计与补偿。

2.3 多项式拟合补偿方法

付强文等^[6]针对旋转惯导姿态解调误差，在标定过程中对测量转角、等效转位角速率、姿态误差等进行记录，并采用高阶泰勒级数多项式拟合方法，对转轴角度、角速度等和姿态误差建立如下的数学模型：

$ \begin{split} \Delta {R_i} =& \sum\limits_{p = 0}^l {{a_p}{{\left( {{\theta _i}} \right)}^p}} + \sum\limits_{q = 0}^m {{b_q}{{\left( {{{\dot \theta }_i}} \right)}^q}} =\\ & {a_{i,0}} + {a_{i,1}}{\theta _i} + {a_{i,2}}{\left( {{\theta _i}} \right)^2} + ... + {b_{i,0}} + {b_{i,1}}{{\dot \theta }_i} +\\ &{b_{i,2}}{\left( {{{\dot \theta }_i}} \right)^2} + ...,i = x,y,z 。\end{split} $

(6)

式中：$ \Delta {R_i} $为橫摇、纵摇或者航向误差；$ {\theta _i} $为转轴角度；$ {a_p} $为$ {\theta _i} $多次项对应的系数；$ {b_q} $为$ {\dot \theta _i} $多次项对应的系数。

该方法考虑影响姿态和航向解调的转轴偏心等因素，结合卡尔曼滤波对姿态、航向参考角度进行预测，不需要辅助设备，试验证明该方法能够有效提高横摇、纵摇和航向的解调精度。

2.4 基于BP神经网络的补偿方法

曹咏弘和孙玉杰等^[12-13]针对为惯性系统姿态测量误差问题，提出了基于BP神经网络的姿态估计误差补偿方法。通过BP神经网络处理非线性问题的能力，建立传感器输出与姿态估计误差之间的补偿模型，并对姿态输出进行补偿，使姿态误差大大减小。

BP神经网络是人工神经网络的一个重要组成部分，它包含多个隐含层，具备非线性映射能力，广泛应用于逼近、回归等应用解决方案中^[14]。如图4所示，BP神经网络含有一层或者多成的隐含层，以及一层输出层，训练参数依次从输入节点依次通过各隐含层及输出层，以已知的模式对网络进行样本训练，从而产生输出到输出的精确映射关系。

上述模型可以表示为：

$ \begin{gathered} {\boldsymbol{Q}} = {\rm{tansig}} \left( {{{\boldsymbol{W}}_1}{\boldsymbol{P}}} \right){\text{ + }}{{\boldsymbol{b}}_1} ，\\ {\boldsymbol{O}} = {\rm{purelin}} \left( {{{\boldsymbol{W}}_2}{\boldsymbol{Q}}} \right){\text{ + }}{{\boldsymbol{b}}_2}。\\ \end{gathered} $

(7)

式中：$ {\boldsymbol{P}} $为系统输入；$ {\boldsymbol{b}} $为偏置；$ {\boldsymbol{W}} $为各层间的连接权值矩阵；$ {\boldsymbol{Q}} $为隐含层输出；$ {\boldsymbol{O}} $为系统输出；tansig为双曲正切S型函数；purelin为线性函数。

根据对旋转惯导姿态补偿的实际需要，本文在试验比对中，采用了单隐含层BP神经网络，其神经元个数分别是8个，采用双曲正切S型函数，输出层传递函数采用线性函数，并且采用基于最优化理论的Levenberg-Marquardt训练算法来保证网络训练的收敛速度。

2.5 基于最小二乘法的参数求解

对于所述的3种拟合方法，其误差补偿模型对应式(4)～式(6)，均可转化成如下形式：

$ {\boldsymbol R}={\boldsymbol{FX}}\Rightarrow {\left[\begin{array}{c}\Delta {R}_{i1}\\ \Delta {R}_{i2}\\ \mathrm{...}\\ \Delta {R}_{in}\end{array}\right]}_{n\text{x}1}={\boldsymbol F}_{n\text{x}d}{\left[\begin{array}{c}待求系数1\\ 待求系数2\\ \mathrm{...}\\ 待求系数d\end{array}\right]}_{d\text{x}1} 。$

(8)

式中：$ \Delta {R_{in}} $为$i$轴对应的第$n$个误差；$ {{\boldsymbol{F}}_{n{\text{x}}d}} $为根据拟合方程求解的各待求系数对应的已知参数。

上式采用最小二乘法进行求解的结果为：

$ {\boldsymbol{X}} = {\left( {{{\boldsymbol{F}}^{\rm T}}{\boldsymbol{F}}} \right)^{ - 1}}{{\boldsymbol{F}}^{\rm T}}{\boldsymbol{R}} 。$

(9)

采用上式便可以将待求的系数解出，带入各补偿方法对应的公式便可以得到对应的误差补偿方程。

3 姿态误差拟合补偿方法

通过对某型号旋转惯导的数据采集，可以得到该设备在调制过程中，纵摇、橫摇和航向误差与方位调制轴旋转角度之间的关系。图5为单轴旋转惯导旋转数圈，采集得到的各姿态平均误差。

利用周期为2π的三角函数补偿方法（方法1）、周期为π的三角函数补偿方法（方法2）、九次多项式补偿方法（方法3）和基于BP神经网络的补偿方法（方法4）分别进行误差补偿模型的拟合，可以得到横摇、纵摇及航向误差补偿模型结果如图6～图8所示。

分别对横摇、纵摇、航向进行补偿后，可以得到应用各方法后的残余误差，如图9所示。相关残余误差的均值、方差值等统计结果如表1所示。

为进一步比对各算法运行效率，利用Matlab在个人计算机上进行耗时分析。分别对航向补偿中的6000余个采样点，进行计算耗时的采集，各算法耗时及数据分析结果分别如图10和表2所示。

为更加方便比对，以方法1为参考，对其补偿精度的绝对误差平均值、方差值以及计算耗时的平均值、方差值进行比对，比对结果如表3所示。

通过以上分析可以看出，在拟合精度方面，对于橫摇、纵摇和航向3个方向的姿态误差，采用方法1周期为$2\text{π} $的三角函数补偿方法补偿后效果相对较差，最大误差达到0.021角分；采用方法2周期为$\text{π}$的三角函数补偿方法、方法3九次多项式补偿方法及基于BP神经网络的补偿方法，精度基本一致。在误差补偿效果上，相对于方法1，其他3种方法在绝对误差平均值方面至少提高了60%。在计算耗时方面，方法1平均耗时最短，且耗时稳定性最好；方法2和方法3相比于方法1耗时有所增加，但耗时稳定性也较好；方法4耗时最长且耗时稳定性最差，其耗时的不稳定性对于实际系统计算影响较大，可能破坏系统的实时性。结合表3中的数据比对，并综合考虑算法在实际工程应用中的补偿效果和实时性要求，推荐使用方法2和方法3。

4 结　语

旋转调制中姿态误差会随着旋转而发生波动,无法准确表征载体的真实航姿。本文结合实际采集数据，选取了周期为$2\text{π} $的三角函数补偿方法、周期为$\text{π}$的三角函数补偿方法、多项式补偿方法以及神经网络补偿方法，进行了验证和比对分析，为后续系统采用该类型旋转惯导的姿态误差补偿方法提供了重要的参考作用。