0 引　言

内波作为海洋中普遍存在的一种运动，在全球各地的沿海区域经常发生。海洋内波是发生在海洋内部的一种波动，主要发生在海洋的稳定密度层中。波动的最大振幅出现在海洋内部，波动频率介于惯性频率和浮性频率之间。而海洋内波在海洋中的运动会改变海洋的内部结构。内波自身的运动，与海底地形或障碍物的相互作用，以及内波自身的破碎都会引起海洋水体的垂向混合，改变水体温度场和盐度场的分布，在该影响下，海洋水层声速分布会呈现剧烈的非线性特征，对水下声呐设备的使用产生显著的影响。苏晓星等^[1]利用简正波干涉理论分析并解释了浅海中频率小于200 Hz声场的水平纵向相关下降问题。胡涛等^[2]对海洋内波环境下典型声波导现象进行了讨论。周江涛等^[3]对南海孤立子内波影响下的声场结构进行了研究。刑传玺等^[4]结合有限元方法利用COMSOL软件对孤立子内波影响下的声学问题进行了相关求解，仿真研究。侯倩男等^[5]针对负梯度声速剖面的浅海混响平均强度的垂直结构进行了数值仿真研究。李永飞等^[6]针对浅海内波引起的干涉条纹“扭曲”问题，利用耦合模理论，提出了一种声场干涉条纹的稀疏重建方法，该方法在内波环境下能够提供有效的干涉条纹重建，波导不变量估计和内波的追踪。朱军等^[7]利用有限元方法，在三维模型下仿真研究孤立子内波对声信号传播特性的影响，重点讨论了其对声信号在水平方向上的偏转影响。张林等^[8]通过建立负跃层海洋环境模型，采用波束位移射线简正波（BDRM）理论分析负跃层的深度、厚度、强度对声传播的影响。庞立臣等^[9]基于实测的声传播实验数据，研究了负梯度水文环境下海底山对声传播的影响，针对实验数据中的传播异常，从射线声学角度给出了合理的解释。张成伟^[10]采用格子Boltzmann方法对内波进行模拟，并对内波影响下的声场进行研究。以往对于负声速梯度下的研究，更多是针对加强海底对海水中声场的影响和减弱海面对海水中声场的影响，此时声波的衰减更多的归因于海底引起的，因而在负梯度下对于海洋水体结构的不稳定性，对于声传播特性的研究非常少；而对于内波的声场效应研究，更多的是基于数值仿真分析，缺乏实验数据支持。本文将基于海底不变的假设下，结合抛物方程方法对于负声速梯度下存在内波时对于声传播的影响进行建模仿真研究。

1 基本原理 1.1 内波引起的声场变化

内波会引起海水的大振幅波动，振幅最大可达百米，这种剧烈的内波活动会导致温跃层剧烈起伏，使得海水的声速分布产生剧烈变化，对水下声场产生较大影响。

在内波存在时，声传播路径上的声速剖面可表示为：

$ {c}_{0}\left(z\right) = \left\{\begin{array}{l}{c}_{1},0 \leqslant z \leqslant{z}_{1}+\eta \left(r\right)，\\ {c}_{1} + \varepsilon \left[z - {z}_{2}-\eta \left(r\right)\right] ,{z}_{1} + \eta \left(r\right) \leqslant z \leqslant {z}_{2} + \eta \left(r\right) ，\\ {c}_{2},{z}_{2}+\eta \left(r\right) \leqslant z \leqslant H。\end{array}\right. $

(1)

式中：$ \eta \left(r\right) $为内波随距离的位移；$ {c}_{1} $和$ {c}_{2} $分别为温跃层上下声速；$ {z}_{1} $和$ {z}_{2} $分别为温跃层上下边界深度；$ \varepsilon \left[z-{z}_{2}-\eta \left(r\right)\right] $为温跃层声速梯度。对于水平不变的浅海环境，远场声压可由简正波理论表示为：

$ P \left(r,z,\omega \right) = \frac{i}{\rho \left({z}_{s}\right)\sqrt{8{\text π} r}}{e}^{-i{\text π} /4}\sum _{m=1}^{M}{\psi }_{m}\left({z}_{s}\right){\psi }_{m}\left(z\right)\frac{{e}^{i{k}_{rm}r}}{\sqrt{{k}_{rm}}} 。$

(2)

式中：$ \rho \left({z}_{s}\right) $为深度$ {z}_{s} $处的介质密度；m为简正波号数；$ {\psi }_{m}\left(z\right) $为声源处简正波模态函数；$ {\psi }_{m}\left({z}_{s}\right) $为水听器处简正波模态函数；$ {k}_{rm} $为简正波的本征值。水听器接收灵敏度取决于接收器处简正波模态函数$ {\psi }_{m}\left({z}_{s}\right) $的变化。内波引起的声速剖面的变化会导致$ {\psi }_{m}\left({z}_{s}\right) $的改变，最终使信号声能流强度发生变化^[11]。

1.2 抛物方程的推导分析

当波随时间做简谐运动时，波动方程可以化简为亥姆霍兹方程。密度不变介质中，在柱坐标系中建立的亥姆霍兹方程为^[12]：

$ \frac{{\partial }^{2}p}{\partial {r}^{2}}+\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial r}+\frac{{\partial }^{2}p}{\partial {z}^{2}}+{k}_{0}^{2}{n}^{2}p=0。$

(3)

式中：$ p=p\left(r,z\right) $ 为声压；$ {k}_{0}=\displaystyle\frac{\omega }{{c}_{0}} $为参考波速，$ n\left(r,z\right)= \displaystyle\frac{{c}_{0}}{c\left(r,z\right)} $ 为折射率。由于方位是对称的，因此亥姆霍兹方程中与角度有关的项为0。

在远离声源的情况下，在不随距离变化的每个区域，p满足以下远场方程：

$ \frac{{\partial }^{2}p}{\partial {r}^{2}}+\rho \frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial z}\right)+{k}^{2}p=0。$

(4)

式中：$ \rho $为密度；$ k=\displaystyle{\left(1+i\eta \beta \right)\omega }/{c} $为波数；$ \omega $为圆频率；c为声速；$ \beta $为衰减系数，$ {{\mathrm{dB}}}/{\lambda } $；$ \eta= {(40{\text π} {{\mathrm{log}}}_{10}{\mathrm{e}})}^{-1} $。

解(2)式中的运算符，可得：

$ \left(\frac{\partial }{\partial r}+i{k}_{0}{\left(1+X\right)}^{\frac{1}{2}}\right)\left(\frac{\partial }{\partial r}-i{k}_{0}{\left(1+X\right)}^{\frac{1}{2}}\right)p=0 。$

(5)

式中：$ X={k}_{0}^{-2}\left(\rho \displaystyle\frac{\partial }{\partial z}\frac{1}{\rho }\frac{\partial }{\partial z}+{k}^{2}-{k}_{0}^{2}\right) $。

假定前向输出能量远大于后向散射能量，就可得前向输出波动方程：

$ \frac{\partial p}{\partial r}=i{k}_{0}{(1+X)}^{\frac{1}{2}}p。$

(6)

选取基于分裂步距pade算法，对于式(4)的形式解如下：

$ p\left(r+\Delta r,z\right)={e}^{i{k}_{0}{\left(1+X\right)}^{\frac{1}{2}}}p(r,z)。$

(7)

式中：$ \Delta r $为距离步长。用n项有理函数来近似表达指数函数，整理如下：

$ p\left(r+\Delta r,z\right)={e}^{i{k}_{0}\Delta r}\left(1+\prod _{j=1}^{n}\frac{1+{\alpha }_{j,n}X}{1+{\beta }_{j,n}X}\right)p(r,z) 。$

(8)

该算法是利用指数算子和平方根算子组合算子的高阶pade近似式来代替之前使用的平方根算子的高阶pade近似式，从而可使用较大的距离步进，显著地提高计算效率。

2 仿真分析

实际海洋中的温度、盐度等参数是沿垂向变化的，而且这种层化现象普遍存在。由于其水体垂向密度差远小于大气和海水的密度差，因此海水内部流体质点的垂向恢复力很小，即使很小的扰动也能产生振幅很大的波动，也就是内波。本文基于某次海试数据，利用CTD等对捕获的内波构建相应的温度剖面和密度剖面，如图1所示。在很明显在内波作用下，海水的温度及密度等参数不仅在垂直方向上有梯度变化，在水平方向上也产生了明显差异。

海洋中声速剖面为影响声信号传播的主要因素，其变化主要受海水温度、盐度及压强等参数的影响，而内波的存在会对声速场产生非常大的影响。对提取的温盐等水文数据，利用声速经验式(9)提取得到相应的声速剖面，如图2所示。

$ c = 1450 + 4.21T - 0.037{T^2} + 1.14\left( {S - 35} \right) + 0.175P 。$

(9)

式中：$ c $为声速，m/s；$ T $为海水温度，℃；$ S $为盐度，‰；$ P $为压力，atm。温度增加1℃，声速增加约4 m/s；盐度增加1‰，声速增加约1.14 m/s；压力增加1 atm（相当于海深增加10 m），声速增加约0.175 m/s。

2.1 负声速梯度下的内波声速剖面

可知，该内波的最大振幅可达150 m，对声速梯度结构有着重要的影响，且该海洋环境下的声速随着深度增加不断减小，属于负声速梯度结构。由于声速场环境复杂，为了研究其特性和规律，通常可以使用波动理论、简正波理论、射线理论以及抛物方程等方法对声场进行建模研究，而抛物方程能够分层计算声场，也有利于计算由内波导致的水平梯度变化对声场的影响。本文选取海水底部声速为1555 m/s；海底声速为1623 m/s；海底密度为$ 1.767\times {10}^{3}\;{\mathrm{kg}}/{{\mathrm{m}}}^{3} $。不考虑海底地形的起伏变化，基于RAM抛物方程模型进行仿真分析。

2.2 有无内波环境下不同声源深度时的声传播损失

为探究内波存在与否对声传播的影响，选取同一接收深度时，结合不同声源深度下的声传播损失变化进行仿真对比分析，如图3 所示。不难发现，在同一深度时，内波的存在可引起相同距离处声传播损失的增加，从而减小声呐的探测距离。随着声源深度的增加，声传播损失先逐渐减小再增加，当声源处于大约内波最大振幅的一半时，此时深度为100 m处，声传播损失最小，随后随着声源深度的增加，传播损失又逐渐变大。

针对声传播损失最小情况下，选取最大振幅一半处的 100 m声源深度处的传播损失进行对比分析，如图4 所示。通过对比发现，在未受到内波影响时，在有无内波情况下的声传播损失图几乎一致，但随着距离增加，当受到内波影响时，声传播损失开始出现变化，随着距离增加，内波所引起的声传播损失变化增大，然而有无内波条件下的声信号相位情况基本一致。

针对其他不同深度处的声传播损失，进行有无内波情况下的仿真分析，如图5所示。虽然在同一深度处有无内波情况下的声传播损失幅值变化不大，但声传播的相位却保持一定变化。

2.3 不同接收深度时所对应的传播损失

接下来对比分析在不同接收深度时的声传播特性，选取低频声源频率为50 Hz，接收深度分别为30、50、100、150、200、250 m时进行分析，如图6、图7所示。通过对比发现，在接收深度较浅的位置处，声传播损失随着深度的增加而减小，而且该减小过程中声波的相位几乎没有变化，但随着受到声速跃变的影响，随着深度增加以后，声波相位有着较明显的变化，此时声传播损失的变化幅度趋于平缓。

3 结　语

鉴于内波对于海洋中声场变化的剧烈作用，本文基于内波的相关水文数据，构建相应海洋中的二维声速梯度结构，利用抛物方程模型对不同声源和接收器位置处，对内波影响下的声传播特性进行分析，研究了在负梯度声速环境中内波影响下的声传播损失和相位变化特点。仿真发现，内波存在时可以增大声传播损失，减小声呐的作用距离，且随着声源深度的增加，相应的传播损失先增大后减小，在声源深度大概在内波最大振幅一半处时，声传播损失最小，之后随着声源深度的增加，传播损失又开始变大。而在不同接收距离处的声传播损失也有类似的规律，且在较浅处，相位值变化很小，传播损失变化较大，较深处时相位变化很大，但传播损失变化值又变得很小。在后续实际应用中，可考虑采用声压信号联合处理等方法来减小内波对声传播的影响，以及利用简正波耦合效应来分析内波引起的声场各种二维效应，并适当增加实验数据的验证支持，从而进一步总结内波物理特征对声场各种因素的影响。