0 引　言

通常海洋中深度大于6000 m的区域称为“海斗深渊”（Hadal Trenches），目前世界最深处位于马里亚纳海沟的“挑战者深渊”^{[1 - 2]}，其最大深度约11000 m。全海深水下机器人，是指最大下潜深度可达11000 m，能够覆盖全球海洋全部深度的水下机器人，是人类探索和认知海洋的重要技术手段和装备^[3]。截至目前，国际范围内具备科考应用能力的全海深水下机器人屈指可数，全海深水下机器人面临着巨大技术挑战和应用难度。

深度是限制水下机器人发展的一个难题。随着深度的增加，水下机器人不仅面临着海水巨大压力带来的压溃风险和挑战，同时也要面对海洋环境参数变化对其带来的重力与浮力不匹配的难题^[4]。随着海洋环境参数，如温度、压力、密度等变化，水下机器人本身的浮力随之发生变化，若无法对水下机器人重力和浮力的变化进行准确的评估和预测，将导致水下机器人无法在指定深度下开展科学研究的问题，严重时甚至出现因水下机器人对深度剖面环境的不适应而丢失的灾难性后果

以我国首台全海深水下机器人-海斗号为研究对象，以其40余次海上试验和11 次万米深潜数据为依托^{[5 - 6]}，基于海斗号动态体积变化规律，开展海斗号全海深水下机器人随深度变化的重力与浮力的匹配性研究，为海斗号全海深下潜提供精准的配平依据。本文提出一种构建海斗号全海深水下机器人综合体积弹性模量数学模型的研究方法，描述了海洋深度与海斗号综合体积弹性模量之间的关系，使其满足对不同海洋深度剖面环境的适应性需求，提升其对不同深度下自身重力与浮力精准匹配的能力，为其高效实施深海任务提供前提和基础。

1 全海深深度剖面典型环境参数化建模

全海深水下机器人到达万米深度时，需跨越万米的垂直深度剖面，伴随着时间和空间的变化，海洋环境参数也体现出显而易见的差异性。不同季节、不同海域和不同深度下海洋环境参数也不相同。

1.1 全海深深度剖面的环境影响因素

全海深海洋深度剖面水体环境参数随时间和空间分布呈现复杂的变化规律，不同深度的海水压力、温度、密度^[7]和重力场^[8]等典型环境影响因素不尽相同，对水下机器人在水体中的浮力状态将产生重要的影响。根据海斗号全海深水下机器人在2016年到2018年采集到11次万米深潜的全海深剖面环境数据，可以分析出在不同海洋环境深度剖面上水下机器人的受力状态。

1.1.1 重力加速度

马里亚纳海沟是已知全球海洋的最深处，其地理坐标为11°21’N，142°35’E。在当前被广泛认可的重力加速度经验公式的基础上，结合马里亚纳海沟海区纬度θ（弧度），构建重力加速度与深度的函数关系，如下式。

$ {g_{(H)}} = ({g_0}(1.0 + (A + (B - 5{\sin ^2}\theta ){\sin ^2}\theta )))(1.0 - CH) 。$

(1)

其中，上述的重力加速度的函数参照《The Gibbs Seawater (GSW) Oceanographic Toolbox of TEOS-10》，${g_0}$=9.805027 m/s²；A=5.2792E–3；B=2.32E–5；C=2.26E–7。

1.1.2 密度

由海水的状态方程可知，海水的密度与温度、盐度和压力等有关，对海斗号全海深水下机器人采集到密度数据进行分析，在0~1000 m深度，密度随深度增加变化较大，呈非线性状态；1000 m以后，密度随深度增加呈现准线性关系。基于探测的实验数据，通过多项式拟合、分段表达的方式，转换为深度的近似函数，从而直接得到海水密度随深度变化的统计关系，其函数关系为

$ \rho_{(H)}=\begin{cases}1.02+\dfrac{0.03051H}{623.4+1.96H}，\rho_{(H)}\leqslant1000\; \mathrm{m}，\\ 1.027+4.897\times10^{-6}\;H-5.151\times10^{-11}\;H^2, \\\rho_{(H)}> 1000\; \mathrm{m}。\end{cases} $

(2)

1.1.3 温度

结合全海深深度剖面温度数据分析，可以清晰地发现，在0~4500 m的深度范围内，温度随深度的增加而逐渐减小，且0~1000 m深度，温度减小的趋势极为明显；在4500 m深度以后，温度会随着深度的增加而呈现缓慢上升趋势，至万米深渊海底（深度10900 m左右）温度上升至约2.5 ℃。海水温度随深度变化的关系如下式：

$ T_{(H)} = \left\{ \begin{array}{l} 0.0001838H + \dfrac{5179}{175.1+H}-0.5841，\\ T_{(H)} \leqslant 4500\; \mathrm{m},\\ 0.0002098H + \dfrac{2425}{H} - 0.133，T_{(H)} > 4500\; \mathrm{m}。\end{array} \right. $

(3)

1.1.4 压力

全海深水下机器人利用温盐深仪测量出不同深度的海水压力大小，海水的压力大小并不完全等于深度的大小，但两者之间呈高度的线性关系。海水的压力与海水的密度、重力加速度和深度有关，其中密度和重力加速度的值均是深度的变化而变化，可直接通过压力公式，得出海水压力与深度之间的对应关系。

1.2 海洋深度剖面环境参数化建模

重力加速度、温度、密度和压力是影响水下机器人在海水中状态的重要因素，它们都与深度呈现着对应的关系。由受力分析可知，当水下机器人深潜至万米深度时，其自身状态主要受到浮力F和重力G的影响。

根据力学平衡，浮力F与重力G相等，水下机器人在水中的平衡状态主要由2方面因素决定，一是海洋环境中的密度影响，另一方面主要是受到来自自身体积变化的影响，海水的压力会随着深度的增加而变大。由于受到压力影响，机器人的体积在不同深度层面上的压缩程度会存在差异。

重力加速度、压力、温度和盐度等因素会导致不同深度的海水密度发生变化。尤其是以密度和压力的变化，势必会引起水下机器人在水中的浮力状态发生改变，所以要提升水下机器人对深度的适应能力，必须要根据环境参数变化做出预先精确配置或者进行实时调整。

通过建立海水的体积弹性模量与深度之间的参数关系，如式(4)所示。得出不同海洋深度剖面下的海水体积弹性模量大小，从而更好地描述不同深度剖面上海水体积的压缩变化程度。

$ {K}_{海水}=\frac{{P}_{(H)}-{P}_{0}}{\left(1-\displaystyle\frac{{\rho }_{0}}{{\rho }_{(H)}}\right)}。$

(4)

式中：${P_0}$为海水表面的压力大小；${\rho _0}$为海水表面的密度大小，取值为1023.87 kg/m³。

海水体积弹性模量可根据海水压力和密度计算得出，压力与密度、重力加速度和深度有着对应关系，最终可以转化为体积弹性模量与深度之间的关系，其关系曲线如图1所示。

2 海斗号全海深水下机器人体积变化计算方法

水下机器人是由各部分零部件组成的统一整体，在研究水下机器人自身体积变化时，通常按照组份不同将其划分为耐压舱体、充油舱体、实心固体和油液这4个部分。不同的零部件，其制造材料也各不相同，在海洋环境因素的作用下，零部件体积变化程度也各有差异^[9]。

按其材料组成可以分为金属材料、非金属材料和浮力材料，以海斗号水下机器人为例，金属材料主要有钛合金、铝合金和不锈钢，因其拥有较高的强度，常用于耐压舱的外壳和实心固体部件；非金属材料主要有ABS塑料和聚醚PUR，拥有优异的强度性能和较小的密度；浮力材料主要是玻璃微珠，是一种低密度、高强度、低吸水性的固体，由于其密度比水低的特点，是为水下机器人提升浮力的主要材料^[10]。

当水下机器人到达一定的深度时，外界环境的作用会使机器人整体的体积大小发生改变。其体积变化大小计算式为：

$ \sum\limits_{a = 1}^n {\Delta {V_{a(H)}}} = \sum\limits_{a = 1}^i {\Delta {V_{a(H)}}} + \sum\limits_{a = 1}^j {\Delta {V_{a(H)}}} + \sum\limits_{a = 1}^k {\Delta {V_{a(H)}}} + \sum\limits_{a = 1}^l {\Delta {V_{a(H)}}} 。$

(5)

式中：$\displaystyle\sum\limits_{a = 1}^n {\Delta {V_{a(H)}}} $为机器人整体的体积变化大小；$\displaystyle\sum\limits_{a = 1}^i {\Delta {V_{a(H)}}} $为i个实心固体的体积变化大小；$\displaystyle\sum\limits_{a = 1}^j {\Delta {V_{a(H)}}} $为j个充油舱体的体积变化大小；$\displaystyle\sum\limits_{a = 1}^k {\Delta {V_{a(H)}}} $为k个耐压舱体的体积变化大小；$\displaystyle\sum\limits_{a = 1}^l {\Delta {V_{a(H)}}} $为机器人内部油液体积的变化大小。

2.1 实心固体与充油舱体的体积变化计算方法

实心固体体积变化主要受外界海水压力和温度的影响^[11]，其体积变化计算式为：

$ \sum\limits_{a = 1}^i {\Delta {V_{a(H)}}} = \sum\limits_{a = 1}^i {{V_a}} \left(\frac{{\Delta {P_{(H)}}}}{{{K_a}}} + \Delta {T_{(H)}}{\beta _a}\right) 。$

(6)

式中：${V_a}$为零部件的原始体积；$\Delta {P_{(H)}}$为在某海水深度下与标准环境下的压力差；${K_a}$为零部件的体积弹性模量；$\Delta {T_{(H)}}$为在某海水深度下与标准环境下的温度差；${\beta _a}$为零部件的体积膨胀系数。

充油舱体除内部油液外，其余固体部分体积变化可按此部分的计算方法进行计算。

2.2 耐压舱体的体积变化计算方法

与其他零部件不同的是，耐压舱体的体积变化大小需要考虑其自身结构，通常将其分为球体（长度为0）、圆柱体（球半径为0）和球形端面圆柱体，如图2所示。

其半径和长度变化的计算方法如下：

$ \begin{split} \Delta {R_{aS2(H)}} = &- \frac{{{R_{aS2}}\Delta {P_{(H)}}}}{{{E_a}(R_{aS2}^3 - R_{aS1}^3)}}\left[ {(1 - 2\mu )R_{aS2}^3 + \frac{{1 + \mu }}{2}R_{aS1}^3} \right] \\ {\text{ }} \qquad \qquad \; +& \frac{{{\beta _a}}}{3}\Delta {T_{(H)}}({R_{aS2}} - {R_{aS1}})，\\[-1pt] \end{split} $

(7)

$ \begin{split} \Delta {R_{aC2(H)}} = &- \frac{{{R_{aC2}}\Delta {P_{(H)}}}}{{{E_a}(R_{aC2}^2 - R_{aC1}^2)}}\left[ (1 - 2\mu )R_{aC2}^2 +\right.\\ &\left. (1 + \mu )R_{aC1}^2\right] + \frac{{{\beta _a}}}{3}\Delta {T_{(H)}}({R_{aC2}} - {R_{aC1}})，\end{split} $

(8)

$ \Delta {L_{a(H)}} = - \frac{{R_{aC2}^2\Delta {P_{(H)}}}}{{{E_a}(R_{aC2}^2 - R_{aC1}^2)}}(1 - 2\mu ){L_a} + \frac{{{\beta _a}}}{3}\Delta {T_{(H)}}{L_a} 。$

(9)

式中：${E_a}$为耐压舱体材料的弹性模量。

通过对耐压舱体不同结构类型分别进行计算，即可得到总的耐压舱体体积变化大小。

$\begin{split}\sum\limits_{a = 1}^k {\Delta {V_{a(H)}}} = &\sum\limits_{a = 1}^k (4{\text π} R_{aS2}^2\Delta {R_{aS2(H)}}+\\ &2{\text π} {R_{aC2}}\Delta {R_{aC2(H)}}{L_a} + {\text π} R_{aC2}^2\Delta {L_{a(H)}} )。\end{split} $

(10)

2.3 油液的体积变化计算方法

油液与其他固体零部件一样，压力和温度是影响其体积变化的最重要因素。不同的是油液的相关参数并不是一个恒定值，而是随着压力和温度的改变而改变。

2.3.1 压力对油液的影响

油液是由无硫基础油调制而成，其液体体积弹性模量会随着压力的改变而变化。液体体积弹性模量可通过定义法和波速法等原理进行测量^[12]，根据陆洋等^[13]借鉴Tsubouchi的测量方法，测量出海斗号所用油液的体积弹性模量与压力之间的关系如图3所示。

可通过多项式拟合的方式，得到液体体积弹性模量与海水压力之间的函数关系，为全海深水下机器人深度环境适应性机理研究提供直接的参数化模型。油液体积弹性模量与压力之间的近似函数为：

$\begin{split}{K}_{油}=&1598+5.92{P}_{(H)}+39.04\mathrm{sin}(6.096-\\& 0.0563{P}_{(H)})+17.96\mathrm{sin}(5.779 + 6.079{P}_{(H)}) -\\& \dfrac{1573}{{P}_{(H)}+\mathrm{cos}(6.353{P}_{(H)}^{2} - {P}_{(H)})}。\end{split} $

(11)

压力对油液体积大小的计算式为：

$ \Delta {V}_{lP(H)}=-\frac{\Delta {P}_{(H)}}{{K}_{油}}{V}_{l}。$

(12)

式中：${V_l}$为油液的体积大小。

2.3.2 温度对油液的影响

随着海洋温度环境的改变，油液的热膨胀系数值也会发生变化，海斗号使用的油液在2℃～15℃的β值为0.000725℃⁻¹。

温度对油液体积大小的计算式为：

$ \Delta {V_{lT(H)}} = {\beta _l}{V_l}\Delta {T_{(H)}}。$

(13)

式中：${\beta _l}$为油液的体积膨胀系数。

3 海斗号综合体积弹性模量建模与分析

在全海深深度剖面环境参数化模型分析的基础上，研究外界环境参数对水下机器人浮力状态改变的贡献度，需构建全海深水下机器人综合体积弹性模量的数学模型。

为更好地描述水下机器人在不同深度的体积变化，引入体积弹性模量这个物理量，体积弹性模量是指均匀压缩的各向同性的均匀弹性物体表面所受正压力与在压缩下产生的体应变之比，可通过杨氏模量直接得到，其计算公式为：

$ K=\frac{E}{3\times (1-2\mu )}。$

(14)

式中：K为体积弹性模量；E为杨氏模量；$\mu $为泊松比。

温度对水下机器人体积的作用大小可以通过热膨胀系数进行描述，热膨胀系数是指物体在等压的情况下，单位温度变化导致物体自身的长度量或体积量变化的物理量。体积膨胀系数与线膨胀系数之间的近似关系为：

$ \beta = 3 \times \alpha 。$

(15)

式中：$\beta $为体积膨胀系数；$\alpha $为线膨胀系数。

在对其综合体积弹性模量建模时，需要考虑到内部每一个组成部分的结构特性，本文采用机理分析法的建模方法进行海斗号综合体积弹性模量的模型构建，根据系统的工作原理，运用一些已知的物理定律、定律和原理推导出整个系统的数学模型，是一种基础的数学建模方法^[14-15]。

3.1 综合体积弹性模量建模

综合下潜深度对温度、密度、压力和重力加速度的影响，经过结构分析和体积计算，可以得到水下机器人在不同深度下的体积变化大小，从而转化为深度与水下机器人体积之间的函数关系。

确定整个建模的输入变量为海水的深度H，除了油液外，其他零部件的体积弹性模量K和体积膨胀系数$\beta $均为常量，输出变量为海斗号的综合体积弹性模量。

体积弹性模量的计算公式为：

$ K = - \frac{{\Delta P}}{{\Delta V}}{V_R} 。$

(16)

由于水下机器人各组成部分的结构和材料不同，需结合海洋深度剖面环境参数的变化，综合考虑不同深度下实心固体、充油舱体、耐压舱体和油液的体积变化，将各组分零部件体积变化计算公式代入至式(16)中，得到海斗号综合体积弹性模量的数学模型：

$ {K_R} = \frac{{({P_H} - {P_0}){V_R}}}{{\displaystyle\sum\limits_{a = 1}^m {{V_a}} \left[ {\frac{{{P_{(H)}} - {P_0}}}{{{K_a}}} + ({T_{(H)}} - {T_0}){\beta _a}} \right] + \sum\limits_{a = 1}^k {(4{\text π} R_{aS2}^2\Delta {R_{aS2(H)}}} + 2{\text π} {R_{aC2}}\Delta {R_{aC2(H)}}{L_a} + {\text π} R_{aC2}^2\Delta {L_{a(H)}})}} 。$

(17)

式中：$\displaystyle\sum\limits_{a = 1}^m {\Delta {V_{a(H)}}} = \sum\limits_{a = 1}^i {\Delta {V_{a(H)}}} + \sum\limits_{a = 1}^j {\Delta {V_{a(H)}}} + \sum\limits_{a = 1}^l {\Delta {V_{a(H)}}} $；m为全部的实心固体、充油舱体和油液；${K_R}$为水下机器人的综合体积弹性模量大小；${V_R}$为水下机器人的排水体积。

3.2 模型分析

依据式(17)，耐压舱体、充油舱体、实体和油液随深度变化而引起体积的变化，如图4所示。

可知，随着深度的增加，实心固体和油液的体积变化较大，耐压舱体和充油舱体的体积变化不明显，其中，在实心固体的体积变化当中，浮力材是主要的贡献者，占据实心固体体积变化的98%。由此可知，在整个建模过程中，浮力材和液压油的体积变化对浮力状态有着更加明显的影响。

根据海斗号综合体积弹性模量模型，得出其与深度的关系曲线图，如图5所示。

可知，0～5000 m，海斗号的体积弹性模量变化较明显，说明此区间内机器人的体积大小受环境因素影响大；在5000 m以下，海斗号的体积弹性模量趋于平稳，主要是由于压力的不断增加，易压缩零部件的压缩性能到达压缩极限，机器人整体的体积不再有显著性变化。

经过模型计算，可以得到海斗号全海深水下机器人在不同深度剖面下的体积大小和跨越不同深度剖面时的体积变化量。海斗号在海水表面时的体积为250 L，伴随着海水深度的增加，海斗号体积随深度呈现着逐渐减小的趋势，如表1所示。

4 综合体积弹性模量模型验证

本文建立的海斗号全海深水下机器人综合体积弹性模量模型，是一种基于机理分析法构建的理论模型，其模型精度和准确性，可通过试验数据比对的方式予以计算分析和验证。

海斗号全海深水下机器人累计实现了40余次海上下潜，下潜深度从百米级到万米级，最大下潜深度达10905 m。本文分别提取深度为3959、8201、9740、10310、10905 m这5组试验数据进行分析，在表2中的重量数据下，海斗号在对应深度时处于中性状态，即重量与浮力数值相等，由此可得到海斗号在对应深度时的体积。

海斗号处于中性状态，根据力学平衡分析，可得到海斗号在此试验深度下的实际体积，简称试验体积。

$ {V_t} = \frac{m}{{{\rho _{(H)}}}} 。$

(18)

将海斗号的综合体积弹性模量模型曲线拟合成近似函数曲线，通过拟合函数直接得到深度和海斗号体积弹性模量关系。

$ {K_{(H)}} = 4.66 - \frac{{5.067 \times {{10}^3}}}{{1.514 \times {{10}^3} + H}}。$

(19)

将上述深度分别带入到拟合式(19)中，可得到对应深度下的水下机器人体积弹性模量，通过式(20)计算，可得到此深度下由海斗号综合体积弹性模量数学模型计算后的体积，简称模型体积。

$ {V_c} = {V_0}\left(1 - \frac{{\Delta P}}{{{K_{(H)}}}}\right) 。$

(20)

通过对试验体积和模型体积分别计算，得到计算结果如图6所示。

经过上述对构建的综合体积弹性模量数学模型计算得到的体积与海斗号海上试验反推得到的体积数值比对，可见模型体积与试验体积高度吻合，误差小于2%，证明了本文构建的海斗号全海深综合体积弹性模量数学模型的准确性。可通过此种模型计算方法作为全海深水下机器人深度剖面环境适应性设计方案的理论参考，并为全海深水下机器人的潜浮调节结构设计提供参考依据。

5 结　语

全海深水下机器人在深度剖面进行作业，受到多种环境因素制约，其体积伴随深度动态变化，对水下机器人的浮力配平等工作提出了极大挑战，本文通过对全海深海洋环境影响因素进行分析，提出一种全海深水下机器人体积弹性模量建模方法，通过对这种动态模型分析研究，以得到在不同海洋深度剖面下的机器人体积大小，为全海深水下机器人深度剖面环境适应性设计方案提供理论参考，经与海斗号的海上试验数据进行比对，验证了本文全海深水下机器人体积弹性模量建模方法的有效性，得出如下结论：

1）伴随深度的增加，海水压力的增大促使机器人的体积减小，从而造成浮力的损失，海水密度的增大会使机器人浮力增加，正是这2种主要因素的作用造成了机器人的浮力伴随着深度在动态的变化。

2） 海斗号全海深水下机器人的体积受到来自海水的压力和温度的影响，通过对水下机器人零部件的结构进行计算分析，得出浮力材和油液体积变化对水下机器人体积变化影响最大。

3） 采用机理分析法，对海斗号全海深水下机器人进行整体综合体积弹性模量建模，得到了其体积弹性模量随深度的变化规律，为全海深水下机器人在任一深度下实现重力与浮力的匹配提供了指导依据。

4） 本文构建的综合体积弹性模量模型结果与海斗号的海试数据高度吻合，证明了本文构建模型的精确性和建模方法的有效性，为提升全海深水下机器人的深度剖面环境适应能力提供了一种可行的理论指导方法，满足全海深水下机器人安全可控的万米潜浮和在指定深度下高效运动的目标。