0 引　言

由于登陆艇抢滩退滩时受到多种因素，如海床底质、初始速度、海床坡面角等的影响，操纵运动非常复杂。为了能够准确判断登陆艇抢滩退滩时的动态，减少乃至避免事故的发生，对登陆艇抢滩和退滩运动的建模与仿真，并应用于模拟器进行培训与演练具有重要意义。

目前，国内外对登陆艇抢滩退滩方面的研究尚少，对于登陆艇的抢滩退滩运动建模，更是少有人进行全面系统的研究。在海床作用力方面，Sterndorff等^[1]在一处岛屿上进行了多次实船搁浅试验，确定了船舶的刚体速度和运动过程，得到了运动方程的经验公式，通过经验公式得出船舶与海床的相互作用力的大小。田磊^[2]在Sterndorff研究的基础上推导出船舶六自由度搁浅力计算模型，建立船舶搁浅运动数学模型。在锚泊系泊力方面，Fan等^[3]综合考虑了系泊线的法向拖曳力、切向拖曳力和海底摩擦力，提出一种改进系泊线阻尼的准静力法，并进行了比例模型试验。侯建军等^[4]采用悬链线理论求解锚链的张力与构型，但没有考虑锚链弹性形变的影响，仅适用于浅水锚泊的求解。杨鑫^[5]采用切比雪夫拟合方法，将一根锚链划分为多段，简化了锚链受力分析的计算过程。

本文将海床作用力和锚链力与分离型模型（Manoeuvring Model Group，MMG）相结合，建立一个适合航海模拟器的登陆艇抢滩退滩的六自由度运动数学模型。并通过数值仿真研究了海床底质、初始速度和海床坡面角对登陆艇抢滩退滩运动的影响，进一步验证所建模型的合理性和适用性。

1 登陆船艇数学模型

在描述登陆艇的航行运动之前，需要引入2种坐标系统：惯性坐标系和附体坐标系，如图1所示，这些坐标系统的引入有助于更好地理解和分析登陆艇在海洋中的运动。$ {O}_{0}-{x}_{0}{y}_{0}{z}_{0} $为固定于地球表面的惯性坐标系统，规定$ {x}_{0} $轴指向正北，$ {y}_{0} $轴指向正东，$ {z}_{0} $轴指向地心。$ O-xyz $为原点$ O $位于登陆艇中心的附体坐标系，规定$ x $轴指向船首，$ y $轴指向登陆艇右舷，$ z $轴指向登陆艇的龙骨。其中$ (u,v,w,p,q,r) $为登陆艇在附体坐标系$ O-xyz $下的平移速度和旋转角速度。

基于MMG建模理论，考虑在垂直平面内纵摇和升沉运动之间的强耦合关系，以及在水平平面内纵摇运动、横摇运动、横荡运动和首摇运动之间的强耦合关系，以登陆艇的中心位置作为附体坐标系的原点，建立如下的登陆艇六自由度运动方程：

$\begin{aligned} \left\{ \begin{gathered} (m + {m_x})\dot u - (m + {m_y})vr - m{x_G}{r^2} + m{z_G}rp= \\ {X_H} + {X_P} + {X_{GF}} + {X_c} ，\\ (m + {m_y})\dot v + (m + {m_x})ur + m{x_G}\dot r - (m{z_G} + {m_y}{\alpha _z})\dot p = \\ {Y_H} + {Y_P} + {Y_{GF}} + {Y_{\text{c}}} ，\\ ({I_{xx}} + {J_{xx}} + mz_G^2)\dot p - m{z_G}({x_G}\dot r + ur) - (m{z_G} + {m_y}{\alpha _z})\dot v= \\ {K_H} + {K_{GF}} + {K_c} ，\\ ({I_{zz}}{\text{ + }}{{{J}}_{zz}} + mx_G^2)\dot r + m{x_G}(\dot v + ur) - m{x_G}{z_G}\dot p= \\ {N_H} + {N_P} + {N_{GF}} + {N_c}，\\ (m + {m_z})\dot w - (m{x_G} + {m_z}{x_B})\dot q - (m + {m_x})uq + (m + {m_y})vp = \\ {Z_H} + {Z_{GF}} + {Z_c} ，\\ ({I_{yy}} + {J_{yy}})\dot q - (m{x_G} + {m_z}{x_B})\dot w + [({I_{xx}} - {I_{zz}}) + ({J_{xx}} - {J_{zz}})]= \\ pr + m{x_G}uq = {M_H} + {M_{GF}} + {M_c}。\\ \end{gathered} \right.\end{aligned} $

(1)

式中：$ {x}_{G} $、$ {y}_{G} $、$ {z}_{G} $为重心坐标；$ {\alpha }_{z} $为横向附加质量$ {m}_{y} $的作用点；下标$ H $、$ P $、$ GF $、$ C $分别为船体、螺旋桨、海床以及锚链。各参数及力的详细计算参考文献[6 - 7]。

2 抢滩退滩数学模型 2.1 海床作用力模型

抢滩过程可划分为接触瞬间和滑动阶段^[8]2个阶段。第1阶段的船舶与海床坡面的接触点的受力分析如图2所示。其中合力$ F $与沿$z$轴的夹角为$ \beta $，在垂直于$ \beta $的方向上运用动量与动量矩定理可得方程：

$ \left\{ \begin{gathered} {u_0}(m + {m_x})\cos {\beta _x}= \\ {u_1}(m + {m_x})\cos {\beta _x} - {w_1}(m + {m_z})\sin {\beta _x} ，\\ {u_0}(m + {m_x}){z_{cg}}= \\ {u_1}(m + {m_x}){z_{cg}} + {w_1}(m + {m_z}){x_{cg}} + {q_1}({I_{yy}} + {J_{yy}}) ，\\ {v_0}(m + {m_y})\cos {\beta _y}= \\ {v_1}(m + {m_y})\cos {\beta _y} + {w_1}(m + {m_z})\sin {\beta _y} ，\\ {v_0}(m + {m_y}){z_{cg}}= \\ {v_1}(m + {m_y}){z_{cg}} - {w_1}(m + {m_z}){y_{cg}} + {p_1}({I_{xx}} + {J_{xx}})，\\ {u_0}(m + {m_x}){y_{cg}} - {v_0}(m + {m_y}){x_{cg}}= \\ {u_1}(m + {m_x}){y_{cg}} - {v_1}(m + {m_y}){x_{cg}} + {r_1}({I_{zz}} + {J_{zz}}) ，\\ ({u_1} - {y_{cg}}{r_1} + {z_{cg}}{q_1})\tan {\alpha _x} + ({v_1} - {z_{cg}}{p_1} + {x_{cg}}{r_1})\tan {\alpha _y} = \\ -({w_1} - {q_1}{x_{cg}} + {p_1}{y_{cg}}) 。\\ \end{gathered} \right. $

(2)

式中：$ {x}_{c\mathrm{g}} $、$ {y}_{c\mathrm{g}} $、$ {z}_{c\mathrm{g}} $为登陆艇刚与海床接触时的坐标；下角标0和1分别为接触前后的动态参数。

第2阶段中，船舶与海床坡面发生持续接触并滑动，直到运动停止。在此过程中，船舶受力为：

$ {F_z} = \rho g{A_w}\frac{{\Delta {z_c}}}{{(1 + {l_{\text{1}}}^2/{r_{\text{1}}}^2{\text{ + }}{l_{\text{2}}}^2/{r_{\text{2}}}^2)}}。$

(3)

式中：$ \rho $为海水密度；$ {g} $为重力加速度；$ {A}_{w} $为水线面面积；$ {\Delta z}_{c} $为接触点垂向位移；其中，$ {l}_{1} $和$ {l}_{2} $分别为接触点距船舶浮心的距离；$ {r}_{1}={(\nabla {GM}_{L}/{A}_{w})}^{1/2} $，$ {r}_{2}= {(\nabla {GM}_{T}/{A}_{w})}^{1/2} $；$ \nabla $为排水体体积，$ {GM}_{L} $和$ {GM}_{T} $分别为纵横初稳性高度。

在船体坐标系下，海床作用力及力矩为：

$ \left\{ \begin{gathered} {X_{GF}}{\text{ = }}{F_z}\tan {\beta _x}\cos \phi ，\\ {Y_{GF}}{\text{ = }}{F_z}\tan {\beta _y}\cos \theta ，\\ {Z_{GF}} = {F_z}\cos \psi \cos \theta ，\\ {K_{GF}} = {Z_{GF}}{y_{cg}} - {Y_{GF}}{x_{cg}}，\\ {M_{GF}} = {X_{GF}}{z_{cg}} - {Z_{GF}}{x_{cg}} ，\\ {N_{GF}} = {Y_{GF}}{x_{cg}} - {X_{GF}}{y_{cg}}。\\ \end{gathered} \right. $

(4)

式中：$ \phi $为横倾角；$ \theta $为纵倾角；$ \psi $为航向角。

2.2 锚链力模型

根据工程中常用的悬链线方程(5)可知锚链的水平拉力$ {F}_{ANR}={w}_{c}ag $，$ {w}_{c} $为每米锚链重量。

$ y = a\left( {\cosh \frac{x}{a} - 1} \right)。$

(5)

如图3所示，$ {T}_{C} $为锚链的张力；$ \gamma $为锚链张力与水平之间的夹角；$ {L}_{1} $和$ {L}_{2} $分别为卧底和悬垂锚链长；$ {L}_{c} $为锚链总长。根据锚链孔与锚位间距离$ {d}_{a} $的不同，分3种情况计算锚链的水平拉力^[9]。

$ \left\{ \begin{gathered} {x_{\min }} = {L_c} - h，\\ {x_{{{\mathrm{med}}} }} = {{\left( {L_c^2 - {h^2}} \right)} \mathord{/ {\vphantom {{\left( {L_c^2 - {h^2}} \right)} {2h}}} } {2h}}，\\ {x_{\max }} = \sqrt {L_c^2 - {h^2}} 。\\ \end{gathered} \right. $

(6)

当$ 0 \leqslant {d}_{a} \leqslant {x}_{{\mathrm{min}}} $时，$ {F}_{ANR}=0 $，锚链处于松弛状态；

当$ {x}_{{\mathrm{min}}} \leqslant {d}_{a} \leqslant {x}_{{\mathrm{med}}} $时，

$ \left\{ \begin{gathered} {F_{ANR}} = {w_c}a ，\\ {L_1} = {L_c} - {L_2} ，\\ {L_2} = a\cosh \left( {{h \mathord{\left/ {\vphantom {h {a + 1}}} \right. } {a + 1}}} \right) ，\\ \gamma = \arctan \left( {{{{F_{ANR}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{F_{ANR}}} {{L_2}{w_c}}}} \right. } {{L_2}{w_c}}}} \right) ，\\ {\alpha _c} = 0 。\\ \end{gathered} \right. $

(7)

$ a $可通过式(8)迭代求解。

$ a{\cosh ^{ - 1}}\left( {{h \mathord{\left/ {\vphantom {h {a + 1}}} \right. } {a + 1}}} \right) - \left( {{d_a} - {L_c}} \right) - \sqrt {2ah + {h^2}} = 0。$

(8)

当$ {x_{{\mathrm{med}}}} \leqslant {d_a} < {x_{\max }} $时，$ a $可通过式(9)迭代求解。

$ 2a{\sinh ^{ - 1}}\left( {{{{x_{\max }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{x_{\max }}} {2a}}} \right. } {2a}}} \right) - {d_a} = 0 。$

(9)

此时，$ {L}_{1}=0 $，$ {L}_{2}={L}_{c} $且锚杆处锚链与水平面夹角为：

$ {\alpha _c} = \arctan \left( {\sinh (0.5c - {{\sinh }^{ - 1}}({h \mathord{\left/ {\vphantom {h {2a\sinh (0.5c)}}} \right. } {2a\sinh (0.5c)}}))} \right)。$

(10)

锚抓力$ {F}_{a}=\left({w}_{a}-{F}_{ANR}{{\mathrm{sin}}}\left({\alpha }_{c}\right)\right){\text{λ}}_{a}+{w}_{c}{L}_{c}{\text{λ}}_{c} $，其中，$ {w}_{a} $为锚重量；$ {\text{λ} }_{a} $和$ {\text{λ}}_{c} $分别为锚和锚链的抓力系数，通过比较$ {F}_{a} $和$ {F}_{ANR} $判断是否走锚。

在船体坐标系下，锚链对登陆艇的作用力为：

$ \left\{ \begin{gathered} {{\text{X}}_C} = {F_{ANR}}\cos ({\psi _c}) ，\\ {{\text{X}}_C} = {F_{ANR}}\sin ({\psi _c}) ，\\ {Z_C} = {T_C}\sin (\gamma )，\\ {K_C} = {Y_C}{z_{hp}} + {Z_C}{y_{hp}} ，\\ {M_C} = - {X_C}{z_{hp}} - {Z_C} \cdot {x_{hp}} ，\\ {N_C} = - {X_C}{y_{hp}} + {Y_C} \cdot {x_{hp}} 。\\ \end{gathered} \right. $

(11)

式中：$ {x}_{hp} $、$ {y}_{hp} $、$ {z}_{hp} $为锚链孔的船体坐标；$ {\psi }_{c} $下为锚链相对方位角。

3 数值仿真

为了验证模型的合理性和适用性，以某型登陆艇为例进行数值计算及仿真。船舶主尺度及锚泊设备参数如表1和表2所示。

设置底质摩擦系数为0.6，初始速度为2 m/s、海床坡面角为10°。锚位点与登陆点之间的距离为2个登陆艇长。登陆艇抢滩与退滩仿真结果如图4与图5所示。

3.1 底质（摩擦系数）对登陆艇抢滩退滩运动的影响分析

对不同底质摩擦系数（系数分别取0.6、0.5、0.4）进行仿真。初始速度为2 m/s、海床坡面角为10°。仿真结果如图6～图12所示。图中竖虚线为抢滩退滩的分界点，虚线左边为抢滩阶段，虚线右边为退滩阶段。

从图6与图7可知，在登陆艇与坡面接触瞬间，即抢滩的第1阶段，船速小幅度下降，在船体沿坡面滑行阶段，即抢滩的第2阶段，船速加速下降直至停止，此时达到最大冲滩距离；底质摩擦系数的大小直接影响船速的下降速率和最终的冲滩距离，底质摩擦系数越大，速降越快，相应的冲滩距离越短。从图8可以看出，在抢滩第1阶段，由于船体与坡面的撞击，船体垂荡速度瞬时增大并出现振荡，进入抢滩第2阶段后垂荡逐渐趋于稳定；底质摩擦系数越大，垂荡幅度越小。从图10可知，在抢滩的第2阶段，船体纵摇角速度瞬间增大并出现振荡，进入抢滩第2阶段纵摇趋于稳定；底质摩擦系数越大，纵摇幅度越小。

从图9和图11可知，在初始速度、海床坡面角不变的情况下，登陆艇垂向位移与纵倾角随底质摩擦系数的增大，呈现出先增大再减小的变化趋势。这是因为，随着底质摩擦系数的增加，冲滩距离逐渐减小，甚至无法冲上滩头所致，恰恰证明了所建模型的合理性。

从图6～11可知，退滩初期，由于海床作用力较大，退滩的纵向速度、垂向速度和纵摇角速度变化缓慢，后期快速增加。退下坡面后，出现小幅的垂荡和纵摇，然后趋于稳定。

图12为抢滩退滩过程中锚缆的张力变化情况，抢滩时，始终保持锚缆处于松弛状态，退滩时张力逐渐增加至锚机最大拉力，当船体退下滩面时张力迅速下降。退滩时锚缆张力最大值持续时和总体退滩用时随底质摩擦系数的增加而增加。

3.2 初始速度对登陆艇抢滩退滩运动的影响分析

对不同初始速度（速度分别取2、3、4 m/s）进行仿真。底质摩擦系数为0.6、海床坡面角为$ {10}\text{°} $。仿真结果如图13～图19所示。图中竖虚线为抢滩退滩的分界点，虚线左边为抢滩阶段，虚线右边为退滩阶段。

图13与图14为登陆艇的纵向速度与纵向位移的变化情况，可以看出，在抢滩第1阶段，船速小幅度瞬间下降；在抢滩的第2阶段，随着初始速度的增加，速降越大，相应的冲滩距离越长。同时初始速度越大，在退滩时需要耗费的时间也越多，当初始速度达到一定值时，登陆艇抢滩深入海床太多，锚链力不够将其拉出，会导致登陆艇退滩失败。

从图15可知，在抢滩第1阶段，船体垂荡速度瞬时增大并出现振荡，初始速度越大，垂荡幅度越大。在抢滩的第2阶段，登陆艇艇体的垂荡速度趋于稳定。从图17可以看出，在抢滩第1阶段，船体纵摇角速度瞬时增大并出现振荡，初始速度越大，纵摇幅度越大；在抢滩的第2阶段，登陆艇的纵摇角速度趋于稳定。图16与图18为登陆艇的垂向位移与纵倾角的变化情况，在底质摩擦系数、海床坡面角不变的情况下，登陆艇垂向位移与纵倾角随初始速度的增大，呈现出先增大再减小的变化趋势。

从图13～图18可知，退滩初期，由于海床作用力较大，退滩的纵向速度、垂向速度和纵摇角速度变化缓慢，后期快速增加。退下坡面后，出现小幅的垂荡和纵摇，然后趋于稳定。

图19为缆索张力的变化情况，抢滩时，始终保持锚缆处于松弛状态，退滩时张力逐渐增加至锚机最大拉力，当船体退下滩面时张力迅速下降。退滩时锚缆张力最大值持续时和总体退滩用时随初始速度的增加而增加。

3.3 坡面角对登陆艇抢滩退滩运动的影响分析

对不同海床坡面角（角度分别取$ {10}\text{°}$、$ {15}\text{°}$、$ {20}\text{°} $）进行仿真。底质摩擦系数为0.6、初始速度为2 m/s。仿真结果如图20～图26所示。图中竖虚线为抢滩退滩的分界点，虚线左边为抢滩阶段，虚线右边为退滩阶段。

图20与图21为登陆艇的纵向速度与纵向位移的变化情况，在抢滩第1阶段，船速小幅度瞬间下降；在抢滩的第2阶段，随着坡度角的增加，纵向速度的变化速降越剧烈，纵向位移增加得越少小。

从图22可知，在抢滩第一阶段，船体垂荡速度瞬时增大并出现振荡，海床坡面角越大，垂荡幅度越大。在抢滩的第2阶段，登陆艇艇体的垂荡速度趋于稳定。从图24可知，在抢滩第1阶段，船体纵摇角速度瞬时增大并出现振荡，海床坡面角越大，纵摇幅度越大；在抢滩的第二阶段，登陆艇的纵摇角速度趋于稳定。图23与图25为登陆艇的垂向位移与纵倾角的变化情况，在底质摩擦系数、初始速度不变的情况下，登陆艇垂向位移与纵倾角随海床坡面角的增大，呈现出先增大再减小的变化趋势。

从图20～25可知，退滩初期，由于海床作用力较大，退滩的纵向速度、垂向速度和纵摇角速度变化缓慢，后期快速增加。退下坡面后，出现小幅的垂荡和纵摇，然后趋于稳定。

图26为缆索张力的变化情况，抢滩时，始终保持锚缆处于松弛状态，退滩时张力逐渐增加至锚机最大拉力，当船体退下滩面时张力迅速下降。退滩时锚缆张力最大值持续时和总体退滩用时随坡面角的增加而减少。原因在于在摩擦系数和初始速度不变的情况下，坡面增大导致船体冲滩距离减小所致。

4 结　语

本文在登陆艇六自由度运动数学模型建模基础上，耦合了海床作用力和锚链力，建立了登陆艇抢滩和退滩运动数学模型，并对不同底质摩擦系数、初始速度以及海床坡面角的抢退滩情况进行数值仿真和分析讨论。仿真结果表明所建模型可以实时描述船舶抢退滩过程中各运动参数的变化规律；所建模型可应用于航海模拟器，实现登陆艇操纵以及船舶搁浅、脱浅应急操纵的培训与演练；为后续考虑风、浪、流和冲滩角度影响下的抢退滩运动建模提供研究基础。