0 引　言

受风、浪、流等因素影响，船舶在海上存在大幅度的摇摆及升沉运动，对以大型船舶甲板为起降平台的直升机起降作业产生较大影响，为提高直升机起降的安全性和作业效率，通常将采用基于时间序列的极短期预报技术预测未来一段时间内安全起降时间窗口，为指挥员引导直升机起降提供辅助支持^[1]。极短期预报模型需输入多个起降点位置船体运动姿态时间序列值，由于船舶甲板较大，船载惯导装置数量有限且布列位置不能正好位于每个起降点处，所采集的升沉信息与各起降点的升沉差异较大，存在明显杆臂效应，而极短期预报技术是一种仅利用船舶历史运动时历的统计拟合方法，数据的不准确性将对预报模型参数辨识的精度造成很大影响，进而影响预报时长及准确性，因此对各起降点的升沉速度换算变得十分必要^{[2 − 3]}。

本文利用有限传感器实时采集到的横摇、纵摇及升沉速度信息，结合传感器安装点以及起降点的船体坐标，推导出起降点的升沉速度换算方法。结合某型船模型试验数据对升沉速度换算误差进行验证，然后将换算后的升沉速度输入给极短期预报模型，统计预报精度提升程度。研究过程中将船体视为刚性体，所用极短期预报模型为基于时间序列的非线性二阶自适应Volterra级数模型^[4]。起降点升沉换算对提高极短期预报精度，补偿杆臂效应影响，提升直升机起降作业效率具有重要意义。

1 三自由度坐标变换理论 1.1 坐标变换理论

坐标变换是指一个矢量在2个不同坐标系上分量列阵之间的关系，一般可用变换矩阵表示^[7]。

1）平移变换

坐标系$ O{x}_{a}{y}_{a}{z}_{a} $（记作$ {S}_{a} $）平移$ \left[{T} _{x}, {T} _{y}, {T} _{z}\right] $成为$ \text{O}{x}_{b}{y}_{b}{z}_{b} $（记作$ {S}_{b} $），变换如下式：

$ {\left[{x}_{b},{y}_{b},{z}_{b}\right]}^{\rm T}={\left[{x}_{a},{y}_{a},{z}_{a}\right]}^{\rm T}-{\left[{T}_{x},{T}_{y},{T}_{z}\right]}^{\rm T}。$

(1)

2）基元旋转变换

$ {S}_{a} $绕$ x $轴旋转$ \gamma $角的变换矩阵为：

$ {{\boldsymbol{L}}}_{x}\left(\gamma \right)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \mathrm{cos}\gamma & \mathrm{sin}\gamma \\ 0& -\mathrm{sin}\gamma & \mathrm{cos}\gamma \end{array}\right]。$

(2)

$ {S}_{a} $绕$ y $轴旋转$ \varphi $角的变换矩阵为：

$ {{\boldsymbol{L}}}_{y}\left(\varphi \right)=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{cos}\varphi & 0& -\mathrm{sin}\varphi \\ 0& 1& 0\\ \mathrm{sin}\varphi & 0& \mathrm{cos}\varphi \end{array}\right] 。$

(3)

$ {S}_{a} $绕$ z $轴旋转$ \theta $角的变换矩阵为：

$ {{\boldsymbol{L}}}_{z}\left(\theta \right)=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{cos}\theta & \mathrm{sin}\theta & 0\\ -\mathrm{sin}\theta & \mathrm{cos}\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]。$

(4)

1.2 地面坐标系到船体坐标系的变换

地面坐标系$ O{x}_{g}{y}_{g}{z}_{g} $（记作$ {S}_{g} $）：固连于地面的惯性坐标系，与静水中船体坐标系初始时刻重合。船体坐标系$ O{x}_{b}{y}_{b}{z}_{b} $（记作$ {S}_{b} $）：固连于船体的动坐标系，原点$ O $为任意时刻船舶重心；$ {x}_{b} $轴指向船首方向为正；$ {y}_{b} $轴在中纵剖面内，垂直于$ {x}_{b} $轴，指向上方为正；$ {z}_{b} $轴方向按照右手定则确定^[7]。

地面坐标系与船体坐标系之间的关系可以用3个旋转角（艏摇角$ \phi $、纵摇角$ \theta $、横摇角$ \gamma $）确定 ^[8]。首先地面坐标系$ O{x}_{g}{y}_{g}{z}_{g} $绕$ {y}_{g} $轴转过角$ \phi $成为$ O{x}_{1}{y}_{g}{z}_{1} $；然后绕$ {z}_{1} $轴转过角$ \theta $成为$ O{x}_{b}{y}_{2}{z}_{1} $；最后绕$ {x}_{b} $轴转过角$ \gamma $成为船体坐标系$ O{x}_{b}{y}_{b}{z}_{b} $，具体如图1所示。

对应坐标系之间的关系为：

$ {\left[{x}_{b},{y}_{b},{z}_{b}\right]}^{\rm T}={{{\boldsymbol{L}}}_{x}\left(\gamma \right)\left[{x}_{b},{y}_{2},{z}_{1}\right]}^{\rm T} ，$

(5)

$ {\left[{x}_{b},{y}_{2},{z}_{1}\right]}^{\rm T}={{{\boldsymbol{L}}}_{z}\left(\theta \right)\left[{x}_{1},{y}_{g},{z}_{1}\right]}^{\rm T}，$

(6)

$ {\left[{x}_{1},{y}_{g},{z}_{1}\right]}^{\rm T}={{{\boldsymbol{L}}}_{y}\left(\varphi \right)\left[{x}_{g},{y}_{g},{z}_{g}\right]}^{\rm T}。$

(7)

代入式（5）～式（7）可得：

$ {\left[{x}_{b},{y}_{b},{z}_{b}\right]}^{\rm T}={{\boldsymbol{L}}}_{bg}{\left[{x}_{g},{y}_{g},{z}_{g}\right]}^{\rm T}。$

(8)

式中：$ {L}_{bg}={L}_{x}\left(\gamma \right){L}_{z}\left(\theta \right){L}_{y}\left(\varphi \right) $，代入式(2)～式(4)计算可得：

$\begin{split} {{\boldsymbol{L}}}_{bg}=&\left[\begin{array}{cc}\mathrm{cos}\theta \mathrm{cos}\phi & \mathrm{sin}\theta \\ -\mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}\phi \mathrm{cos}\gamma +\mathrm{sin}\phi \mathrm{sin}\gamma & \mathrm{cos}\theta \mathrm{cos}\gamma \\ \mathrm{sin}\theta \mathrm{cos}\phi \mathrm{sin}\gamma +\mathrm{sin}\phi \mathrm{cos}\gamma & -\mathrm{cos}\theta \mathrm{sin}\gamma \end{array}\right.\\ &\left.\begin{array}{c}-\rm{cos}\theta \rm{sin}\varphi \\ \rm{sin}\theta \rm{sin}\varphi \rm{cos}\gamma +\rm{cos}\varphi \rm{sin}\gamma \\ -\rm{sin}\theta \rm{sin}\varphi \rm{sin}\gamma +\rm{cos}\varphi \rm{cos}\gamma \end{array}\right]。\end{split} $

(9)

将式(8)两边求逆，得：

$ {\left[{x}_{g},{y}_{g},{z}_{g}\right]}^{\rm T}={L}_{bg}^{-1}{\left[{x}_{b},{y}_{b},{z}_{b}\right]}^{\rm T}。$

(10)

式中：$ {{\boldsymbol{L}}}_{bg}^{-1}={{\boldsymbol{L}}}_{y}^{-1}\left(\varphi \right){{\boldsymbol{L}}}_{z}^{-1}\left(\theta \right){{\boldsymbol{L}}}_{x}^{-1}\left(\gamma \right) $，代入式(2)～式(4)计算可得：

$ {L}_{bg}^{-1}={L}_{bg}^{\rm T}。$

(11)

$ {{\boldsymbol{L}}}_{bg} $为一个正交矩阵，其逆矩阵就是它的转置矩阵。若地面坐标系的原点$ {O}_{g} $到船体坐标系的原点$ {O}_{b} $平移了$ {\left[{T}_{x},{T}_{y},{T}_{z}\right]}^{\rm T} $，则：

$ \left[\begin{array}{c}{x}_{g}\\ {y}_{g}\\ {z}_{g}\end{array}\right]={{\boldsymbol{L}}}_{bg}^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_{b}\\ {y}_{b}\\ {z}_{b}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{T}_{x}\\ {T}_{y}\\ {T}_{z}\end{array}\right] 。$

(12)

1.3 三自由度运动的坐标变换

结合实际作业需求，以船舶甲板为起降平台的海上直升机起降作业通常受横摇、纵摇及升沉三自由度运动影响较大，研究过程中仅考虑上述3个自由度。设艏摇角$ \varphi $=0，式(11)中$ {{\boldsymbol{L}}}_{bg}^{-1} $可简化为：

$ {{\boldsymbol{L}}}_{bg}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{cos}\theta & -\mathrm{sin}\theta \rm{cos}\gamma & \mathrm{sin}\theta \mathrm{sin}\gamma \\ \mathrm{sin}\theta & \mathrm{cos}\theta \rm{cos}\gamma & -\rm{cos}\theta \mathrm{sin}\gamma \\ 0& \mathrm{sin}\gamma & \rm{cos}\gamma \end{array}\right]={{\boldsymbol{L}}}_{bg}^{\rm T}。$

(13)

2 起降点升沉速度变换方法

船载惯导装置采集到的横摇角和纵摇角为全船信息，无需进行换算，本文仅对升沉速度进行推导换算。研究过程中假定船体为刚性体，地面坐标系的原点$ {O}_{g} $位于初始时刻船舶重心，船舶运动只考虑3个自由度：船舶的横摇$ \gamma $、纵摇$ \theta $和船舶重心的升沉位移$ {T}_{y} $。起降点升沉速度变换过程整体分为：1）根据船载惯导装置采集的姿态数据换算出船舶重心的升沉位移和速度；2）根据船舶重心的升沉速度进一步换算出起降点的升沉速度。

2.1 计算船舶重心的升沉位移和升沉速度

1）船舶重心的升沉位移

设船载惯导装置位于$ {P}_{1} $点，其船体坐标为$ {\left[{x}_{b}^{1},{y}_{b}^{1},{z}_{b}^{1}\right]}^{\rm T} $，地面坐标为$ {\left[{x}_{g}^{1},{y}_{g}^{1},{z}_{g}^{1}\right]}^{\rm T} $，根据式(12)和式(13)可得：

$ \left[ \begin{array}{c}{x}_{g}^{1}\\ {y}_{g}^{1}\\ {z}_{g}^{1} \end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ccc}\mathrm{cos}\theta & -\mathrm{sin}\theta \rm{cos}\gamma & \mathrm{sin}\theta \mathrm{sin}\gamma \\ \mathrm{sin}\theta & \mathrm{cos}\theta \rm{cos}\gamma & -\rm{cos}\theta \mathrm{sin}\gamma \\ 0& \mathrm{sin}\gamma & \rm{cos}\gamma \end{array}\right]\left[ \begin{array}{c}{x}_{b}^{1}\\ {y}_{b}^{1}\\ {z}_{b}^{1} \end{array}\right]+\left[ \begin{array}{c}0\\ {T}_{y}\\ 0 \end{array}\right]。$

故船舶重心的升沉位移$ {T}_{y} $为：

${T}_{y}={y}_{g}^{1}-\left({x}_{b}^{1}\mathrm{sin}\theta +{y}_{b}^{1}\mathrm{cos}\theta \mathrm{cos}\gamma -{z}_{b}^{1}\mathrm{cos}\theta \mathrm{sin}\gamma \right)。$

(14)

2）船舶重心的升沉速度

设$ t $和$ t+\Delta t $时刻船舶的横摇、纵摇和船舶重心的升沉位移分别为$ {\gamma }_{1}、{\theta }_{1}、{T}_{y1} $和$ {\gamma }_{2}、{\theta }_{2}、{T}_{y2} $，惯导装置的位置$ {P}_{1} $点船体坐标，无论是$ t $还是$ t+\Delta t $时刻都是$ {\left[{x}_{b}^{1},{y}_{b}^{1},{z}_{b}^{1}\right]}^{\rm T} $，而地面坐标分别为$ {\left[{x}_{g1}^{1},{y}_{g1}^{1},{z}_{g1}^{1}\right]}^{\rm T} $和$ {\left[{x}_{g2}^{1},{y}_{g2}^{1},{z}_{g2}^{1}\right]}^{\rm T} $，根据式(12)～式(14)可得：

$ \begin{aligned}{v}_{y}=&\frac{{T}_{y2}-{T}_{y1}}{\Delta t}={v}_{yg}^{1}-\Biggr({x}_{b}^{1}\frac{\mathrm{sin}{\theta }_{2}-\mathrm{sin}{\theta }_{1}}{\Delta t}+\\ &{y}_{b}^{1}\frac{\mathrm{cos}{\theta }_{2}\mathrm{cos}{\gamma }_{2}-\mathrm{cos}{\theta }_{1}\mathrm{cos}{\gamma }_{1}}{\Delta t} -\\ &{z}_{b}^{1}\frac{\mathrm{cos}{\theta }_{2}\mathrm{sin}{\gamma }_{2}-\mathrm{cos}{\theta }_{1}\mathrm{sin}{\gamma }_{1}}{\Delta t}\Biggr) 。\end{aligned}$

(15)

若时间间隔$ \Delta t $很短，可以用差分计算$ t $时刻船舶重心的升沉速度$ {v}_{y} $，即：

$ \begin{split}{v}_{y}=&\frac{{T}_{y2}-{T}_{y1}}{\Delta t}={v}_{yg}^{1}-\Biggr({x}_{b}^{1}\frac{\mathrm{sin}{\theta }_{2}-\mathrm{sin}{\theta }_{1}}{\Delta t} +\\ &{y}_{b}^{1}\frac{\mathrm{cos}{\theta }_{2}\mathrm{cos}{\gamma }_{2}-\mathrm{cos}{\theta }_{1}\mathrm{cos}{\gamma }_{1}}{\Delta t} -\\ &{z}_{b}^{1}\frac{\mathrm{cos}{\theta }_{2}\mathrm{sin}{\gamma }_{2}-\mathrm{cos}{\theta }_{1}\mathrm{sin}{\gamma }_{1}}{\Delta t}\Biggr)。\end{split}$

(16)

式中：$ {v}_{yg}^{1} $为$ t $时刻$ {P}_{1} $点的升沉速度，可直接由惯导装置采集获得。

2.2 计算起降点的升沉速度

设$ t $和$ t+\Delta t $时刻船舶的横摇、纵摇和船舶重心的升沉位移分别为$ {\gamma }_{1}、{\theta }_{1}、{T}_{y1} $和$ {\gamma }_{2}、{\theta }_{2}、{T}_{y2} $，直升机起降点$ {P}_{1}^{L} $的船体坐标，无论是$ t $还是$ t+\Delta t $时刻都是$ {\left[{x}_{b}^{L},{y}_{b}^{L},{z}_{b}^{L}\right]}^{\rm T} $，而地面坐标分别为$ {\left[{x}_{g1}^{L},{y}_{g1}^{L},{z}_{g1}^{L}\right]}^{\rm T} $和$ {\left[{x}_{g2}^{L},{y}_{g2}^{L},{z}_{g2}^{L}\right]}^{\rm T} $，根据式(12)和式(13)可得$ t $时刻起降点$ {P}_{1}^{L} $的升沉速度$ {v}_{yg}^{L} $：

$ \begin{aligned}{v}_{yg}^{L}=&\frac{{y}_{g2}^{L}-{y}_{g1}^{L}}{\Delta t}=\frac{{T}_{y2}-{T}_{y1}}{\Delta t}+\Biggr({x}_{b}^{L}\frac{\mathrm{sin}{\theta }_{2}-\mathrm{sin}{\theta }_{1}}{\Delta t}+\\& {y}_{b}^{L}\frac{\mathrm{cos}{\theta }_{2}\mathrm{cos}{\gamma }_{2}-\mathrm{cos}{\theta }_{1}\mathrm{cos}{\gamma }_{1}}{\Delta t}-\\ &{z}_{b}^{L}\frac{\mathrm{cos}{\theta }_{2}\mathrm{sin}{\gamma }_{2}-\mathrm{cos}{\theta }_{1}\mathrm{sin}{\gamma }_{1}}{\Delta t}\Biggr)。\end{aligned}$

(17)

结合式(16)和式(17)，最终可推导出$ t $时刻起降点$ {P}_{1}^{L} $的升沉速度$ {v}_{yg}^{L} $：

$ \begin{aligned}[b]{v}_{yg}^{L}=&{v}_{yg}^{1}+\Biggr[\left({x}_{b}^{L}-{x}_{b}^{1}\right)\frac{\mathrm{sin}{\theta }_{2}-\mathrm{sin}{\theta }_{1}}{\Delta t}+ \\ &\left({y}_{b}^{L}-{y}_{b}^{1}\right)\frac{\mathrm{cos}{\theta }_{2}\mathrm{cos}{\gamma }_{2}-\mathrm{cos}{\theta }_{1}\mathrm{cos}{\gamma }_{1}}{\Delta t}-\\ &\left({z}_{b}^{L}-{z}_{b}^{1}\right)\frac{\mathrm{cos}{\theta }_{2}\mathrm{sin}{\gamma }_{2}-\mathrm{cos}{\theta }_{1}\mathrm{sin}{\gamma }_{1}}{\Delta t}\Biggr]。\end{aligned}$

(18)

工程实际使用时，式(18)中船舶横摇角度$ \gamma $、纵摇角度$ \theta $、$ {P}_{1} $点升沉速度$ {v}_{yg}^{1} $可直接从惯导装置采集获得。惯导装置$ {P}_{1} $点船体坐标$ {\left[{x}_{b}^{1},{y}_{b}^{1},{z}_{b}^{1}\right]}^{\rm T} $、起降点$ {P}_{1}^{L} $船体坐标$ {\left[{x}_{b}^{L},{y}_{b}^{L},{z}_{b}^{L}\right]}^{\rm T} $，二者为已知量。

3 起降点升沉速度变换实例验证

结合某型船模型试验数据对升沉速度换算误差进行验证，然后将换算后的升沉速度输入给极短期预报模型，计算起降点升沉预报精度提升程度。

3.1 误差计算方式

起降点升沉速度换算误差测试采用均方根误差计算方法。设样本个数为$ n $；某样本值为$ \widehat{{y}_{i}} $；均值为$ {y}_{mean} $。均方根误差计算公式如下：

$ RMSE\left(y,\widehat{y}\right)=\sqrt{\frac{1}{n}{\sum }_{i=0}^{n-1}{\left|{y}_{mean}-\widehat{{y}_{i}}\right|}^{2}}。$

(19)

3.2 模型试验数据

采用某型船模型试验数据进行起降点升沉速度换算验证。试验时选取$ {P}_{1} $、$ {P}_{1}^{L} $这2个位置安装姿态传感器，其中$ {P}_{1} $对应惯导装置安装位置，$ {P}_{1}^{L} $对应某起降点位置。重心及姿态传感器的船体坐标如表1所示。

选取2组试验数据样本进行测试，每组试验工况条件如表2所示。

3.3 升沉换算误差测试验证

根据$ {P}_{1} $点传感器采集的横摇、纵摇及升沉速度，结合表1中船体坐标，利用式(18)换算出$ {P}_{1}^{L} $点的升沉速度，将换算结果与$ {P}_{1}^{L} $点传感器实测升沉速度进行比对。测试结果如图2和图3所示。

图中，“$ {P}_{1}\mathrm{实}\mathrm{测}\mathrm{值} $”为惯导$ {P}_{1} $点的实测升沉速度；“$ {P}_{1}^{L}\mathrm{实}\mathrm{测}\mathrm{值} $”为起降点$ {P}_{1}^{L} $的实测升沉速度；“$ {P}_{1}^{L}\mathrm{换}\mathrm{算}\mathrm{值} $”为根据$ {P}_{1} $点数据换算至起降点$ {P}_{1}^{L} $后的升沉速度。

试验结果表明：在4级和5级海况条件下，任意选取5 min的试验数据进行统计计算，起降点升沉换算误差约为4%，误差较小，对极短期预报结果影响较小，满足工程实际使用需求。实船作业时，可利用本文提出的起降点升沉换算技术，将船载惯导装置采集的升沉速度换算至起降点并输入给极短期预报模型进行升沉预报。

3.4 升沉预报误差测试验证

将船载惯导装置采集的升沉速度换算至起降点位置，然后输入给极短期预报模型进行起降点升沉预报，计算升沉预报误差，将该计算结果与未进行升沉换算的预报结果进行比对，验证升沉预报精度是否提升。本文极短期预报模型采用基于时间序列的非线性二阶自适应Volterra级数模型，模型参数采用最小二乘RLS算法进行核估计^{[5 − 6]}，模型输入为300个横摇、纵摇及升沉速度历史运动时历，采样间隔为0.5 s，预报时长为10 s每20步。

图4为4级海况，浪向135°、浪高2 m、航速4 kn工况条件下，未进行升沉换算和进行升沉换算的极短期预报情况。图中，“$ {P}_{1}^{L}\mathrm{实}\mathrm{测}\mathrm{值} $”为起降点$ {P}_{1}^{L} $的实测升沉速度；“$ {P}_{1}^{L}\mathrm{预}\mathrm{报}\mathrm{值}（\mathrm{升}\mathrm{沉}\mathrm{未}\mathrm{换}\mathrm{算}） $”为未进行升沉换算，直接根据惯导$ {P}_{1} $点的升沉进行极短期预报后的起降点$ {P}_{1}^{L} $升沉速度预测值；“$ {P}_{1}^{L}\mathrm{预}\mathrm{报}\mathrm{值} $”（升沉已换算）为先执行升沉换算，然后再进行极短期预报的起降点$ {P}_{1}^{L} $升沉速度预测值。

可知，4级海况条件下，任意选取5 min数据样本进行统计计算，未进行升沉换算的起降点$ {P}_{1}^{L} $的升沉极短期预报误差约为53.1%，进行升沉换算后的预报误差约为24.7%，升沉预报精度约提升28.4%。

图5为5级海况，浪向180°、浪高3.5 m、航速8 kn工况条件下，未进行升沉换算和进行升沉换算的极短期预报情况。

可知，任意选取5 min数据样本进行统计计算。未进行升沉换算的起降点$ {P}_{1}^{L} $的升沉极短期预报误差约为58.7%；进行升沉换算后的预报误差约为28.5%；升沉预报精度约提升30.2%。

由表3可知，进行升沉换算后，起降点升沉极短期预报误差减小了约29.3%，预报精度提升显著，能为指挥员引导直升机起降提供更为准确的辅助信息。

4 结　语

基于有限点传感器参数的起降点运动姿态换算可以提高船舶运动极短期预报精度，为引导直升机起降提供更为准确的辅助信息。本文利用姿态传感器实时采集的横摇、纵摇及升沉信息，结合传感器及起降点的船体坐标，推导出起降点的升沉速度换算方法，并采用某型船模型试验数据进行测试验证，得出以下结论：

1）对于大型船舶甲板直升机起降作业，船载惯导装置采集的升沉与起降点实际升沉差异较大，需进行升沉换算补偿，消除杆臂效应影响；

2）采用模型试验数据验证，起降点升沉换算误差约为4%，误差较小，满足工程实际使用需求；

3）执行起降点升沉换算，可以使升沉极短期预报精度提升约29.3%，能为指挥员引导直升机起降提供更为准确的辅助指导意见，具有重要军事意义。