0 引　言

水下机器人（ROV）一直以来都在水底环境勘测、水下作业救援活动中发挥着重要作用。ROV在水中的运动具有强非线性，强耦合性的特点，并且会不可避免地受到外界不确定性因素的干扰，这使得提高ROV在运动时的位姿控制稳定性一直都是近些年来行业内研究的重点。国内外众多学者对ROV的姿态控制、轨迹跟踪、深度控制等内容先后进行了许多基于控制策略的研究。

自抗扰控制（ADRC）技术是韩京清研究员在对经典调节理论与现代控制理论两方面的内在思想不断进行深入思考的过程中，借鉴现代控制理论在分析系统结构性质方面的成果，在经典控制理论思想精华的基础上逐步构建，并于1999年正式提出来的^{[1 - 2]}。

自抗扰技术理论自提出之后，在理论与应用层面均取得了一定进展，Wu等^[3]将神经网络与自抗扰控制技术相结合应用于AUV姿态控制，满足了系统对姿态高精度的要求；Liu等^[4]利用自抗扰技术跟踪水下航行器的俯仰角，进而实现了航行器的深度控制；Wu等^[5]提出了一种PSO-ADRC算法解决了自抗扰参数的自整定问题；Shan等和Wang等^{[6 - 7]}将模糊控制与自抗扰控制技术相结合以实现对目标的高精度跟踪；Shi等和Nahri等^{[8 - 9]}分别对时滞系统以及控制系统的时滞问题进行了研究，利用预测的扩张状态观测器改善了控制系统性能；彭毓卿^[10]将自抗扰控制应用于船舶的路径跟踪问题，结果展示出了对轨迹跟踪的稳定性。以上文献在研究ADRC整体性能时并没有对扩张状态观测器本身与非线性函数的关系展开深入的讨论研究。非线性函数与扩张状态观测器之间的关系决定了系统输出的稳定性。消除非线性函数引起的误差突变，是提高ADRC控制性能的关键。

受上述研究启发，为提高ROV在状态响应过程中的位姿控制能力，利用双曲正切函数在原点附近具有良好的平滑性特点，采用多项式拟合的方法构建sfal函数，解决了原fal函数在分段处不够平滑的问题，使其更符合“小误差大增益，大误差小增益”的特性。并基于sfal函数构建出新型ADRC控制器，用以降低系统响应过程中的超调量。

1 ROV数学模型 1.1 ROV运动学模型

本文的研究对象为实验小组搭建的ROV，为方便进一步对ROV进行研究，在以下前提下对ROV进行数学分析：1）假设ROV为刚体，质量体积不随时间变化；2）忽略地球自转对ROV运动的影响。建立如图1所示的地面坐标系$E - \xi \eta \zeta $与载体坐标系$O - xyz$。

ROV系统的运动学方程如下式：

$ {{{\boldsymbol{\dot \eta}} = {\boldsymbol J}}}({\mathbf{{\boldsymbol{\eta}} }}){\mathbf{{\boldsymbol{\nu}} }} 。$

(1)

式中：${\boldsymbol{\eta}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} x&y&z \end{array}}&\phi &\theta &\varphi \end{array}} \right]^{\text{T}}}$为ROV在地面坐标系下的位姿向量；${\boldsymbol{\nu}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} u&v&w \end{array}}&p&q&r \end{array}} \right]^{\text{T}}}$为ROV在载体坐标系下围绕6个自由度上的运动速度与角速度变量。${\boldsymbol {J}}({\mathbf{{\boldsymbol{\eta}} }})$为载体坐标系到地面坐标系的转换矩阵：

$ {\boldsymbol{J}}({\mathbf{{\boldsymbol{\eta}} }}){\mathbf{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{J}}_1}{{\boldsymbol{\eta }}_1}}&{{{\boldsymbol{0}}_{3 \times 3}}} \\ {{{\boldsymbol{0}}_{3 \times 3}}}&{{{\boldsymbol{J}}_2}{{\boldsymbol{\eta }}_2}} \end{array}} \right] ，$

(2)

$ {{\boldsymbol{J}}_{\mathbf{1}}}({{\boldsymbol{\eta }}_{\mathbf{1}}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \varphi \cos \theta }&{{{\boldsymbol{J}}_{12}}}&{{{\boldsymbol{J}}_{13}}} \\ {\sin \varphi \cos \theta }&{{{\boldsymbol{J}}_{22}}}&{{{\boldsymbol{J}}_{23}}} \\ { - \sin \theta }&{\cos \theta \sin \phi }&{\cos \phi \cos \theta } \end{array}} \right] ，$

(3)

$ \left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{J}}_{12}} = - \sin \varphi \cos \phi + \cos \varphi \sin \theta \sin \phi，\\ {{\boldsymbol{J}}_{13}} = \sin \varphi \sin \phi + \cos \varphi \cos \phi \sin \theta ，\\ {{\boldsymbol{J}}_{22}} = \cos \varphi \cos \phi + \sin \phi \sin \theta \sin \varphi ，\\ {{\boldsymbol{J}}_{23}} = - \cos \varphi \sin \phi + \sin \theta \sin \varphi \cos \phi。\\ \end{gathered} \right. $

(4)

$ {{\boldsymbol{J}}_2}({{\boldsymbol{\eta }}_2}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\sin \phi \tan \theta }&{\cos \phi \tan \theta } \\ 0&{\cos \phi }&{ - \sin \phi } \\ 0&{\sin \phi /\cos \theta }&{\cos \phi /\cos \theta } \end{array}} \right]。$

(5)

1.2 ROV动力学模型

在载体坐标系下，ROV的六自由度动力学方程可以描述为^[11]：

$ {\boldsymbol{M\dot \nu + C}}({\boldsymbol{\nu }}){\boldsymbol{\nu + D}}({\boldsymbol{\nu }}){\boldsymbol{\nu + g}}({\boldsymbol{\eta }}){\boldsymbol{ = \tau }} 。$

(6)

式中：${\boldsymbol{M}}$为包括附加质量的ROV惯性矩阵；${\boldsymbol{C}}({\boldsymbol{\nu }})$为ROV科氏及向心力矩阵；${\boldsymbol{D}}({\boldsymbol{\nu }})$为ROV流体阻力矩阵；${\boldsymbol{g}}({\boldsymbol{\eta }})$为由重力与回复力产生的向量。

${\boldsymbol{\tau }}$为控制输入即ROV所搭载推进器产生的与6个自由度对应的力或力矩向量；ROV推进器分布如图2所示。$ {T_1}、{T_3}、{T_5}、{T_7} $为水平推进器推力，$ {T_2}、{T_4}、{T_6}、{T_8} $为垂直推进器推力；$\alpha $为推进器分布或推力沿x轴夹角。

将载体坐标系的原点置于ROV的重心，与其对应的上述各矩阵可表示为：

$ \begin{gathered} M = diag\left[ {m - {X_{{\dot u}}},m - {Y_{{\dot v}}},m - {Z_{{\dot w}}},} \right. \\ \left. {{\text{ }}{I_{\text{x}}} - {K_{{\dot p}}},{I_{\text{y}}} - {K_{{\dot q}}},{I_{\text{z}}} - {K_{{\dot r}}}} \right] 。\\ \end{gathered} $

(7)

式中：m为ROV的质量；${I_X}、{I_Y}、{I_Z}$为ROV关于$xyz$轴的转动惯量；${X_{\dot u}}、{Y_{\dot v}}、{W_{\dot w}}、{K_{\dot p}}、{M_{\dot q}}、{N_{\dot r}}$为ROV的附加质量与附加惯量。

$ {\boldsymbol{C}}({\boldsymbol{\nu }}){\mathbf{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{0}}_{3 \times 3}}}&{{{\boldsymbol{C}}_{12}}} \\ {{{\boldsymbol{C}}_{21}}}&{{{\boldsymbol{C}}_{22}}} \end{array}} \right]，$

(8)

$ \left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{C}}_{12}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {m - {Z_{\dot w}}} & { - (m - {Y_{\dot v}})v} \\ { - (m - {Z_{\dot w}})w} & 0 & {(m - {X_{\dot u}})u } \\ {(m - {Y_{\dot v}})v} & { - (m - {X_{\dot u}})u} & 0 \end{array}} \right] ，\\ {{\boldsymbol{C}}_{21}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & { - (m + {Z_{\dot w}})w} & {(m + {Y_{\dot v}})v} \\ {(m + {Z_{\dot w}})w} & 0 & { - (m + {X_{\dot u}})u } \\ { - (m + {Y_{\dot v}})v} & {(m + {X_{\dot u}})u} & 0 \end{array}} \right] ，\\ {{\boldsymbol{C}}_{22}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & {({I_Z} - {N_{\dot r}})r} & {- ({I_Y} - {M_{\dot q}})q} \\ { - ({I_Z} - {N_{\dot r}})r} & 0 & {({I_X} - {K_{\dot p}})p} \\ {({I_Y} - {M_{\dot q}})q} & { - ({I_X} - {K_{\dot p}})p} & 0 \end{array}} \right] 。\\ \end{gathered} \right. $

(9)

$ {\boldsymbol{g}}({\boldsymbol{\eta }}) = \left[ \begin{gathered} (W - B)\sin \theta \\ - (W - B)\sin \theta \cos \theta \\ - (W - B)\cos \phi \cos \theta \\ B\cos \theta ({z_B}\sin \phi - {y_B}\cos \phi ) \\ B({x_B}\cos \phi \cos \theta - {z_B}\sin \theta ) \\ - B({x_B}\sin \phi \cos \theta + {y_B}\sin \theta ) \\ \end{gathered} \right]。$

(10)

式中：W为ROV系统自身的质量；B为ROV在水中所受浮力；${x_B}、{y_B}、{z_B}$为ROV的浮心坐标。

$ {\boldsymbol{D}}({\boldsymbol{v}}){\mathbf{ = }}{{\boldsymbol{D}}_{\mathbf{L}}}{\mathbf{ + }}{{\boldsymbol{D}}_{\mathbf{Q}}}\left| v \right| ，$

(11)

$ {{\boldsymbol{D}}_L} = diag\left[ {{X_u},{Y_v},{Z_w},{K_p},{P_q},{N_r}} \right]，$

(12)

$ {{\boldsymbol{D}}_Q} = diag\left[ {{X_{u\left| u \right|}},{Y_{{\text{v}}\left| v \right|}},{Z_{w\left| w \right|}},{K_{p\left| p \right|}},{M_{q\left| q \right|}},{N_{r\left| r \right|}}} \right]。$

(13)

式中：$ \boldsymbol{D}\left(\boldsymbol{v}\right) $为流体阻力矩阵，由水对移动ROV的拖曳力${{\boldsymbol{D}}_L}$与升力$ {{\mathbf{D}}_Q} $组成；$ { {X}}_{ {u}\left| {u}\right|}、{ {Y}}_{ {v}\left| {v}\right|}、{ {Z}}_{ {w}\left| {w}\right|}、{{K}}_{ {p}\left| {p}\right|}、{{M}}_{ {q}\left| {q}\right|}、{ {N}}_{ {r}\left| {r}\right|} $表示系统的水动力系数。

2 自抗扰控制原理 2.1 自抗扰控制器结构

ADRC在扰动估计与整体辨识的基础上，利用控制器产生扰动估计的返回信号进行补偿，做到了扰动的直接整体消减^[12]。自抗扰控制器的主要结构由跟踪-微分器（Tracking Differentiator，TD，用于微分信号获取与过渡过程配置）、扩张状态观测器（Extended State Observer，ESO，用于对外界扰动的估计）以及非线性状态误差反馈控制律（Nonlinear State Error Feedback，NLSEF，用于控制器控制量的生成）组成，ADRC基本结构如图3所示。

1）跟踪-微分器

对系统输入信号$v$进行解构，得到系统输入信号的跟踪信号${v_1}$与微分信号${v_2}$，为适应数据计算需求，离散化后的TD一般形式为：

$ \left\{\begin{gathered}x_1(k+1)=x_1(k)+hx_2(k)，\\ \ \ x_2(k+1)=x_2(k)+h\cdot \text{fhan}。\end{gathered}\right. $

(14)

式中：$ \mathrm{f}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{n}({x_1},{x_2},{r_0},{h_0})$为最速跟踪函数；${x_1}、{x_2}$为系统状态变量；${r_0}$为跟踪因子；${h_0}$为滤波因子。其表达式为：

$ \left\{ \begin{gathered} d = {r_0}h_0^2 ，\\ {a_0} = {h_0}{x_2} ，\\ y = {x_1} + {a_0} ，\\ {a_1} = \sqrt {d(d + 8\left| y \right|)} ，\\ {a_2} = {a_0} + {\rm sign}(y)({a_1} - d)/2 ，\\ {s_y} = [{\rm sign}(y + d) - {\rm sign}(y - d)]/2 ，\\ a = ({a_0} + y - {a_2}){s_y} + {a_2} ，\\ {s_a} = [{\rm sign}(a + d) - {\rm sign}(a - d)]/2 ，\\ {\rm fhan} = - r[a/d - {\rm sign}(a)]{s_a} - {r_0}{\rm sign}(a) 。\\ \end{gathered} \right. $

(15)

2）非线性状态误差反馈控制律

基于跟踪-微分器安排过渡过程等手段，生成系统跟踪过程的误差信号与误差微分信号，2种信号通常以非线性组合的方式以得到系统的反馈信号，文章给出一种非线性组合形式如下式：

$ \left\{ \begin{gathered} {e_1} = {v_1} - {z_1} ，\\ {e_2} = {v_2} - {z_2} ，\\ {u_0} = {\beta _1}{\rm fal}({e_1},{\alpha _1},\delta ) + {\beta _2}{\rm fal}({e_2},{\alpha _2},\delta ) ，\\ u = {u_0} - {z_3}/b 。\\ \end{gathered} \right. $

(16)

式中：${e_1}、{e_2}$为系统状态的观测误差；${z_1}、{z_2}、{z_3}$表示系统的观测状态；$ \mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}(e、\alpha 、\delta )$为非线性函数；$e、\alpha 、\delta $为函数控制变量；$u$为控制器的实际输出。非线性函数表达式为：

$ {\rm fal}(e,\alpha ,\delta ) = \left\{ \begin{gathered} e/{\delta ^{1 - \alpha }}{\text{, }}\left| e \right| \leqslant \delta，\\ {\left| e \right|^\alpha }{\rm sign}(e),{\text{ }}\left| e \right| \gt \delta 。\end{gathered} \right. $

(17)

3）扩张状态观测器

扩张状态观测器的基本思想是将控制系统的总扰动扩张成系统的一个新的状态变量，之后利用系统的输入与输出重构出包含原本系统状态变量与扰动变量的所有状态^[13]。其离散形式的一般表达式为：

$ \left\{ \begin{array}{l} {e_1} = {z_1}(k) - y(k) ，\\ {z_1}(k + 1) = {z_1}(k) + h({z_2}(k) - {\beta _{01}}{e_1}) ，\\ {z_2}(k + 1) = {z_2}(k) + h({z_3}(k) - {\beta _{02}}{\rm fal}({e_1},{\alpha _1},\delta ) + bu) ，\\ {z_3}(k + 1) = {z_3}(k) - h{\beta _{03}}{\rm fal}({e_2},{\alpha _2},\delta ) 。\end{array} \right. $

(18)

式中：${\beta _{01}}、{\beta _{02}}、{\beta _{03}}$为扰动误差校正参数；$e$为系统的观测误差。

2.2 fal函数改进与分析

非线性函数是自抗扰控制的核心，选取合适的非线性函数是实现ADRC稳定控制效果的前提。在进行非线性函数设计时，应该充分考虑到函数应同时具备以下特征：1）非线性函数在原点附近应收敛到0；2）函数本身应尽可能具备良好的平滑性；3）函数在原点附近应连续可导。

首先结合函数控制参量对fal函数在原点附近性质进行分析。选取$\delta $=0.01，$\alpha $=0,0.25,0.5,1，fal函数响应图像如图4(a)所示；然后选取$\alpha $=0.25，$\delta $=0.01、0.05、0.1、0.15，函数图像如图4(b)所示；通过函数的响应曲线可知，$\alpha $影响fal函数的线性程度，$\alpha $值越大，fal函数的线性程度越强，反之则越弱；$\delta $值对fal函数的影响体现在fal函数的线性区间长度上，$\delta $值越大，则fal函数的线性区间长度越长，$\delta $值越小。则函数的线性区间越短，但是无论$\alpha 、\delta $值如何变化，fal函数始终都存在有明显的拐点，这易使得扩张状态观测器的输出响应出现高频扰动，进而影响系统的稳定性。

根据文献[14 − 15]。提供的思路，这里利用双曲正切函数在原点附近的平滑特征，构建出一种新型的非线性函数sfal，其一般形式如下式：

$ {\rm sfal} = {k_1}\tanh (e) + {k_2}{\tanh ^2}(e) + {k_3}{\tanh ^3}(e)。$

(19)

式中：${k_1}、{k_2}、{k_3}$为函数的增益。令$t = \tanh (\delta )$，结合非线性函数在原点处的性质可得出以下条件：

$ \left\{ \begin{gathered} t = \tanh (\delta ) ，\\ {k_1}t + {k_2}{t^2} + {k_3}{t^3} = {\delta ^\alpha }{\text{, }}e = \delta，\\ - {k_1}t + {k_2}{t^2} - {k_3}{t^3} = - {\delta ^\alpha },{\text{ }}e = - \delta，\\ {k_1} + 2{k_2}t\dot t + 3{k_3}{t^2}\dot t = \alpha {\delta ^{\alpha - 1}},{\text{ }}e = \pm \delta 。\\ \end{gathered} \right. $

(20)

求解可得：

$ \left\{\begin{array}{l}t\text{ }=\mathrm{tanh}(\delta )，\\ {k}_{1}=\dfrac{3{\delta }^{\alpha } \cdot {t}^{3}-3{\delta }^{\alpha }+\alpha \cdot {\delta }^{\alpha -1} \cdot t}{2t \cdot ({t}^{2}-1)}，\\ {k}_{2}=0\\ {k}_{3}=\dfrac{-{\delta }^{\alpha } \cdot {t}^{2}-{\delta }^{\alpha }+\alpha \cdot {\delta }^{\alpha -1} \cdot t}{2{t}^{3} \cdot ({t}^{2}-1)}。\end{array} \right.$

(21)

综上可得，$ \mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}(e,\alpha ,\delta )$函数的表达式为：

$ {\rm sfal}(e,\alpha ,\delta ) = \left\{ \begin{array}{l} {k_1}\tanh (\delta ) + {k_3}{\tanh ^3}(\delta ),\left| e \right| \leqslant \delta ，\\ {\left| e \right|^\alpha }{\rm sign}(e),{\text{ }}\left| e \right| \gt \delta。\\ \end{array} \right. $

(22)

同样选取$\delta $=0.01，$\alpha $=0,0.25,0.5,1，sfal函数响应曲线如图5(a)所示；选取$\alpha $=0.25，$\delta $=0.01,0.05,0.1,0.15，sfal函数响应曲线如图5(b)所示。分别选取$\alpha = 0.25、\delta = 0.01$，比较sfal函数与fal函数如图6(a)所示。经过对比发现，相较于fal函数，sfal函数整体走势更为平滑，在$\left| e \right| = \delta $处光滑切换，使得函数的过渡更加自然。

由图6(b)可知，相较于fal函数，sfal函数在原点附近有着更大的增益，同时又避免了增益的突增，从而可以使得系统的控制效果更优。

2.3 函数的稳定性分析

基于式(18)构建的扩张状态观测器并由此建立系统的误差系统为:

$ \left\{ \begin{gathered} {e_1} = {z_1} - {x_1},{e_2} = {z_2} - {x_2} ，\\ {{\dot e}_1} = {e_2} - {\beta _{01}}{e_1} ，\\ {{\dot e}_2} = {e_3} - {\beta _{02}}{\rm sfal}({e_1},{\alpha _1},\delta ) + bu ，\\ {{\dot e}_3} = - {\beta _{03}}{\rm sfal}({e_2},{\alpha _2},\delta ) 。\\ \end{gathered} \right. $

(23)

系统新的误差方程为：

$ \dot e = - {\boldsymbol{A}}({\boldsymbol{e}})e，$

(24)

其中，

$ \left\{ \begin{gathered} {\boldsymbol{A}}({\boldsymbol{e}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\beta _{01}}}&{ - 1}&0 \\ {{\beta _{02}}F}&0&{ - 1} \\ {{\beta _{03}}F}&0&0 \end{array}} \right]，\\ F = \frac{{{\rm sfal}({e_1},{\alpha _1},\delta )}}{{{e_1}}} 。\\ \end{gathered} \right. $

(25)

引理1　若存在矩阵

$ {\boldsymbol{D}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_{11}}}&{{d_{12}}}&{{d_{13}}} \\ { - {d_{12}}}&{{d_{22}}}&{{d_{23}}} \\ { - {d_{13}}}&{ - {d_{23}}}&{{d_{33}}} \end{array}} \right] 。$

(26)

并且矩阵D的对角元素为正数，使得矩阵DA(e)为正定矩阵，则式(24)的零解可以看做是Lyapunov渐近稳定的^[16]。由式(26)计算可得矩阵DA(e)：

$ {\boldsymbol{DA}}({\boldsymbol{e}}) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{D_{11}}}&{ - {d_{11}}}&{ - {d_{12}}} \\ {{D_{21}}}&{{d_{12}}}&{ - {d_{22}}} \\ {{D_{31}}}&{{d_{13}}}&{{d_{23}}} \end{array}} \right]。$

(27)

其中：

$ \left\{ \begin{gathered} {D_{11}} = {d_{11}}{\beta _{01}} + {d_{12}}{\beta _{02}}F + {d_{13}}{\beta _{03}}F，\\ {D_{21}} = - {d_{12}}{\beta _{01}} + {d_{22}}{\beta _{02}}F + {d_{23}}{\beta _{03}}F，\\ {D_{31}} = - {d_{13}}{\beta _{01}} - {d_{23}}{\beta _{02}}F + {d_{33}}{\beta _{03}}F。\\ \end{gathered} \right. $

(28)

为保证矩阵DA(e)为正定对称矩阵，则其需满足以下要求：1）对称元素相等；2）矩阵的顺序主子式均大于零；在此令矩阵元素${d_{11}} = 1、{d_{22}} = {d_{33}} = \varepsilon $，$\varepsilon $视为无限接近于0的正数，则通过求解可得DA(e)中元素：

$ {d_{12}} = - \varepsilon {\beta _{01}} + {d_{23}}{\beta _{02}}F - \varepsilon {\beta _{03}}F ，$

(29)

$ {d_{23}} = \frac{{\varepsilon \beta _{01}^2 + \varepsilon {\beta _{01}}{\beta _{03}}F + \varepsilon {\beta _{02}}F + 1}}{{({\beta _{01}}{\beta _{02}} - {\beta _{03}})F}}。$

(30)

因为$\varepsilon $为无限接近于0的正整数，所以将式(29)带入式(28)，$ {D_{11}} $可以等价为：

$ {D_{11}} \approx {\beta _{01}} + \frac{{\beta _{02}^2F}}{{({\beta _{01}}{\beta _{02}} - {\beta _{03}})}}。$

(31)

通过分析易知，${\beta _{01}}、{\beta _{02}}、{\beta _{03}}$均大于0，F有界且$F \gt 0$，若要保证$ {D_{11}} \gt 0 $，则可得知：

$ {\beta _{01}}{\beta _{02}} - {\beta _{03}} \gt 0 。$

(32)

经验证，当式(32)成立时，矩阵DA(e)顺序主子式均大于0，符合预期要求。式中，${\beta _{01}}、{\beta _{02}}、{\beta _{03}}$分别为扩张状态观测器中sfal函数的反馈增益系数。系统将外部扰动扩张为新的状态${\dot z_3}$，${\beta _{03}}$系数越大说明系统受到的干扰越强，当干扰大到一定临界条件时，系统将会无法收敛到稳定状态。

综上条件可知，当条件(32)成立时，可以找到能够满足引理1的矩阵$D$，可以得到系统的零解是Lyapunov渐近稳定的。

3 实验结果及数据分析 3.1 位姿仿真结果与分析

为验证本文中改进型ADRC控制算法在ROV位姿调节中的作用，在Matlab/Simulink中搭建仿真环境，以深度控制与航向控制为例验证改进型ADRC的控制效果，分别针对深度与姿态通道设计仿真实验，并与传统ADRC控制算法以及经典PID算法进行比较，分析改进型ADRC对系统响应的控制性能。ROV控制系统模型如图7所示，ADRC控制器参数如表1所示。

给定深度通道期望值为3 m的阶跃信号，航向期望角度为50°阶跃信号，仿真时间设置为10 s，系统完成响应后，在第6 s时加入噪声扰动，对比改进型ADRC、传统ADRC以及PID控制策略的控制能力，仿真结果如图8所示。

可知，PID控制策略与改进前后的ADRC控制策略均可在系统响应2 s内完成调节过程，但改进型ADRC可以对系统响应过程中超调量起到产生一定的抑制效果，并且在系统受到干扰后保持了较高的稳定性。从扩张状态观测器对位姿状态的观测值层面对比改进前后的观测波动，结果如图9和图10所示，数据对比结果如表2所示，由结果可知改进型ADRC在系统受到干扰时观测值浮动更小，能够保持更高的稳定性。

3.2 实验验证及数据分析

ROV位姿控制系统采用STM32F407单片机为中央处理器，主要完成姿态解算、传感器数据采集、实验数据传输、控制量输出等任务，三维电子罗盘SEC385固连于载体上，该芯片内置三轴磁传感器，姿态测量精度可达到0.1°，深度计测量量程为0～100 m，测量精度可达0.1 m。

实验选在户外开阔水域中进行湖试，湖中存在自然水流扰动。分别对改进型ADRC与传统ADRC以及PID控制策略进行实验比较，深度值设定为3 m，航向角设定为50°，实验时间设定为10 s，通过岸基显控单元对实验数据进行采集，实验结果如图11所示。

可知，改进型ADRC对系统的超调值产生了明显的抑制效果，采集系统达到稳定状态后的超调最大值进行比较，实验数据如表3所示，通过对比发现，改进型ADRC相较于传统ADRC可降低超调比率30%以上，在一定程度上增强了系统在响应过程中的位姿控制能力。

对比ROV的位姿控制通道系统输出幅值，通过控制器输出幅值变化进一步比较改进型ADRC在系统受到扰动时的抗扰能力。对比结果如图12和图13所示。

可知，在改进型ADRC控制策略下，ROV的位姿控制输出幅值波动分别为±0.5、±1，而传统ADRC控制策略下ROV位姿系统输出幅值跳变范围位±0.8、±1.5，由此可知改进型ADRC较传统ADRC在抑制外部干扰时能力更强。系统的鲁棒性更高。

4 结　语

本文首先针对ROV建立了六自由度的数学模型，并通过分析传统ADRC中fal函数在原点附近拐点处不够平滑，进而引起斜率突变导致扩张状态观测器反馈增益的过大的特点，结合双曲正切函数构建出sfal函数，使得函数在分段处展现出更好的平滑性，并由此设计了改进型ADRC控制器，经过仿真分析与实验验证表明改进型ADRC相比于传统ADRC，在ROV位姿调节过程中可以有效降低系统在响应过程中的超调量，增强系统受到外扰时的稳定性。提高了ROV的位姿控制能力。