0 引　言

船舶柴油机、辅机、螺旋桨等设备在运行过程中会产生大量噪声，《内河船舶噪声级规定》等文件的出台，代表我国对船舶隔声降噪提出了更高要求。在传播途径中使用隔声结构阻断噪声是常用、有效的方法^[1-2]。因此，高效、准确地预测结构隔声性能具有重要的理论和工程意义。

黎胜等^[3]采用Rayleigh积分建立无限大隔声板结构在简谐声波声压激励作用下的理论计算模型。辛先锋等^[4]建立金属三明治板夹心层等效弹簧和扭簧组合模型，利用空间谐波展开法求解隔声量。理论方法研究需要推导相应的公式，一般适用于相对简单的隔声结构，实际过程中多采用数值分析等方法研究板结构隔声性能。

王笃勇^[5]采用有限元法计算了各种类型板结构的隔声量，并做试验验证。然而其计算的隔声量是在声波垂直入射的情况下得出，没有模拟混响条件，本文将采用有限元软件模拟混响条件下，计算结构的隔声性能。任树伟等^[6]采用有限元法验证其基于Reissner夹层板理论建立简支蜂窝板的声振耦合理论模型，为确保有限元结果准确性，声学性能模拟对网格尺寸有特殊的要求，最大单元大小小于最高频率点处波长的1/6。随着求解频率的升高，声波波长变短，划分网格变小，网格总数增大，求解性能下降。

统计能量法（SEA）是一种处理复杂耦合系统高频动力学响应的常用计算方法^[7-8]，统计能量法在船舶工程应用中取得了一系列成功。张波等^[9]采用统计能量法建立单双层铝板计算模型，获取模态数、内损耗因子等参数是确保结果准确性的重要前提^[8]。在中低频范围内，中心频率范围内模态数小于5，采用统计能量法计算精度下降。单一仿真方法难以高效、准确地进行宽频带仿真，因此探究不同研究方法的适用频率范围，找到不同方法准确计算的频率范围交汇点，以达到高效、准确求解宽频带内结构隔声性能的目的。基于上述问题，为了获得隔声结构在宽频带内快速、高精度预测模型。本文采用理论方法，有限元法和统计能量法主要研究了板类结构的隔声性能，提出了隔声结构在宽频带快速、高精度预测模型，解决了采用单一的理论方法、统计能量法在低频计算平均隔声量误差大于3 dB的问题与有限元法在高频模拟声学性能，网格密集导致求解性能下降的问题。

1 匀质单层板隔声理论模型与仿真方法 1.1 匀质单层板隔声理论模型

材料一侧入射声能与另一侧透射声能相差的分贝数表示为^[10]：

$R=10\mathrm{lg}（{I}_{i}/{I}_{t})=20\mathrm{lg}({P}_{i}/{P}_{t})。$

(1)

式中：${I_{{i}}}$为构件前表面声音强度；${I_t}$为经过构件衰减后的声音强度；${P_i}$为入射声压；${P_t}$为透射声压。

若板是均匀无限大密实柔性板，当声波垂直入射隔声量${R_0}$为^[10]：

${R_0} = 10\lg \left[1 + {\left(\frac{{{\text π} fM}}{{{\rho _0}{c_0}}}\right)^2}\right]。$

(2)

式中：${\rho _0}$为空气密度；${c_0}$为空气中声速；$f$为入射声波的频率；M为板的面密度。

板的共振频率${f_\tau }$为^[10]：

${f_\tau } = \frac{\text π }{2}\sqrt {\frac{B}{M}\left( {\frac{{{P^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{q^2}}}{{{b^2}}}} \right)} 。$

(3)

式中：a、b分别为板的长度和宽度；p、q为任意正整数；$B = E{t^3}/12$为板的劲度；$t$为板的厚度；$E$为材料的弹性模量。

出现吻合效应的最低频率称为临界频率${f_c}$表示为^[10]：

${f_c} = \frac{{{c_0}^2}}{{2{\text π } }}\sqrt {\frac{M}{B}} 。$

(4)

采用单一质量定律公式难以在宽频带范围内，高效、准确地计算结构的隔声量，因此采用分频段计算的方法^[11]。小于临界频率范围处于劲度控制区和质量控制区，采用修正的质量定律计算^[12]：

$R = - 10\lg \left\{ {\frac{{\ln (k\sqrt A ) + 0.16 - U(\varLambda) + \displaystyle\frac{1}{{4{\text π } Ak_0^2}}}}{{{{\left[ {\left( {\displaystyle\frac{{M{\text π } f}}{{{\rho _0}{c_0}}}} \right)\left( {1 -\displaystyle \frac{{{f^2}}}{{f_c^2}}} \right)} \right]}^2}}}} \right\}。$

(5)

式中：${k_0} = 2{\text π } f/{c_0}$为空气波数；$k$为板中弯曲波的波数；A为板的面积；$\varLambda$为板的边长比；$M$为板的面密度。$U\left( \varLambda \right)$是非方板的形状修正因子表示为：

$\begin{split} U\left( \varLambda \right) = & - 0.0\ 000\ 311{\varLambda ^5} + 0.000\ 941{\varLambda ^4} - 0.0\ 107{\varLambda ^3} + \\ &0.0\ 526{\varLambda ^2} - 0.0\ 407\varLambda - 0.00\ 534 。\end{split}$

(6)

大于临界频率处于吻合效应控制区，隔声量主要受吻合效应的影响，计算公式为^[13]：

$R = 20\lg \left( {\frac{{M{\text π } f}}{{{\rho _0}{c_0}}}} \right) + 10\lg \left( {\frac{{2\eta f}}{{{f_c}}}} \right) - 5 。$

(7)

式中：$\eta$为板结构阻尼损耗因子；${f_c}$为临界频率。

1.2 有限元法

采用COMSOL有限元分析，声-固相互作用模块对隔声结构进行模拟，为了减小计算量，避免直接对声源室和接收室进行建模，隔声结构声源室的声场定义为在随机方向上运动的N个不相关的平面波的总和，入射压力场表示：

${p_{in}} = \frac{1}{{\sqrt N }}\sum\limits_{n = 1}^N {\exp [ - i({k_{n,x}}x + {k_{n,y}}y + {k_{n,z}}z)} ]\exp (i{\varPhi _n}) 。$

(8)

$\left\{ {\begin{array}{l} {{k_{n,x}} = \cos ({\theta _n})} ，\\ {{k_{n,y}} = \sin ({\theta _n})\cos ({\varphi _n})}，\\ {{k_{n,z}} = \sin ({\theta _n})\sin ({\varphi _n})}。\end{array}} \right.$

(9)

式中：极角${\theta _n}$、${\varphi _n}$和相位${\varPhi _n}$为随机独立数。

反射压力场表示为：

${p_{r e f l}} = \frac{1}{{\sqrt N }} \sum\limits_{n = 1}^N {\exp [ - i( - {k_{n,x}}x + {k_{n,y}}y + {k_{n,z}}z)} ]\exp (i{\varPhi _n}) 。$

(10)

在隔声结构表面，施加的总压力载荷为声源室反射压力和入射压力总和：

${p_{diff}} = {p_{in}} + {p_{relf}}。$

(11)

基于隔声结构两侧声压和质点速度的计算，入射声强和透射声强可表示为：

${I_{x,in}} = \frac{1}{2}{{\mathrm{Re}}} ({p_{{\mathrm{diff}}}}V_{{\mathrm{diff}}}^*)，$

(12)

${I_{x,tr}} = \frac{1}{2}{{\mathrm{Re}}} ({p_t}{({V_{x,tr}})^*})。$

(13)

式中：$V_{{\mathrm{diff}}}^* = ( - 1/i\omega {\rho _0})\partial {p_{{\mathrm{diff}}}}/\partial x$为混响声场入射一侧隔声结构表面的声波质点速度，*表示取共轭，Re为实部。${p_t}$和${V_{x,tr}}$为接收室表面透射声压和质点速度。薄板结构隔声量为^[14]：

$S_{T L} = 10\lg \left(\frac{{\int\limits_{{{S} _{{{in}}}}} {{I_{x,in}}{\mathrm{d}}S} }}{{\int\limits_{{{S} _{{{tr}}}}} {{I_{x,tr}}{\mathrm{d}}S} }}\right) 。$

(14)

式中：S_TL为传输损耗；S_in和S_tr分别为声源室侧和接收室侧隔声结构的面积。

在接收室，使用以完美匹配层（PML)终止的空气域对理想消声室进行建模。模型设置如图1所示。

1.3 统计能量法

当存在N个子系统组成保守弱耦合系统，系统的功率流方程为^[7]：

$\omega \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{\eta _1} + \displaystyle\sum\limits_{i \ne 1}^N {{\eta _{1i}}} } \right){n_1}}&{ - {\eta _{12}}{n_1}}& \cdots &{ - {\eta _{1N}}{n_1}} \\ { - {\eta _{21}}{n_2}}&{\left( {{\eta _2} + \displaystyle\sum\limits_{i \ne 2}^N {{\eta _{2i}}} } \right){n_2}}& \cdots &{ - {\eta _{2N}}{n_2}} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ { - {\eta _{N1}}{n_N}}&{ - {\eta _{N2}}{n_N}}& \cdots &{\left( {{\eta _N} + \displaystyle\sum\limits_{i \ne N}^N {{\eta _{Ni}}} } \right){n_N}} \end{array}} \right]\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\displaystyle\frac{{{E_1}}}{{{n_1}}}} \\ {\displaystyle\frac{{{E_2}}}{{{n_2}}}} \\ \cdots \\ {\displaystyle\frac{{{E_N}}}{{{n_N}}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{P_1}} \\ {{P_2}} \\ \cdots \\ {{P_N}} \end{array}} \right) 。$

(15)

式中：${n_i}$、${\eta _i}$、${E_i}$分别为子系统i的模态密度、内损耗因子和能量；${P_i}$为外界对子系统i的输入功率；${\eta _{ij}}$为能量从子系统i传到子系统j的耦合损耗因子；$\omega$为分析频带的中心频率。

模态密度是统计能量法分析子系统能量承载能力大小的物理量，表示单位频率范围内的模态数，模态密度表示为^[7]：

$n\left( f \right) = \frac{{N\left( f \right)}}{{\Delta \omega }} 。$

(16)

$N\left( f \right)$为在带宽$\Delta \omega$内的模态数，依据统计能量模型中子系统带宽内振型数，当$N\left( f \right) \leqslant 1$，定义为低频区；当$1 < N\left( f \right) < 5$，定义为中频区；当$N\left( f \right) \geqslant 5$，定义为高频区。

在三维尺度内，声腔的振动模态密度写作^[7]：

$n\left( f \right) = \frac{{4{\text π } {f^2}{V_0}}}{{{C_a}^3}} + \frac{{f{\text π } {A_s}}}{{2{C_a}^3}} + \frac{{{L_1}}}{{8{C_a}}}。$

(17)

式中：${V_0}$为声腔体积；${C_a}$为声腔中声速；${A_s}$为声腔表面积；${L_1}$为声腔总边长。

二维平板弯曲振动的模态密度为^[7]：

$n(f) = 2{\text π } n(\omega ) = \frac{{{A_p}}}{{2R{C_l}}}。$

(18)

式中：$R = \delta /2\sqrt 3$；A_P为板的面积；R为板的弯曲回转半径（板厚度$\delta$）；C_l为材料的纵波速。

结构子系统内损耗因子${\eta _i}$由3个部分组成，可表示为^[7]：

${\eta _i} = {\eta _{is}} + {\eta _{ib}} + {\eta _{ir}}。$

(19)

式中：${\eta _{is}}$为内摩擦项；${\eta _{ib}}$为阻尼项；${\eta _i}_r$为声辐射项。

结构的声辐射损耗因子理论公式^[7]：

${\eta _i}_r = \frac{{\rho c\sigma }}{{\omega {\rho _s}}}。$

(20)

式中：$\sigma$为结构辐射比；${\rho _s}$为面密度。

有限大板被宽频带随机激励的辐射比理论公式^[7]：

$\sigma = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left[ {\displaystyle\frac{{{\lambda _c}{P_r}}}{{{\text{π}} {A_p}}}\frac{2}{{\text{π}} }\arcsin {{\left(\displaystyle\frac{f}{{{f_c}}}\right)}^{\frac{1}{2}}}} \right]\beta, \quad {f < {f_{\text{c}}}} } ，\\ {{{\left( {1 - \dfrac{f}{{{f_c}}}} \right)}^{ - \displaystyle\frac{1}{2}}}, \quad {{f_c} < f} } 。\end{array}} \right.$

(21)

式中：${\lambda _c}$为临界波长；${P_r}$为板周长；${A_p}$为辐射表面积；$\beta$为平板边界系数；${f_c}$为临界频率。

声腔损耗因子${\eta _{\text{i}}}$理论公式^[7]：

${\eta _{\text{i}}} = \frac{{2.2}}{{f{T_{ R}}}} = \frac{{13.82}}{{\omega {T_{ R}}}}。$

(22)

式中：${T_R}$为声腔混响时间；$f$为频带的中心频率。

2 隔声结构宽频隔声量分析及验证

在COMSOL软件使用声-固相互作用模块建立了3 mm厚钢板和声场的有限元模型，板和声场接触边界设置为声固耦合关系。在板的四周施加固定约束。在声场外表面施加完美匹配层以模拟消声室环境。网格采用自由四面体网格，网格大小为最高频率点处波长的1/6，仿真模型如图2所示。

在VA One软件中建立双混响室模型，声源室尺寸为10 m×10 m×3 m，接收室尺寸为6 m×6 m×3 m，测试件尺寸为1 m×1 m。声源室的声源为1 Pa散射声场，声腔吸声系数设为0.01。仿真中隔声结构采用钢板，钢铁密度为7850 kg/m³，泊松比为0.3，弹性模量为2.1×10¹¹ Pa。分析频率范围125～4000 Hz，仿真结果用倍频程隔声量表示，仿真模型如图3所示。

钢板内损耗因子根据公式计算，由式(4)得3 mm钢板临界频率为4108.4 Hz，钢板纵波速为5500 m/s，由${C_l} = {f_c}{\lambda _c}$得到临界波长为1.339 m。将临界波长、频率代入式(21)得到计算频率下的辐射比，通过式(19)和式(20)计算钢板内损耗因子，如图4所示。分析频段内的模态数如图5所示。

单层3 mm钢板计算结果与文献[10]中隔声量的测试数据进行了对比，如图6所示。

在125～250 Hz频率范围内，采用理论公式和统计能量法计算结果与试验值对比，平均隔声量误差分别为4.35、4.57 dB。在250 Hz以内钢板的模态数小于5，导致统计能量法仿真精度低。在250～4000 Hz频率范围内，采用理论公式、统计能量法（除临界频率外）计算结果与试验值对比，平均隔声量误差分别为1.69、1.6 dB。统计能量法计算结果在4000 Hz处隔声量误差10.01 dB。此处产生吻合效应导致隔声量大幅下降。在吻合效应区，实际的损耗因子与理论计算的损耗因子相差较大，导致统计能量法计算结果与试验值偏差大。

在125～4000 Hz频率范围，采用有限元法仿真结果与试验值对比，平均隔声量误差1.35 dB，计算结果可靠。

在125～500 Hz频段采用有限元法计算，在500～2000 Hz频段采用统计能量法计算，在2000～4000 Hz频段采用理论公式计算。计算结果与试验值对比，如图7所示。

在125～4000 Hz频率范围内，结合使用3种方法进行计算，对比试验值平均隔声量误差0.69 dB。相较于单一采用有限元法，平均隔声量误差减少0.66 dB。避免了在125～250 Hz单一采用理论公式、统计能量法，平均隔声量误差大于3 dB的情况。分段计算提升了结果的准确性，且有限元仿真的最高频率降低，对应波长变长，划分网格数减少提升了求解性能。

为进一步验证计算的准确性，计算1.5 mm钢板并与试验值对比。1.5 mm钢板面密度为11.7 kg/m³，代入临界频率公式，计算其临界频率8333.8 Hz，计算结果如图8所示。

在125～4000 Hz频段，在125 Hz理论计算隔声量与试验值误差5.14 dB，其他频率下隔声量误差小于2 dB。125～4000 Hz，采用统计能量法计算隔声量与试验值误差小于3 dB。由于板厚度减小，临界频率会上升，吻合效应向高频移动，对分析范围内板结构隔声量影响减小。

在125～1000 Hz频段采用有限元法计算，在1000～4000 Hz采用统计能量法计算。计算结果与试验值对比如图9所示。

在125～4000 Hz频率范围内，结合使用仿真方法进行计算与试验值相比，平均隔声量误差0.76 dB。相较于单一采用有限元和统计能量法，平均隔声量分别误差减小0.53、0.51 dB。

3 板结构尺寸效应对隔声量影响

理论公式和统计能量法计算结果在低频范围准确度较低，等比例改变钢板尺寸，研究钢板隔声量的变化，同有限元计算结果对比以寻找理论公式和统计能量法准确计算结果的起始频率，并研究背后机理。为对比更多的数据，结果采用三分之一倍频程的形式，计算频率范围50～2000 Hz。钢板尺寸分别为0.5 m×0.5 m、2 m×2 m、4 m×4 m。3 mm钢板计算结果如图10～图12所示。

钢板厚度不变，尺寸等比例扩大。同有限元结果对比，理论公式、统计能量法准确计算钢板隔声量起始频率向低频移动。随着板尺寸等比例变大，板的最低共振频率向低频移动，共振作用对分析频率范围隔声量影响减小。

由式(18)计算二维平板的模态密度，4种尺寸二维平板模态密度如图13所示。

对于一块3 mm厚钢板，面积分别为0.25、1、4、16 m²，计算模态密度分别为0.026、0.1、0.42、1.68。说明当频率分别增加38.46、10、2.3、0.59 Hz可出现一个模态，在厚度一定的情况下，钢板尺寸等比例扩大1倍，钢板模态密度扩大4倍，中心频段范围内模态数增多，统计能量法准确计算结果起始频率向低频移动。

尺寸效应对钢板隔声量的影响，对比隔声量数据如图14所示。

在50～800 Hz频率范围内，板的尺寸对隔声量影响较大。不同尺寸板结构平均隔声量相差3 dB以上。在800～2000 Hz频率范围内，板结构隔声量主要受面密度控制，钢板尺寸对隔声量影响较小。不同尺寸板结构平均隔声量相差小于1 dB。

4 结　语

采用COMSOL有限元法、VA One统计能量法和理论公式计算了单层钢板的隔声量，并将仿真结果与测试数据进行对比，得到以下结论：

1）在125～4000 Hz频率范围内，与试验值相比，采用有限元法计算薄板平均隔声量误差小于2 dB。在高频区，统计能量法计算平均隔声量误差小于3 dB。理论公式计算板结构吻合效应区隔声量误差小于3 dB。结合使用3种计算方法，分段计算平均隔声量误差小于1 dB，相较于采用单一计算方法，实现高效、准确地预测隔声量。

2）结合理论计算和实验得到损耗因子，选择合理的损耗因子能良好地提升统计能量法计算准确性。随着钢板尺寸增大，钢板模态密度增大，中心频段范围内模态数增多，统计能量法高精度计算薄板隔声量的起始频率向低频移动。

3）在低频范围，板的尺寸对隔声量影响较大。不同尺寸板结构平均隔声量相差3 dB以上。增大板的厚度能有效提升其隔声量，然而增大板的厚度导致临界频率下降，吻合效应区向低频移动，在工程运用中应综合2个方面的影响，选取合适厚度。