0 引　言

船舶动力机械设备产生的振动会通过相连管路传递到船体结构，若管路直接连通海水，因管内流体与海水阻抗匹配，极易产生较大的辐射噪声，因此对管路隔振要引起足够重视^[1]。

工程实践中常采用橡胶管路隔振器来降低舰船管路系统振动噪声传递。因橡胶具备出色的动力特性，其不仅可以通过弹性变形来吸收、储存能量，还可以通过特有的黏弹性行为大幅度消耗能量^[2]，故橡胶材料决定了橡胶管路隔振器的隔振特性。

然而，橡胶的力学性能十分复杂，是一种典型的超弹性材料，其在材料和几何方面都呈现高度的非线性。目前，描述橡胶材料超弹性特性的本构模型种类繁多，一些学者开展了相关研究^{[3 − 5]}。FATT等^[4]基于单轴拉伸试验数据建立了一种积分形式的橡胶黏超弹性本构方程；魏家威等^[5]基于橡胶在不同应变率情况下，对比了常用黏超弹本构模型的拟合情况，建立了一种适用于橡胶大应变率情况的黏超弹性本构模型。王莹等^[6]用超弹性本构模型对氟硅橡胶的单轴、平面和等轴拉伸试验数据进行拟合，补充了硅氟橡胶超弹性力学参数，为其应力-应变关系建立提供参考依据。此外，还有学者尝试借助橡胶本构模型对橡胶隔振器性能进行仿真分析。刘金才等^[7]拟合橡胶双参本构模型，建立计算精度较高的隔振器动静态性能计算模型；金著等^[8]拟合橡胶试验数据进行静态仿真，较为准确验证了28只同规格舰用隔振器的试验结果；张晶等^[9]建立气囊隔振器橡胶和气囊复合材料的理论模型，利用有限元方法和试验对比以研究不同气压对气囊隔振器刚度的影响规律。

上述学者均针对单规格隔振器进行了仿真分析以及验证工作，证明了橡胶本构模型可用来较好的预报隔振器性能。但是实际舰船管路种类较多，为了快速实现管路隔振器设计，需要本构模型适合于多规格管路隔振器性能预报，为管路隔振器系列化设计提供指导。

本文通过有限元方法拟合橡胶材料的单轴拉伸试验结果，基于橡胶超弹性本构模型参数，仿真分析不同规格管路隔振器静态和动态性能，并进行试验对比。旨在实现橡胶本构模型对多款管路隔振器性能高精度的预报。

1 超弹性材料本构模型

橡胶材料的本构理论研究方法分为统计理论和唯象理论；统计理论认为橡胶的弹性变形由许多不规则分子链组成的分子网络实现。又因对这些不规则分子网络的处理方式不同，统计理论又细分为高斯网络理论和非高斯网络理论^[10]。唯象理论为能产生大变形的橡胶提供一种数学格式，避免考虑橡胶的分子结构而导致的不确定性。

1943年L.R.G.Treloar将高斯统计理论应用到高分子网链中来描述橡胶材料的宏观行为，橡胶应变能函数表达式为：

$W={C}_{1}({I}_{1}-3) 。$

(1)

式中：${I}_{1}$为应变张量第一不变量；${C}_{1}$为材料参数。后称为Neo-Hooke本构模型。

1940年美国橡胶公司的Mooney提出了极具价值的唯象理论来描述橡胶的应力应变关系^[11]，其基于以下3个假设：1）橡胶材料在未成形状态下是各向同性的，在受到拉压后与受力方向成直角的平面内依然保持各向同性；2）橡胶材料具有体积不可压缩性；3）当橡胶发生剪切变形时，其应力与应变呈线性关系。Mooney推导出橡胶材料应变能函数为：

$W={C}_{1}({{\lambda} }_{1}^{2}+{\lambda }_{2}^{2}+{\lambda }_{3}^{2}-3)+ {C}_{2}({\lambda }_{1}^{-2}+{\lambda }_{2}^{-2}+{\lambda }_{3}^{-2}-3) 。$

(2)

式中：${\lambda }_{1}、{\lambda }_{2}、{\lambda }_{3}$为应变轴主方向上拉伸比；${C}_{1}$、${C}_{2}$为常数。

1948年R.S.Rivlin基于Mooney的假设，提出了应变能函数对3个主拉伸比是对称的假设，故应变能函数的表达式是由偶次幂组成^[10]，即：

${I}_{1}={\lambda }_{1}^{2}+{\lambda }_{2}^{2}+{\lambda }_{3}^{2}，$

(3)

${I}_{2}={\lambda }_{1}^{2}{\lambda }_{2}^{2}+{\lambda }_{2}^{2}{\lambda }_{3}^{2}+{\lambda }_{3}^{2}{\lambda }_{1}^{2} ，$

(4)

${I}_{3}={\lambda }_{1}^{2}{\lambda }_{2}^{2}{\lambda }_{3}^{2} 。$

(5)

式中：${I}_{1}$、${I}_{2}$、${I}_{3}$分别为一阶、二阶、三阶应变张量的不变量。

基于橡胶材料的不可压缩性假设，则${I}_{3}$=1。那么R.S.Rivlin提出的橡胶应变能函数表达式最终形式为：

$W=\sum _{i+j}^{N}{C}_{ij}({I}_{i}-3{)}^{i}\times({I}_{j}-3{)}^{j} 。$

(6)

综合上述式（2）和式（6），取N=1，Mooney-Rivlin本构模型的表达式为：

$W={C}_{10}({I}_{1}-3)+{C}_{01}({I}_{2}-3)+({J}^{el}-1{)}^{2}/{D}_{1} 。$

(7)

式中：${C}_{10}$、${C}_{01}$和${D}_{1}$为材料参数；${J}^{el}$为弹性体积比。

然而Mooney-Rivlin模型的使用以及相关研究工作都是基于未填充橡胶硫化剂的橡胶，Yeoh将该模型运用到预测添加炭黑后的橡胶应力应变关系，试验研究发现从拉伸试验数据中确定的Mooney-Rivlin常数对预测其他变形模式的行为价值有限^[12]。1993年O.H.Yeoh提出了更高次的应变能函数，即Yeoh本构模型，表达式为：

$W={C}_{10}({I}_{1}-3)+{C}_{20}({I}_{1}-3{)}^{2}+{C}_{30}({I}_{1}-3{)}^{3} 。$

(8)

1972年R.W.Odgen否定应变能密度函数W为应变轴3个方向上的拉伸比${\lambda }_{i}$的偶次幂假设，直接将${\lambda }_{i}$作为自变量，得到的应变能函数表达式为：

$W=\sum _{i=1}^{N}\frac{{\mu }_{i}}{{\partial }_{i}}({\lambda }_{1}^{{\partial }_{i}}+{\lambda }_{2}^{{\partial }_{i}}+{\lambda }_{3}^{{\partial }_{i}}-3) \sum _{i=1}^{N}\frac{1}{{D}_{i}}(\sqrt{{I}_{3}-1}{)}^{2i} 。$

(9)

式中：${\mu }_{i}$、${\partial }_{i}$为根据试验数据确定的剪切系数；${D}_{i}$为压缩系数。

以上Neo-Hooke、Mooney-Rivlin、Yeoh以及Ogden本构模型是目前商业仿真软件中常用来描述橡胶超弹性特性的本构模型。从应变能函数表达式层面，本构模型区别于应变能是用应变不变量还是用主伸长率来表示^[13]；从应用场景层面，学者们对此进行了众多探究。但本文旨在选用的本构模型拟合系数能较精确、充分的描述隔振器中橡胶材料的力学特性。

2 橡胶试件试验及本构模型参数拟合

为确定隔振器中橡胶材料超弹性本构模型参数，通常对橡胶试件进行单轴拉伸试验来获得试件的主应力和主应变的对应关系，再选取合适的本构模型与之拟合。

1）拉伸试验

本文依据“GB/T 528-2009硫化橡胶或热塑性橡胶拉伸应力应变性能的测定”方法开展橡胶试件单轴拉伸试验。按配方和尺寸要求制备邵氏硬度60度的哑铃型橡胶试件5个，厚度为2 mm±0.2 mm，如图1所示。静置16 h后，在标准实验室温度下控制万能试验机对试件进行拉伸试验。

由于该管路隔振器实际使用中并不涉及橡胶过大的变形，故拉伸速度无需过快，更不必将其拉断，学者李树虎等结合B C Duncan总结的超弹性性能试验方法指出，为了获得能充分显示橡胶滞后性的纯均匀应变数据，通常要以足够慢的速度来进行拉伸试验，这样才能使橡胶按其潜在的弹性特性而松弛^{[14 − 15]}。故控制万能试验机以10 mm/min的初始速度增加至100 mm/min，并保持100 mm/min的速度进行拉伸试验。

为了保证计算精度以及减小Mullins效应的影响，5个试件均取循环加载（一般为5次）的最后一次数据来绘制试验力和位移曲线，如图2所示。

可知，位移0～1 mm为橡胶试件的弹性区域，该区域拉力与位移成正比；其次是位移1～2 mm区域出现屈服点，橡胶试件开始发生塑性变形，此时力和位移不再遵循胡克定律。5条曲线中试件2、试件3、试件4力-位移曲线一致性较高，试件1、试件5力-位移曲线均有较大偏离。

2）本构模型参数拟合

将上述试件2、试件3、试件4力-位移数据的均值转换为试件相应真实应力、应变值，使用最小二乘法进行数据拟合，拟合结果如图3所示。

可知，除了Neo Hooke本构模型在拟合初始阶段就出现了偏离外，Odgen（N=1～3）、Mooney-Rivlin、Yeoh本构模型曲线均能较好地拟合试验数据，但是Odgen（N=2）Yeoh本构模型在应变0.33之后拟合度不再稳定，与试验数据曲线产生越来越大的偏离。综上，Odgen（N=1）、Mooney-Rivlin和Neo Hooke本构模型拟合度较高且稳定性好。本文将采用Odgen（N=1）本构模型拟合所得参数进行橡胶管路隔振器仿真计算。

3 隔振器静、动态性能分析

针对管路减振需求，分别设计了用于承载500 N、1400 N以及2800 N（后以S500、S1400、S2800表示）的3款管路隔振器（见图4）。基于Odgen本构模型参数，利用有限元方法对橡胶管路隔振器静、动态性能进行计算分析。

1）仿真计算

建立管路隔振器仿真模型时，金属件采用Q355钢材，密度为7.85×10⁻⁹ t/mm³；杨氏模量为2×10⁵ MPa；泊松比取0.3；橡胶密度为1.2×10⁻⁹ t/mm³。超弹性参数选用Odgen本构模型拟合参数${\mu }_{1}=1.539\ 278\ 82；{\partial }_{1}=5.907\ 681\ 91；{D}_{1}=0$。

由于橡胶属于超弹性材料，在对管路隔振器静、动态性能进行有限元分析过程中橡胶存在材料非线性、几何非线性和边界条件非线性^[16]，其有限元计算收敛相对困难，故须考虑计算单元存在大变形、单元扭曲情况。

经有限元方法计算后，S500、S1400、S2800垂向静变形和固有频率云图如图5所示，垂向静变形和固有频率数值如表1所示。

2）静、动态试验对比

为验证有限元方法对上述多规格橡胶管路隔振器静、动态性能计算结果，加工生产S500、S1400、S2800这3款隔振器样件。使用高精度万能试验机和INSTRON8803疲劳试验机针对管路隔振器管卡两端起隔振器作用的隔振模块进行静、动态试验。

以S2800为例，依据“GB/T 15168-2013振动与冲击隔离器静、动态性能测试方法”，静态测试前须对隔振模块施加额定载荷5%以内的压力以固定隔振模块，然后将位移清零，加载速度设定为1 mm/min。为消除隔振模块额定载荷内的Mullins效应，采取预加载措施，将载荷施加到额定载荷的1.25倍，即3500 N，保持该载荷30 s后卸载；加载-卸载循环3次后，记录第4次额定载荷下隔振模块的静变形。为确保试验结果的准确性，共进行3次测试，取3次测试结果的平均值作为隔振模块的实测垂向静变形值。

动态扫频试验使用椭圆法，首先完成上述静态试验预加载措施，然后对隔振模块施加额定载荷2800 N，参照测试方法设置相应幅值0.7 mm后，疲劳机以正弦激励对隔振模块进行7～17 Hz频段扫频，绘制数百个载荷-位移迟滞回线，如图6所示，再由疲劳试验机输出的传递率来确认共振频率，通过最大频率处数据即可计算出S2800隔振模块额定载荷下的固有频率。

基于橡胶本构模型，利用有限元方法计算所得S500、S1400、S2800管路隔振器垂向静变形、固有频率与试验所得相应数据对比如表2所示。虽然有限元计算中网格划分质量以及试验中10%预压载、管卡重量均会对结果造成影响，但表2中静变形最大误差为6.86%，固有频率最大误差为8.8%，均低于10%。

4 结　语

本文通过橡胶试件的单轴拉伸试验拟合得到橡胶超弹性本构模型参数，对舰船用多规格橡胶管路隔振器的静、动态特性进行仿真分析，并加工相应规格隔振器进行试验，各规格隔振器仿真与试验结果误差均低于10%。实现了单个橡胶本构模型参数对多种规格管路隔振器性能高精度的预报，证明了基于橡胶本构模型指导系列化橡胶管路隔振器设计的可行性，避免了传统工程中由设计-试验-再设计-再试验耗时耗力流程，提高了工程实践效率，节省了其成本。