0 引　言

与传统平行轴齿轮传动相比，人字行星齿轮传动系统具有结构紧凑、传动比大、效率高、承载能力强等优点，被广泛应用于汽车、船舶、航空等领域^[1]。然而在齿轮及行星架加工过程中不可避免会引入制造误差，加剧齿轮系统振动噪声，影响整个系统安全性和可靠性^{[2 − 3]}。因此，探究制造误差与振动响应关联机理，对行星轮系理论研究和工程应用具有重要意义。

目前在误差齿轮啮合研究中，Mucchi等^{[4 − 6]}通过引入齿廓偏差数学模型，构建了包括齿廓偏差、时变啮合刚度、侧隙等因素在内的弹性动力平衡模型。Chen等^{[7 − 8]}综合考虑了轮齿变形、轮齿接触变形以及齿廓偏差等各种变形因素，建立通用的齿轮啮合分析模型，并揭示齿体结构耦合效应对总啮合刚度的影响机理。对于多种制造误差复合的情况，Zhang等^{[9 − 11]}将加工误差引起的三维形状偏差分解为节距误差、轮廓误差和螺旋误差，采用接触有限元法探究了加工误差对连续啮合过程的影响。Park等^{[12 − 13]}使用兆瓦级风力涡轮机齿轮箱的1/4比例缩小模型，研究了行星架销孔位置误差的大小、位置和相位对行星齿轮均载特性的影响。在齿轮非线性动力学方面，Inalpolat等^{[14 − 17]}建立了考虑加工误差，周期性时变刚度和非线性齿侧间隙的动力学模型，对行星齿轮调制边带的预测问题进行了研究分析。唐进元等^{[18 − 19]}解决了考虑间隙、时变啮合刚度和齿面摩擦的齿轮非线性动力学键合图建模问题，建立了包含齿面摩擦、齿侧间隙、时变刚度和静态传递误差的齿轮传动非线性键合图模型。王成等^[20]以一对试验人字齿轮为例，建立人字齿轮十二自由度耦合动力学模型，得到系统的振动响应和动态特性。针对功率分流系统均载特性的研究，Kim等^{[21 − 22]}实测了传动系统中行星架销孔位置偏差，并研究了误差和系统刚输入扭矩对系统均载系数的影响。对多误差共同作用时，Mo等^{[23 − 24]}研究了在偏心误差、齿廓误差、安装角和装配误差组成的多耦合误差下人字行星轮系的均载系数，并发现偏心误差对系统均载的影响起主导作用。莫帅等^{[25 − 26]}分析了偏心误差、齿厚误差、基节误差、安装误差等造成的当量啮合误差，并基于变形协调条件分析了多分流系统均载机理。

针对目前大多研究仅考虑位置度误差产生的传递误差，而忽视齿轮位置变化会影响内部激励问题，本文分析了行星架销轴位置度误差对齿轮副内外啮合的影响，基于势能法确定了含中心距误差的齿轮副时变啮合刚度和齿侧间隙变化，构建行星齿轮传动系统动力学模型，研究了不同误差相位对齿轮副动态响应及行星轮系均载特性的影响机理。

1 位置度误差对内部激励的影响 1.1 啮合误差

行星轮销轴位置度误差，使行星轮安装位置产生误差，从而改变各齿轮副间的中心距，同时引起行星轮与太阳轮及内齿圈的周期性啮合误差，进而对齿轮副以及行星轮系的动态响应产生影响，故首先明确在销轴的位置度误差下齿轮副产生的啮合误差。当传动系统中第i个行星轮含有轴位置度误差时，对各齿轮副引起的啮合误差如图1所示。

图中行星轮的安装位置误差及初始相位为（A_p，λ_p），随着星轮转动，其相对于太阳轮和内齿圈的误差相位始终保持不变，${\lambda' }_{ps}={\lambda' }_{pr}={\lambda }_{p}$，可将位置误差分解为沿啮合线方向和垂直啮合线方向的2个分量，沿啮合线方向的误差主要影响啮合齿对间的动态传递误差，进而影响动态啮合力，垂直啮合线方向的误差主要导致齿轮齿面啮合点偏移理论位置，进而影响齿对的啮合刚度。行星轮与太阳轮间的啮合误差为：

$\left\{\begin{array}{l}{e}_{psx}={A}_{p}\rm{cos}\left(\mathit{B}_{\mathit{spi}}-{\lambda' }_{\mathit{sp}}\right)\rm{cos}{\beta }_{\mathit{b}} \\ \quad\;\;\;\;={A}_{p}\rm{sin}\left({\lambda }_{\mathit{p}}+{\alpha }_{\mathit{sp}}-{\phi }_{\mathit{pi}}\right)\rm{cos}{\beta }_{\mathit{b}}，\\ {e}_{psy}={A}_{\mathit{p}}\rm{cos}\left({\lambda }_{\mathit{p}}+{\alpha }_{\mathit{sp}}-{\phi }_{\mathit{pi}}\right)\rm{cos}{\beta }_{\mathit{b}}。\end{array}\right.$

(1)

行星轮与内齿圈沿啮合线上的当量误差为：

$\left\{\begin{array}{l} {e}_{prx}=-{A}_{p}\rm{cos}\left({\text π} -{\mathit{B}}_{\mathit{rpi}}+{\lambda }_{\mathit{pr}}^{'}\right)\rm{cos}{\beta }_{\mathit{b}}\\ \quad\;\;\;\;={A}_{\mathit{p}}\rm{sin}\left({\lambda }_{\mathit{p}}-{\alpha }_{\mathit{rp}}-{\phi }_{\mathit{pi}}\right)\rm{cos}{\beta }_{\mathit{b}}，\\ {e}_{pry}={A}_{p}\rm{cos}\left({\lambda }_{\mathit{p}}-{\alpha }_{\mathit{rp}}-{\phi }_{\mathit{pi}}\right)\rm{cos}{\beta }_{\mathit{b}}。\end{array}\right.$

(2)

式中：${\alpha }_{sp}$和${\alpha }_{rp}$为端面压力角；${\phi }_{pi}$为行星轮的位置角；a为太阳轮和行星轮的中心距；a'为含位置度误差后的中心距。以安装误差值A_p=30 μm时为例，各组太阳轮-行星轮和内齿圈-行星轮沿啮合线方向的啮合误差随位置度误差相位的变化如图2。

可知，位置度误差引起的啮合误差会随着误差相位的不同而变化，且各组齿轮副的啮合误差也因行星轮位置角的不同而存在相位差。

1.2 时变啮合刚度

针对销轴位置度误差下齿轮副产生的垂直啮合线的误差会直接影响轮齿啮合点的位置及齿轮的时变啮合刚度，其根本原因是由于行星架销轴位置度误差的存在，使得行星轮与太阳轮、行星轮与内齿圈之间产生了一定的中心距误差，而中心距的变化会影响齿轮副的重合度、压力角及啮合点，进而改变齿轮啮合刚度，故为了探究位置度误差对斜齿轮副啮合刚度的影响，需对含中心距误差的斜齿轮副啮合展开分析。以外啮合斜齿轮副端面的直齿轮副为例，含中心距误差时的啮合过程如图3所示。

图中，∆a为外啮合齿轮副的中心距误差，结合图1由位置度误差和余弦定理可确定太阳轮-行星轮以及内齿圈-行星轮的中心距误差分别为：

$\left\{\begin{array}{l}\Delta {a}_{sp}=\sqrt{{a}^{2}+{{A}_{p}}^{2}-2a{A}_{p}{\rm{cos}}\left({\text π} -{\phi }_{pi}+{\lambda }_{p}\right)}-a，\\ \Delta {a}_{rp}=\Delta {a}_{sp}。\end{array}\right.$

(3)

随着齿轮副中心距的增大，齿轮的基圆、齿顶圆及齿根圆仍保持不变，但齿轮副啮合线会由原本的分度圆切线变为新的节圆切线，产生的节圆半径为：

$\left\{\begin{array}{c}{{r}_{p}}' ={r}_{p}+\Delta a\cdot \displaystyle\frac{{z}_{p}}{\left({z}_{p}+{z}_{q}\right)}，\\ {{r}_{q}}' ={r}_{q}+\Delta a\cdot \displaystyle\frac{{z}_{q}}{\left({z}_{p}+{z}_{q}\right)}。\end{array}\right.$

(4)

由于两齿轮基圆间距延长，齿轮副产生了新的啮合线，齿轮副压力角也发生变化，新的压力角为：

${{\alpha }_{n}}'={{\mathrm{arc}}}\rm{cos}\frac{\mathit{r}_{\mathit{bp}}}{{\mathit{r}_{\mathit{p}}}'}={{\mathrm{arc}}}\rm{cos}\frac{{\mathit{r}}_{\mathit{bp}}+{\mathit{r}}_{\mathit{bq}}}{{\mathit{r}}_{\mathit{p}}+{\mathit{r}}_{\mathit{q}}+\Delta \mathit{a}} 。$

(5)

根据齿轮副中各参数几何关系，新基圆公切线上理论啮合线N₁'N₂'上各线段的大小为：

$\left\{\begin{array}{c}{{N}_{1}}' {{B}_{1}}' =\sqrt{{r}_{ap}^{2}-{r}_{bp}^{2}},{{N}_{1}}' {P}' =\sqrt{{{r} }_{p}^{2}-{r}_{bp}^{2}}，\\ {{N}_{2}}' {{B}_{2}}' =\sqrt{{r}_{aq}^{2}-{r}_{bq}^{2}},{{N}_{2}}' {P}' =\sqrt{{{r} }_{q}^{2}-{r}_{bq}^{2}}。\end{array}\right.$

(6)

式中：N₁'B₁'和N₂'B₂'与齿顶圆和齿根圆有关，仍保持不变，而N₁'P'和N₂'P'则随着节圆半径的增大而增大，故B₁'P'= N₁'B₁'- N₁'P'和B₂'P'= N₂'B₂'- N₂'P'减小，同时使得实际啮合线B₁'B₂'= B₁'P'+ B₂'P'也随之减小。故当齿轮副含正的中心距误差时，实际啮合线B₁'B₂'的长度小于无误差时的标准值B₁B₂，表明齿廓上参与啮合的弧长变短，轮齿的啮合周期缩短。

进一步地分析中心距变化对斜齿轮啮合的影响，含位置度误差后斜齿轮副的端面重合度ε_a和轴向重合度ε_β分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{\varepsilon }_{\alpha }=\displaystyle\frac{{{B}_{1}}^{{{'}}}{{B}_{2}}^{{{'}}}}{{p}_{bt}}，\\ {\varepsilon }_{\beta }=\displaystyle\frac{b\rm{tan}{\beta }_{b}}{{p}_{bt}}。\end{array}\right.$

(7)

式中：b为齿宽；β_b为基圆螺旋角；p_bt为端面基圆齿距。各参数均为斜齿轮的固有属性，与中心距无关，故中心距的变化仅影响斜齿轮的端面重合度，不影响轴向重合度。

不同中心距时，斜齿轮啮合面的接触线分布见图4，根据势能法计算各中心距误差的斜齿轮时变啮合刚度，得出相应的单对轮齿在啮合周期内的时变刚度见图5。

图4中齿轮副无中心距误差时的啮合面为B₁B₂B₃B₄，对应图5中∆a=0的时变啮合刚度，含中心距误差时啮合面为B₁a_ia_i'B₄(i=1～4)，i=1～4分别对应图5中中心距误差∆a逐渐变大，可见随着中心距误差逐渐增大，斜齿轮的啮合面逐渐减小，单齿啮合刚度逐渐降低，并且图5中单齿的啮合周期τ_i也随之减小。

得出各中心距误差下的单齿啮合刚度后，将各单齿刚度以齿距角为间隔叠加即得出齿轮副的时变啮合刚度。由于图5中已得出在不同中心距下，齿轮啮入和啮出的角度均不同，为便于计算和分析比较，将各误差的齿轮刚度均设置为以第一对齿轮进入啮合为起点，继而再按角度计值。各中心距误差下齿轮副的时变啮合刚度如图6所示。

图中区间a至e为齿轮副的一个啮合周期，即一个固定的齿距角，故中心距的变化并不影响齿轮副的啮合周期；区间a至d为三齿啮合区，区间d至e为双齿啮合区。随着中心距的增大，齿轮副啮合刚度均逐渐减小，且三齿啮合的区域减小，双齿啮合的区域增大，对应斜齿轮的重合度降低。

1.3 齿侧间隙

齿轮副在位置度误差下改变中心距后，其轮齿啮合点的偏离还会引起齿侧间隙的变化，图2中中心距误差导致的直齿轮沿啮合线方向齿侧间隙的变化量为$\Delta {j}_{n}=\Delta a{\rm{sin}{\alpha }_{\mathit{n}}}'$，由此可进一步得出太阳轮-行星轮以及内齿圈-行星轮齿侧间隙的变化量分别为：

$\left\{\begin{array}{c}\Delta {j}_{spn}=\Delta {a}_{sp}{\rm{sin}{\alpha }_{\mathit{sn}}}'\rm{cos}\beta，\\ \Delta {j}_{rpn}=-\Delta {a}_{rp}{\rm{sin}{\alpha }_{\mathit{rn}}}'\rm{cos}\beta。\end{array}\right.$

(8)

2 行星轮系动力学模型

继而探究行星轮位置度对行星传动系统动态特性的影响，建立含退刀槽及齿侧间隙的弯扭人字行星轮系动力学模型如图7所示。

图中：k_bs、k_bp和k_br为各齿轮的支承刚度；c_bs、c_bp和c_br为各齿轮的支承阻尼；k_spi和k_rpi为各齿轮副的啮合刚度；c_spi和c_rpi为各齿轮副的啮合阻尼；f_spi和f_rpi为各齿轮副的齿侧间隙；k_n和c_n（n为s、p_i或r）为各齿轮退刀槽的弯曲刚度和阻尼；k_nθ和c_nθ为各齿轮退刀槽的扭转刚度和阻尼。根据牛顿运动定律，建立各个元件的动力学微分方程，太阳轮、行星轮和内齿圈的动力学微分方程分别为：

$\left\{\begin{array}{c} {m}_{s}{\ddot{x}}_{s}^{k}=-{\displaystyle\sum }_{i=1}^{5}\left({P}_{spi}^{k}+{D}_{spi}^{k}\right)\rm{cos}{\mathit{B}}_{\mathit{spi}}\rm{cos}{\beta }_{\mathit{b}}^{\mathit{k}}\\ -\left({P}_{sx}^{k}+{D}_{sx}^{k}\right)-\left({P}_{stx}+{D}_{stx}\right)，\\ {m}_{s}{\ddot{y}}_{s}^{k}=-{\displaystyle\sum }_{i=1}^{5}\left({P}_{spi}^{k}+{D}_{spi}^{k}\right)\rm{sin}{\mathit{B}}_{spi}\rm{cos}{\beta }_{\mathit{b}}^{\mathit{k}}-\\ \left({P}_{sy}^{k}+{D}_{sy}^{k}\right)-\left({P}_{sty}+{D}_{sty}\right)，\\ {J}_{s}{\ddot{\theta }}_{s}^{k}=\displaystyle\frac{{T}_{D}}{2}-{\displaystyle\sum }_{i=1}^{5}\left({P}_{spi}^{k}+{D}_{spi}^{k}\right)\rm{cos}{\beta }_{\mathit{b}}^{\mathit{k}}{\mathit{r}}_{\mathit{sb}}-\\ \left({P}_{st\theta }+{D}_{st\theta }\right)。\end{array}\right.$

(9)

$\left\{\begin{array}{l} {m}_{pi}{\ddot{x}}_{pi}^{k}=\left[\begin{array}{c}\left({P}_{spi}^{k}+{D}_{spi}^{k}\right){\cos}B_{spi}-\\ \left({P}_{rpi}^{k}+{D}_{rpi}^{k}\right){\cos}B_{rpi}\end{array}\right]{\cos}{\beta }_b^k-\\ \quad\quad\quad \;\;\;\left({P}_{pix}^{k}+{D}_{pix}^{k}\right)-\left({P}_{pitx}+{D}_{pitx}\right)，\\ {m}_{pi}{\ddot{y}}_{pi}^{k}=\left[\begin{array}{c}\left({P}_{spi}^{k}+{D}_{spi}^{k}\right){\sin}B_{spi}-\\ \left({P}_{rpi}^{k}+{D}_{rpi}^{k}\right){\sin}B_{rpi}\end{array}\right]{\cos}{\beta }_b^k-\\ \quad\quad\quad \;\;\;\left({P}_{piy}^{k}+{D}_{piy}^{k}\right)-\left({P}_{pity}+{D}_{pity}\right)\\ {J}_{pi}{\ddot{\theta }}_{pi}^{k}=\left[\left({P}_{spi}^{k}+{D}_{spi}^{k}\right)-\left({P}_{rpi}^{k}+{D}_{rpi}^{k}\right)\right]{\cos}{\beta }_b^k r_{{pb}}-\\ \quad\quad\quad \;\;\;\left({P}_{pit\theta }+{D}_{pit \theta }\right)。\end{array}\right.$

(10)

$\left\{\begin{array}{c} {m}_{r}{\ddot{x}}_{r}^{k}={\displaystyle\sum }_{i=1}^{5}\left({P}_{rpi}^{k}+{D}_{rpi}^{k}\right){\cos}B_{{rpi}}{\cos}{\beta }_b^k\\ -\left({P}_{rx}^{k}+{D}_{rx}^{k}\right)-\left({P}_{rtx}+{D}_{rtx}\right)，\\ {m}_{r}{\ddot{y}}_{r}^{k}={\displaystyle\sum }_{i=1}^{5}\left({P}_{rpi}^{k}+{D}_{rpi}^{k}\right){\sin}B_{{rpi}}{\cos}{\beta }_b^k-\\ \left({P}_{ry}^{k}+{D}_{ry}^{k}\right)-\left({P}_{rty}+{D}_{rty}\right)，\\ {J}_{r}{\ddot{\theta }}_{r}^{k}={\displaystyle\sum }_{i=1}^{5}\left({P}_{rpi}^{k}+{D}_{rpi}^{k}\right){\cos}{\beta }_b^k r_{{rb}}-\displaystyle\frac{T_L}{2}-\\ \left({P}_{rt\theta }+{D}_{rt\theta }\right)。\end{array}\right.$

(11)

式中：k为l或r，分别表示人字齿轮的左侧或右侧；i=1～3，表示行星轮1～3；${P}_{spi}$、${P}_{rpi}$为各啮合副的弹性啮合力：

$\left\{\begin{array}{l} {P}_{spi}={k}_{spi}\left(t\right)\cdot {f}_{spi}\left({\delta }_{spi},{b}_{spi}\right)，\\ {P}_{rpi}={k}_{rpi}\left(t\right)\cdot {f}_{rpi}\left({\delta }_{rpi},{b}_{rpi}\right)。\end{array}\right.$

(12)

式中：${k}_{spi}\left(t\right)$、${k}_{rpi}\left(t\right)$为时变啮合刚度；${f}_{spi}$、${f}_{rpi}$为间隙函数：

$f=\left\{\begin{array}{l} \delta -b，\delta > b，\\ 0，b < \delta < b，\\ \delta +b，\delta < -b。\end{array}\right.$

(13)

式中：${\delta }_{spi}$、${\delta }_{rpi}$为各啮合副的动态传递误差，有

$\left\{\begin{array}{l} {\delta }_{spi}=\left[\begin{array}{c}\left({x}_{s}-{x}_{pi}\right)\rm{cos}{\mathit{B}}_{\mathit{spi}}+\left({\mathit{y}}_{\mathit{s}}-{\mathit{y}}_{\mathit{pi}}\right)\rm{sin}{\mathit{B}}_{\mathit{spi}}+\\ {u}_{s}-{u}_{pi}-{e}_{spi}\end{array}\right]\rm{cos}{\beta }_{\mathit{b}}，\\ {\delta }_{rpi}=\left[\begin{array}{c}\left({x}_{pi}-{x}_{r}\right)\rm{cos}{\mathit{B}}_{\mathit{rpi}}+\left({\mathit{y}}_{\mathit{pi}}-{\mathit{y}}_{\mathit{r}}\right)\rm{sin}{\mathit{B}}_{\mathit{rpi}}+\\ {u}_{pi}-{u}_{r}-{e}_{rpi}\end{array}\right]\rm{cos}{\beta }_{\mathit{b}}，\end{array}\right.$

(14)

式中：${B}_{spi}$、${B}_{rpi}$为各啮合线的方位角；$u=r\theta$为转化到啮合线方向的扭转角位移；$e$为由位置度误差引起的啮合误差；${D}_{spi}$、${D}_{rpi}$为粘性啮合力：

$\left\{\begin{array}{l}{D}_{spi}={C}_{spi}\cdot {\dot{\delta }}_{spi}，\\ {D}_{rpi}={C}_{rpi}\cdot {\dot{\delta }}_{rpi}。\end{array}\right.$

(15)

${P}_{nx}+{D}_{nx}$、${P}_{ny}+{D}_{ny}$为各齿轮的支承力（n为s、p_i或r）：

$\left\{\begin{array}{l}{P}_{nx}+{D}_{nx}={k}_{n}{x}_{n}+{c}_{n}{\dot{x}}_{n}，\\ {P}_{ny}+{D}_{ny}={k}_{n}{y}_{n}+{c}_{n}{\dot{y}}_{n}。\end{array}\right.$

(16)

${P}_{ntx}+{D}_{ntx}$、${P}_{nty}+{D}_{nty}$和${P}_{nt\theta }+{D}_{nt\theta }$为各人字齿退刀槽传递的力和力矩：

$\left\{\begin{array}{l}{P}_{ntx}+{D}_{ntx}={k}_{ntx}\left({x}_{n}^{l}-{x}_{n}^{r}\right)+{c}_{ntx}\left({\dot{x}}_{n}^{l}-{\dot{x}}_{n}^{r}\right)，\\ {P}_{nty}+{D}_{nty}={k}_{nty}\left({y}_{n}^{l}-{y}_{n}^{r}\right)+{c}_{nty}\left({\dot{y}}_{n}^{l}-{\dot{y}}_{n}^{r}\right)，\\ {P}_{nt\theta }+{D}_{nt\theta }={k}_{nt\theta }\left({\theta }_{n}^{l}-{\theta }_{n}^{r}\right)+{c}_{nt\theta }\left({\dot{\theta }}_{n}^{l}-{\dot{\theta }}_{n}^{r}\right)。\end{array}\right.$

(17)

3 系统动态特性分析 3.1 位置度对动载荷的影响

基于含位置度误差的行星轮系动力学模型，首先分析含误差齿轮副的动态响应，设输入转速为3000 r/min，将星轮1的销轴位置度误差的大小设置为40 μm，误差相位为0、π，其他行星轮则不含误差，各内外啮合副的初始侧隙均为20 μm，各状态下星轮1内外啮合副的误差激励参数如表1～表2所示，相应的动态啮合力如图8和图9所示。

表1和图8中，行星轮1在λ_p=0的位置度误差下，外啮合副的间隙增大，且由式(12)可知产生的正的啮合误差会减小动态传递误差（DTE）；而位置度误差对内啮合副的影响则相反，不仅使其侧隙减小，产生的负的啮合误差也增大了DTE，最终导致行星轮1的内啮合副发生了双边冲击。表2和图9中，行星轮1在λ_p=π的位置度误差下，产生的影响与λ_p=0时相反，此时外啮合侧隙间隙，产生负的啮合误差，而内啮合侧隙增大，产生正的啮合误差，导致行星轮1的外啮合副发生了双边冲击。

其次，对比分析星轮1的销轴位置度误差的大小为20 μm，误差相位为π/2、−π/2，其他行星轮则不含误差时的响应结果，各状态下星轮1内外啮合副的误差激励参数如表3～表4，相应的动态啮合力见图10～图11。

表3和图10中，行星轮1在λ_p=π/2的位置度误差下，内外啮合副的齿侧间隙变化很微小，且均产生正的啮合误差，使得行星轮1内外啮合力较其他两个行星轮更低，且存在更多啮合力为0，即轮齿脱离啮合的部分；表4和图11中，行星轮1在λ_p=-π/2的位置度误差下，内外啮合副的齿侧间隙变化很微小，且均产生负的啮合误差，使得行星轮1内外啮合力较其他个行星轮明显增高。

3.2 位置度对均载特性的影响

在探明了位置度误差对齿轮副啮合的影响机理后，进一步的分析行星架销轴位置度误差对行星传动系统的影响，针对各组齿轮副的动态传递误差及啮合力产生的差异，分析各级传动环节中载荷的分布特性，并采用均载系数进行表征，定义为某时刻下各齿轮副啮合力与平均啮合力的比值：

$\left\{ \begin{array}{c} {b}_{spi}^{L} = \frac{N{F}_{spi}^{L}}{{\displaystyle\sum }_{n=1}^{N}{F}_{spi}^{L}},{b}_{rpi}^{L} = \frac{N{F}_{rpi}^{L}}{{\displaystyle\sum }_{n=1}^{N}{F}_{rpi}^{L}}，\\ {b}_{spi}^{R} = \frac{N{F}_{spi}^{R}}{{\displaystyle\sum }_{n=1}^{N}{F}_{spi}^{R}},{b}_{rpi}^{R} = \frac{N{F}_{rpi}^{R}}{{\displaystyle\sum }_{n=1}^{N}{F}_{rpi}^{R}}，\end{array}\right. \left(i = 1,\dots ,N\right)。$

(18)

式中，N为行星轮的个数。对各路分流的均载系数取最大值，得出该时刻下各传动环节的均载系数：

$\left\{ \begin{array}{c}{b}_{sp}^{L} = \mathit{max}\left({b}_{spi}^{L}\right),{b}_{rp}^{L} = \mathit{max}\left({b}_{rpi}^{L}\right)，\\ {b}_{sp}^{R} = \mathit{max}\left({b}_{spi}^{R}\right),{b}_{rp}^{R} = \mathit{max}\left({b}_{rpi}^{R}\right)，\end{array}\right.\text{} \left(i = 1,\dots ,N\right)。$

(19)

在此基础上，对系统稳定时段内的时变均载系数取最大值，得出该时段内各传动环节的均载系数：

$\left\{\begin{array}{c}{B}_{sp}^{L}={\rm{max}}\left({b}_{sp}^{L}\left(t\right)\right),{B}_{rp}^{L}={\rm{max}}\left({b}_{rp}^{L}\left(t\right)\right)，\\ {B}_{sp}^{R}={\rm{max}}\left({b}_{sp}^{R}\left(t\right)\right),{B}_{rp}^{R}={\rm{max}}\left({b}_{rp}^{R}\left(t\right)\right)。\end{array}\right.$

(20)

则该时段内行星传动系统整体的均载系数为：

$B={\rm{max}}\left({B}_{sp}^{L},{B}_{rp}^{L},{B}_{sp}^{R},{B}_{rp}^{R}\right)。$

(21)

以行星轮系中人字齿轮左侧的齿轮为例，分析在行星轮1含有同一大小的误差时，系统均载特性随其误差相位的变化规律，得出系统左侧各内外啮合副关于行星轮1位置度误差相位的均载系数如图12所示。

图中各内外啮合副的均载系数均随行星轮1误差相位的变化而变化，其中误差相位为0和±π时，内外啮合副均产生最小的均载系数，而当误差相位为π/2和−π/2时，内外啮合副的均载系数均达到极大值，结合上一节关于啮合力的分析，由于λ_p=−π/2时仅行星轮1承受较高载荷，而 λ_p=π/2时则由行星轮2和3承受较高载荷，故λ_p=−π/2时对应最高的均载系数。需要注意的是分析所得结果是在行星轮1位置角φ_sp1=0的前提下得出的，而图1表明啮合误差也是与行星轮位置角相关的，故分析时均需结合行星轮的实际位置。

4 结　语

1）针对行星轮销轴的位置度误差，充分考虑了误差的大小和相位，分析了其对行星轮内外啮合副啮合误差、中心距、时变啮合刚度以及齿侧间隙的影响机理，明确了位置度误差引起的各个内部激励的变化。

2）建立了行星齿轮传动系统的动力学模型，并将位置度误差导致的各个激励引入到系统中，综合考虑了各啮合副的齿侧间隙、啮合误差、含误差影响的时变啮合刚度以及各人字齿轮退刀槽等因素，较为全面的耦合了位置度误差的影响。

3）在销轴位置度误差以及行星轮位置角的综合影响下，啮合副齿侧间隙的减小以及负的啮合误差会导致啮合力的激增，甚至出现双边冲击，降低系统均载性能；反之啮合副齿侧间隙的增大以及正的啮合误差会降低其啮合力，对系统均载性能的影响相对较弱。