0 引　言

作为深潜器观察窗的常用材料^{[1 - 2]}，有机玻璃具有物理性能再现性好，制备技术成熟、加工难度低、破坏前有明显形变和大量裂纹提供预警等优点^[3] ，在深海装备耐压结构方向有较好的应用经验。但有机玻璃也是一种典型的粘弹性材料，在应力不变的状态下，应变会随时间而增加。服役时，有机玻璃观察窗需要在海水温度中长时间承受外部水压，其蠕变现象不容忽视。对有机玻璃观察窗蠕变特性的研究在保障深海装备结构安全和工作效率方面有着重要意义。

由于深海环境温度低于室温，深海工况下的有机玻璃蠕变试验通常耗时较长。考虑到有机玻璃等聚合物的粘弹行为具有时温等效性，即升高温度与延长观察时间对有机玻璃蠕变是等效的，可以将某一温度下的蠕变试验数据进行时温转换后用于描述另一个温度下的蠕变行为^[4]，因此有必要开展针对深海压力的有机玻璃时温等效关系研究，以作为设计加速蠕变试验的参考依据。Williams等^[5]根据大量试验数据归纳出适用于很多非晶态线性聚合物时温转换因子的WLF方程，并得到了该方程经验常数的普适值。但该值的适用范围较小，其参考温度约为聚合物玻璃化温度以上50℃，与深海作业环境温度差距甚大。航空航天工业标准^[6]提出复合固体推进剂单向拉伸应力松弛模量主曲线测定时的时温转换因子的测定方法。金日光等^[7]基于材料表观活化能依次探讨了高分子材料时间、温度和应力两两之间的等效关系。罗文波等^[8]基于自由体积理论，推导得到了类似WLF方程形式的时间-温度-应力等效转换因子表达式。王初红等^[9]在此基础上提出了粘弹性材料长期蠕变行为的加速测试技术并通过试验得到了参考温度为22℃的有机玻璃单轴拉伸蠕变柔量曲线。赵培仲等^[10]基于WLF方程和自由体积理论推导得到了高分子材料动态力学性能的温度和频率等效关系，并验证了其在聚氨酯材料玻璃化温度附近的准确性。许进升等^[11]通过引入“零时间”因子对WLF模型进行了改进，提高了复合推进剂的变温松弛模量精度。现有研究通常包括等效转换和本构关系拟合2个阶段：首先通过人为操作进行曲线叠合，然后选用不考虑温度影响的本构方程进行拟合，原理简明、方法直接易操作，但在图像处理时受主观判断的影响，无法定量控制叠合精度。

本文推导了符合WLF时温等效方程的陈化理论蠕变本构方程，通过不同温度下的压缩蠕变试验得到了有机玻璃压缩蠕变本构方程的拟合系数，采用有限元蠕变分析探究了观察窗蠕变的时温等效关系，为设计有机玻璃耐压结构在深海水压下的加速蠕变试验提供参考。

1 符合WLF时温等效关系的陈化理论

前期研究表明，一定时间内，有机玻璃在室温高压状态下的压缩蠕变行为可由陈化理论蠕变本构方程描述：

${\varepsilon _c} = A{\sigma ^n}{t^m} 。$

(1)

式中：ε_c为蠕变应变；σ为应力；t为蠕变时间；A、n、m均为材料常数，由蠕变试验确定。

基于简化理论^[12]，可建立含温度独立函数的蠕变理论方程：

${\varepsilon _c} = {f_1}\left( \sigma \right){f_2}\left( t \right){f_3}\left( T \right) 。$

(2)

式中：f₁(σ)、f₂(σ)、f₃(σ)分别为应力、时间和温度的独立函数。

结合式(1)和式(2)可构造含温度独立函数的陈化理论方程：

${\varepsilon _c} = A{\sigma ^n}{t^m} \cdot h\left( T \right)。$

(3)

式中：h(T)为温度T的独立函数。

蠕变期间，若外加应力σ不变时，对应的蠕变柔量可用下式表达：

$D = A{\sigma ^{n{\text{ - }}1}}{t^m} \cdot h\left( T \right)。$

(4)

式中，D为蠕变柔量。

两边取对数：

$\lg D = \lg A + \left( {n{\text{ - }}1} \right)\lg \sigma + m\lg t + \lg h\left( T \right)。$

(5)

因此，外加应力一定时，蠕变柔量的对数可表示为时间对数与温度的函数：

$\lg D = G\left( {\lg t,T} \right)。$

(6)

已知有机玻璃具有时温等效性，即T温度的蠕变柔量曲线可沿横坐标向左平移lga_T的距离与参考温度T₀时的蠕变柔量曲线重合，结合式(6)可表示为：

$G\left( {\lg t,{T_0}} \right) = G\left( {\lg t + \lg {a_T},T} \right) 。$

(7)

式中：lga_T为移位因子；T₀为参考温度。

联立式(5)和式(7)可得基于陈化理论的时温等效关系：

$m\lg t + \lg h\left( {{T_0}} \right) = m\left( {\lg t + \lg {a_T}} \right) + \lg h\left( T \right)。$

(8)

整理可得：

$\lg {a_T} = \frac{{\lg \left[ {{{h\left( {{T_0}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{h\left( {{T_0}} \right)} {h\left( T \right)}}} \right. } {h\left( T \right)}}} \right]}}{m} ，$

(9)

已知WLF时温等效方程^[5]

$\lg {a_T} = \frac{{ - {C_1}\left( {T - {T_0}} \right)}}{{{C_2} + T - {T_0}}}，$

(10)

该方程可用自由体积理论^[5]表示为

$\lg {a_T} = \lg {\text{e}}\left( {1/f - 1/{f_0}} \right) ，$

(11)

其中，

$f = {f_0} + {\omega _T}\left( {T - {T_0}} \right)。$

(12)

式中：f为自由体积分数；f₀为材料在参考温度T₀时的自由体积分数；ω_T为自由体积分数的热膨胀分数。

将式(12)代入式(11)：

$\lg {a_T} = \lg {{e}} \cdot \left[ {\frac{1}{{{f_0} + {\omega _T}\left( {T - {T_0}} \right)}} - \frac{1}{{{f_0}}}} \right] ，$

(13)

联立式(9)和式(13)可得：

$\lg \left[ {{{h\left( {{T_0}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{h\left( {{T_0}} \right)} {h\left( T \right)}}} \right. } {h\left( T \right)}}} \right] = \lg {\text{e}} \cdot m\left[ {\frac{1}{{{f_0} + {\omega _T}\left( {T - {T_0}} \right)}} - \frac{1}{{{f_0}}}} \right] ，$

(14)

等号两边取10的指数后整理可得

${{h\left( {{T_0}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{h\left( {{T_0}} \right)} {h\left( T \right)}}} \right. } {h\left( T \right)}} = {{{{{e}}^{\frac{m}{{{f_0} + {\omega _T}\left( {T - {T_0}} \right)}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{\text{e}}^{\frac{m}{{{f_0} + {\omega _T}\left( {T - {T_0}} \right)}}}}} {{{\text{e}}^{\frac{m}{{{f_0}}}}}}}} \right. } {{{{e}}^{\frac{m}{{{f_0}}}}}}} ，$

(15)

显然可建立一个满足式(15)的函数：

$h\left( T \right) = {C_3}{{\text{e}}^{\frac{{ - m}}{{{f_0} + {\omega _T}\left( {T - {T_0}} \right)}}}} 。$

(16)

式中：C₃为常数。

将式(16)代入式(3)可得满足WLF公式的陈化理论方程：

${\varepsilon _c} = {C_3} \cdot A{\sigma ^n}{t^m} \cdot {{\text{e}}^{\frac{{ - m}}{{{f_0} + {\omega _T}\left( {T - {T_0}} \right)}}}}。$

(17)

将式(17)作为拟合方程时，系数C₃、A、n、m、f₀、ω_T均作为材料常数，整理可得：

${\varepsilon _c} = B{\sigma ^n}{t^m} \cdot {{\text{e}}^{\frac{{{{ - m} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - m} p}} \right. } p}}}{{{{T + q} \mathord{\left/ {\vphantom {{T + q} p}} \right. } p} - {T_0}}}}} 。$

(18)

式中：T为试验温度，T₀为参考温度，K；B、n、m、p、q均为材料常数，由蠕变试验得到。

2 蠕变试验 2.1 试验简介

为了探究有机玻璃在深海水压下蠕变行为的时温等效关系，有必要设计并开展有机玻璃试样的单轴压缩蠕变试验。通过机加工得到如图1所示的国产YB-3有机玻璃试样，在20 MPa外加应力下进行4℃、15℃、40℃的压缩蠕变试验。试验时，先将试样放置于蠕变试验平台上，待降温至设定温度后开始加载和保压试验，保压时间约为12 h。试验的加载和保压均由恒压自动跟踪泵完成，试验过程中每21 s通过数据采集系统记录一次压力和变形量数据。

2.2 测试原理

将试样放置于蠕变试验平台后调整压头至压头恰好接触到试样上表面，此时位移计的读数记作初始变形量l_e0，l_e0由压头调整导致，与试验无关。

加载过程中，将应力σ_i时的位移计读数记作l_ei。

有机玻璃在试验压力范围内的加载处于线弹性阶段，因此可利用下述公式对加载阶段的变形量-应力曲线进行线性拟合。

${l_e} = {k_1} \cdot \sigma + {l_{e0}}。$

(19)

式中：σ为外加应力，MPa；l_e为位移计读数，mm；k₁为常数，与有机玻璃的杨氏模型负相关。

根据式(19)可得到应力刚好达到20MPa时的弹性变形量：

$\Delta {l_e} = {k_1} \times 20。$

(20)

蠕变过程中，t_i时的位移计读数记作l_ci。有机玻璃在室温环境下的热膨胀系数低于7.74×>10⁻⁵ mm/(mm·℃)^[13]，因此本次试验过程中有机玻璃本身由于热胀冷缩产生的体积变化忽略不计，试样长度始终不变，记作l。

则保压时间t_i时的蠕变应变可表示为：

${\varepsilon _{ci}} = \frac{{{l_{ci}} - {l_{e0}} - \Delta {l_e}}}{l}。$

(21)

根据ε_ci和t_i即可绘制蠕变应变-时间曲线。

2.3 试验结果

据试验数据绘制不同温度下加载时的变形曲线（见图2）。可知，加载过程中，有机玻璃变形与外加应力呈现较好的线性关系；临近设定压力时，由于设备加压速率减慢，有机玻璃在弹性变形的同时开始出现蠕变现象，受测量精度的影响，试验数据出现了抖动。

采用式(19)对试验数据进行拟合，拟合结果如表1和表2所示，可以看到，温度越低，k₁值越小，即有机玻璃的杨氏模量越大，符合有机玻璃粘弹性材料的特征。

根据式(21)可绘制蠕变应变-时间曲线（见图3）。图像显示：有机玻璃在试验温度范围内始终存在明显的蠕变现象；温度对有机玻璃的蠕变速率有显著影响，温度越低，蠕变速率越小，且当参考温度为4℃时，温度的升高对其蠕变速率的影响更为明显。

3 符合WLF方程的有机玻璃蠕变本构关系

本文主要针对深海服役环境中的有机玻璃蠕变特性，于是选择了深海温度4℃(277.15 K)作为参考温度T₀取值。同时，由于本次试验仅做了单一应力水平下的试验，无法确定应力相关的蠕变参数，因此将式(18)简化为：

${\varepsilon _c} = C{t^m} \cdot {{\text{e}}^{\frac{{{{ - m} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - m} p}} \right. } p}}}{{{{T + q} \mathord{\left/ {\vphantom {{T + q} p}} \right. } p} - {T_0}}}}}。$

(22)

式中：C与外加应力有关，应力一定时，C为常数。

采用式(22)对试验数据进行拟合，拟合结果如表2和图4所示，相关系数0.9232，拟合效果良好，说明该公式能较好地描述20 MPa下4～40℃试验范围内的有机玻璃压缩蠕变行为。

20 MPa下有机玻璃观察窗的蠕变本构关系如下：

${\varepsilon _c}\left( {t,T} \right) = 0.00106{t^{0.33460}} \cdot {{\text{e}}^{\frac{{ - 4.14314}}{{T - 272.27382}}}} 。$

(23)

式中：ε_c为蠕变应变；t为蠕变时间，h；T为绝对温度，K。

将T=277.15 K与T=313.15 K分别代入式(23)可发现，20 MPa下有机玻璃在4℃时的蠕变-时间曲线相当于相同外加应力下40℃的蠕变-时间曲线沿时间轴拉伸9.36倍，同时有

$\lg {a_T} = - 0.97 。$

(24)

即将40℃下的蠕变柔量-时间曲线在双对数坐标系下向右平移0.97的距离，可与4℃下的蠕变柔量曲线叠合作出参考温度4℃时的蠕变柔量曲线，如图5所示。由40℃得到的4℃蠕变柔量等效曲线与原4℃蠕变柔量试验曲线的叠合效果较好，认为该段等效曲线可用于预测4℃下有机玻璃保压12～100 h之间的蠕变行为。

4 锥台形观察窗蠕变行为的时温等效关系

在单轴压缩蠕变时温等效研究的基础上，可在Ansys中建立观察窗结构模型，探究时间和温度对锥台形观察窗蠕变的影响。

设计锥台形观察窗模型如图6所示。锥台形观察窗为轴对称结构，可在Ansys中建立1/2轴对称二维模型（见图7）以减少计算量。采用plane182单元，网格尺寸1 mm，下表面边缘倒角位置进行细化处理，细化程度1；在观察窗上表面施加20 MPa均布压力载荷；在模型对称轴处施加对称位移约束，对窗座施加固定位移约束；采用TARGE169和CONTA172单元建立面-面接触对，将窗座设置为目标面，观察窗设为接触面，接触容差0.01，接触面摩擦系数为0.1，其余参数默认；窗座选用不锈钢，杨氏模量200 GPa，观察窗为有机玻璃，其材料属性及蠕变本构方程等输入如表3所示，其中杨氏模量由表1和式(19)估算得到。本算例为恒温状态，因此可将温度直接代入式(23)后采用Ansys内置的TBOPT=6本构方程形式，其中参数C₄作缺省处理，同时由于本次试验未讨论应力对蠕变行为的影响，不妨引用文献[14]中的应力指数C₂=1.84811；最后设置大变形静力分析求解。

根据计算结果分别提取观察窗低压面中心节点的轴向位移和径向蠕变应变值，可绘制观察窗在不同温度下蠕变时的轴向位移-时间曲线和径向蠕变应变-时间曲线，同时将40℃时的蠕变曲线沿时间轴拉伸9.36倍作出对应的4℃等效蠕变曲线（见图8和图9）。图像显示：1）根据40℃计算结果得到的4℃等效轴向位移曲线与4℃直接计算得到的轴向位移曲线在曲线图像相似度极高，但始终存在一定的差值；2）根据40℃计算结果得到的4℃等效径向蠕变应变曲线与4℃直接计算得到的径向蠕变应变曲线重合度较高，基本满足蠕变应变的预测要求。

选取4℃下8个时间步长的计算值，对等效曲线近似时间的计算结果进行线性插值或者线性外推，得到与4℃对应时间的预测值，如表4所示。可以看到：1）预测值与计算值存在一定偏差，蠕变20 h时的轴向位移差值和径向蠕变应变误差均为最大，这是由于保压前期蠕变较快且非线性较强，因此采用线性插值进行预测的准确度有限；2）蠕变时间超过20 h后，观察窗低压面中心轴向位移预测值与计算值之间的差值较为稳定，接近蠕变前弹性变形阶段轴向位移的差值，这是由于不同温度下有机玻璃的杨氏模量不同，观察窗的弹性响应也因此不同；3）径向蠕变应变预测值与计算值之间的误差均不大于5%，这可能是因为观察窗弹性变形不同导致内部应力分布也有所不同，各节点的蠕变行为也随之产生差异。总的来说，将40℃下的观察窗蠕变计算结果，通过时温等效关系建立4℃观察窗蠕变行为的预测曲线，其规律预测较为准确，且预测值与计算值差距较小，认为试样级的时温等效关系在结构中具有一定的适用性。

5 结　语

本文基于WLF方程和陈化理论推导了符合WLF时温等效关系的陈化理论蠕变本构方程，设计并开展20 MPa下不同温度环境的有机玻璃试样单轴压缩蠕变试验，通过最小二乘法拟合得到了20 MPa下有机玻璃的一维应力蠕变本构关系，并将该本构关系应用于观察窗结构的有限元蠕变分析中，验证了观察窗结构的时温等效关系。研究结果表明，该蠕变本构方程能较好地描述不同温度下的有机玻璃单轴压缩蠕变行为，且试样级的蠕变时温等效关系一定程度上也可适用于观察窗结构计算，该研究可为深海服役环境观察窗的加速蠕变试验的设计提供有效参考。但本次试样试验仅采用了一个应力水平，未能验证应力水平对有机玻璃蠕变行为的影响。