水下无人潜航器使用灵活、成本低、功能具备可定制性，近年来发展迅猛，尤其是在军事应用领域^[1-2]。水下无人潜航器结构特点明显，如空间小、设备多，结构重量控制严格，浮力贡献度要求高等。水下潜器耐压结构的容重比尽量低、承载能力尽量高的矛盾要求，使得该结构的设计与优化始终是一个难点问题。潜器潜深越大，安全性越高。潜深每增加100 m，水面舰艇探测到的潜器噪音下降10 dB，水面舰艇探测能力也同时下降16%，反潜武器打击能力下降约22%，世界上绝大多数反潜武器打击深度未超过500 m ^[3-5]。然而传统材料、传统结构形式的耐压结构设计潜力已不足，以600 MPa高强钢的环肋圆柱壳结构开展优化设计为例，300m潜深时结构容重比约为20%，1000 m潜深时结构容重比约为50%，可见有必要寻求增大潜深的新思路 ^[6-7]。

材料创新、结构创新是实现超大潜深的有效途径。材料方面，钛合金、铝合金、复合材料等，均具有屈强比高的特点，强度裕度足够；但材料弹性模量低，直接影响结构稳定性。如同等结构形式、不同材料的耐压结构，弹性模量E降低50%，弹性失稳载荷P_E也可能降低50%左右^[8]。对于稳定性的提升，球形、蛋壳形、椭球形等具有较大帮助^[9-11]，但球形、蛋壳形形式复杂，加工难度极大。为了综合提高潜器性能，各国相继开发了一些非常规结构形式的潜器，如美国 “金枪鱼”、“曼塔”、“回声”系列^[12-14]，大多为双曲薄壳，通过纵向弯曲提高其稳定性。椭球形薄壳也是一种介于球壳与圆柱壳之间的双曲旋转薄壳，承载能力优于球壳，内部空间利用率优于圆柱壳，且纵向微曲、环向旋转的特点，使得其加工难度降低。但目前我国关于椭球薄壳力学性能公开的研究成果不多。

采用Ansys建立有限元模型，选取shell 181单元，网格大小为20 mm×20 mm四边形单元。弹性模量E=2.1×10⁵ MPa；泊松比μ=0.3；密度ρ=7.85 g/cm³。模型施加均布压力P，边界条件为一端简支约束，另一端施加滑动简支以及集中力F。$ F = P \times {{{\text π} r_0^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text π} r_0^2} n}} \right. } n} $，$ r_0^2 $为模型端部平行圆半径；n为模型端部节点数。椭球壳方案一尺寸参数长半轴a/L=28.82；短半轴b/L=0.25；壳板厚度t/L=0.03；椭球壳方案二尺寸参数a/L=1.05；b/L=0.26；t/L=0.03；圆柱壳半径r/L=0.25；壳板厚度t/L=0.03。有限元模型示意见图1。

图 1 椭球薄壳结构示意图 Fig. 1 Structure of elliptical shell

依据结构破坏的第四强度理论，选取Mises应力为对比对象，图2为椭球、圆柱薄壳中面Mises应力分布对比图。可知，方案一、方案二椭球薄壳重量与圆柱壳相同，均为2.96 t。纵向微曲椭球形薄壳与圆柱形薄壳应力分布规律相似。方案一椭球短半轴与圆柱壳半径基本相同，此时椭球应力分布与圆柱形薄壳应力分布基本一致。方案二椭球短比圆柱壳半径大4%、壳板厚度略低，此时方案二最大Mises应力较圆柱壳降低约4.1%。这是因为圆柱壳环向产生均匀收缩变形，以薄膜应力为主；轴向产生弯曲变形，弯曲应力较大。椭球薄壳环向产生均匀收缩变形，以薄膜应力为主，可以充分利用材料环向抗弯能力；轴向剖面为外拱形，薄膜应力相对较大，提高了结构承载能力。且轴向拱度的存在提高结构的纵向抗弯刚度，对结构的稳定性有明显提升效果。

图 2 中面Mises应力分布对比图 Fig. 2 Comparison plot of the stress distribution of the Mises stress in the midplane

本节有限元模型材料参数、单元选择、边界条件等同第1节。为了更具对比性，分别开展等重量、等容积的圆柱形薄壳与椭球薄壳弹性失稳载荷的对比。等重量约束时，为了保证椭球薄壳内部有效空间，要求椭球薄壳r₀=r，即椭球薄壳边界处平行圆半径与圆柱壳半径相等，且椭球薄壳长度与圆柱壳长度相同，优化模型如式（1）；等容积约束时，则仅要求二者长度相同，优化模型如式（2）。

式中：$ {V}_{椭球}=2{\text π} {b}^{2}\left(\displaystyle\frac{L}{2}-\frac{{L}^{3}}{24{a}^{2}}\right)$；${W}_{椭球}=\displaystyle \frac{4{\text π} \rho b{t}_{椭球}}{a} \left(\displaystyle\frac{{a}^{2}}{2} \mathrm{arcsin}\left(\displaystyle\frac{L}{2a}\right)+\displaystyle\frac{L}{8}\sqrt{4{a}^{2}-{L}^{2}}\right)$；${W}_{圆柱}=2\rho {\text π} r{t}_{圆柱}L $。

等重量约束或等容积约束仅包含1个方程，无法确定椭球形薄壳的全部尺寸参数，仅能提供椭球形薄壳的尺寸范围。式（1）和式（2）为多目标优化模型，为了得到稳定性最优的椭球薄壳，基于NSGAⅡ遗传算法，采用ISIGHT调用Ansys，开展椭球薄壳弹性稳定性优化，具体技术路径见图3。

图 3 技术路线图 Fig. 3 Technology roadmap

表1为等重量、等容积要求下，圆柱壳与椭球薄壳弹性失稳载荷对比情况。表中左侧一列为模型长细比L/r₀，最上一行为厚径比t/r。当优化要求为等容积时，椭球薄壳的重量通常比圆柱壳重量低。

表 1(Tab. 1)

表 1 圆柱壳/椭球壳弹性失稳载荷对比 Tab. 1 Comparison of the elastic stability of cylinder and ellipsoid 项目 L/r0 t/r L/r0 t/r 0.03 0.015 0.01 0.0075 0.03 0.015 0.01 0.0075 圆柱壳PE/MPa 4 307.3 48.6 18.9 9.4 8 842.1 128.6 47.2 25.2 重量/t 2.96 11.84 26.63 47.35 1.48 5.92 13.32 23.67 等重量 椭球壳PE/MPa 322.2 50.8 19.8 9.7 879.3 133.2 48.9 26.1 提高百分比/% 4.62 4.33 4.55 3.09 4.42 3.58 3.60 3.57 等容积 椭球壳PE/MPa 589.1 138.6 57.9 28.7 882.6 206.3 60.2 41.8 重量/t 2.95 11.75 26.16 44.68 1.48 5.91 13.32 23.46 提高百分比/% 91.70 185.19 206.35 205.32 4.81 60.42 27.54 65.87 圆柱壳PE/MPa 6 458.5 94.8 37.5 16.9 10 1491.1 211.1 68.4 31.9 重量/t 1.97 7.89 17.76 31.57 1.18 4.73 10.65 18.94 等重量 椭球壳PE/MPa 485.3 100.5 38.3 17.2 1538.0 216.1 69.9 32.6 提高百分比/% 5.85 6.01 2.13 1.78 3.15 2.37 2.19 2.19 等容积 椭球壳PE/MPa 768.57 157.96 68.58 37.8 1538.6 216.1 90.68 53.3 重量/t 1.97 7.81 17.72 31.21 1.18 4.73 10.64 18.92 提高百分比/% 67.63 66.62 82.88 123.67 3.19 2.37 32.57 67.08

表 1 圆柱壳/椭球壳弹性失稳载荷对比 Tab.1 Comparison of the elastic stability of cylinder and ellipsoid

可以看出：1） 在保证同等重量、同等有效容积的前提下，椭球壳弹性稳定性优于圆柱壳。2） 随着舱段长度的增加，圆柱壳、椭球壳弹性稳定性均有所下降，但椭球壳相对于圆柱壳的稳定性优势始终存在。3） 随着舱段细长比由小变大，圆柱壳、椭球壳稳定性均有所增加，椭球壳相对于圆柱壳的稳定性优势始终存在。4）当二者重量相等、有效容积相同时，随着舱段长度的增加，椭球薄壳弹性稳定性的优势有所下降，在表1所列方案中，椭球形薄壳弹性稳定性较圆柱壳提升1.78%～6.01%。5）当二者容积相等时，随着舱段长度的增加，椭球薄壳弹性稳定性的优势逐渐增加。在表1所列方案中，椭球形薄壳弹性稳定性较圆柱壳提升2.37%～206.35%。

本文以水下无人潜航器耐压结构应用为背景，开展椭球薄壳与圆柱形薄壳承载特性对比研究。通过Ansys数值仿真，分别计算二型结构的应力及弹性稳定性。通过对比二型结构力学性能，得到以下结论：

1）当椭球薄壳为纵向微曲、与圆柱形薄壳形状接近，且重量相等时，二者应力分布规律基本相同；当提升椭球薄壳中部曲率后，椭球薄壳Mises应力分布峰值较圆柱形薄壳有所降低，但分布规律一致。

2）当要求椭球薄壳与圆柱形薄壳重量相等、内部有效空间相同时，椭球形薄壳稳定性优于圆柱形薄壳，弹性失稳载荷提升幅度在1.78%～6.01%。

3）当要求椭球薄壳与圆柱形薄壳容积相等时，椭球形薄壳稳定性优于圆柱形薄壳，且优化后的椭球薄壳重量相对较低、更加节省材料，椭球形薄壳弹性失稳载荷提升幅度在2.37%～206.35%。