0 引　言

随着国内船级社及国际组织对船舶噪声控制的要求越来越严格，国际海事组织自2014年7月1日起明确要求生产建造中的或将要服役的所有船舶必须满足《船上噪声等级规则》^[1]，防止噪声过大对船上船员和乘客的身心健康造成有害的影响，其次水面船舶噪声过大会造成隐声性差，从而容易被水下潜伏的航行器攻击^[2]。而船舶主要由不同类型的板架结构组成，因此板架结构的振动与声学特性对舱室噪声具有重要的影响。随着新型材料的不断涌现，各种类型的多层异质结构被用于船舶建造，而多层异质结构为目前广泛应用的一种。研究人员对各种不同类型的船用板架结构进行了振声特性研究^[3]，板架结构的质量、刚度、结构类型、结构参数和材料等都会影响声辐射和声传递特性 ^{[4 - 6]}。

功能梯度异质夹层板由面板和芯材组成，且面板和芯材的材质不同，主要分为3类：面板为功能梯度板，芯材为各向同性板；面板为各向同性板，芯材为功能梯度板；面板和芯材均为功能梯度板^[7]。本文主要研究上下面板为各向同性板，芯材为功能梯度板的船用多层异质功能梯度夹层板的声辐射与声传递特性。张焱冰等^[8]对水下目标声隐身功能梯度材料的研究进行了概括分析，指出与匀质材料相比，经过优化设计的功能梯度材料不仅可以满足水下目标的声隐身要求而且易于实现多场耦合需求，具有十分广阔的应用前景和重要的研究意义。徐步青等^[9]利用模态叠加法研究了水中有限长功能梯度材料圆柱壳和线分布载荷激励下功能梯度材料矩形板声辐射特性，并计算了不同阻尼、板厚、板宽和梯度指数下功能梯度板的辐射声压。姚熊亮等^[10]基于经典壳理论研究了热环境中功能梯度圆柱壳声辐射特性。Chandra等^[11]基于一阶剪切变形理论研究了功能梯度板的声辐射与声传递特性，研究发现，使用金属功能梯度板可以在高频下实现更高的声传递损失。Danesh等^[12]基于三阶剪切变形理论和哈密尔顿原理建立双层功能梯度板的控制方程，基于振声控制方程研究了双层功能梯度板间声腔深度、初始外电压、入射仰角和气体类型等对声传递的影响。Xu等^[13]基于简化的准三维高阶剪切变形理论研究了功能梯度多孔石墨烯增强纳米复合板的声辐射和声传递特性，分析了孔隙分布模式、孔隙系数、厚宽比、阻尼、温度和入射角等参数对功能梯度多孔石墨烯增强纳米复合板声学性能的影响。Chen等^[14]基于一阶剪切变形理论研究了四边简支功能梯度夹层板的自由振动和声传递特性，并分析了声波入射角、功能梯度指数、芯材厚度和泊松比对夹层板的振动和声传递特性的影响。Amirinezhad等^[15]提出了一种功能梯度粘弹性模型用于计算功能梯度聚合泡沫的声传递特性，控制方程基于一阶剪切变形理论推导，Zener数学模型被用来描述功能梯度聚合泡沫的粘弹性特性。Hu等^[16]基于一阶剪切变形理论提出了一种半解析模型分析热载荷下功能梯度板的声传递特性，研究了边界条件、材料分布、热环境和温度相关的材料性能对声传递特性影响。

综上所述，目前国内外关于功能梯度异质夹层板振声辐射研究较少，国内目前主要还处于研究单一功能梯度材料的振声特性，国外目前针对功能梯度异质夹层板进行了初步研究，但整体研究偏少且均基于比较基础的传统板理论模型。本文针对面板为各向同性板，芯材为功能梯度板的多层异质夹层板提出了精度更高的动力学分析控制方程，解决了传统等效单层板理论求解软芯多层异夹层板求解精度差的问题^[7]，本文利用提出的功能梯度异质夹层板动力学模型，基于新型多层异质夹层板的半解析声辐射模型分析空气介质中的功能梯度异质夹层板声辐射特性。

1 功能梯度异质夹层板的运动控制方程

功能梯度异质夹层板如图1所示，面板为硬质同性材质，芯材为功能梯度软芯材质，功能梯度夹层板振声控制方程主要基于板结构的三维平衡动态微分方程推导，首先基于局部坐标系建立每层板的局部模型，然后通过物理关系建立全局控制方程。

图1（a）为3个局部笛卡尔坐标系，图1（b）为全局笛卡尔坐标系，全局坐标系中z = 0平面与功能梯度异质夹层板的中面重合。

本文采用作者推导的功能梯度异质夹层板运动控制方程如下^[7]：

$ \begin{gathered}[b] {A_{11t}}\frac{{{\partial ^2}{u_{ot}}}}{{\partial {x^2}}} + {A_{12t}}\frac{{{\partial ^2}{v_{ot}}}}{{\partial x\partial y}} + \\ {A_{66t}}\left( {\frac{{{\partial ^2}{u_{ot}}}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}{v_{ot}}}}{{\partial x\partial y}}} \right) + \sigma _{xz}^c = {\rho _t}{h_t}{{\bar u}_{ot}}，\end{gathered} $

(1)

$ \begin{gathered}[b] {A_{11b}}\frac{{{\partial ^2}{u_{ob}}}}{{\partial {x^2}}} + {A_{12b}}\frac{{{\partial ^2}{v_{ob}}}}{{\partial x\partial y}} + \\ {A_{66b}}\left( {\frac{{{\partial ^2}{u_{ob}}}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}{v_{ob}}}}{{\partial x\partial y}}} \right) - \sigma _{xz}^c = {\rho _b}{h_b}{{\bar u}_{ob}}，\end{gathered} $

(2)

$ \begin{gathered}[b] {A_{12t}}\frac{{{\partial ^2}{u_{ot}}}}{{\partial x\partial y}} + {A_{22t}}\frac{{{\partial ^2}{v_{ot}}}}{{\partial {y^2}}} + \\ {A_{66t}}\left( {\frac{{{\partial ^2}{u_{ot}}}}{{\partial x\partial y}} + \frac{{{\partial ^2}{v_{ot}}}}{{\partial {x^2}}}} \right) + \sigma _{yz}^c = {\rho _t}{h_t}{{\bar v}_{ot}}，\end{gathered} $

(3)

$ \begin{gathered}[b] {A_{12b}}\frac{{{\partial ^2}{u_{ob}}}}{{\partial x\partial y}} + {A_{22b}}\frac{{{\partial ^2}{v_{ob}}}}{{\partial {y^2}}} + \\ {A_{66b}}\left( {\frac{{{\partial ^2}{u_{ob}}}}{{\partial x\partial y}} + \frac{{{\partial ^2}{v_{ob}}}}{{\partial {x^2}}}} \right) - \sigma _{yz}^c = {\rho _b}{h_b}{{\bar v}_{ob}}，\end{gathered} $

(4)

$ \begin{gathered}[b] - {D_{11t}}\frac{{{\partial ^4}{W_t}}}{{\partial {x^4}}} - 2{D_{12t}}\frac{{{\partial ^4}{W_t}}}{{\partial {x^2}\partial {y^2}}} - \\ {D_{22t}}\frac{{{\partial ^4}{W_t}}}{{\partial {y^4}}} + \left( {\frac{{{h_t}}}{2} + \frac{{{J_1}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}}} \right)\frac{{\partial \sigma _{xz}^c}}{{\partial x}} + \\ (\frac{{{h_t}}}{2} + \frac{{{J_1}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}}\frac{{\partial \sigma _{yz}^c}}{{\partial y}} + \frac{{({w_b} - {W_t})}}{{{J_0}({h_c})}} = \\ - q + \left( {{\rho _t}{h_t} - \frac{{{J_2}({h_c}){\rho _c}}}{{2{J_0}({h_c}){h_c}}} + \frac{{{J_1}({h_c}){\rho _c}}}{{{J_0}({h_c})}}} \right){{\bar W}_t} \\ + \frac{{{J_2}({h_c}){\rho _c}}}{{2{J_0}({h_c}){h_c}}}{{\bar W}_b} ，\end{gathered} $

(5)

$ \begin{gathered}[b] - {D_{11b}}\frac{{{\partial ^4}{W_b}}}{{\partial {x^4}}} - 2{D_{12b}}\frac{{{\partial ^4}{W_b}}}{{\partial {x^2}\partial {y^2}}} - \\ {D_{22b}}\frac{{{\partial ^4}{W_b}}}{{\partial {y^4}}} + \left( {\frac{{{h_b}}}{2} + {h_c} - \frac{{{J_1}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}}} \right)\frac{{\partial \sigma _{xz}^c}}{{\partial x}} + \\ \left( {\frac{{{h_b}}}{2} + {h_c} - \frac{{{J_1}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}}} \right)\frac{{\partial \sigma _{yz}^c}}{{\partial y}} - \frac{{({w_b} - {w_t})}}{{{J_0}({h_c})}} = \\ \left( {{\rho _b}{h_b} + \frac{{{\rho _c}{h_c}}}{2} - \frac{{{\rho _c}}}{{2{h_c}}}\frac{{{J_2}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}}} \right){{\bar w}_b} + \\ \left( {\frac{{{\rho _c}{h_c}}}{2} - {\rho _c}\frac{{{J_1}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}} + \frac{{{\rho _c}}}{{2{h_c}}}\frac{{{J_2}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}}} \right){{\bar w}_t} ，\end{gathered} $

(6)

$ \begin{gathered}[b] {u_{ob}} - {u_{ot}} + \left( {{h_c} + \frac{{{h_t}}}{2} - \frac{{{\xi _0}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}}} \right)\frac{{\partial {w_t}}}{{\partial x}} + \\ \left( {\frac{{{\xi _0}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}} + \frac{{{h_b}}}{2}} \right)\frac{{\partial {w_b}}}{{\partial x}} + \left( {\frac{{{J_1}({h_c}){\xi _0}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}} - {\xi _1}({h_c})} \right)\frac{{{\partial ^2}\sigma _{xz}^c}}{{\partial {x^2}}} + \\ (\frac{{{J_1}({h_c}){\xi _0}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}} - {\xi _1}({h_c}))\frac{{{\partial ^2}\sigma _{{{yz}}}^c}}{{\partial x\partial y}} - 2(1 + \mu ){\sigma _{{\text{xz}}}}{J_0}({h_c}) = \\ \left( {\frac{{{\rho _c}}}{{2{h_c}}}\frac{{{J_2}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}}{\xi _0}({h_c}) - \frac{{{\rho _c}}}{{2{h_c}}}{\xi _2}({h_c})} \right)\frac{{\partial {{\bar w}_b}}}{{\partial x}} + \\ (\frac{{{\rho _c}}}{{2{h_c}}}{\xi _2}({h_c}) - {\rho _c}{\xi _1}({h_c}) - \frac{{{\rho _c}}}{{2{h_c}}}\frac{{{J_2}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}}{\xi _0}({h_c}) + \\ {\rho _c}\frac{{{J_1}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}}{\xi _0}({h_c}))\frac{{\partial {{\bar w}_t}}}{{\partial x}} ，\end{gathered} $

(7)

$ \begin{gathered}[b] {v_{ob}} - {v_{ot}} + \left( {{h_c} + \frac{{{h_t}}}{2} - \frac{{{\xi _0}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}}} \right)\frac{{\partial {w_t}}}{{\partial y}} + \\ \left( {\frac{{{\xi _0}\left( {{h_c}} \right)}}{{{J_0}\left( {{h_c}} \right)}} + \frac{{{h_b}}}{2}} \right)\frac{{\partial {w_b}}}{{\partial y}} + \\ \left( {\frac{{{J_1}({h_c}){\xi _0}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}} - {\xi _1}({h_c})} \right)\frac{{{\partial ^2}\sigma _{\chi z}^c}}{{\partial x}} + \\ (\frac{{{J_1}({h_c}){\xi _0}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}} - {\xi _1}({h_c}))\frac{{{\partial ^2}\sigma _{{{yz}}}^c}}{{\partial {y^2}}} - 2(1 + \mu ){\sigma _{{{yz}}}}{J_0}({h_c}) = \\ \left( {\frac{{{\rho _c}}}{{2{h_c}}}\frac{{{J_2}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}}{\xi _0}({h_c}) - \frac{{{\rho _c}}}{{2{h_c}}}{\xi _2}({h_c})} \right)\frac{{\partial {{\bar w}_b}}}{{\partial y}} + \\ (\frac{{{\rho _c}}}{{2{h_c}}}{\xi _2}({h_c}) - {\rho _c}{\xi _1}({h_c}) - \frac{{{\rho _c}}}{{2{h_c}}}\frac{{{J_2}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}}{\xi _0}({h_c}) + \\ {\rho _c}\frac{{{J_1}({h_c})}}{{{J_0}({h_c})}}{\xi _0}({h_c}))\frac{{\partial {{\bar w}_t}}}{{\partial y}}。\end{gathered} $

(8)

式中：${A_{ij}}$、${B_{ij}}$和$ {{{D}}_{ij}} $(i, j=1, 2, 6)分别为拉伸、拉弯耦合和弯曲刚度；(u, v, w)是沿着(x, y, z)方向的位移；h为面板和功能梯度芯材的厚度；ρ为面板和功能梯度芯材的密度；E面板和功能梯度芯材的弹性模量；μ为泊松比；上标/下标t、c和b分别表示上面板、芯材和下面板；${\sigma _{xx}}$、${\sigma _{yy}}$和${\sigma _{zz}}$为3个方向的法向应力；${\sigma _{xy}}$、${\sigma _{xz}}$和${\sigma _{yz}}$是3个方向的剪切应力；${\mu_{{{ot}}}}$和${\mu_{{{ob}}}}$是x方向上面板和下面板中心轴的位移；${\nu _{{{ot}}}}$和${\nu _{{{ob}}}}$是y方向上面板和下面板中心轴的位移。

$\begin{aligned} &{J_0}(z) = \int 1 /{E_c}(z){\rm d}z，{J_1}(z) = \int z /{E_c}(z){\rm d}z，\\ &{J_2}(z) = \int {{z^2}} /{E_c}(z){\rm d}z，\end{aligned} $

$\begin{aligned} & {\xi _0}(z) = \int {{J_0}} \left( z \right){\rm d}z\text{，}{\xi _1}(z) = \int {{J_1}} (z){\rm d}z\text{，} \\ & {\xi _2}(z) = \int {{J_2}} \left( z \right){\rm d}z。\end{aligned}$

2 功能梯度异质夹层板声辐射理论模型

通过一个声场模型来预测自由声场声辐射，在本模型中流固耦合效应可忽略不计，声波方程描述为^[17]：

$ {\nabla ^2}p({\boldsymbol{r}}) + {k^2}p({\boldsymbol{r}}) = - j\omega {\rho _0}q({\boldsymbol{r}})。$

(9)

式中：$ {{p(r)}} $为位置$r$处的声压幅值；$k = \omega /{c_0}$为声波波数；${c_0}$为介质中的声速；${\rho _0}$为介质的密度；$ {{q(r)}} $为外部体积源。赫姆霍兹微分方程可写成积分的形式，拥有封闭边界S的振动面的法向速度$\dot w({{\boldsymbol{r}}_s})$和辐射压力场$p\left( r \right)$之间的关系表示为^[18]：

$ p({\boldsymbol{r}}) = \frac{1}{{\alpha ( {\boldsymbol{r}} )}}\oint_S ( p( {{\boldsymbol{r}}_S} )\frac{{\partial G( {\boldsymbol{r}},{{\boldsymbol{r}}_S} )}}{{\partial n}} + j\omega {\rho _0}\nu ( {{\boldsymbol{r}}_S} )G( {\boldsymbol{r}},{{\boldsymbol{r}}_S} )){\rm d}s 。$

(10)

式中：$G({\boldsymbol{r}},{{\boldsymbol{r}}_S})$是格林函数，$ {r_s} $为板边界S上的点，$r$为一个场点。自由空间角$\alpha (r)$取决于压强取值的位置，如果该点位于封闭边界外，则等于1；如果该点位于边界S的光滑部分，则等于1/2。当振动面受自由场条件作用时，格林函数是狄拉克脉冲激励下的赫姆霍兹微分方程的解。

$ G\left( {{\boldsymbol{r}},{{\boldsymbol{r}}_S}} \right) = \frac{{{e^{ - jk|{\boldsymbol{r}} - {{\boldsymbol{r}}_S}|}}}}{{\left| {{\boldsymbol{r}} - {{\boldsymbol{r}}_S}} \right|}}。$

(11)

式中，$ {|{\boldsymbol{r}} - {{\boldsymbol{r}}_S}|} $是声场中某一点到板表面某一点的距离。如果通过模态分析确定板表面的法向速度分布$\nu ({{\boldsymbol{r}}_s})$，则相应的压力分布可通过式（3）进行求解。

对于一个放置多层异质板在无限障板内，赫姆霍兹积分方程（3）可化为瑞利积分：

$ p({\boldsymbol{r}}) = \frac{{j\omega {\rho _0}}}{{2{\text π} }}{\int}_{S}v\left( {{{\boldsymbol{r}}_s}} \right)\frac{{{e^{ - jk|{\boldsymbol{r}} - {{\boldsymbol{r}}_s}|}}}}{{|{\boldsymbol{r}} - {{\boldsymbol{r}}_s}|}}{\rm d}S 。$

(12)

瑞利积分法几何及物理参数描述如图2所示，对于给定体积产生的声功率可表示为法向声强的面积分。

$ {\bar W_r} = \frac{1}{2}{\smallint _S}Re\left( {{v^*}({{\boldsymbol{r}}_s})} \right)p({\boldsymbol{r}}){\rm d}S。$

(13)

式中，${\nu ^*}({{\boldsymbol{r}}_s})$为多层异质板表面声速的复数共轭。

瑞利积分可通过离散的数值积分进行求解，多层异质板可以被划分为N个相等尺寸的矩形单元，如图3所示，每个矩形声辐射单元小于声波波长，假设每个声辐射单元的法向速度相等。

对于离散化的多层异质板，式（3）可表示为：

$ {{\boldsymbol{p}}_f} = {{\boldsymbol{Z}}_f}\nu ({{\boldsymbol{r}}_s})。$

(14)

式中：${{\boldsymbol{p}}_f}$为一系列声场点的声压力；$\nu ({{\boldsymbol{r}}_s})$为单元表面法向速度向量。$\nu ({r_s}) = i\omega {w_b}$通过$ {{\text{W}}_{{b_{mn}}}} $得到，$ {{\text{W}}_{{b_{mn}}}} $通过求解控制方程（1）得到，将得到的表面法向速度进行离散从而求解离散单元场点的声压力。${Z_f}$是与频率相关的阻抗矩阵，每个单元的阻抗矩阵可通过下式进行求解^[19]：

$ {\left( {{Z_f}} \right)_{ij}} = \frac{{j\omega {\rho _0}{S_e}}}{{2{\text π} }}\frac{{{e^{ - jk{r_{ij}}}}}}{{{r_{ij}}}} 。$

(15)

式中：$ {{{S}}_e} $为每一个声辐射单元的面积，${r_{ij}}$为声场点$i$和多层异质板表面点$j$之间的距离，${r_{ij}} = \mid {{\boldsymbol{r}}_i} - {{\boldsymbol{r}}_j}\mid $；${r_j}$表示声辐射单元的中心。上述方程中，有以下假设^[11]：

1）对比于辐射源，辐射声单元和声场点之间的距离必须够大；

2）定义相位${{\boldsymbol{r}}_i} - {{\boldsymbol{r}}_j}$的表达式仅用线性项表示。

对于同样的离散化，式(6)中声功率的表达式可简化为：

$ {\bar W_r} = \dot w_n^H\left( r \right){\boldsymbol{R}}{\dot w_n}\left( r \right)。$

(16)

式中：$R = {S_e}{R_e}({\boldsymbol{Z}})/2$是辐射阻抗矩阵。因此最终多层异质板的辐射声功率可表示为：

$ \begin{aligned}[b] {\bar W_r} =& \frac{{{\rho _0}{\omega ^2}S_e^2}}{{4{\text π} {c_0}}}\dot w_n^H\left( r \right)\\ &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\displaystyle\frac{{{\rm{sin}}\left( {k{r_{12}}} \right)}}{{k{r_{12}}}}}& \cdots &{\displaystyle\frac{{{\rm{sin}}\left( {k{r_{1n}}} \right)}}{{k{r_{1n}}}}} \\ {\displaystyle\frac{{{\rm{sin}}\left( {k{r_{21}}} \right)}}{{k{r_{21}}}}}&1& \cdots &{\displaystyle\frac{{{\rm{sin}}\left( {k{r_{2n}}} \right)}}{{k{r_{2n}}}}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\displaystyle\frac{{{\rm{sin}}\left( {k{r_{n1}}} \right)}}{{k{r_{n1}}}}}&{\displaystyle\frac{{{\rm{sin}} \left( {k{r_{n2}}} \right)}}{{k{r_{n2}}}}}& \cdots &1 \end{array}} \right] {\dot w_n}\left( r \right)。\end{aligned}$

(17)

式中：$\dot w_n^H(r)$为${\dot w_n}(r)$的共轭转置。

式（10）可以写成声功率级的形式：

$ SPL = 10{\text{log}}\left( {\frac{{{{\bar W}_r}}}{{{{\bar W}_{ref}}}}} \right)。$

(18)

式中，空气中参考声功率为${W_{ref}} = 1 \times {10^{ - 12}}$ W。本文的控制方程主要用于求解外载荷下板的运动位移，通过位移求导并离散得到离散单元的振动速度，通过求解离散单元的声功率获得功能梯度异质夹层板的整体声辐射功率，从而通过式（18）求得声功率级。

3 功能梯度异质夹层板声辐射理论模型收敛性与准确性分析

本文中通过文献[7]中的简支各向同性夹层板进行验证，板的尺寸为2 m×2 m×0.054 m （上下面板厚度为0.002 m，芯材厚度为0.05 m），板置于空气中，空气密度ρ₀=1.21 kg/m³，空气中的声速c₀=343 m/s，在板的中间施加1 N的点载荷，由于本文中通过离散的数值积分进行求解，因此首先验证网格对辐射声功率收敛性的影响，通过对板划分2×2、5×5、10×10、20×20及40×40的网格进行收敛性验证，计算的板辐射声功率与振动辐射单元数量的收敛性曲线如图4所示。可知，板划分成100个振动辐射单元计算的辐射声功率结果已基本收敛，400个振动辐射单元计算辐射声功率精度已经足够高，1600个振动辐射单元计算辐射声功率结果与400个振动辐射单元计算完全一致，因此划分为400个振动辐射单元计算夹层板的辐射声功率精度是足够的。对比分析4和25个振动辐射单元计算的声辐射功率，结果有一定的偏差，4个振动辐射单元出现了幅值偏小的情况，而25个振动辐射单元出现了夹层板特征频率丢失的情况。进一步观察整个频率范围内的辐射声功率可发现，在低频段即使振动辐射单元尺寸较大其精度也较高，而随着频率的增加，振动辐射单元划分越多计算结果越精确。

为了进一步验证计算结果的准确性，本文计算的辐射声功率结果与Malekzadeh等^[20]提出的高阶理论（IHSAPT）、Reddy^[21]提出的三阶剪切变形理论（TSDT）及Shenoi等^[22]提出的夹层板理论进行比较（SPST），对比结果如图5所示。可知，本文提出的理论与IHSAPT和SPST理论计算结果十分吻合，在高频段有稍许的差别，但与TSDT理论计算结果相比，在低频段基本一致，但随着频率的不断增加，TSDT理论误差越来越大，主要原因是TSDT理论将夹层板等效为单层板，未考虑芯材的变形，因此导致误差较大，而本文提出的理论、IHSAPT和SPST均考虑了芯材的压缩变形，因此计算精度较高。通过4种理论计算结果的对比，进一步验证了本文提出的理论计算结果精度较高。

4 功能梯度异质夹层板声辐射参数分析

为了控制功能梯度异质夹层板的声辐射特性则必须充分理解各参数对振动与声辐射的影响，将对功能梯度异质夹层板的参数和载荷形式进行分析。

本文中面板为各向同性板，芯材为功能梯度板，具体参数如表1所示。

4.1 面板与功能梯度芯材厚度对辐射声功率的影响分析

不同面板厚度和芯材厚度在点激励载荷下功能梯度夹层板声辐射如图6所示（进行参数研究时仅改变分析参数，其他参数不变），图6（a）为芯材厚度对辐射声功率的影响，图6（b）为面板厚度对辐射声功率的影响分析。分析可知，在非共振频率处，辐射声功率随着面板和芯材厚度的减小而增加，因为板厚增加则板质量增加，在相同激励载荷下板质量越小运动幅度越大，则辐射声功率越大。

根据辐射声功率峰值频率可发现功能梯度异质夹层板的固有频率随着面板和芯材厚度的增加而增加，由于面板的密度比芯材大，因此改变面板的厚度对辐射声功率的影响比改变芯材的大，从整体分析可知改变面板和芯材的厚度对减少辐射声功率有一定的效果，但效果并不明显。

4.2 面板与芯材密度对辐射声功率的影响分析

为了研究面板和芯材密度对功能梯度异质夹层板声辐射功率的影响，不同面板和芯材密度夹层板声辐射功率如图7所示。可知，功能梯度异质夹层板的固有频率随着面板和芯材密度的增加而减小，可得出功能梯度异质夹层板在刚度不变的情况下质量越大固有频率越小，在非共振峰阶段改变面板和芯材密度对功能梯度异质夹层板声辐射功率影响较小，因此通过改变面板和芯材的密度减少功能梯度异质夹层板的辐射声功率无法实现，但可通过密度和质量控制调整共振频率出现的频率值。

同时对比图7 （a）和图7 （b）可知，芯材密度变化对辐射声功率的影响较面板大，主要原因是芯材体积是面板的12.5倍，因此芯材的质量变化较面板大，导致声辐射功率影响较大。同时从图中也能发现，在较低频率范围内辐射声功率较小，随着频率增加，非共振阶段声辐射功率基本一致。

4.3 功能梯度指数及面板弹性模量对辐射声功率的影响分析

芯材功能梯度指数及面板弹性模量对功能梯度异质夹层板声辐射声功率影响如图8所示。可知，功能梯度夹层板的固有频率随着芯材功能梯度指数的增加而减小，随面板弹性模量的增大而减小，因此可知，在质量一定的情况下功能梯度异质夹层板的固有振动频率随刚度的增大而减小。

分析图8（a）可知，功能梯度指数p较小时，较小的变化可带来较大的声辐射功率变化，但随着功能梯度指数的p不断增加，声辐射功率变化逐渐减小，当p增加到一定数值后，辐射声功率基本不变。从图中可看出在第一共振频率之前，功能梯度异质夹层板的声辐射功率随着频率的变化是单调递增的，在第一共振频率到第二共振频率段，声辐射功率先减小，保持一段频率范围不变，然后开始增加直到产生另一个共振峰。

5 结　语

本文船用功能梯度异质夹层板为研究对象，提出了船用功能梯度异质夹层板控制方程和声辐射求解模型，在此基础上对其声辐射进行了影响分析，得到如下结论：

1）提出一种用于求解软芯功能梯度异质夹层板在外载荷下的声辐射特性的半解析法，通过数值分析发现方法求解收敛性好且精度高。

2）数值分析发现本文求解软芯功能梯度异质夹层板精度高，传统的等效单层板理论（经典板理论、一阶和三阶剪切变形理论等）求解软芯异质多层结构精度不够。

3）通过对船用功能梯度异质夹层板进行参数研究发现，面板和芯材厚度、密度、弹性模量以及芯材功能梯度指数对声辐射功率有较大的影响，其中芯材功能梯度指数对声辐射影响呈现梯度变化。