0 引　言

波纹管是一种薄壁金属制成的有横向波纹的管壳零件，能依靠波纹的弹性变形产生位移补偿。波纹管可以补偿管件相对位移引起的轴向变形和横向变形，也可以补偿冷热收缩膨胀等热变形^[1]。由于波纹管具有较低的刚度，使其在隔振降噪方面具有突出的优势。因此，在舰船设计中，波纹管被广泛运用于管路系统安装、动力装置连接隔振，可有效提高舰船上管路和动力系统的隔振性和安装维护的便利性^[2]。

波纹管结构的应力和应变仿真分析对波纹管的设计极为重要。波纹管的设计需要考核波纹管在内压作用下的稳定性，最常见的失稳模式是柱失稳和平面失稳^[3]。波纹管柱失稳是波纹管整体侧向偏移，类似于受压杆件的屈曲，当波纹管长径比较大时常出现这种失稳现象。Haringx等^[4]通过实验发现圆柱壳受内压发生柱失稳的临界压力与承受轴向作用压力时的临界压力相同，这一现象启发了相关理论研究工作，为波纹管柱失稳的计算提供了理论依据。平面失稳是指波纹管一个或多个波纹横截面发生偏移，造成这种失稳的原因主要是波纹管子午线方向应力较大，在波峰、波谷等处形成了塑性铰。为了准确评估波纹管的稳定性，需要准确计算波纹管结构的应力分布。

波纹管应力计算经历了等效梁模型近似计算、等效壳模型近似计算、弹性数值分析和非线性数值分析等阶段^[5]。Clark^[6]基于梁理论，提出了波纹管轴向载荷的渐进积分法，对波纹管轴向载荷下的应力进行计算。Clark的工作被推广到U型波纹管上，并给出了修正系数表格，提高计算精度，这些工作为美国膨胀节制造商协会EJMA标准中波纹管应力计算提供了依据。钱伟长等^[7]根据轴对称壳方程，对U型波纹管环板部分采用大挠度非线性方程，对环壳部分仍采用线性方程，给出了U型波纹管的线性精确解析解。基于梁模型和壳模型的解析方法是波纹管应力和刚度计算的基础，为波纹管的计算提供了重要的计算公式。

波纹管解析法求解过程相对复杂，对复杂工况的适应能力差，而计算力学的发展为波纹管应力计算提供了新的强大工具。线性和非线性有限元方法被广泛运用于波纹管的应力分析。Takatsu等^[8]利用有限元方法对U型波纹管进行了应力分析，与实验结果吻合较好。赵永亮^[9]对运载器多层波纹管的强度和疲劳寿命分析，考虑了材料的弹塑性、屈服硬化、边界非线性等非线性因素。郭煜敬等^[10]利用非线性有限元方法对液压成型波纹管的厚度减薄率进行了数值模拟研究，比较了不同的波纹成型路径对减薄率的影响。张文亮等^[11]利用有限元对金属波纹管的疲劳寿命进行了分析和优化设计。

有限元等仿真方法已成为波纹管设计和寿命评估的重要手段。由于波纹管结构和受力状态的复杂性，对波纹管结构采用三维有限元详细建模分析时往往需要消耗大量的计算资源和时间。为了提高波纹管补偿装置分析计算的效率，本文以单层波纹管为研究对象，研究波纹管的等效仿真分析方法。本文分别考虑波纹管详细模型、单波模型和对称简化模型，对等效模型的有效性进行评估。

1 波纹管模型

波纹管按照其子午线横截面的特征，可分为U型、半圆型、Ω型和S型等。S型波纹管的优势在于适应高压工作环境，由此本文以S型波纹管为研究对象，通过有限元仿真，研究S型波纹管的力学响应。在载荷类型上，根据波纹管的工作场景，本文选择了对应弯曲工况的转角位移载荷和对应内压作用的内压载荷等。材料本构方面，大部分波纹管都是处于弹性工作状态，但为了计算方法的普遍性，本文采用弹塑性本构模型进行计算。

选定波纹管模型为包含4个波段的S型波纹管，如图1所示。波纹管在波峰的半径为16 mm，波纹管内径为505 mm，波纹管厚度为0.4 mm，波纹管在波谷处的半径为8 mm，波距为40 mm。波纹管材料为奥氏体不锈钢，弹性模量为$ E=197\ \mathrm{GPa} $，泊松比为$\nu = 0.3$，屈服应力为240 MPa，强度极限为870 MPa，采用线性强化准则。

波纹管子午线截面环绕其轴线进行旋转，即得到图2（a）所示的波纹管完整模型。为了提高仿真分析效率，建立图2（b） 所示的单波简化模型和图2（c） 所示的对称简化模型。可以看出，波纹管结构是一个典型的薄壁结构，因此可以使用壳单元进行模型简化。本文采用有限元商业仿真软件 Abaqus，壳单元模型采用一阶缩减积分单元 S4R，整体网格尺寸为 6 mm，子午线方向网格尺寸为 0.5 mm。波纹管各模型的有限元网格和单元数目如表1 所示。

针对上述3种模型，施加以下2种载荷，研究波纹管的力学性能。第1种为内压载荷，在波纹管内部加载0.2 MPa的均布压力；第2种为弯曲载荷，施加4°转角位移。施加弯曲载荷时，需要根据波纹管的对称性，将波峰的自由度与参考点进行耦合，对耦合点施加绕Z轴的0.5°的转角位移，这样的加载方式等价于在整个波纹的波纹管上施加一个4°的转角。

2 波纹管内压载荷分析

以单层波纹管为研究对象，计算单层波纹管在内压荷载下的应力分布，研究单波简化模型和对称简化模型的分析精度。内压载荷设置相对简单，在波纹管内表面施加0.2 MPa压力。

2.1 整体模型

对波纹管整体模型进行仿真分析时，利用对称边界条件约束波纹管两端。从仿真结果来看，波纹管受内压荷载时，波峰位置处应力较小，应力最大的位置位于波纹管的波峰和波谷连接处，如图3所示。固定约束边界条件下，最大应力为242 MPa。文献[5]中给出相同的受内压载荷下S型波纹管的最大应力为241.6 MPa，与该解相比较，误差在0.2%，因此可证明整体模型计算的有效性。

2.2 单波简化模型

单波模型边界条件如图4所示。从仿真结果来看，单波模型下，最大Mises应力为240.9 MPa，与整体模型下最大Mises应力242 MPa比较，相对误差为−0.45%。

2.3 对称简化模型

对称简化模型受内压载荷时，在波峰、波谷、以及子午线截面均施加对称边界条件（见图5）。受内压荷载时，S型波纹管的应力分布如图6所示。S型波纹管受内压荷载时，波峰位置处应力较小，波峰波谷连接位置是波纹管承受内压时应力最大的位置。在对称简化模型下，最大应力为241 MPa，与整体模型下最大Mises应力242 MPa比较，相对误差为−0.41%。

2.4 小　结

内压载荷下，采用单波简化模型和对称简化模型计算时，波纹管上应力分布趋势与整体模型一致；考察波纹管上最大Mises应力，单波简化模型和对称简化模型与整体模型相比较的计算误差绝对值均小于1%。在内压载荷下，可使用单波简化模型和对称简化模型，在保证仿真解精度的前提下，可有效降低仿真模型的规模，提高计算速度。

3 波纹管弯曲载荷分析

弯曲载荷的施加是通过参考点进行施加的，一般将中心点作为参考点RP-1，再将参考点与单个波的波峰自由度进行耦合，通过对参考点施加绕Z轴0.5°的转角位移。由于整个模型由4个波组成，因此相当于对波纹管施加了4°的转动角度，实现施加弯曲载荷的目的。

3.1 整体模型

为了施加转角载荷，创建耦合约束，将参考点与4个波峰自由度进行耦合，如图7（a）所示。对两边波谷施加对称边界条件，同时对参考点施加绕Z轴的0.5°转角位移。

从仿真结果可知，弯曲载荷作用下波纹管在轴向中心附近的应力最小，在靠近边界的波段上应力较大（见图8）。波纹管承受弯曲载荷时，弯曲中心位于中心轴平面，波纹管上下两端距离弯曲中心最远，因而产生大的应力。应力最大的点位于靠近两端的波段上的波谷位置，最大应力为240.6 MPa。

3.2 单波简化模型

为了在单波模型施加弯曲载荷，首先创建耦合约束，将参考点与波峰自由度进行耦合。

然后在载荷模块，对两边波谷施加对称边界条件，同时对参考点施加绕Z轴的0.5°转角位移（见图9）。从仿真结果中可以看出，弯曲荷载作用下的波纹管应力分布情况与整体模型受弯曲载荷时的计算结果基本一致。如图10（b）所示，在靠近波纹管中心附近的管段上应力最小；离波纹管中心越远应力越大，最大应力为240.6 MPa，与整体模型计算结果一致。

3.3 对称简化模型

对称简化模型的边界条件施加方式和单波模型类似，创建耦合约束，将参考点与单波的波峰自由度进行耦合。对波谷、波峰、子午线截面施加对称边界条件，同时对参考点施加绕Z轴的0.5°转角位移（见图11）。

波纹管受弯曲荷载时，沿子午线方向由波峰到波谷，提取应力，S型波纹管受内压荷载作用下的应力分布如图12所示。对称简化模型下，波纹管内部应力分布情况与整体模型基本一致，在弯曲载荷的作用下，最大应力出现在波谷位置，为240.5 MPa，与整体模型相比，误差为−0.04%。

3.4 小　结

在弯曲载荷下，采用单波简化模型和对称简化模型计算时，与整体模型相比较的计算误差绝对值均小于1%，可使用单波简化模型和对称简化模型，有效降低仿真模型的规模，提高计算速度。

4 结　语

本文针对S型波纹管补偿装置的应力仿真分析进行研究，通过有限元仿真方法研究了内压载荷和弯曲载荷下波纹管的单波简化模型和对称简化模型，与整体模型进行对比，得到以下结论：

1） 单波简化模型和对称简化模型可有效反映波纹管的整体受力特征，利用简化模型的仿真结果与整体模型计算结果一致；

2） 对于弯曲载荷，可利用耦合约束方法将单个波段与参考点耦合，采用参考点上施加转角位移的方式模拟弯曲载荷；

3） 使用对称简化模型，可利用仅占整体模型6.6%的自由度，在内压和弯曲载荷下，获得与整体模型相比最大应力误差不超过1%的仿真结果。