0 引　言

在船舶与海洋工程结构典型节点的疲劳强度评估时常采用S-N曲线法，国内外军民船规范如ABS^[1]、DNV-GL^[2]、IIW^[3]、CCS^[4]给出了典型节点的S-N曲线，但对于特殊的节点仍需要开展疲劳模型试验以获取相应的S-N曲线。目前，国内低周疲劳试验方法参考主要有ASTM E466 ^[5]、GB/T 15248^[6]、GB/T 26077^[7]、GB/T 24176^[8]、ISO 12107^[9]和HB 5287^[10]等标准。但标准中对于疲劳试样个数的选取存在较大的差异，如GB/T 24176^[8]、ISO 12107^[9]中规定在给定应力S下进行疲劳试验时，要求的试样数依赖于试验目的和材料的可靠型，推荐对于解释性试验至少7个试样，对于可靠性设计至少28个试样。HB 5287 ^[10]中提供了具有某置信度（如95%）和在一定误差条件下的中值S−N曲线时，必须保证每组最少试样个数。文献[11]中关于疲劳试验标准中规定：进行3个应力水平下的成组试验，每个应力水平下成组试验至少需要获得5个有效试验数据点数。为保证统计结果的准确性，需对样本量设置最低限，从疲劳可靠性考虑对于循环次数N较少的高应力水平，试验结果离散性较小，试件个数可适当减少；随着应力水平的降低试验结果的分散性增加，试件个数应有所增加，显然对各应力水平不宜使用相同的试件个数。本文以疲劳可靠性^[12-13]为基础，结合船舶与海洋工程中P-S-N曲线的基本规定，推算出了一定误差范围内（误差小于5%）具有95%置信度、97.72%存活率（可靠度）下的疲劳试件个数与允许的最大变异系数数值对应关系，便可得到以试验结果的分散程度来确定最少的试件个数的判据，保证试验结果的“可比性”与“再现性”的同时，可以节省大量试件。

傅惠民等^[14]在疲劳寿命服从对数正态分布的前提下，采用异方差回归分析技术对疲劳试验数据实现整体分析。吕箴等^[15]采用加权最小二乘法，融合历史数据和小样本试验数据，获得大样本进行统计分析。此外，也有很多学者借助先验信息的Bayes统计评估方法和人工神经网络研究疲劳寿命的分散性^[16-17]，由于数学计算繁琐或精度及稳定性等原因，目前还没有能广泛应用于工程的小样本方法。本文基于疲劳寿命对数正态分布假设下，采用最小二乘法拟合具有一定置信度的P-S-N曲线。

1 基于疲劳可靠性的疲劳试件个数确定方法 1.1 疲劳寿命对数正态分布假设下的疲劳试件个数选取

已有的结构钢、铝合金以及铜等材料的轴向加载和旋转弯曲疲劳试验结果表明，对于中、短寿命区（循环次数小于10⁶），其对数疲劳寿命基本服从正态分布，并在此假设下分析估计母体百分位值的最少试件个数判。

正态母体“百分位”$ {x_p} $的定义如下：

$ P(X > {x_p}) = \int_{{x_p}}^\infty {f(x){\text d}x = p} 。$

(1)

对于任一可靠度p下的百分位值估计值为：

$ \mathop {{x_p}}\limits^ \wedge = \mathop \mu \limits^ \wedge + {\mu _p}\mathop \sigma \limits^ \wedge = \mathop \mu \limits^ \wedge + {\mu _p}\mathop k\limits^ \wedge S 。$

(2)

由子样确定的百分位值$ \overline {{x_p}} + {\mu _p}\mathop \sigma \limits^ \wedge $，可能大于真值$ \mu + {\mu _p}\sigma $，也可能小于真值，它是以一定的概率发生在它的左右区间内。假设随机变量$ \zeta = \overline X + {\mu _p}\mathop k\limits^ \wedge {s_X} $，其中，$ \overline X $为随机变量的子样均值和子样标准差。在实际应用中，可近似假设$ \zeta $服从正态分布，则可按式（3）和式（4）计算$ \zeta $的数学期望E($ \zeta $)和方差Var($ \zeta $)。

$ E\left( \zeta \right) = E\left( {\bar X + {\mu _p}\mathop {{\mathrm{ }}k}\limits^ \wedge {s_X}} \right) = \mu + {\mu _p}\sigma ，$

(3)

$ \begin{split} Var\left( \zeta \right) =& Var\left( {\overline X + {\mu _p}\mathop k\limits^ \wedge {s_X}} \right) = Var\left( {\overline X } \right) +\\ &{\left( {{\mu _p}\mathop k\limits^ \wedge } \right)^2}Var({s_X}) {\text{ = }}{\sigma ^2}\left[ {\frac{1}{n} + {\mu _p}^2\left( {{{\mathop k\limits^ \wedge }^2} - 1} \right)} \right] 。\end{split} $

(4)

并将$ \zeta $转换成标准正态变量$ U = \dfrac{{\zeta - E\left( \zeta \right)}}{{\sqrt {Var\left( \zeta \right)} }} $，则：

$ {t_x} = \frac{U}{{\sqrt {{\chi ^2}/(n - 1)} }}{\text{ = }}\frac{{\left( {\overline X + {\mu _p}\mathop k\limits^ \wedge {s_X}} \right) - \left( {\mu + {\mu _p}\sigma } \right)}}{{{s_X}{{\left[ {\dfrac{1}{n} + {\mu _p}^2\left( {{{\mathop k\limits^ \wedge }^2} - 1} \right)} \right]}^{\frac{1}{2}}}}}{\text{。}} $

(5)

当给定置信度γ和自由度（n−1）时，可由t分布查得t_γ，则t将以置信度γ位于[−t_γ,t_γ]区间内：

$ -t_{\gamma }<t<t_{\gamma} ，$

(6)

即：

$ - {t_\gamma } < \frac{{\left( {\overline x + {\mu _p}\mathop \sigma \limits^ \wedge } \right) - \left( {\mu + {\mu _p}\sigma } \right)}}{{s{{\left[ {\dfrac{1}{n} + {\mu _p}^2\left( {{{\mathop k\limits^ \wedge }^2} - 1} \right)} \right]}^{\frac{1}{2}}}}} < {t_\gamma } ，$

(7)

$ \begin{split}- \frac{{{t_\gamma }s{{\left[ {\dfrac{1}{n} + {\mu _p}^2\left( {{{\mathop k\limits^ \wedge }^2} - 1} \right)} \right]}^{\frac{1}{2}}}}}{{\overline x + {\mu _p}\mathop \sigma \limits^ \wedge }} &< \frac{{\left( {\overline x + {\mu _p}\mathop \sigma \limits^ \wedge } \right) - \left( {\mu + {\mu _p}\sigma } \right)}}{{\overline x + {\mu _p}\mathop \sigma \limits^ \wedge }} <\\ &\frac{{{t_\gamma }s{{\left[ {\dfrac{1}{n} + {\mu _p}^2\left( {{{\mathop k\limits^ \wedge }^2} - 1} \right)} \right]}^{\frac{1}{2}}}}}{{\overline x + {\mu _p}\mathop \sigma \limits^ \wedge }} 。\end{split}$

(8)

用δ表示相对误差限度（绝对值），即得到：

$ \delta = \frac{{{t_\gamma }s{{\left[ {\dfrac{1}{n} + {\mu _p}^2\left( {{{\mathop k\limits^ \wedge }^2} - 1} \right)} \right]}^{\frac{1}{2}}}}}{{\overline x + {\mu _p}\mathop \sigma \limits^ \wedge }} 。$

(9)

按式（9）可得到相对误差变$ \mathrm{\delta }\leqslant 5\text{%} $时，异系数C_V、可靠度p、置信度γ和观测个数n之间的关系，即估计母体百分位值需要最少试件个数的判据：

$ {{C}}_{{V}}=\frac{{s}}{\bar{{x}}}\leqslant \frac{0.05}{{{t}}_{{\gamma }}{\left[\displaystyle\frac{1}{{n}}+{{{\mu }}_{{p}}}^{2}\left({\widehat{{k}}}^{2}-1\right)\right]}^{0.5}-0.05{{\mu }}_{m{p}}\widehat{{k}}} 。$

(10)

对于船舶与海洋工程一般结构的疲劳强度校核时的P-S-N曲线具有置信度95%和可靠度（存活率）97.72%，试验结果的变异系数小于对应试件个数的允许的最大变异系数（见表1）时，便可获按式（10）得在较小的误差范围内（$ \mathrm{\delta }\leqslant 5\text{%} $）的具有95%置信度的母体百分位估计值。

2 疲劳试验

为了能够准确掌握试验模型上的应力分布及焊缝附近处的应力集中情况，在试验前先用有限元软件对其进行模拟，使用solid45实体单元对其进行建模，加载时采用一端刚性固定，另一端施加拉力的方式进行模拟，数值模拟结果如图1所示。

试验模型由MTS疲劳试验系统进行加载，其最大载荷为$ \pm250\ {\mathrm{kN}} $，最大位移为$ \pm175\ {\mathrm{mm}} $。试验数据采用动态应变测试系统和静态应变测试系统相结合的方式进行采集，在疲劳试验过程中时刻关注裂纹萌生及扩展状态，当产生贯穿裂纹时停止疲劳试验。

按照上述试验方法开展某高强度钢典型节点的疲劳试验，试验结果详见表2。中值对数疲劳寿命X计算式为：

$ \overline X = \log {N_{50}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\log {N_i}} 。$

(11)

式中：$ {N_i} $为一组试验中第i个试样的疲劳寿命；n为一组试样的总数；$ {N_{50}} $为具有50%存活率的疲劳寿命即中值疲劳寿命。

对数疲劳寿命标准差S计算式为：

$ S = \sqrt {\frac{{n{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{{\text{log} }N_i}} \right)}^2} - \left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\log } N_i} \right)} }^2}}}{{n(n - 1)}}}。$

(12)

变异系数$ {C_v} $计算式为：

$ {C_v} = S/\overline X 。$

(13)

按照式（12）中变异系数计算公式对试验结果进行处理，计算结果详见表2。结合表1中最少试件个数与变异系数之间的关系，可知在每级应力水平下疲劳个数最少试件个数要求。

可知，在疲劳寿命对数正态分布的假设下，每级应力水平下试件个数满足变异系数与最少试件个数的要求，能够基于试验结果得到具有95%置信度的百分位值，可满足海洋工程结构疲劳强度评估要求。

3 数据处理分析

利用相关系数来判断Y=$ {{\mathrm{lg}}S} $与X=$ \lg N $之间线性相关的密切程度，相关系数r的定义如下：

$ r = \frac{{{L_{YX}}}}{{\sqrt {{L_{XX}}{L_{YY}}} }} 。$

(14)

式中：L_XX、L_XY和L_YY均为与n个数据点坐标$ \left( {\lg {N_i},{{{{\mathrm{lg}}S} }_i}} \right) $有关的量。

$ \left\{ \begin{gathered} {L_{YY}} = {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{{{{\text{lg}}S} }_i}} \right)} ^2} - \frac{1}{n}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{{{\text{lg}}S} }_i}} } \right)^2} ，\\ {L_{XX}} = {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{{{{\text{lg}}N} }_i}} \right)} ^2} - \frac{1}{n}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{{{\text{lg}}N} }_i}} } \right)^2}，\\ {L_{XY}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{{{{\text{lg}}S} }_i}\cdot{{{{\text{lg}}N} }_i}} \right)} - \frac{1}{n}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{{{\text{lg}}N} }_i}} } \right).\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{{{\text{lg}}S} }_i}} } \right)。\\ \end{gathered} \right. $

(15)

为了检验Y=$ {{\text{lg}}S} $与X=$ \lg N $之间的线性相关程度，按式（14）计算相关系数r=−0.9745，详细见表2。查文献[2]附表4中的相关系数检验表，查得本次试验4个应力水平下的相关系数起码值为r_min=0.95，且$ {r} > {{r}}_{{{\mathrm{min}}}} $，由此可知：本次试验结果的$ {{\text{lg}}S} $与$ \lg N $可以用直线拟合。

即在中等寿命区（10⁴～10⁶循环次数）的应力S与寿命N在对数坐标（lgN～lgS）上呈直线关系，表达式为：

$ \lg N = \lg A + m\lg S。$

(16)

式中：m和A为待定估计参数。

在疲劳寿命为对数正态分布的假设下，存活率p计算式为：

$ p = P\left(X > x_{p}\right) = 1 - \int_{-\infty}^{x_{s}} \sqrt{\frac{1}{2 {\text π} \sigma_{x}} \exp \left[ -\frac{\left(X - \mu_{x}\right)^{2}}{2 \sigma_{x}^{2}}\right] {\text d} x}。$

(17)

式中：X=lgN为对数疲劳寿命；xp=lgNp表示存活率为p的对数安全寿命。

令μ=(x−μx)/σx，则存活率p可转换为：

$ \begin{split} p = 1 - \int_{ - \infty }^{{\mu _p}} {\sqrt {\frac{1}{{2{\text π} }}\exp \left[ { - \frac{\mu }{2}} \right]} } {\text d}\mu = 1 - \Phi \left( {{\mu _p}} \right)。\end{split} $

(18)

式中：μ_p为与存活率p对应的标准正态偏量；$ \Phi$为标准正态分布函数。

给定存活率p后，可从标准正态分布表中查得μ_p。μ_p和p之间对应的关系，如下式

$ {x_p} = {\mu _x} + {\mu _p}{\sigma _x} 。$

(19)

在每级应力水平对数疲劳寿命变异系数与试件个数满足表1对应关系时，可按式（20）估算出具有一定置信度的百位值$ \widehat{{{x}}_{{p}}} $。

$ \widehat{{{x}}_{{p}}}=\bar{{x}}+{{\mu }}_{{p}}\widehat{{k}}{s}。$

(20)

对表3中各级应力水平下的疲劳试验数据进行统计分析，即可计算出具有95%置信度、存活率p=97.72%安全寿命估计值$ \widehat{{{x}}_{{p}}} $，详见表4。用最小二乘法拟合数据点（lgS_1，lgN_p1）,（lgS₂,lgN_p2）…(lgS₄,lgN_p4)得到的最佳直线，即是存活率为p的P-S-N曲线。

按照一元线性回归的原理，认为最佳拟合直线的准则是，使实测的$ \lg {N_i} $与$ \lg {N_i}^* $之差的平方和最小，即令Q取最小值。

$ Q = \sum_{i=1}^{n}\left(\lg N_{i} - \lg N_{i}^{*}\right)^{2} = \sum_{i=1}^{n}\left(\lg N_{i} - \lg A+m \lg S_{i j}\right)^{2} 。$

(21)

为此将Q分别对$ \lg A $和m求偏导，并令它们为0，得：

$ \frac{\partial Q}{\partial(\lg A)}=-\sum_{I=1}^{n}\left(\lg N_{i}-\lg A+m \lg S_{i}\right)=0 ，$

(22)

$ \frac{\partial Q}{\partial(m)}=\sum_{I=1}^{n}\left(\lg N_{\bar{i}}-\lg A+m \lg S_{i}\right) \lg S_{\bar{i}}=0 。$

(23)

由此解得：

$ m=-\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \lg N_{i} \lg S_{i}-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \lg s_{i} \sum_{i=1}^{n} \lg N_{i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(\lg S_{i}\right)^{2}-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n} \lg s_{i}\right)^{2}}，$

(24)

$ \lg A=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \lg N_{i}+\frac{m}{n} \sum_{i=1}^{n} \lg S_{i} 。$

(25)

大量的疲劳试验结果表明：对于钢结构的S-N曲线通常取为−3，本次也按此方法进行简化处理，将表4中各级应力水平的对数疲劳寿命中值$ \bar x $和百位值估计值$ \mathrm{ln}{{N}}_{p} $，以及对数应力幅值$ \mathrm{lg}S $代入式（23）和（24）便可得到存活率为$ {p}=50\text{%} $中值S-N曲线和$ {p}=97.72\text{%} $的P-S-N曲线（见图2），相应的S-N曲线的表达式见式（26）和式（27），并按IIW表3.1中对应节点选取相应的S-N曲线，试验结果拟合的得到的S-N曲线与IIW规范相应的S-N曲线较为接近。

$ \lg N = 12.535 - 3{{ \lg}S} ，$

(26)

$ \lg N = 12.306 - 3{{ \lg}S} 。$

(27)

4 结　语

本文基于疲劳可靠性的基本原理，在疲劳寿命服从对数正态分布的条件下，结合船舶与海洋工程一般结构P-S-N曲线的基本规定，得到了成组法疲劳试验每级应力水平下疲劳试件个数与允许的最大变异系数之间的关系，并以此为疲劳试验个数选取依据开展典型节点的疲劳试验；基于数理统计学中的相关系数，对对数疲劳寿命和对数应力的相关性进行分析，采用最小二乘法对疲劳试验结果进行统计分析，结果表明：

1） 对于船舶与海洋工程一般结构的疲劳强度校核时的P-S-N曲线具有置信度95%和可靠度（存活率）97.72%，当试验结果的变异系数小于对应试件个数的允许的最大变异系数时，便可获在较小的误差范围内（$ \mathrm{\delta }\leqslant 5\text{%} $）的具有95%置信度的母体百分位估计值；

2） 试验结果的$ {\text{ lg}S} $与$\text { lg} N $之间的相关系数系数r=−0.9745，$ \left| r \right| > 0.95 $即对数应力幅值$ {\text {lg}S} $和对数疲劳寿命$\text { lg} N $是线性负相关的，在对数坐标（ lgN～lgS）上呈直线关系；

3）试验拟合得到的P-S-N曲线与IIW推荐的曲线基本一致，表明本文中各级应力水平下疲劳试件个数选取方法和试验数据处理方法是合理的和可靠的，保证试验结果的“可比性”与“再现性”的同时，节省试验大量成本，对于指导海洋工程结构S−N曲线疲劳试验具有重要的指导意义。