﻿ 基于可靠性的疲劳试验数据处理方法
 舰船科学技术  2024, Vol. 46 Issue (12): 8-12    DOI: 10.3404/j.issn.1672-7649.2024.12.002 PDF

1. 中国船舶科学研究中心，江苏 无锡 214082;
2. 深海技术科学太湖试验室，江苏 无锡 214125

Research on processing methods of fatigue testing data reliability
ZHANG Fan1,2, WANG Dan1,2, ZHU Yifeng1,2
1. China Ship Scientific Research Center, Wuxi 21408, China;
2. Taihu Laboratory of Deep-sea Technology, Wuxi 214125, China
Abstract: Based on the basic principle of fatigue reliability, under the assumption of lognormal distribution of fatigue life, according to the t distribution theory, and in combination with the basic requirements of P-S-N curve for ships and marine engineering general components with 95% confidence and 97.72% reliability, the corresponding relationship between the number of fatigue specimens with 95% confidence and within 5% of the error limit and the allowable maximum variation coefficient value is calculated, The fatigue test of typical nodes is carried out based on this criterion as the minimum number of test pieces in the group method fatigue test, and the Np with 95% confidence is obtained. The degree of linear correlation between fatigue stress logS and fatigue life logNp judged by the linear correlation coefficient r, and the fatigue life logNp and fatigue stress logS are linearly fitted by the least square method to obtain a P-S-N curve with 95% confidence, which is compared with the corresponding curve in the IIW , the results shows the method in this paper is feasibility and reliability.
Key words: number of test pieces     P-S-N curve     coefficient of variation     reliability     confidence
0 引　言

1 基于疲劳可靠性的疲劳试件个数确定方法 1.1 疲劳寿命对数正态分布假设下的疲劳试件个数选取

 $P(X > {x_p}) = \int_{{x_p}}^\infty {f(x){\text d}x = p} 。$ (1)

 $\mathop {{x_p}}\limits^ \wedge = \mathop \mu \limits^ \wedge + {\mu _p}\mathop \sigma \limits^ \wedge = \mathop \mu \limits^ \wedge + {\mu _p}\mathop k\limits^ \wedge S 。$ (2)

 $E\left( \zeta \right) = E\left( {\bar X + {\mu _p}\mathop {{\mathrm{ }}k}\limits^ \wedge {s_X}} \right) = \mu + {\mu _p}\sigma ，$ (3)
 $\begin{split} Var\left( \zeta \right) =& Var\left( {\overline X + {\mu _p}\mathop k\limits^ \wedge {s_X}} \right) = Var\left( {\overline X } \right) +\\ &{\left( {{\mu _p}\mathop k\limits^ \wedge } \right)^2}Var({s_X}) {\text{ = }}{\sigma ^2}\left[ {\frac{1}{n} + {\mu _p}^2\left( {{{\mathop k\limits^ \wedge }^2} - 1} \right)} \right] 。\end{split}$ (4)

 ${t_x} = \frac{U}{{\sqrt {{\chi ^2}/(n - 1)} }}{\text{ = }}\frac{{\left( {\overline X + {\mu _p}\mathop k\limits^ \wedge {s_X}} \right) - \left( {\mu + {\mu _p}\sigma } \right)}}{{{s_X}{{\left[ {\dfrac{1}{n} + {\mu _p}^2\left( {{{\mathop k\limits^ \wedge }^2} - 1} \right)} \right]}^{\frac{1}{2}}}}}{\text{。}}$ (5)

 $-t_{\gamma } 即： $ - {t_\gamma } < \frac{{\left( {\overline x + {\mu _p}\mathop \sigma \limits^ \wedge } \right) - \left( {\mu + {\mu _p}\sigma } \right)}}{{s{{\left[ {\dfrac{1}{n} + {\mu _p}^2\left( {{{\mathop k\limits^ \wedge }^2} - 1} \right)} \right]}^{\frac{1}{2}}}}} < {t_\gamma } ，$(7) $ \begin{split}- \frac{{{t_\gamma }s{{\left[ {\dfrac{1}{n} + {\mu _p}^2\left( {{{\mathop k\limits^ \wedge }^2} - 1} \right)} \right]}^{\frac{1}{2}}}}}{{\overline x + {\mu _p}\mathop \sigma \limits^ \wedge }} &< \frac{{\left( {\overline x + {\mu _p}\mathop \sigma \limits^ \wedge } \right) - \left( {\mu + {\mu _p}\sigma } \right)}}{{\overline x + {\mu _p}\mathop \sigma \limits^ \wedge }} <\\ &\frac{{{t_\gamma }s{{\left[ {\dfrac{1}{n} + {\mu _p}^2\left( {{{\mathop k\limits^ \wedge }^2} - 1} \right)} \right]}^{\frac{1}{2}}}}}{{\overline x + {\mu _p}\mathop \sigma \limits^ \wedge }} 。\end{split}$(8) δ表示相对误差限度（绝对值），即得到： $ \delta = \frac{{{t_\gamma }s{{\left[ {\dfrac{1}{n} + {\mu _p}^2\left( {{{\mathop k\limits^ \wedge }^2} - 1} \right)} \right]}^{\frac{1}{2}}}}}{{\overline x + {\mu _p}\mathop \sigma \limits^ \wedge }} 。$(9) 按式（9）可得到相对误差变$ \mathrm{\delta }\leqslant 5\text{%} $时，异系数CV、可靠度p、置信度γ和观测个数n之间的关系，即估计母体百分位值需要最少试件个数的判据： $ {{C}}_{{V}}=\frac{{s}}{\bar{{x}}}\leqslant \frac{0.05}{{{t}}_{{\gamma }}{\left[\displaystyle\frac{1}{{n}}+{{{\mu }}_{{p}}}^{2}\left({\widehat{{k}}}^{2}-1\right)\right]}^{0.5}-0.05{{\mu }}_{m{p}}\widehat{{k}}} 。$(10) 对于船舶与海洋工程一般结构的疲劳强度校核时的P-S-N曲线具有置信度95%和可靠度（存活率）97.72%，试验结果的变异系数小于对应试件个数的允许的最大变异系数（见表1）时，便可获按式（10）得在较小的误差范围内（$ \mathrm{\delta }\leqslant 5\text{%} $）的具有95%置信度的母体百分位估计值。 表 1 最少试件个数（估计母体97.72%位值） Tab.1 Minimum number of specimens 2 疲劳试验 为了能够准确掌握试验模型上的应力分布及焊缝附近处的应力集中情况，在试验前先用有限元软件对其进行模拟，使用solid45实体单元对其进行建模，加载时采用一端刚性固定，另一端施加拉力的方式进行模拟，数值模拟结果如图1所示。  图 1 试验模型有限元计算结果 Fig. 1 Finite element results of the experimental model 试验模型由MTS疲劳试验系统进行加载，其最大载荷为$ \pm250\ {\mathrm{kN}} $，最大位移为$ \pm175\ {\mathrm{mm}} $。试验数据采用动态应变测试系统和静态应变测试系统相结合的方式进行采集，在疲劳试验过程中时刻关注裂纹萌生及扩展状态，当产生贯穿裂纹时停止疲劳试验。 按照上述试验方法开展某高强度钢典型节点的疲劳试验，试验结果详见表2。中值对数疲劳寿命X计算式为： 表 2 疲劳试验结果 Tab.2 Fatigue test results $ \overline X = \log {N_{50}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\log {N_i}} 。$(11) 式中：$ {N_i} $为一组试验中第i个试样的疲劳寿命；n为一组试样的总数；$ {N_{50}} $为具有50%存活率的疲劳寿命即中值疲劳寿命。 对数疲劳寿命标准差S计算式为： $ S = \sqrt {\frac{{n{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{{\text{log} }N_i}} \right)}^2} - \left( {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\log } N_i} \right)} }^2}}}{{n(n - 1)}}}。$(12) 变异系数$ {C_v} $计算式为： $ {C_v} = S/\overline X 。$(13) 按照式（12）中变异系数计算公式对试验结果进行处理，计算结果详见表2。结合表1中最少试件个数与变异系数之间的关系，可知在每级应力水平下疲劳个数最少试件个数要求。 可知，在疲劳寿命对数正态分布的假设下，每级应力水平下试件个数满足变异系数与最少试件个数的要求，能够基于试验结果得到具有95%置信度的百分位值，可满足海洋工程结构疲劳强度评估要求。 3 数据处理分析 利用相关系数来判断Y=$ {{\mathrm{lg}}S} $X=$ \lg N $之间线性相关的密切程度，相关系数r的定义如下： $ r = \frac{{{L_{YX}}}}{{\sqrt {{L_{XX}}{L_{YY}}} }} 。$(14) 式中：LXXLXYLYY均为与n个数据点坐标$ \left( {\lg {N_i},{{{{\mathrm{lg}}S} }_i}} \right) $有关的量。 $ \left\{ \begin{gathered} {L_{YY}} = {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{{{{\text{lg}}S} }_i}} \right)} ^2} - \frac{1}{n}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{{{\text{lg}}S} }_i}} } \right)^2} ，\\ {L_{XX}} = {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{{{{\text{lg}}N} }_i}} \right)} ^2} - \frac{1}{n}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{{{\text{lg}}N} }_i}} } \right)^2}，\\ {L_{XY}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{{{{\text{lg}}S} }_i}\cdot{{{{\text{lg}}N} }_i}} \right)} - \frac{1}{n}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{{{\text{lg}}N} }_i}} } \right).\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{{{\text{lg}}S} }_i}} } \right)。\\ \end{gathered} \right. $(15) 为了检验Y=$ {{\text{lg}}S} $X=$ \lg N $之间的线性相关程度，按式（14）计算相关系数r=−0.9745，详细见表2。查文献[2]附表4中的相关系数检验表，查得本次试验4个应力水平下的相关系数起码值为rmin=0.95，且$ {r} > {{r}}_{{{\mathrm{min}}}} $，由此可知：本次试验结果的$ {{\text{lg}}S} $$\lg N 可以用直线拟合。 表 4 试验结果统计 Tab.4 Statistics of test results 即在中等寿命区（104～106循环次数）的应力S与寿命N在对数坐标（lgNlgS）上呈直线关系，表达式为：   \lg N = \lg A + m\lg S。 (16) 式中：mA为待定估计参数。 在疲劳寿命为对数正态分布的假设下，存活率p计算式为：   p = P\left(X > x_{p}\right) = 1 - \int_{-\infty}^{x_{s}} \sqrt{\frac{1}{2 {\text π} \sigma_{x}} \exp \left[ -\frac{\left(X - \mu_{x}\right)^{2}}{2 \sigma_{x}^{2}}\right] {\text d} x}。 (17) 式中：X=lgN为对数疲劳寿命；xp=lgNp表示存活率为p的对数安全寿命。 μ=(xμx)/σx，则存活率p可转换为：   \begin{split} p = 1 - \int_{ - \infty }^{{\mu _p}} {\sqrt {\frac{1}{{2{\text π} }}\exp \left[ { - \frac{\mu }{2}} \right]} } {\text d}\mu = 1 - \Phi \left( {{\mu _p}} \right)。\end{split}  (18) 式中：μp为与存活率p对应的标准正态偏量； \Phi为标准正态分布函数。 给定存活率p后，可从标准正态分布表中查得μpμpp之间对应的关系，如下式   {x_p} = {\mu _x} + {\mu _p}{\sigma _x} 。 (19) 在每级应力水平对数疲劳寿命变异系数与试件个数满足表1对应关系时，可按式（20）估算出具有一定置信度的百位值 \widehat{{{x}}_{{p}}}    \widehat{{{x}}_{{p}}}=\bar{{x}}+{{\mu }}_{{p}}\widehat{{k}}{s}。 (20) 表3中各级应力水平下的疲劳试验数据进行统计分析，即可计算出具有95%置信度、存活率p=97.72%安全寿命估计值 \widehat{{{x}}_{{p}}} ，详见表4。用最小二乘法拟合数据点（lgS1，lgNp1）,（lgS2,lgNp2）…(lgS4,lgNp4)得到的最佳直线，即是存活率为pP-S-N曲线。 表 3 试验结果的相关系数 Tab.3 Correlation coefficients of test results 按照一元线性回归的原理，认为最佳拟合直线的准则是，使实测的 \lg {N_i}$$ \lg {N_i}^* $之差的平方和最小，即令Q取最小值。 $ Q = \sum_{i=1}^{n}\left(\lg N_{i} - \lg N_{i}^{*}\right)^{2} = \sum_{i=1}^{n}\left(\lg N_{i} - \lg A+m \lg S_{i j}\right)^{2} 。$(21) 为此将Q分别对$ \lg A $m求偏导，并令它们为0，得： $ \frac{\partial Q}{\partial(\lg A)}=-\sum_{I=1}^{n}\left(\lg N_{i}-\lg A+m \lg S_{i}\right)=0 ，$(22) $ \frac{\partial Q}{\partial(m)}=\sum_{I=1}^{n}\left(\lg N_{\bar{i}}-\lg A+m \lg S_{i}\right) \lg S_{\bar{i}}=0 。$(23) 由此解得： $ m=-\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \lg N_{i} \lg S_{i}-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \lg s_{i} \sum_{i=1}^{n} \lg N_{i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\left(\lg S_{i}\right)^{2}-\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^{n} \lg s_{i}\right)^{2}}，$(24) $ \lg A=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \lg N_{i}+\frac{m}{n} \sum_{i=1}^{n} \lg S_{i} 。$(25) 大量的疲劳试验结果表明：对于钢结构的S-N曲线通常取为−3，本次也按此方法进行简化处理，将表4中各级应力水平的对数疲劳寿命中值$ \bar x $和百位值估计值$ \mathrm{ln}{{N}}_{p} $，以及对数应力幅值$ \mathrm{lg}S $代入式（23）和（24）便可得到存活率为$ {p}=50\text{%} $中值S-N曲线和$ {p}=97.72\text{%} $P-S-N曲线（见图2），相应的S-N曲线的表达式见式（26）和式（27），并按IIW表3.1中对应节点选取相应的S-N曲线，试验结果拟合的得到的S-N曲线与IIW规范相应的S-N曲线较为接近。  图 2 试验节点的中值S-N曲线和P-S-N曲线 Fig. 2 Median S-N curve and P-S-N curve of experimental nodes $ \lg N = 12.535 - 3{{ \lg}S} ，$(26) $ \lg N = 12.306 - 3{{ \lg}S} 。$(27) 4 结 语 本文基于疲劳可靠性的基本原理，在疲劳寿命服从对数正态分布的条件下，结合船舶与海洋工程一般结构P-S-N曲线的基本规定，得到了成组法疲劳试验每级应力水平下疲劳试件个数与允许的最大变异系数之间的关系，并以此为疲劳试验个数选取依据开展典型节点的疲劳试验；基于数理统计学中的相关系数，对对数疲劳寿命和对数应力的相关性进行分析，采用最小二乘法对疲劳试验结果进行统计分析，结果表明： 1） 对于船舶与海洋工程一般结构的疲劳强度校核时的P-S-N曲线具有置信度95%和可靠度（存活率）97.72%，当试验结果的变异系数小于对应试件个数的允许的最大变异系数时，便可获在较小的误差范围内（$ \mathrm{\delta }\leqslant 5\text{%} $）的具有95%置信度的母体百分位估计值； 2） 试验结果的$ {\text{ lg}S} \text { lg} N $之间的相关系数系数r=−0.9745，$ \left| r \right| > 0.95 $即对数应力幅值$ {\text {lg}S} $和对数疲劳寿命$\text { lg} N \$是线性负相关的，在对数坐标（ lgN～lgS）上呈直线关系；

3）试验拟合得到的P-S-N曲线与IIW推荐的曲线基本一致，表明本文中各级应力水平下疲劳试件个数选取方法和试验数据处理方法是合理的和可靠的，保证试验结果的“可比性”与“再现性”的同时，节省试验大量成本，对于指导海洋工程结构SN曲线疲劳试验具有重要的指导意义。

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