0 引　言

合成孔径声呐（Synthetic Aperture Sonar, SAS）利用安装在运动平台上的水声换能器向目标区域发射声波来照射目标区域，同时采集后向散射信号，并对回波信号进行相干处理来得到大的虚拟孔径，从而获得实际所需要的图像信息，以其高的角度分辨率，一直是声呐成像的研究热点，在军事和民用上都获得了广泛的应用^[1]，是水下成像领域获取目标信息的重要手段。但受发射脉冲重复频率（Pulse Repetition Frequency，PRF）的限制，SAS不能同时具有方位向和距离向的高分辨率^[2]。分集技术通过多个信道（时间、频率、空间）接收到承载相同信息的多个副本，显著降低所有副本同时经历深度衰减的概率，从而实现在水声通信中不增加额外带宽和发射功率的情况下，抑制信号传输中的多径衰落，显著增加了系统的物理容量^[3]，得益于多输入多输出声呐MIMO（Multiple Input Multiple Output, MIMO）充分采用了分集技术，多输入多输出合成孔径声呐MIMO-SAS（Multiple Input Multiple Output- Synthetic Aperture Sonar）应运而生，理想情况下，M 发N收的 MIMO-SAR 的方位向采样率能够达到传统SAS的M×N 倍，从而有效抑制了方位模糊，解决了传统SAS高分辨成像和宽测绘带成像之间的矛盾，使得SAS声呐的目标探测和参数识别能力显著增强^[4]。

波形分集是MIMO-SAS重要的优势，波形设计是实现波形分集的重要方法，为有效减低MIMO-SAS声呐杂波干扰和多径效应，MIMO-SAS声呐各发射阵列间发送的信号最好是正交波形，发射阵列信号的正交性越好，发射波形的自相关函数和互相关函数的旁瓣越低，回波处理时可以通过匹配滤波器对目标回波信号进行更好的分离，从而实现对目标的高分辨成像，因此阵列正交波形设计一直是MIMO-SAS技术研究的重点内容。

国内外有大量的文献对阵列正交波形设计进行研究，研究分为3个方面：1）设计具有良好自相关和互相关特性的正交波形，好的自相关特性意味着它和自己的时移信号不相关，好的互相关特性表明任何发射波形和其他发射波形不相关，良好的相关性降低了接收到的感兴趣信号在多径效应或杂波干扰^[5-6]；2）对发射波形的协方差矩阵进行优化，以实现给定的发射波谱，波形设计成近似给定的协方差矩阵^[7-8]；3）根据一些先验信息，来对发射波形进行优化设计，文献[9-11]利用目标脉冲响应和回波信号之间的互信息作为设计波形来优化准则从而实现波形设计。

1 MIMO-SAS声呐成像基本原理

MIMO-SAS探测方法如图1所示。

图中，MIMO-SAS的合成孔径大小与声呐平台相对目标区域的运动距离正相关，发射换能器以固定PRF发射正交信号，随着声呐平台的运动，声波从刚照射到目标区域至离开此区域，平台运动距离称为合成孔径长度。声波照射范围为图中椭圆区域，声呐发射换能器声波照射范围为$ \Delta {\Theta _a} $。

MIMO-SAS采用多个发射阵元同时发射，多个接收阵元同时接收的工作模式^[12]，其系统模型如图2所示。

MIMO-SAS工作方式步骤为：

步骤1　M个发射声呐换能器向水下发射正交性好的波形，理想情况下，这些正交波性在传播过程中相互独立；

步骤2　N个接收换能器同时接收回波信号，其回波处理过程如图3所示，回波分离后使用成像方法通过回波分析对散射体声呐截面的复幅度进行估计；

步骤3　在合成孔径长度内，利用SAR准则对回波信号进行相位补偿并相干累加，最后把各通信号的成像结果进行融合，得到MIMO-SAS系统最终成像结果。

图3中，假定MIMO-SAR形成稀疏发射，密集接收的阵元布置模式，根据等效相位中心等效原理，M个发射阵元N个接收阵元的MIMO系统可以等效成M×N个自发自收的接收通道，也就是说，发射信号经过MIMO信道后，会在接收端形成M×N个不重叠的虚拟孔径。

为了保证声呐发射功率的最大，MIMO-SAS采用相位调制方式发射波形。相位编码脉冲的具体表达式为：

$ x\left( n \right) = {e^{j{\phi _n}}},{\text{ }}n = 1,...,N。$

(1)

式中，$ \phi_{n} $为相位，$ n=1, \cdots, N $。并且限定$ \{x(n)\}\}_{n-1}^{N} $的能量为N，即：

$ \sum_{n=1}^{N}|x(n)|^{2}=N 。$

(2)

假设$ \boldsymbol{x}_{m}=\left[\begin{array}{llll}x_{m}(1) & x_{m}(2) & \cdots & x_{m}(N)\end{array}\right]^{\rm T} $，表示第M个阵元的发射波形，每个阵元发射相位编码的长度为N，发射波形可写为：

$ \boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{llll} \boldsymbol{x}_{1} & \boldsymbol{x}_{2} & \ldots & \boldsymbol{x}_{M} \end{array}\right]_{N \times M M}。$

(3)

令0为$ (P-1) \times M $维零矩阵，$ \boldsymbol{J}_{0} $表示移位矩阵：

$ {{\boldsymbol{J}}_p} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop {\overbrace {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{\boldsymbol{0}}&1 \end{array}}^{p + 1}\quad }\limits^{} }&{}&{\boldsymbol{0}}\\ {}& \ddots &{}\\ {}&{}&1\\ \;\;\;\;\;\;{\boldsymbol{0}}&{}&{} \end{array}} \right]_{P \times P} = {\boldsymbol J}_{ - p}^{\rm{T}},p = 0,P - 1 。$

(4)

$ M_{r} \times(N+P-1) $接收回波数据矩阵可以进一步表示为：

$ \boldsymbol{D}^{H}=\sum_{p=0}^{F-1} \sum_{k=1}^{K} \alpha_{\rho k} \boldsymbol{a}_{k} \boldsymbol{b}_{k}^{\text T} \tilde{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{J}+\boldsymbol{E}^{\text H}。$

(5)

式中：$ \boldsymbol{J}_{0} $为$ (N+P-1) \times(N+P-1) $维移位矩阵；$\boldsymbol{E}^{H} $是均值为0、协方差为$ \boldsymbol{Q} $的噪声矩阵；$ \left\{\alpha_{*}\right\}_{D-0, k-1}^{\rho-1, x} $ 为回波信号复幅度，$ \alpha_{k k} $和雷达目标散射面积成正比。

$ \boldsymbol{a}_{k}=\left[\begin{array}{llll} 1 & e^{-j x i\left(\epsilon_{k}\right)} & \cdots & e^{-j x\left(\boldsymbol{M}_{2}-1\right) \min \left(\epsilon_{k}\right)} \end{array}\right] ，$

(6)

$ {{\boldsymbol{b}}_k}{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{{e^{ - j{\text{π}} {M_r}\sin ({\theta _k})}}}& \cdots &{{e^{ - j{\text{π}} {M_r}(M - 1)\sin ({\theta _k})}}} \end{array}} \right]。$

(7)

式中：$ \boldsymbol{a}_{k} $为接收导向矢量；$ \boldsymbol{b}_{k} $为发射导向矢量；$\left\{ {{\theta _k}} \right\}_{k = 1}^K$为声波扫描角度。

匹配滤波${\boldsymbol{\tilde X}}_p^{MF}$可表示为：

$ {\boldsymbol{\tilde X}}_p^{MF} = {\boldsymbol{J}}_p^{\text H}{\boldsymbol{\tilde X}}{\left( {{{{\boldsymbol{\tilde X}}}^{\text H}}{\boldsymbol{\tilde X}}} \right)^{ - 1}} 。$

(8)

声呐基阵接收回波信号经过匹配滤波器输出后的信号$\tilde {\boldsymbol D}_p^{\text H}$：

$ {{\tilde {\boldsymbol D}}}_p^{\text H} \triangleq {{\boldsymbol{D}}^{\text H}}{{\tilde {\boldsymbol X}}}_p^{{MF} } = \sum\limits_{k = 1}^K {{\alpha _{pk}}} {{\boldsymbol{a}}_k}{{\tilde {\boldsymbol b}}}_k^{\text{H}} + {{\boldsymbol{Z}}_p}，$

(9)

$ {{\boldsymbol{Z}}_p} = \left( {\sum\limits_{\scriptstyle q = 1\atop \scriptstyle q \ne p}^{P - 1} {\sum\limits_{k = 1}^K {{\alpha _{qk}}{{\boldsymbol{a}}_k}{\boldsymbol{b}}_k^{\rm{T}}{{{{\tilde {\boldsymbol X}}}}^{\rm{H}}}{{\boldsymbol{J}}_q}} } } \right){{\tilde {\boldsymbol X}}}_p^{MF} + {{\boldsymbol{E}}^{\rm{H}}}{{\tilde {\boldsymbol X}}}_p^{MF}。$

(10)

使用Capon方法对${\alpha _{pk}}$进行高分辨估计，表达式^[13]：

$ \hat \alpha _{pk}^{Capon} = \left( {\frac{{{\boldsymbol{a}}_k^{\text{H}}{{\hat {\boldsymbol{R}}}}_p^{ - 1}{{\tilde {\boldsymbol{D}}}}_p^{\text{H}}{{{{\tilde {\boldsymbol{b}}}}}_k}}}{{{\boldsymbol{a}}_k^{\text{H}}{{\hat {\boldsymbol{R}}}}_p^{ - 1}{{\boldsymbol{a}}_k}{{\left\| {{{{{\tilde {\boldsymbol{b}}}}}_k}} \right\|}^2}}}} \right)。$

(11)

式中，${{{\hat {\boldsymbol{R}}}}_p} = {{\hat {\boldsymbol{D}}}}_p^{\text{H}}{{{\hat {\boldsymbol{D}}}}_p}$ 。

2 基于加权循环算法（Multi-WeCAN）的正交波形设计

为了能够把回波信号从接收阵元中分离出来，任意发射阵元的发射波形最好是正交的。正交波形意味着阵列发射信号之间有良好的自相关和互相关特性。

当延迟为$ k $时，各发射阵元两两之间发射波形相关函数可表示为：

$ r_{m_{1} m_{2}}(n)=\sum_{k=n+1}^{N} x_{m_{1}}(k) x_{m_{2}}^{*}(k-n)=r_{m_{2} m_{1}}^{*}(-n) 。$

(12)

式中：$ m_{1}, m_{2}=1, \cdots, M $；$ n=0, \cdots, N-1 $；$ m_{1}=m_{2} $，$ r_{m_1, m_2}= r_{\mathrm{mm}} $表示各发射阵元的自相关函数；$ m_{1} \neq m_{2} $，$ r_{m_1m_2} $表示各阵元间的互相关函数。

发射波形不同时间延迟的协方差矩阵为：

$ \boldsymbol{R}_{n}=\left[\begin{array}{cccc} r_{11}(n) & r_{12}(n) & \cdots & r_{1 M}(n) \\ r_{21}(n) & r_{22}(n) & \cdots & r_{2 M}(n) \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ r_{M 1}(n) & \cdots & \cdots & r_{M M}(n) \end{array}\right] 。$

(13)

式中，$ n=-N+1, \cdots, 0, \cdots, N-1 $。

最理想的正交波形应满足$ r_{m m}=E $，$ r_{m_{1} m_{2}}=0 $，E 为发射波形功率。实际应用中，完全满足正交性的波形是不存在的，只能无限逼近正交特性。把正交问题通过数学的模型转换成式（14）最小化的问题：

$ \varepsilon=\sum^{M}_{m=1}\sum^{N-1}_{n=-N+1}|r_{mm}(n)|^2 + \sum^{M}_{m_1=1}\sum^{M}_{m_2=1,m_2\neq m_1}\sum^{N-1}_{n=-N+1}|r_{m_1m_2}(n)|^2，$

(14)

结合式（13）、式（14）可以进一步表示为：

$ \varepsilon=\|{\boldsymbol{R}}-N{\boldsymbol{I}}_M\|^2+2\sum_{n=1}^{N-1}\|{\boldsymbol{R}}_n\|^2=\sum^{N-1}_{n=-(N-1)} \|{\boldsymbol{R}}_n-N{\boldsymbol{I}}_M\delta_n\|^2，$

(15)

可以看出，$ \varepsilon $越小，设计波形的正交性越好。

对式（15）进行修改，感兴趣时间延迟段的正交波形设计问题可写为：

$ \tilde{\varepsilon}=\left\|\boldsymbol{R}_{0}-M_{M}\right\|^{2}+2 \sum_{n=1}^{P-1}\left\|\boldsymbol{R}_{n}\right\|^{2}。$

(16)

假定$ Y_{n} $为实数加权向量，并且约定当$ n=0, \cdots, P-1 $，$ \gamma_{n}=1 $，其他情况下，$ \gamma_{n}=0 $，则Multi-WeCAN波形设计可转化为式（17）的最小化问题：

$ \hat{\varepsilon}=\gamma_{0}^{2}\left\|\boldsymbol{R}_{0}-\boldsymbol{M}_{M}\right\|^{2}+2 \sum_{n=1}^{P-1} \gamma_{n}^{2}\left\|\boldsymbol{R}_{n}\right\|^{2}，$

(17)

设定：

$ y(n)=\left[\begin{array}{llll} x_{1}(n) & x_{2}(n) & \cdots & x_{M}(n) \end{array}\right]^{{\rm{T}}} ，$

(18)

$ \tilde{y}(w)=\sum_{n=1}^{N} y(n) e^{-j m} ，$

(19)

$ w_{p}=2 {\text{π}} \times p / N \quad p=1, \cdots, 2 N，$

(20)

$ \boldsymbol{Z}(w)=\left[\boldsymbol{y}(1) e^{-j} \boldsymbol{y}(1) e^{-j w 2} \cdots \boldsymbol{y}(N) e^{-j m v}\right]_{M \times N}^{{\rm{T}}}，$

(21)

$ \boldsymbol{\Gamma}=\left[\begin{array}{cccc} \gamma_{0} & \gamma_{1} & \cdots & \gamma_{N-1} \\ \gamma_{1} & \gamma_{0} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \gamma_{1} \\ \gamma_{N-1} & \cdots & \gamma_{1} & \gamma_{0} \end{array}\right]。$

(22)

式中，$ \boldsymbol{C}^{+t} \boldsymbol{C}=\Gamma $，$ \boldsymbol{C} $为$ \Gamma $的均方根。

对式（17）进行变形，进一步转化为式（23）的最小化问题^[14]：

$ \begin{aligned} & \min _{\boldsymbol{X}, \mathrm{U}} \sum_{p=1}^{2 N}\left\|\mathrm{CZ}_{g}-\sqrt{\gamma_{0} N} \boldsymbol{U}_{g}\right\|^{2} ，\\ & s, f\left|\mathrm{x}_{m}(n)\right|=1, m=1, \cdots, M \quad n=1, \cdots, N ，\\ & \boldsymbol{U}_{g}^{\rm H} \boldsymbol{U}_{g}=\boldsymbol{I}, p=1, \cdots, 2 N。\end{aligned} $

(23)

对式（23）进行求解，得到满足条件的相位$ \phi_{n}, n=1, \ldots, P $，再利用式(1)恢复出所设计编码序列$ x(n)={C}^{j \phi_{t}}, n=1, \ldots, N $，即可得到一个特定区域近似正交的发射波形。

Muti-WeCAN算法计算过程为：

步骤1　使用现存的序列或者随机产生信号长度为$ N \times M $矩阵来初始化$ \boldsymbol{X} $，选择需要的加权向量$ \gamma_{n} $使矩阵向量$ \Gamma $为半正定矩阵；

步骤2　固定$ \boldsymbol{Z} $，最小化$ \dfrac{2}{ c} $得到满足条件的正交波形相位向量$ \phi $；

步骤3　固定$ \phi $，在单位模$ \left|x_{ \pm}(n)\right|=1 $的约束下，求解最小化$ \dfrac{2}{c} $对应的序列$ \hat{x}_{ \pm}(n) $；

步骤4　重复步骤2和步骤3，直到满足预先设定的门限，这里$ \mid \boldsymbol{x}^{[1]}-\boldsymbol{X}^{[4+1]} \| \leqslant \boldsymbol{z} $，$ \boldsymbol{x}^{(t)} $通过第$ \tilde{\boldsymbol{I}} $次迭代获得。$ \boldsymbol{x}^{(t+1)} $表示第$ f+1 $次迭代得到的正交波形，表示新设计的正交波形，$ \dfrac{2}{ c} $最小均方误差。

3 仿真与实验 3.1 Multi-WeCAN算法设计波形正交性分析

设定MIMO-SAS声呐发射阵元个数为3，每个阵元发射信号有256个子脉冲，加权向量$ \gamma _{1t}=1, n \in[1,30] $，$ \gamma_{t}=1, n \in[1,50] $，当$ n $为其他值时，$ \gamma_{1n}=0, \gamma_{2n}=0 $。相关级（Correlation Level，CL）可表示为：

$ C L=20 \log _{10} \frac{\left\|\boldsymbol{R}_{n}-M \delta_{n}\right\|}{\sqrt{M N^{2}}}。$

(24)

式中，$ n=-N+1, \cdots-, 0, \cdots, N-1 $。可以看出 ，CL越小，设计波形在特定时延区域的正交性越好。

使用随机序列作为Multi-WeCAN算法的初始序列，进行特定时延的波形正交化设计，取不同的$ n $对Multi-WeCAN算法抑制旁瓣特定时延的能力进行比较，展示了当加权向量变为$ y_{t}=1、n \in[1,30] $和$ y_{t}=1、n \in[1,50] $时对比了所设计波形的相关函数曲线。

对比图4、图5 可以看出Multi-WeCAN算法实现了对特定时延区域的旁瓣抑制，并且随着P的增大，WeCAN算法抑制旁瓣能力逐渐减弱，具体见表1。

3.2 使用Multi-WeCAN算法设计波形成像结果分析

仿真中设定MIMO-SAS声呐采用“三发三收”的阵元布置方式，发射换能器和接收换能器均为3个阵元的均匀线列阵，发射阵2倍波长布阵，接收阵半波长布阵。

分别选择长度为256的随机序列和Multi-WeCAN序列（P=30，初始序列为随机序列）作为MIMO-SAS发射波形，发射换能器声波照射范围为$ \left(-30^{\circ}, 30^{\circ}\right) $，使用最大似然（Capon）估计方法进行目标幅度参数估计。

设定$ \dfrac{2}{ c} $=0.001，噪声的协方差矩阵$ \boldsymbol{Q} $的值为$ \boldsymbol{z}_{M_{r}} $，模拟目标的形状近似为“卅”字型（见图6），模拟目标散射面积相关参数$ \alpha_{d k} $ 为：在目标位置均值为0，方差为1，其他位置为0的复对称高斯随机变量 。

计算机仿真时对回波信号进行MIMO信号处理后，在使用SAR准则进行后置处理来获得更大的合成孔径，这里使用20个不同的空间位置上进行回波数据采样，分别用$ \boldsymbol{D}_{1}^{\mathrm{H}}, \boldsymbol{D}_{2}^{\mathrm{H}} \ldots, \boldsymbol{D}_{20}^{\mathrm{H}} $表示，使用式（9）对$ \alpha_{j k} $进行估计。

计算机仿真结果如图7所示。可以看出，相对于随机序列，Multi-WeCAN（P=30）作为发射波形，有效抑制了距离模糊，减低了回波频谱相互混叠和方位向出现的珊瓣，实现对MIMO-SAS声呐目标的高质量成像。

4 结　语

为获得高分辨率的水下目标图像，MIMO-SAS一般采用高分宽幅（高分辨率宽测绘带）成像模式，往往需要较低的脉冲重复率（PRF），发射长脉冲信号对目标区域进行照射，但PRF过低，会导致回波混叠，引起距离向的模糊。这种情况下，目标的距离分辨力仅仅和一个特定的时间延时波形相关特性有关。

沿着这个波形设计思路，提出了一种基于加权循环算法Multi-WeCAN的高分辨成像波形设计方法，以实现对发射波形0延迟附近的旁瓣级的抑制，通过计算机仿真可以发现，使用Multi-WeCAN进行发射波形设计，可以有效抑制发射信号在特定延迟的相关级，实现了感兴趣区域的正交波形设计。发射信号的相关延迟越小，设计波形的相关级越低，发射信号正交性越好，可以更好地实现对回波数据的匹配滤波分离，从而增加系统自由度。

同时可以发现，相比随机序列作为发射信号，Multi-WeCAN设计的发射波形有效减低了回波频谱相互混叠和方位向出现的珊瓣，抑制了声呐目标成像产生的距离模糊，提高了目标成像的距离分辨率和角度分辨率，进而使MIMO-SAS声呐有更高的成像质量。