0 引　言

船舶型材是制造船体结构的重要材料，对船体结构起到支撑、加强和连接等作用。由于船体结构中型材的使用较多，它们在船体重量中的占比不容忽视，在满足使用要求和安全规范的条件下，对型材进行轻量化设计，可有效降低船舶重量，提高船舶的运载能力。

最初的船舶结构优化设计主要是对简单结构进行优化，例如桁架、肋骨框架等，通常采用经验公式计算，配合准则法或其他简单优化算法求解问题，但随着船舶行业的飞速发展，大型船舶不断被设计和建造出来，船舶结构优化设计的要求也越来越高，设计变量增多、约束条件以及目标函数等非线性程度增大，优化问题呈现出多峰、高维和高非线性特点^[1]。为了适应发展的需要，依托计算机软件的启发式算法被应用到船舶的优化设计问题中，进一步提升了船舶结构优化设计的成效^[2]。然而，上述优化设计方法，都需依赖显式函数表达的数学模型，但实际中这种数学表达式需根据工程经验、实验等方法归纳总结得出。将由工程经验、实验所得的数据结果，直接应用到船舶结构优化设计中，避开复杂的显式约束函数，是一个值得探讨的思路。

目前，在人工智能领域，贝叶斯推理提供了一种概率手段，即假设待考查的变量遵循某种形式的概率分布，根据这些概率和已观察到的数据进行推理，做出最优决策^[3]。目前这种方法已经得到了广泛运用，董立岩等^[4]提出一种基于朴素贝叶斯分类器的图像分类方法，对从尿沉渣图像中识别出的微粒进行正确分割及特征提取与选择，并利用朴素贝叶斯分类器进行分类；华玲等^[5]提取分布式视频编码在解码过程中的相关特征信息，利用朴素贝叶斯算法生成编码单元快速划分模型，避免新一代视频压缩标准在编码过程中复杂度极高的编码单元递归遍历的计算过程；齐奔等^[6]将贝叶斯分类器应用于核电厂事故诊断，基于贝叶斯分类器的诊断方法将知识驱动和数据驱动相结合，具有较强的鲁棒性和可解释性；王辉等^[7]提一种合理利用属性间依赖关系的优化贝叶斯分类器，并将其应用于经济数据分类中，实现了对参数进行动态调整组合，同时合理剔除无关属性。

本文研究的目的是根据船舶结构设计优化问题，在结构优化设计过程中提取样本点的可行域判别信息，建立贝叶斯分类器，利用贝叶斯分类器代替显示约束函数，判别样本点是否落在可行域内。通过优化的大量数据训练提升贝叶斯分类器的精确程度，验证贝叶斯分类器驱动优化求解器寻优的可行性。

1 贝叶斯基分类器基础

贝叶斯分类器是一种以贝叶斯概率理论为核心的分类算法，该算法依据贝叶斯公式，带入变量的先验概率和条件概率求出后验概率，依据贝叶斯最大后验准则^[8]来推理变量所属的分类。现在就贝叶斯分类器涉及的概率论基本公式进行介绍^[9]：

1）条件概率公式

设 A、B 是2个随机事件，发生的概率分别用$P(A)$、$P(B)$表示，且满足：P (A) ≠0，P (B) ≠0，记事件A发生的条件下事件 B 发生的概率为$P(B|\boldsymbol A)$，则有条件概率公式：

$ P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}} 。$

(1)

式中，$P(AB)$ 为事件 A 和事件 B 同时发生的概率，称之为联合概率，也可记为 $ P(A·B) $ 或 $ P(A \cap B) $。

2）全概率公式

假设一个实验的样本空间记为$\Omega $，A 为${{\Omega }}$中的一个事件，$ {B_1},{B_2}, \cdots ,{B_n} $ 为样本空间${{\Omega }}$的一组划分，且满足如下条件：① $\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{B_i} = \Omega } $，②${B_1},{B_2}, \cdots ,{B_n}$互不相容(即事件不可同时发生)，③ $ P({B_i}) > 0{\text{，}}i = 1,2, \cdots ,n $，则有如下全概率公式：

$ P(A)={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}P({B}_{i})·P(A|{B}_{i})} 。$

(2)

式中：$ P({B_i}) $为事件$ {B_i} $发生的概率；$ P(A|{B_i}) $为在事件$ {B_i} $发生的条件下事件$ A $发生的概率，即条件概率。

3）贝叶斯公式

由式 （1） 和式（2） 容易推导出贝叶斯公式，其形式如下：

$ P({B}_{i}|A)=\frac{P(A|{B}_{i})·P({B}_{i})}{{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}P(A|{B}_{i})·P({B}_{i})}} 。$

(3)

式中，$P({B_i}|A)$为后验概率，即用于分类的依据。

假设现有一设计变量${\boldsymbol {X}} = {\left[ {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_D}} \right]^{\text{T}}}$，贝叶斯分类器分别计算该变量被归属到${C_k}{\text{ }}(k = 1,2, \cdots ,m)$类的后验概率$P({C_k}|{\boldsymbol {X}}){\text{ }}$，然后选择其中后验概率最大的类变量作为变量X 所属的分类。从中可看出，贝叶斯分类器实现分类功能的关键在于计算后验概率，而各贝叶斯分类器之间的区别主要在于如何求$P({C_k}|{\boldsymbol{X}}){\text{ }}$的值。

在众多贝叶斯分类器中，朴素贝叶斯分类器计算简单高效，系统开销小，算法有着坚实的理论基础，而且分类预测效果在绝大多数情况下精确度较高，因而得到了广泛应用。对本研究而言，使用朴素贝叶斯分类器即可满足使用要求，并且朴素贝叶斯的独立性假设^[10]为类条件概率密度函数的估计提供了便利之处，因此本研究将使用朴素贝叶斯分类器。

朴素贝叶斯分类器的结构如图1所示，通常情况下仅含有一个父节点，代表分类变量 C，其余为子节点，代表分类对象 ${\boldsymbol {X}} = {\left[ {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_D}} \right]^{\text{T}}}$，也称之为属性节点，该分类器认为属性节点相互之间的依赖关系与分类节点同属性节点之间的依赖关系相比可忽略，从而进一步可假定属性节点之间相互独立，即独立性假设。

2 基于贝叶斯分类器的船舶结构优化设计 2.1 船舶结构优化设计问题

船舶结构优化设计通常是基于结构分析，依据规范或特定约束要求，求得结构的某一性能指标，如结构重量、结构刚度、生产造价等目标为最佳^[11]。在船舶行业，结构优化设计问题需综合考虑强度、刚度、稳定性等方面的要求，这些要求对不同的船型需统筹兼顾，该过程可以分为2个步骤：

步骤1　是将实际的工程问题用数学表达式描述出来，即建立数学模型；

步骤2　结合优化理论的相关知识，运用合适的优化算法求得相应性能指标的最优值，相应地设计变量的值是针对该优化设计问题的最优解。

船舶优化设计问题可用下式统一表达^[12]：

$ \begin{gathered} {\boldsymbol {X}} = {\text{ }}{\left[ {{x_1},{x_2},...,{x_D}} \right]^{\text{T}}} ，\\ {\text{min }}f({\boldsymbol {X}}). \\ {\text{s}}{\text{.t}}{\text{. }}\left\{ \begin{gathered} {h_i}({\boldsymbol {X}}) = 0,{\text{ }}i = 1,2, \cdots ,p ，\\ {{g} _j}({\boldsymbol {X}}) \leqslant 0,{\text{ }}j = 1,2, \cdots ,q ，\\ {{\boldsymbol {X}}_{{L}}} \leqslant {\boldsymbol {X}} \leqslant {{\boldsymbol {X}}_{{U}}} 。\\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $

(4)

式中：${\boldsymbol {X}}$为由设计变量${x_i}{\text{ (}}i{\text{ }} = {\text{ }}1,2, \cdots ,D{\text{ )}}$构成的多维向量，设计变量指在设计过程中可不断改变取值、进行调整和选优的独立参数，一个优化问题含有设计变量的个数称为优化问题的维数，此处即为D维；$f({\boldsymbol {X}})$为目标函数，是关于设计变量的函数，优化设计问题通常是对目标函数求最值；${h_i}({\boldsymbol {X}}) = 0，{{ i }} = {\text{ }}1,2, \cdots ，p$，为等式函数约束条件；${g_j}({\boldsymbol {X}}) \leqslant 0{\text{，}}j{\text{ }} = {\text{ }}1,2, \cdots ，q$，为不等式函数约束条件；${{\boldsymbol {X}}_L} \leqslant {\boldsymbol {X}} \leqslant {{\boldsymbol {X}}_U}$为常量约束条件，限制设计变量在某个区间范围内变化。其中，${{\boldsymbol {X}}_L}$为由设计变量取值下限构成的向量，${{\boldsymbol {X}}_U}$ 为由设计变量取值上限构成的向量。设计变量、目标函数、约束条件可看作是结构优化设计问题的三大基本要素，优化设计的最终目标是求得目标函数的最优值和设计变量的取值。

2.2 基于贝叶斯分类器的船舶结构优化设计

对于一个结构优化设计问题，约束条件将解空间划分为可行域C₁和不可行域C₂，任何一组设计变量${\boldsymbol{X}} = {\left[ {{x_{\text{1}}},{x_{\text{2}}}, \cdots ,{x_D}} \right]^{\text{T}}}$只会落在可行域或不可行域。因此可由式（3）得到针对船舶优化设计问题计算后验概率的公式：

$ P({C}_{i}|X)=\frac{P(X|{C}_{i})\cdot P({C}_{i})}{P(X)}=\frac{P(X|{C}_{i})\cdot P({C}_{i})}{{\displaystyle \sum _{k=1}^{2}P(X|{C}_{k})\cdot P({C}_{k})}} 。$

(5)

参考文献[13]的研究成果，先验概率P(C_k)(k = 1,2）来源于经验或之前的统计数据，现假设根据之前的经验和统计数据已得到训练数据集N。于是，先验概率P(C_k)可使用数据集N中出现的可行（或不可行的）设计变量的频率来估计。

$ P({C_k}) \cong \frac{{{N_k} + 1}}{{N + 2}}{\text{ }}。$

(6)

式中：N为训练点总数，N_k为属于C_k类的训练点数量，在式（6）中对每个分类添加单个观测值，修改频率，有助于在样本容量较低时缓和近似值。

本研究使用的是朴素贝叶斯分类器，依据分类器的独立性假设，可简化类条件概率密度函数$P({\boldsymbol{X}}|{C_k})$。现采用核密度估计的方法来逼近类条件概率密度函数，假设对于每一维设计变量${x_i}{{ ({{i}} = 1,2,}} \cdots {\text{,}}D{\text{)}}$都有N_k个属于C_k类的训练点，分别以这些训练点为中心构造正态分布形式的内核并求平均值，可得到某一维设计变量x_i属于C_k的类条件概率密度函数$P({x_i}|{C_k})$，这种核密度估计算法反映出每个训练点对分类的影响。根据独立性假设，可认为各维设计变量之间是相互独立的，因此，设计变量$ {\boldsymbol {X}} = {[{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_D}]^{\text{T}}} $ 的概率密度函数可由D维设计变量的概率密度函数相乘得到。式（7）表示设计变量$ {\boldsymbol {X}} = {[{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_D}]^{\text{T}}} $属于C_k的类条件概率密度函数$P({\boldsymbol {X}}|{C_k})$。

$ P({\boldsymbol {X}}|{C_k}) = \mathop \prod \limits_{i = 1}^D \frac{1}{{{N_k}}}\sum\limits_{j = 1}^{{N_k}} {\frac{1}{{{\sigma _{i,k}}\sqrt {2{\text{π }}} }}{\text{ }}} {\text{e}}^{ - \frac{{{{({x_i} - \hat x_i^j)}^2}}}{{2\sigma _{i,k}^2}}} 。$

(7)

式（7）使用的是D维正态分布形式的概率分布，${\hat x_i}^j$表示第i维设计变量${x_i}$属于C_k类的第j个训练点标准化处理后的值，标准化方法见式（9），${\sigma _{i,k}}$ 为第i维设计变量属于C_k类的内核的标准差。根据文献[13]，可通过式（8）求得：

$ {\displaystyle\sigma _{i,k}} = \frac{{0.4}}{{\sqrt N }} 。$

(8)

式中，N为训练点总数。此外，按照式（9）对训练点数据进行标准化处理，使每个维度的所有数据都在区间[0, 1]，以减小计算的量级。

$ \hat x_i^j = \displaystyle\frac{{x_i^j - {x_{{i}}}_{{\text{,}}\min }}}{{{x_i}_{,\max } - {x_i}_{,\min }}} 。$

(9)

式中：$ x_i^j $ 为训练集中第i维设计变量的第j个数据值，${{\hat x}}_i^j$为该数据标准化之后的值；${x_{i,\max }}$、${x_{i,\min }}$分别为原始训练集第i维设计变量数据的最大值、最小值。

由式（4）定义的船舶结构优化设计模型可看出，通过显式约束函数来划分可行域与不可行域的基本原理是：若设计变量数值满足显式约束函数，则该设计落在可行域，反之则落在不可行域，而判断是否满足约束条件是以显式约束函数在设计点处函数值的正负作为衡准。贝叶斯分类器可实现相同功能：首先，利用式（5）～式（9）求出设计变量$ {\boldsymbol{X}} = {[{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_D}]^{\text{T}}} $分别属于可行域C₁和不可行域C₂的后验概率$ P({C_1}|{\boldsymbol {X}}) $和$ P({C_2}|{\boldsymbol{X}}) $；然后，将2个用于分类的后验概率作差，利用差值的正负属性，以最大后验准则为依据，可将设计变量的一组取值划分到可行域C₁或不可行域C₂，完成显式约束函数的功能。因此，利用贝叶斯分类器代替隐式约束函数进行优化求解在理论上可行。

3 优化模型

本研究将以 T 型材优化设计为例验证所提方法的可行性。对于T型材的设计主要是在给定最小剖面模数的条件下，确定腹板的厚度与高度和面板的厚度与宽度，使其满足使用要求、安全规范等。然而，这种情况下的尺寸组合多种多样，不同的组合方式所得 T 型材的重量差别非常大，因此优化设计的目标是在这些满足要求的初始设计中，寻找使得T 型材重量最轻的设计方案，使其可被应用在实际生产中。

本研究的基本目标是在满足使用要求的条件下T型材的重量最小，即轻量化，故以质量M作为衡量指标。构件采用同种材料制造，密度均匀，重量最轻即体积最小，又因 T 型材整体可看作为截面为 T 型的柱体，其体积可用截面面积乘以柱体高度得到，而在柱体高度一定时要满足体积最小，只需满足截面面积最小。综上，可将T型材的截面面积作为优化设计问题的目标函数，约束条件根据T型材应满足的强度、刚度要求来得到。优化设计问题的数学模型表达如下：

$ \begin{gathered} \min {\text{ }}f = {b_1}{t_1} + ht ，\\ s.t.{\text{ }}\left\{ \begin{gathered} W \geqslant 1.205 \times {10^6} ，\\ {\text{ }}ht - 1.5{b_1}{t_1} \geqslant 0 ，\\ {\text{ }}10 - {b_1}/{t_1} \geqslant 0 ，\\ {\text{ 7}}0 - h/t \geqslant 0 ，\\ {\text{ }}100{\text{ mm}} \leqslant {b_1} \leqslant 300{\text{ mm}} ，\\ {\text{ }}8{\text{ mm}} \leqslant {t_1} \leqslant 18{\text{ mm}} ，\\ {\text{ 300 mm}} \leqslant h \leqslant 600{\text{ mm}} ，\\ 4{\text{ mm}} \leqslant t \leqslant 12{\text{ mm}}。\\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered} $

(10)

式中：W为T型材的剖面模数，b₁、t₁ 分别为翼板的宽度和厚度；h、t分别为腹板的高度和宽度；b₂、t₂分别为附连带板的宽度和厚度。此处需说明的是，T 型材的剖面模数需考虑附连带板的宽度和厚度，该参数的取值有相应的船舶规范所确定，通常情况下为常量。本研究取值为：b₂ = 800 mm，t₂ = 16 mm。

针对式（10）建立的典型船舶T型材优化设计数学模型，使用多种求解器算出优化解，结果见表1。运用不同的求解方法得到的优化解都比较相近，说明这几组结果可作为式（10）描述的优化设计问题的求解结果。对于遗传算法、差分算法和粒子群算法，种群数量取值为200，迭代次数为2000，确保结果稳定。由于遗传算法求解得到的目标函数值较其他3种方法偏差较大，因此剔除掉这组数据，将其他3种方法得到的结果求平均值后作为参考解，方便后续使用贝叶斯分类器进行优化求解所得结果的对比分析，结果见表2。

在本研究中，选择约束条件10−b₁/t₁≥0和 70−h/t≥0进行研究，为说明这2个约束条件具有积极约束作用，验证了在条件缺省情况下的求解结果，分3种情况。情况A：约束条件完整；情况B：缺省约束条件10−b₁/t₁≥0；情况C：缺省约束条件70−h/t≥0 ，计算结果如表3所示。结果显示，缺少这2个条件中的任何一个，都会导致设计结果与参考结果有较大偏差，说明了这2个约束对整个优化设计问题具有积极的约束效果。

4 数值计算与结果分析

对式（10）建立的船舶T型材优化设计数学模型中的约束条件，构造贝叶斯分类器，利用贝叶斯分类器做出的决策边界代替显式约束函数描述的实际边界，完成约束函数未知情况下的优化求解。由于优化设计案例的约束条件不止一个，本文选择其中2个约束条件，对其分别构造贝叶斯分类器求解和合并构造贝叶斯分类器求解，使用全局优化算法进行寻优计算，探索2种不同的构造方式对优化结果有何影响。

4.1 基于单约束条件的贝叶斯分类器

对约束条件10−b₁/t₁≥0或 70−h/t≥0分别构造贝叶斯分类器，利用其做出的决策边界结合优化算法进行求解，即优化求解过程中只使用一个贝叶斯分类器，将计算结果与表2中的参考解作对比分析，得到表4和表5所示的结果。

由表4结果可知，引入贝叶斯分类器后的优化计算结果与表2所示的参考解相比并不完全一致，但整体误差控制在一个相对较小的范围内。针对目标函数值而言，最大偏差量为0.678%，且随着训练点数量的增加，目标函数的偏差逐渐减小，可见使用贝叶斯分类器代替显式约束函数进行优化求解对优化目标的影响较小。对于4个设计变量而言，虽然偏差程度不太一致，但总体上偏差不大。其中变量b₁的偏差程度相较于其他3个变量而言较大。表5的结果呈现规律与表4基本一致，计算结果偏差在较小的范围内，与对照解相比差别不大，目标函数的最大偏差量为2.03%，且随着训练点数量的增加，目标函数的偏差呈现出逐渐减小的趋势，4个设计变量中变量t的偏差程度相较于其它3个变量而言较大。

图3所示为2个约束函数描述的实际边界和贝叶斯分类器做出的决策边界。图中，实线为显式约束函数描述的实际边界，虚线为由贝叶斯分类器做出的决策边界。可看出，虚线所表示的决策边界虽不与实线表示的实际边界完全重合，但线形的走势基本一致，十分贴合实际边界。此外，图中分布的散点显示的是利用贝叶斯分类器对其分类的结果，被贝叶斯分类器分类到可行域的点标记为“左三角形”，而被分类到不可行域的点标记为“右三角形”。这两类点大多数分别位于实线所示的实际边界两侧，只有极少数点被错误分类，这可表明贝叶斯分类器整体上完成了对数据点进行分类的任务，达到了判断其是否满足约束条件的目的。

前文所做的工作，每次只用到一个贝叶斯分类器代替一个约束条件进行求解，下面将同时使用2个贝叶斯分类器代替2个约束条件进行求解。为尽量降低错误分类数据对求解结果的影响，本文将每次求得的结果反带回贝叶斯分类器中进行判别，剔除部分分类错误的数据，并重复计算，选择满足条件的数据求取平均值，计算结果见表6。

表6的数据是同时对2个约束条件分别构造贝叶斯分类器并进行优化求解的结果，此时用到了2个贝叶斯分类器。目标函数的偏差均小于2%，这说明同时使用2个贝叶斯分类器也取得了较好效果。此外，表6中的数据均满足约束条件，没有出现不满足显式约束函数的情况，这说明在优化求解过程中利用贝叶斯分类器对结果进行二次判断可有效剔除部分错误分类数据，从而提高结果的精确程度。

4.2 基于多约束条件的贝叶斯分类器

合并构造贝叶斯分类器，是指在优化求解过程中，使用一个贝叶斯分类器去代替2个约束条件，而不是对每个约束条件分别构造贝叶斯分类器。本节将对约束条件10−b₁/t₁≥0和70−h/t≥0合并构造贝叶斯分类器，运用优化算法对式（10）所表示的优化问题进行求解，计算结果见表7，2种方法的偏差对比情况见图4。

表7数据为合并构造贝叶斯分类器进行优化求解得到的结果，即使用1个分类器代替2个约束条件。这种构造方法所得目标函数的最大偏差为12.354%，总体在8%左右浮动，优化结果较为稳定，这说明贝叶斯分类此时起到了较好约束作用，验证了贝叶斯分类器代替显式约束函数驱动优化求解的可行性。

将表6和表7的数据进行对比可发现，不管是设计变量还是目标函数的偏差，合并构造贝叶斯分类器的方法进行优化求解所得结果均较单独构造贝叶斯分类器的情况有较大增加，这说明合并构造贝叶斯分类器代替显式约束函数的效果不如单独构造贝叶斯分类器的效果好。图4所示的柱状图直观表现出了这种差异。

当有多个约束条件存在时，单独构造贝叶斯分类器时，每个分类器只需满足一个约束条件，通过贝叶斯分类器做出的决策边界对设计空间进行划分，这对于本研究所示的直线边界条件而言具有良好的模拟真实边界条件效果，但对于多个约束条件而言，首先要对约束条件进行合并，模拟满足原约束条件的新边界，在约束条件都起作用的局部区域，此时的决策边界并不完全为原本单个约束条件对应的决策边界的交集。为了便于说明，以包含2个设计变量的2个约束条件来说明这个问题。

图5（a）描述的是单独构造贝叶斯分类器时决策边界的形成过程，实线所示的2个约束条件分别对应有2条虚线所示的决策边界，假设区域Ⅰ为可行域，则满足条件的决策边界是由决策边界A和决策边界B在区域 Ⅰ 的部分组合而成的，图5（b）描述的是合并构造贝叶斯分类器时决策边界的形成过程，首先要合并原来的约束条件，取二者满足约束条件的部分构成新的约束边界（假定区域 Ⅰ 即为满足约束条件的部分），然后针对该边界构造贝叶斯分类器，得到决策边界。通俗来讲，分别构造贝叶斯分类器，是先分别得到决策边界，再取各个决策边界满足条件的部分构成最终决策边界，而合并构造贝叶斯分类器是先取各个边界满足条件的部分组成新边界，然后得到关于新边界的决策边界。将图5（a）和图5（b）对比可发现，以区域I为可行域的决策边界形状，并不完全一致，并且显然为图5（a）所示的组合式决策边界更贴合真实情况。

5 结　语

本文介绍了贝叶斯分类器的基本原理和船舶结构优化设计的相关基础知识，交代了计算案例的数学模型，并针对建立的船舶典型T 型材结构设计优化问题，使用传统优化设计方法和基于贝叶斯分类器的结构优化设计方法得到优化结果，并对结果进行分析。优化案例的计算结果可说明：

1）本文提出的基于贝叶斯分类器的船舶结构优化方法为一种可行的优化设计方法，贝叶斯分类器可在优化模型难以得到显式约束函数的情况下，进行优化求解，即代替隐式约束函数。

2）在贝叶斯分类器的构造方法上，对单个约束条件单独构造贝叶斯分类器的效果比合并若干约束条件构造贝叶斯分类器的效果更佳。

后续工作可进一步研究其他形式的贝叶斯分类器对优化求解精度方面的影响，以及通过优化的补点训练，提升贝叶斯分类器的精确程度。