0 引　言

宽带信号携带的目标信息量大、混响背景相关性弱，有利于水下目标检测，因此研究宽带波束形成技术在水下的应用具有重要意义^[1]。宽带波束形成可分别在频域和时域上实现，频域上常用基于离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的波束形成方法；时域上多采用基于有限冲激响应（Finite Impulse Response，FIR）结构的波束形成方法^[2]。在实际应用中发现，基于FIR结构的波束形成精度远高于基于DFT的波束形成，因此，之后的一系列波束优化方法基本都是针对基于FIR结构的波束形成器提出的。为了在环境噪声中获得期望信号，要求宽带波束形成算法可以适应不同情况下对主瓣宽度、旁瓣峰值和稳健性等指标的要求，同时给出阵列加权系数进行空、频域的滤波。

为了实现在约束旁瓣峰值的同时降低宽带恒定主瓣的误差，本文研究了一种基于二阶锥规划的最小差异恒定束宽波束形成器设计方法，进行宽带波束形成器各个频率的波束宽度和旁瓣峰值控制，并利用主瓣空间响应差异（Mainlobe Spatial Response Variation，MSRV）来衡量设计的宽带波束形成器的主瓣响应误差大小，同时适当约束加权范数，以达到最小差异恒定束宽、低旁瓣和高稳健性的目的。

1 基于FIR结构的高精度宽带波束形成

基于FIR结构的时域宽带波束形成器的实现图如图1所示^[3]。

设各阵元经过预延迟之后的采样数据为$ {x_m}(i) $，当采样数据通过长度为$ L $，采样延迟为$ {T_s} $的FIR滤波器，可以得到波束形成的输出时间序列：

$ y(i) = \sum\limits_{m = 1}^M {\sum\limits_{l = 1}^L {{h_{ml}}{x_m}[i - (l - 1)]} } 。$

(1)

在信号不确定的情况下，无法进行非整数倍采样周期的时延，故采用整数倍采样周期的时延和小数时延FIR滤波器共同来实现。整数倍采样周期的时延通过数字延迟实现^[4]，所以小数时延延迟量只需处于$ {[ - 0.5{f_s},0.5{f_s}]_{}} $范围即可。

$ L $阶的FIR滤波器由其系数决定是否具有固有群延迟，当滤波器系数为实数时，存在$ (L - 1){T_s}/2 $的故有群延迟；当滤波器系数为复数时，则不存在固有群延迟^[5]。设计的小数时延越接近期望延迟，设计精度越高。且小时延FIR滤波器的期望频率响应为：

$ {H_d}({f_d}) = {e^{ - i2{\text{π}} {f_d}(D + \tau /{T_s})}}。$

(2)

式中：$ {f_d} \in {F_{PB}} $，$ {f_d} = f/{f_s} $为归一化后的频率；$ {F_{PB}} $为滤波器的通带频率，$ {F_{PB}} \subset [0, 0.5] $；$ \tau \in [ - 0.5{T_s}, 0.5{T_s}) $为期望延迟量；$ D $为如下整数：

$ D = \left\{ \begin{array}{ccc}(L-1)/2, & L为奇数，& \tau \in [-0.5{T}_{s},0.5{T}_{s}） ，\\ L/2-1\text{，} & L为偶数，& \tau \in [\text{0},0.5{T}_{s}） ，\\ L/2+1\text{，} & L为偶数，& \tau \in [-0.5{T}_{s},0） 。\end{array}\right. $

(3)

为得到理想的频率响应，可以使期望频率响应与设计的FIR滤波器频率响应之间的误差范数最小。误差范数可表示为：

$ {\delta _q} = ||{{\mathbf{\lambda }}^{1/q}} \circ ({\boldsymbol{H}} - {{\boldsymbol{H}}_d})|{|_q}。$

(4)

式中：$ {H_d}(f) $为任意频率$ f $处的期望频率响应，运算符$ \circ $表示向量的哈达玛积（Hadamard product），即向量对应元素相乘；$ {\boldsymbol{\lambda }} = [{\lambda _1}, \cdots ,{\lambda _k}, \cdots {\lambda _K}] $是非负误差加权系数；$ {\boldsymbol{H}} = [H({f_1}),H({f_2}), \cdots ,H({f_K})] $与$ {{\boldsymbol{H}}_d} = [{H_d}({f_1}), {H_d}({f_2}), \cdots ,{H_d}({f_K})] $分别为设计的滤波器的频率响应和某频率处的期望频率响应；$ q $为可取不同的范数，一般常用$ {\ell _\infty } $范数、$ {\ell _{\text{1}}} $范数和$ {\ell _{\text{2}}} $范数。

设滤波器长度$ L = 15 $；期望延迟量$ \tau = {\text{0}}{\text{.21345}}{T_s} $；通带截止频率为$ {\text{0}}{\text{.4}}{f_s} $，即$ {F_{PB}} = [0,0.4] $；在通频带内的误差加权系数为1，其他区域为0；采用$ {\ell _{\text{2}}} $范数优化准则如式(5)，验证小数时延FIR滤波器（见图2）。

$ \mathop {\min }\limits_h \sum\limits_{k = 1}^K {[{\lambda _k}|{e^{\text{T}}}({f_k})h - {H_d}({f_k}){|^2}]}。$

(5)

通过最小加权误差准则设计的高精度小数时延FIR滤波器，具有较好的滤波性能，有效时域信号的误差在10⁻⁴级，有效提高了宽带波束形成器的精度。

2 基于SOCP的恒定主瓣波束形成 2.1 二阶锥规划

二阶锥规划（Second-order Cone Programming，SOCP）本质上属于凸优化问题^[6]，在一定二阶锥约束及线性等式与不等式约束条件下，可求解某线性函数最小化问题，具体表述为：

$ \left\{\begin{array}{*{20}{l}}\min_y\boldsymbol{b}^{\text{T}}\boldsymbol{y} ，\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\begin{array}{*{20}{c}}\end{array}||\boldsymbol{A}_i\boldsymbol{y}+\boldsymbol{b}_i||\leqslant\boldsymbol{c}_i^{\text{T}}\boldsymbol{y}+\boldsymbol{d}_i，\\ \boldsymbol{Fy}=\boldsymbol{g} ，\\ \boldsymbol{Py}\leqslant\boldsymbol{q}。\end{array}\right. $

(6)

式中：$ {\boldsymbol{y}} $为优化变量；$ i = 1,2, \cdots ,N $，$ N $是二阶锥约束的个数；除$ {\boldsymbol{c}}_i^{\text{T}}{\boldsymbol{y}} $为实数外，其他均为复数向量或矩阵；$ {\text{||}} \cdot {\text{||}} $表示Euclidean范数。

每个约束可表示为：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{c}}_i^{\text{T}}} \\ {{{\boldsymbol{A}}_i}} \end{array}} \right]{\boldsymbol{y}} + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{d}}_i}} \\ {{{\boldsymbol{b}}_i}} \end{array}} \right] \in cone_i^{{q_i}} \text{，} i = 1,2, \cdots ,N 。$

(7)

其中，$ cone_i^{{q_i}} $$ ({q_i} = 3) $是实数域三维空间的二阶锥空间，二阶锥规划就是在这个锥内通过迭代寻找最优点，使目标函数最小化。

SeDuMi工具箱可专门用于求解二阶锥规划问题，求解步骤如下：

步骤1　将优化问题写为式(6)所示的标准形式。

步骤2　分别求出$ \tilde {\boldsymbol{A}} $、$ \tilde {\boldsymbol{b}} $、$ \tilde {\boldsymbol{c}} $。

其中，$ {\tilde {\boldsymbol{A}}_{\boldsymbol{1}}} = {\boldsymbol{P}} $，$ {\tilde {\boldsymbol{A}}_{\boldsymbol{2}}} = {\boldsymbol{F}} $，$ \tilde{\boldsymbol{A}}_{\boldsymbol{2}+\boldsymbol{i}}=-\left[\begin{array}{*{20}{c}}\boldsymbol{c}_{\boldsymbol{i}}^{\boldsymbol{\mathrm{T}}} \\ \boldsymbol{A}_{\boldsymbol{i}}\end{array}\right] $；

$ {\boldsymbol{\tilde b}} = - {\boldsymbol{b}} \text{；} {{\boldsymbol{\tilde c}}_{\boldsymbol{1}}} = {\boldsymbol{q}} \text{，} {{\boldsymbol{\tilde c}}_{\boldsymbol{2}}} = {\boldsymbol{g}} \text{，} {{\boldsymbol{\tilde c}}_{{\boldsymbol{2}} + {\boldsymbol{i}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{d}}_{\boldsymbol{i}}}} \\ {{{\boldsymbol{b}}_{\boldsymbol{i}}}} \end{array}} \right] \text{。} $

步骤3　将$ \tilde {\boldsymbol{A}} $、$ \tilde {\boldsymbol{b}} $、$ \tilde {\boldsymbol{c}} $代入SeDuMi函数，即可求出优化变量。

2.2 恒定主瓣波束响应

首先将工作频带分为若干窄带，用每个窄带的中心频率代表此窄带。在某一参考频率（不一定是某个子带频率）下，利用某一优化准则来设计期望波束响应^[7]。再针对每个子带，在控制旁瓣的条件下，以最小均方主瓣逼近准则设计加权向量$ w({f_k}) $，可表述为：

$ \left\{\begin{array}{*{20}{l}}\min_w\sum\limits_{j=1}^{N_{ML}}[\lambda_j|\boldsymbol{w}^{\text{H}}\boldsymbol{p}(\theta_j)-\boldsymbol{B}_d(\theta_j)|^2]，\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.|\boldsymbol{w}^{\text{H}}\boldsymbol{p}(\theta_j)|\leqslant\xi_{\text{0}i} ，\\ \text{||}\boldsymbol{w}^2||\leqslant\xi_0。\end{array}\right. $

(8)

式中：$ {\theta _j} \in {\Theta _{ML}} $，$ {\theta _i} \in {\Theta _{SL}} $，$ {\xi _{{\text{0}}i}} $为设定的旁瓣值，$ {\xi _{\text{0}}} $为设定的加权范数约束值。波束形成器对误差的灵敏度与加权向量范数成正比，加权范数向量越小，波束形成器的稳健性越高。常规波束形成器加权向量范数最小为1/M，因此常规波束形成器也具有最高的稳健性^[8-9]。

波束形成器中各通道FIR滤波器的期望频率响应就是该通道在该频率下的复加权，以第m个通道为例，滤波器系数为$ {h_{ml}} $，期望频率响应为$ {H_{d,m}}({f_k}) $。因为各通道数据在通过滤波器前已经经过了预延迟，则有：

$ {H_{d,m}}({f_k}) = w_m^*({f_k})\exp ({i{2}}{\text{π}} {f_k}{T_m})。$

(9)

式中：$ {f_k}(k = 1,2, \cdots ,K) $为各子带的中心频率；$ w_m^*({f_k}) $为某通道在某子带处的复加权值；为避免在实际实现中使用价格昂贵的电子延迟器件，预延迟可取与小数延迟较接近的整数倍采样延迟，即取

$ {T_m} = - {int} [{\tau _m}({\theta _0})/T{}_s] \cdot {T_s}。$

(10)

以均匀32阵元线列阵，期望指向角度10°为例设计FIR恒定主瓣波束形成器。在频域中，将工作频带$ [f_l=\text{18}\;\mathrm{kHz},f_h=\text{30}\;\mathrm{kHz}] $划分为33个子带，采样频率$ {f_s} = {\text{5}}{f_h} $,归一化频带$ {f_{d}} $中的工作频带为$ [{f_l}/{f_s},{f_h}/{f_s}] = [0.1{\text{2}},0,{\text{20}}] $；在空间域中，设主瓣区域为$ [-8^{\circ},{\text{2}}{8^{\circ}}] $，旁瓣区域$ [-{90}^{\circ},-{12}^{\circ}]\cup [{\text{32}}^{\circ}，{\text{90}}^{\circ}] $，且旁瓣峰值控制在−25 dB；通过约束加权范数值在0.1778以下达到稳健性要求。设计具体步骤如下^[10]：

步骤1　以子带内任意频率处的常规波束形成作为期望主瓣响应，在旁瓣控制最小均方主瓣逼近准则下求得各阵元在各频率下的复加权向量$ w({f_k}) $。

步骤2　设计各通道滤波器响应，并验证是否符合期望频率响应。

步骤3　采用$ {\ell _{\text{2}}} $范数优化准则设计滤波器，其中滤波器长度$ L = {\text{65}} $，求得实际各通道滤波器系数。

步骤4　构造FIR波束形成器的等效加权向量，用该等效加权向量计算FIR波束形成器在各子带的波束响应。

通过将式(8)转换为二阶锥规划问题，利用SeDuMi工具箱求解出的各阵元复加权值，在空间域上实现了波束形成的要求，由图3可知，旁瓣峰值控制在−25 dB以下，同时各子带符合规定的主瓣宽度。图4为第8阵元滤波器的频率响应，阻带值控制在−40 dB以下，保证在频域上滤除非工作频带的信号，并同时将小数时延转化为对应的相移，实现高精度波束形成。将实际滤波器等效为各阵元加权值后求解FIR波束形成器的波束响应图，如图5所示，其中旁瓣峰值为−22.95 dB，相比设计的波束响应图有所升高，主瓣均方根误差达0.2045。

3 最小差异恒定主瓣波束形成 3.1 全局优化恒定主瓣波束响应

分析上述基于SOCP的恒定主瓣波束形成方法可知，上述在求解子带加权值和FIR滤波器系数时，2个优化问题都为凸优化，均可借助二阶锥规划在一定约束条件下获得最优解^[11]。虽然FIR结构保证了高精度宽带波束形成，但存在一定缺陷：

1）在频域上没有对过渡带进行约束，如图6所示。

2）无法直接根据旁瓣级约束确定FIR滤波器的阻带衰减级。

3）2个问题的最优解，并非全局综合的最优值。

根据图7，为控制波束形成的空、频域旁瓣，且使工作频带内的主瓣响应逼近于期望响应，最小合成误差全局优化的恒定主瓣波束响应FIR波束形成器设计如下：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\min }_h}{{\max }_{k,j}}|B({f_k},{\theta _j}) - {B_d}(\theta {}_j)|}，\\ {{\text{s}}{\text{.t}}{\text{.|}}B({f_k},{\theta _i})| \leqslant {\xi _{0ki}}} ，\\ {|B({f_t},{\theta _i})| \leqslant {\xi _{0ti}}}，\\ {|B({f_p},{\theta _q})| \leqslant {\xi _{0pq}}} 。\end{array}} \right. $

(11)

式中：$ {f_k} \in {F_{PB}} $、$ {\theta _j} \in {\Theta _{ML}} $、$ {\theta _i} \in {\Theta _{SL}} $、$ {f_t} \in {F_{TB}} $、$ {f_p} \in {F_{SB}} $、$ {\theta _j} \in {\Theta _{ML}} $，$ {B_d}({\theta _j}) $为工作频带内主瓣范围内的期望波束响应；$ {\xi _{0ki}} $、$ {\xi _{0ti}} $、$ {\xi _{0pq}} $分别为设定工作频带内的期望旁瓣值、过渡带期望旁瓣值与频域旁瓣期望值。可以通过约束FIR滤波器的系数来提高宽带波束形成器的稳健性。即

$ \sum\limits_{m = 1}^M {\sum\limits_{l = 1}^L {||{h_{ml}}|{|^2} \leqslant \Delta _0^2} }。$

(12)

式中，$ {\Delta _{\text{0}}} $越小，设计出的宽带波束形成器稳健性越高^[12]，将该约束加入到式(11)的优化问题中，同样可以采取二阶锥规划求解。

与仿真实验条件完全相同，旁瓣峰值约束均为−25 dB。

3.2 最小差异恒定主瓣波束响应

就全局优化法而言，需要预先对期望主瓣响应$ {B_d}({\theta _j}) $进行选择，然后使设计的波束主瓣响应尽可能地逼近于该期望响应，如果该期望响应选择有误，就会造成设计波束主瓣响应误差较大^[13]，这是全局优化设计的一个缺点。

基于上述缺点提出用主瓣空间响应差异（Mainlobe Spatial Response Variation，MSRV）来衡量设计的宽带波束形成器的主瓣响应误差。

定义波束响应误差：

$ {\delta _{MSRV}}({f_k},{\theta _j}) = |B({f_k},{\theta _j}) - B({f_0},{\theta _j})|。$

(13)

由式(9)可以推导出，FIR波束形成器在某一频率$ f $处的等效加权向量^[14-15]为：

$ {\hat w_m}(f) = conj[h_m^{\text{T}}e(f)\exp ( - {\text{i}}2{\text{π}} f{T_m})]。$

(14)

其中，

$ e(f) = {[1,\exp ( - {\text{i2}}{\text{π}} f{T_s}), \cdots ,\exp ( - {\text{i2}}{\text{π}} (L - 1)f{T_s})]^{\text{T}}} 。$

(15)

因此，FIR波束形成器的波束响应为：

$\begin{split}B(f,\theta ) =& {\hat {\boldsymbol{w}}^{\text{H}}}(f){\boldsymbol{p}}(f,\theta ) = \{{\boldsymbol{e}}(f) \otimes [{\boldsymbol{p}}(f,\theta ) \circ \\ &\exp ( - {\text{i2}}{\text{π}} f{T_m})]\} ^{\text{T}}{\boldsymbol{h}} = {{\boldsymbol{u}}^{\text{T}}}(f,\theta ){\boldsymbol{h}}\end{split} 。$

(16)

则式(13)可变为：

$ {\delta _{MSRV}}({f_k},{\theta _j}) = |{{\boldsymbol{u}}^{\text{T}}}({f_k},{\theta _j}){\boldsymbol{h}} - {{\boldsymbol{u}}^{\text{T}}}({f_0},{\theta _j}){\boldsymbol{h}}| 。$

(17)

式中：$ {f_0} $为参考频率，它可以取工作频带内的任意频率；$ B({f_0},{\theta _j}) $为参考频率处的波束响应，是优化变量$ {\boldsymbol{h}} $的函数，它与全局优化设计中期望波束响应不同。引入主瓣空间响应差异后，提出基于旁瓣峰值约束Minimax主瓣差异的FIR波束形成器设计准则，构造旁瓣峰值约束Minimax主瓣差异设计优化问题为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\mathop {\min }\limits_h {{\max }_{k,j}}|{{\boldsymbol{u}}^{\text{T}}}({f_k},{\theta _j}){\boldsymbol{h}} - {{\boldsymbol{u}}^{\text{T}}}({f_0},{\theta _j}){\boldsymbol{h}}|} ，\\ {\mathrm{s}.\mathrm{t}.\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{{\boldsymbol{u}}^{\text{T}}}({f_0},{\theta _s}){\boldsymbol{h}} = 1} ，\\ {{{\boldsymbol{u}}^{\text{T}}}({f_k},{\theta _i}){\boldsymbol{h}} \leqslant {\xi _0}} 。\end{array}} \right. $

(18)

其中：$ {f_k} \in [{f_l},{f_u}] $，$ {\theta _j} \in {\Theta _{ML}} $，$ {\theta _i} \in {\Theta _{SL}} $。

除旁瓣峰值约束提升为−30 dB外，其他与2中仿真条件完全相同，参考频率可随意选择，此处选取工作频带的下限为参考频率，代入式(18)的优化问题中，结果如下。

通过全局优化设计的波束形成器，在空、频域上的表现明显优于传统的FIR子带设计波束形成器，具体表现为：增加了对过渡带的约束后，空间域中在规定的主瓣范围之外，均低于设定值−25 dB，如图8所示；在频域中，工作频带之外的频率处的波束响应峰值均低于设定值−25 dB，且在过渡带与工频带的交界处可实现快速衰减，使过渡带更窄，如图9所示；综合结果如表1所示，就各频带在主瓣中的波束响应而言，相较于子带设计波束形成法的0.2045主瓣均方根误差，全局优化的主瓣均方根误差为0.1174。

更进一步，在克服了全局优化波束形成法在主瓣参考波束响应的选择后，最小差异恒定主瓣波束响应法可将旁瓣峰值完全控制−30 dB以下，如图10所示。频域中，过渡带与工频带交接处更陡且主瓣均方根误差为0.0175，可认为各工作频带在主瓣中的波束响应完全一致，如图11所示。

4 结　语

为解决传统波束形成器在空、频、时域上的表现不佳问题，本文引入了一种基于二阶锥规划的FIR最小差异恒定主瓣波束形成方法。首先采用基于FIR滤波器结构设计出的波束形成器，在实现了高精度小数时延的同时，将传统方法中的小数预延迟改进为整数预延迟与FIR滤波器的结合，使整数倍的预延迟可直接采用数字延迟线实现，避免了在工程实际中使用昂贵的电子延迟器或机械扫描器，为之后宽带波束形成器的实现奠定了良好的基础。然后，通过引入滤波器系数h，将旁瓣级与FIR滤波器的阻带衰减级联系在一起，并且采用全局优化的方法将传统方法中的2个凸优化问题合为一个凸优化问题，直接利用二阶锥规划解决，确保了所得解是综合最优解。最后，重新定义了主瓣响应误差，将原有固定参考频率处的波束响应修改为某频率处h的函数，因为最终求解的未知数也是h，提出了基于旁瓣峰值约束Minimax主瓣差异的FIR波束形成器设计准则。

仿真结果表明，在时域中，该波束形成器采用的FIR滤波器时延波形与理想时延波形之间的误差为10⁻⁴量级；在空间域中，根据所提方法可在期望信号方向获得主瓣均方根误差极小的恒定波束响应，同时对旁瓣方向信号的抑制可在−30 dB以下，可将期望信号无失真输出；在频域中，可将工频带与过渡带的交接处处理的更陡，同时控制过渡带旁瓣峰值在−30 dB以下。同时该方法的部分功能已在FPGA中得到初步验证。