0 引　言

现代鱼雷逐渐向高航速发展，使得动力系统的功率和转速显著提高，鱼雷动力系统的齿轮减速器的齿轮载荷相应增大，齿面摩擦产热愈发严重^[1]。相比较传统工业减速器，鱼雷减速器属于短时苛刻条件工作的设备，具有转速高、结构紧凑、重量轻、齿面应力高、工作时间短等特点，使得鱼雷减速器的齿轮工作环境更加苛刻，齿面发热量大。同时由于重量要求严苛，润滑油加注量和供应量限制严格，对齿轮润滑油需求量的精确计算显得尤为关键。齿轮减速器中，由于减速器内部各个齿轮因啮合导致的相对摩擦而产生大量的热，该热功率会因输入转速和功率不同而存在差异，从而导致所需润滑油油量也不同^[2]。

Townsend等^[3]运用有限元方法计算分析了在一定热流输入、喷油压力和对流换热系数的条件下，啮合齿轮表面的温度分布。采用红外显微镜对齿轮表面温度进行测量，测量与仿真结果吻合良好。Miahaildis 等^[4]建立了一对啮合齿轮的热弹流润滑模型，得到了润滑情况下齿轮表面的油膜厚度、压力以及温度分布。Xing等^[5]对齿轮的摩擦功率损失进行研究，提出一种考虑齿轮齿廓修型的功率损失计算公式。Yazdani等^[6]通过有限元方法计算了喷油润滑和油雾润滑2种情况下齿轮的温度场。结果表明，对高速齿轮，采用喷油润滑的方式更能明显地降低齿体的温度。Li等^[7]通过数值方法计算了固体摩擦和油摩擦时齿轮传动的功耗和效率。Fernandes 等^[8]通过齿轮损失系数计算得到热边界条件，进而建立了可计算喷油润滑、飞溅润滑和干摩擦多种情况下的齿轮温度场有限元模型。汝艳等^[9]计算了齿轮齿面上各处的对流热换热系数和啮合时产生的摩擦热流量，以此作为热流边界通过有限元方法研究了齿轮本体温度场的大小和分布。吕亚国等^[10]利用热网络法对某航空发动机的附件机匣的温度场进行分析，获得了机匣内各处位置的热流量、温度大小及分布。王忠达等^[11]基于热流耦合的方法，通过Fluent计算了不同润滑工况、齿轮几何参数和载荷的螺旋锥齿轮齿轮箱中的流场与温度场。袁光前等^[12] 基于齿轮啮合参数，推导了齿轮热功率损失数学表达式，得到各齿轮参数对齿轮啮合热功率损失的影响规律。刘蒙等^[13]通过CFD方法对减速器进行了热分析，得到温度随浸油深度、转速、传递功率的变化规律。Liu等^[14]研究了Ree-Eyring流体点接触热弹流润滑问题，发现Ree-Eyring流体模型的结果相比牛顿流体模型更接近真实值，但未进行减速器齿轮需求流量分析。

综上所述，尽管齿轮摩擦功耗计算以及热弹流方面研究均有所开展，但大多国内外学者使用有限元方法对齿轮温度场进行研究，缺乏考虑热弹流润滑温度场影响下的多级减速器齿轮需求流量研究。考虑到鱼雷减速器对动力系统的重要性以及特有的工况条件，有必要进行减速器齿轮需求流量研究。以Ree-Eyring流体热弹流润滑理论为基础，计算多级减速器齿轮的工作需求流量，以期为减速器齿轮润滑需求流量分析提供理论指导。

1 数理模型

齿轮润滑油需求流量的计算需要结合齿轮副热弹流润滑以及热功率计算，具体分析流程如图1所示。依据齿轮结构参数与工况参数，结合热-弹-流分析方法，建立齿面的热弹流润滑分析模型，得到齿轮齿面润滑区域的油膜厚度、齿轮表面温升与润滑油量的映射关系。确定齿面接触区域的油膜压力，结合运动方程和接触状态计算齿轮工作过程发热功率，确定齿轮固体表面温升，以齿轮胶合临界温度为判定条件，计算润滑油最大允许温升。通过齿轮热功率、润滑油允许温升等约束条件，精确计算各齿轮对润滑油的最小需求流量。

鱼雷减速器的齿轮为圆柱斜齿轮，渐开线齿轮啮合过程可以等效为2个圆面的纯滚动，为了对斜齿轮进行润滑研究，将斜齿轮等效为反向圆锥接触的润滑模型，如图2所示。

1.1 齿轮热弹流润滑数学模型

为了避免斜齿轮副直接接触，在主从动轮间的润滑油需要具有一定压力，斜齿轮副间润滑油膜压力分布通过Reynolds方程求解。在忽略润滑剂彻体力、惯性项、压力沿润滑剂膜厚方向的变化，并假设润滑剂流体形态为层流且满足界面滑移条件，同时考虑润滑剂粘度和密度沿膜厚方向的变化，此时考虑油量影响和时间效应的Reynolds方程如下：

$\begin{split} & \frac{\partial }{{\partial x}}\left[ {{{\left( {\frac{\rho }{\eta }} \right)}_e}{h^3}\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} \right] + \frac{\partial }{{\partial y}}\left[ {{{\left( {\frac{\rho }{\eta }} \right)}_e}{h^3}\frac{{\partial p}}{{\partial y}}} \right] = \\ & \quad\quad 12{u_e}\frac{{\partial (\theta \rho _x^*h)}}{{\partial x}} + 12\frac{{\partial (\theta {\rho _e}h)}}{{\partial t}} 。\end{split}$

(1)

式中：ρ和η分别为润滑剂密度和粘度；p和h分别为润滑剂的压力和膜厚；u_e为斜齿轮副间润滑剂的卷吸速度，沿斜齿轮接触线长度不断变化；x和y分别为为润滑剂运动方向和齿轮接触线方向；t为时间。

不考虑润滑剂体积力和热辐射的作用，并忽略润滑剂沿着x和y方向的热传导效应，润滑剂的能量方程为：

$\begin{split} & cf\left[ \rho \frac{{\partial T}}{{\partial t}} + \rho u\frac{{\partial T}}{{\partial x}} + \rho v\frac{{\partial T}}{{\partial y}} - \right.\\ & \left.\left( {\frac{\partial }{{\partial x}}\int_0^z {\rho u{\mathrm{d}}z + \frac{\partial }{{\partial y}}\int_0^z {\rho v{\mathrm{d}}z + \frac{\partial }{{\partial t}}\int_0^z {\rho {\mathrm{d}}z} } } } \right)\frac{{\partial T}}{{\partial z}} \right] =\\ & - \frac{T}{\rho }\frac{{\partial \rho }}{{\partial T}}\left[ {\frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + u\frac{{\partial \rho }}{{\partial x}} + v\frac{{\partial \rho }}{{\partial y}}} \right] + \eta \left[ {{{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial z}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial z}}} \right)}^2}} \right]。\end{split}$

(2)

式中：c_f为润滑剂比热容；k_f为润滑剂的热传导系数；u和v分别为润滑油沿x和y方向的速度；$\partial$u/$\partial$z和$\partial$v/$\partial$z分别为润滑油沿x和y方向的速度梯度。

斜齿轮主动轮与从动轮的热传导方程分别为：

${c_1}{\rho _1}{u_1}\frac{{\partial T}}{{\partial x}} + {c_1}{\rho _1}\frac{{\partial T}}{{\partial x}} = {k_1}\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial z_1^2}} ,$

(3)

${c_2}{\rho _2}{u_2}\frac{{\partial T}}{{\partial x}} + {c_2}{\rho _2}\frac{{\partial T}}{{\partial x}} = {k_2}\frac{{{\partial ^2}T}}{{\partial z_2^2}} 。$

(4)

式中：c₁ (c₂)、ρ₁ (ρ₂)和k₁ (k₂)分别为主动轮1和从动轮2的比热容、密度和热传导系数；z₁、z₂分别为主动轮1和从动轮2沿膜厚方向的坐标，其正方向与膜厚方向z的正方向保持一致。

由于鱼雷减速器齿轮的转速高、接触应力大，齿面油膜处的润滑油温度和压力变化大，需要考虑由此带来的润滑油的密度改变，采用Dowson和Higginson提出的密度-压力-温度关系来描述润滑油的密度变化，方程为：

$\rho = {\rho _0}\left[ {1 + \frac{{0.6 \times {{10}^{ - 9}}p}}{{1 + 1.7 \times {{10}^{ - 9}}p}} - 6.5 \times {{10}^{ - 4}}(T - {T_0})} \right] 。$

(5)

式中：ρ₀为润滑剂的环境密度；T₀为润滑油环境温度；T在此处表示油膜温度。

Roelands提出的牛顿流体粘度-压力-温度关系方程可表示为：

$\begin{split} \eta =\,& {\eta _0}\exp \left\{ (\ln {\eta _0} + 9.67)\left[ {{\left( {1 + 5.1 \times {{10}^{ - 9}}} \right)}^{{z_0}}} \right.\right.\\ & \left.\left.{{\left( {\frac{{T - 138}}{{{T_0} - 138}}} \right)}^{ - {S_0}}} - 1 \right] \right\}。\end{split}$

(6)

式中：η₀为润滑剂环境粘度；Z₀和S₀为牛顿流体粘度计算的中间参数，计算公式如下：

${Z_0} = {{{\alpha _f}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\alpha _f}} {[5.1 \times {{10}^{ - 9}}(\ln {\eta _0} + 9.67)]}}} \right. } {[5.1 \times {{10}^{ - 9}}(\ln {\eta _0} + 9.67)]}} ,$

(7)

${S_0} = {\beta _f}{{({T_0} - 138)} \mathord{\left/ {\vphantom {{({T_0} - 138)} {(\ln {\eta _0} + 9.67)}}} \right. } {(\ln {\eta _0} + 9.67)}}。$

(8)

式中：α_f、β_f分别为润滑剂的粘压系数和粘温系数。

油膜压力在计算域内积分可得到承载载荷，载荷平衡方程为：

$Q = \iint_\Omega {p(x,y){\rm d} x{\rm d} y}。$

(9)

1.2 齿轮生热功率计算

斜齿轮的生热功率计算如下：

${Q_g} = {P_s} + {P_R} + {P_{w1}} + {P_{w2}} ,$

(10)

式中：$Q_{g}$为斜齿轮生热率；$P_{s}$为平均滑动损失；$P_{{R}}$为平均滚动损失；$P_{{w1}}$为主动轮风阻损失；$P_{{w} 2}$为从动轮风阻损失。

其中，平均滑动损失$P_{s}$、平均滚动损失$P_{R}$、主动轮风阻损失$P_{w 1}$、从动轮风阻损失$P_{w 2}$的计算式为

${P_s} = f{F_n}{v_s} ,$

(11)

${P_R} = 9 \times {10^7}{v_T}hb\varepsilon,$

(12)

$\begin{split}{P_{w1}} =& 2.82 \times {10^{ - 4}}(1 + 2.3b/{r_1})\times\\ &{n_1}^{2.8}{r_1}^{4.6}(0.028{\mu _0} + 0.019)^{0.2}，\end {split}$

(13)

$\begin{split} {P_{w2}} =\,& 2.82 \times {10^{ - 4}}(1 + 2.3b/{r_2}){({{{n_1}{z_1}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{n_1}{z_1}} {{z_2}}}} \right. } {{z_2}}})^{2.8}}{r_2}^{4.6}\times\\ & {(0.028{\mu _0} + 0.019)^{0.2}}。\end{split}$

(14)

式中：f为摩擦系数；F_n为平均法向载荷；v_s为平均滑动速度；v_t为平均滚动速度，m/s；h为油膜厚度，m；b为齿宽，m；ε为重合度；r₁、r₂分别为主从动齿轮节圆半径，m；n₁为主动轮转速，r/min；μ₀为滑油动力粘度，mPa·s；z₁、z₂分别为主、从动齿轮齿数。

由式（11）～式（14）可得齿轮热弹流润滑以及热功率计算都需要先求出齿轮平均滚动速度v_t，平均滑动速度v_s。

图3中，KK为当前啮合时刻的斜齿轮齿面接触线，N₁N₁N₂N₂为两斜齿圆柱齿轮的理论啮合面，B₁B₁B₂B₂为两斜齿圆柱齿轮的实际啮合面，ω₁和ω₂分别为减速器斜齿轮主动轮、从动轮的旋转速度，接触线KK与基圆轴线的夹角为斜齿轮的基圆螺旋角β_b。

为了获得斜齿轮副的卷吸速度，需求得斜齿轮运动学分析可得接触线上任一点K'的线速度，即：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_1} = {\omega _1}\left( {{N_1}{K_1} - y\sin {\beta _b}} \right)} ,\\ {{u_2} = {\omega _2}\left( {{N_2}{K_1} + y\sin {\beta _b}} \right)} 。\end{array}} \right.$

(15)

式中，u₁和u₂分别为主动轮与从动轮接触线上任一点的线速度。从而可得斜齿轮接触线上任一点的卷吸速度v_T和滑滚比S分别为：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{v_t} = {{\left( {{u_1} + {u_2}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{u_1} + {u_2}} \right)} 2}} \right. } 2}} ,\\ {S = {{2\left( {{u_1} - {u_2}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{2\left( {{u_1} - {u_2}} \right)} {\left( {{u_1} + {u_2}} \right)}}} \right. } {\left( {{u_1} + {u_2}} \right)}}}。\end{array}} \right.$

(16)

1.3 润滑油流量计算

为确定齿轮润滑油需求流量，除了确定其产生的热功率外，还需要确定齿面最大温升。在齿轮啮合过程中，润滑油喷射进入齿面，形成油膜，啮合过程中齿面摩擦的热传递到参与润滑的油液中，使得润滑油温度升高，由于热交换需要温差，齿面啮合结束时，齿面温度高于附着齿面的润滑油温度，则齿面温升和润滑油温度需满足如下条件：

${T_{{c}}} = {T_{{r}}} + \Delta {T_{{c}}} = {T_0} + \Delta {T_{{r}}} + \Delta {T_{{c}}} \leqslant [{T_s}] = {{{T_s}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{T_s}} \zeta }} \right. } \zeta }。$

(17)

式中：T_c为啮合过程中齿面温度；T_r为啮合过程润滑油最高温度；ΔT_c为齿面温升；T₀为润滑油初始温度；ΔT_r为啮合过程润滑油温升；T_s为齿面胶合临界温度，[T_s]为齿面胶合许用温度，ζ为齿面胶合安全系数，通常取值1.5。

根据齿轮发热功率以及齿面最大温度条件，从而计算出带走这些热量所需要的滑油体积流量，公式为：

${Q_v} = \frac{{60 \cdot {Q_{{g}}}}}{{{c_p}\rho \Delta {T_{{r}}}}} 。$

(18)

式中：Q_v为齿轮所需流量；c_p为滑油比热容；ρ为滑油密度。

2 计算与分析

某鱼雷减速器为三级齿轮传动系统，单轴输入单轴输出，其中第1级传动为一对斜齿轮副，第2级和第3级齿轮传动为3轴分扭-并车齿轮传动，传动系统采用齿轮均为圆柱斜齿轮。其齿轮结构参数如表1中所示。

2.1 齿轮热功率计算

根据齿轮结构参数、工况参数进行齿轮热弹流润滑计算。得到齿轮润滑区域油膜压力，并根据提到的齿轮热功率计算公式，估算齿轮热功率。

计算得到齿轮副滑动速度如图4所示。齿轮滑动速度随齿轮接触区位置发生变化，因此将节点平均值作为齿轮平均滑动速度，计算齿轮发热功率。且齿轮接触线方向齿轮油膜厚度相差不大，因此只计算接触中线处油膜厚度沿啮合方向变化值，减速器内齿轮副接触区膜厚如图5所示。同样取每个节点油膜厚度平均值作为热功率计算中油膜厚度计算值。

将齿轮工况参数代入膜厚、平均滚动速度及平均滑动速度的计算式中，得到各齿轮在给定工况下的关键参数值，如表2所示。

将齿轮结构参数、工况参数以及油膜压力代入式（10）～式（14），得到各齿轮副生热功率，如表3所示。

2.2 润滑油允许温升

为了计算齿轮需求流量还需确定润滑油最大允许温升，采用齿轮胶合准则来确定润滑油允许温升。首先需要根据热弹流润滑结果计算饱和润滑下齿轮固体齿面温升，由于有多级齿轮，故选取齿轮发热功率最大的第1级齿轮副进行计算。考虑到鱼雷润滑系统的冷却能力，计算时给定润滑油初始温度T₀为55℃，计算结果如图6所示。

依据齿轮校核准则，计算得到齿面胶合临界温度Ts为283.9℃，由图6可知，齿轮副齿面最大温升ΔTc为71.8℃，代入式（17）中，得到润滑油最大允许温升ΔTr为62.4℃。

2.3 齿轮润滑油需求流量比较

依据机械设计手册，采用经验公式估算齿轮热功率和推荐润滑油温升对润滑油需求量进行计算。将表3中各齿轮副的热功率和齿面胶合准则下润滑油最大许用温升62.4℃代入式（18），计算得到各齿轮副的润滑油需求量，并与手册计算结果比较，如表4所示。手册计算的润滑油量冗余过大，热弹流模型计算的润滑油量较少，单级齿轮副供油量最大减少68.6%，鱼雷减速器齿轮传动润滑油需求量减少63.8%，显著减少了润滑油供给量，简化了供油系统和节约了设计空间。依据本研究结果的减速器已完成多次试验验证，试验后齿面无胶合和烧伤痕迹。

3 结　语

为了提高减速器可靠性，基于热功率计算公式以及热弹流润滑理论，研究了鱼雷减速器齿轮的润滑需求流量，结论总结如下：

1）提出一种齿轮润滑油量计算方法，建立齿轮热弹流润滑数学模型，结合齿轮生热功率和齿面温升，计算出润滑油需求量，并试验验证其正确性。

2）相比机械设计手册计算的润滑油需求量，本文计算得到减速器齿轮系统供油量减少达63.8%，更适合鱼雷减速器的短时苛刻工况和限制润滑油加注量的情况。