0 引　言

弧面分度凸轮机构是间歇分度凸轮机构的一种，多用于两垂直交错轴间的间歇分度步进传动，被研究人员评价为“当今最理想的高速高精密分度机构”，主要由弧面分度凸轮、滚子和转盘组成。凸轮和转盘的两轴轴线呈交错垂直，当分度凸轮旋转时，其分度段轮廓推动滚子，使转盘分度转位；当凸轮转到其停歇段轮廓时，转盘上的2个滚子跨夹在凸轮的圆环面突脊上，使转盘停止转动。其特点是：1）结构简单紧凑，承载能力强，驱动效率相对较高，整体设计比较灵活，运动规律可以任意拟订；2）不需要附加其他装置就能获得准确的分度定位作用；3）可通过调整凸轮和转盘的中心距来消除滚子与凸轮之间的间隙和补偿磨损，以获得较好的动力学和运动学特性，实现机构平稳运转^[1]。因其优越的性能，被广泛用于各种自动机械设备中。

弹鼓是舰炮供弹系统重要的组成部分，具有弹药转运以及临时储弹功能，其运转平稳性和停位可靠性是保证舰炮持续射击的重要保证^[2]。某大口径舰炮供弹系统的扬弹机和弹鼓采用统一动力，在弹鼓传动机构中，通过弧面分度凸轮机构将动力输出的连续匀速转动转化为步进间歇转动，实现弹鼓逐个弹位的周期性转动。因大口径舰炮弹药质量大、尺寸长，在弹鼓实际供弹过程中，频繁的启停会引起较大的振动和冲击，对弹药转运稳定性、弹药交接可靠性以及零部件寿命都产生了不利影响^[3]。为减小弹鼓供弹时的振动和冲击，提高弹药转运稳定性和弹药交接可靠性，故对弹鼓运动规律进行研究，从新优化了弧面分度凸轮机构的凸轮轮廓曲线。

1 弹鼓运动分析

弹鼓传动机构原理如图1所示，动力装置输出轴与弧面分度凸轮轴连接，与凸轮啮合的从动转盘通过齿轮1、齿轮2将动力传递给弹鼓驱动轮。工作时，在动力装置驱动下，通过传动机构，弹鼓在每个工作循环前进一个弹位，每个工作循环分为：运动—停止，在停止状态时，弹鼓与扬弹机进行弹药交接，如此循环运动，可完成对扬弹机连续供弹。

1.1 弹鼓运动规律

动力装置输出连续匀速转动，通过弧面分度凸轮机构实现弹鼓的间歇运动，凸轮转速60 r/min。弹鼓设计参考周期运动规律如图2所示。

由于弹鼓的运动规律是由弧面分度凸轮机构决定的，并且弹鼓的位移与凸轮从动转盘的位移为线性关系，因此，分析凸轮机构的运动规律即可表征弹鼓的运动规律。常用的凸轮机构运动规律有很多种，如等速运动规律、等加速运动规律（抛物线）、余弦加速度运动规律（简谐运动）、正弦加速度运动规律（摆线）、3-4-5次多项式运动规律、改进等速运动规律、改进正弦运动规律等^[1]。可以通过选择适当的运动规律来减小动负荷、避免振动冲击，以适应不同的工作要求。针对中速、中载的特点，这里选择了余弦加速度运动规律，6分度凸轮，其从动转盘的角位移φ、角速度ω、角加速度ε及角跃度j计算公式为：

$ \left\{ \begin{split} & \varphi = \frac{{\text π} }{6}\left( {1 - \cos 2 {\text π} t} \right)，\\ & \omega = \frac{{{{\text π} ^2}}}{3}\sin 2\text π t ，\\& \varepsilon = \frac{{2{\text π ^3}}}{3}\cos 2\text π t，\\& j = - \frac{{4{{\text π } ^4}}}{3}\sin 2\text π t ，\end{split} \right. 0 \leqslant t \leqslant 0.5，\left\{ \begin{gathered} \varphi = \frac{\text π }{6}，\\ \omega = 0 ，\\ \varepsilon = 0，\\ j = 0 ，\\ \end{gathered}\; \right.0.5 \leqslant t \leqslant 1。$

利用Matlab编程计算得到凸轮从动转盘角位移、角速度、角加速度及角跃度曲线如图3所示。

1.2 运动规律分析

由于弹鼓在运动停止时要和扬弹机进行弹药交接，必须保证停止时的稳定性，应避免由于速度突变引起的刚性冲击和加速度突变引起的柔性冲击^[4]。由图2可知，余弦加速度运动规律最大速度较小，启动较平稳。但是在运行开始和结束的瞬间，加速度产生有限值的突变，从动转盘理论上将会出现无穷大的跃度，而跃度和从动件的振动冲击关系较大，因此在运动行程始末存在柔性冲击，会引起弹药晃动，进而影响弹药交接的可靠性。在实际工作中，弹药交接故障频繁发生也验证了此处选择余弦加速度运动规律的弊端。

根据弹鼓工作情况和运动规律分析，必须优化弧面分度凸轮机构的凸轮轮廓曲线规律，消除运动起始和终止处的加速度突变^[5]。在凸轮基本运动规律中，改进正弦加速度运动规律在行程始末处速度和加速度为零，最大速度较小，适用于中速、重载工况，因此，对改进正弦加速度运动规律进行分析，并进一步优化，使其满足弹鼓工作需求。

2 改进正弦加速度运动规律

这种运动规律根据正弦加速度运动规律改进得来，行程始末采用周期较短的正弦加速度，中间采用周期较长的正弦加速度。这样可以使始末部分的位移变化比较显著，便于加工。同时行程中间的速度和加速度变化比较平缓，具有更好的动力学特性^[4]。其位移、速度、加速度及跃度计算公式如下^[6]：

1）行程起始阶段（$ 0 \leqslant T \leqslant {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 8}} \right. } 8} $）

$ \left\{ \begin{gathered} S = \frac{1}{{ {\text π} + 4}}\left( { {\text π} T - \frac{1}{4}\sin 4 {\text π} T} \right)，\\ V = \frac{ {\text π} }{{ {\text π} + 4}}\left( {1 - \cos 4 {\text π} T} \right)，\\ A = \frac{{4{ {\text π} ^2}}}{{ {\text π} + 4}}\sin 4 {\text π} T ，\\ J = \frac{{16{ {\text π}^3}}}{{ {\text π} + 4}}\cos 4 {\text π} T 。\\ \end{gathered} \right. $

(1)

2）中间阶段（$ {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 8}} \right. } 8} \leqslant T \leqslant {7 \mathord{\left/ {\vphantom {7 8}} \right. } 8} $）

$ \left\{ \begin{gathered} S = \frac{1}{{ {\text π} + 4}}\left( {2 + {\text π} T - \frac{9}{4}\sin \frac{{ {\text π} + 4 {\text π} T}}{3}} \right)，\\ V = \frac{ {\text π} }{{ {\text π} + 4}}\left( {1 - 3\cos \frac{{ {\text π} + 4 {\text π} T}}{3}} \right) ，\\ A = \frac{{4{ {\text π} ^2}}}{{\ {\text π} + 4}}\sin \frac{{ {\text π} + 4 {\text π} T}}{3}，\\ J = \frac{{16{ {\text π} ^3}}}{{3\left( { {\text π} + 4} \right)}}\cos \frac{{ {\text π} + 4 {\text π} T}}{3} 。\\ \end{gathered} \right. $

(2)

3）末尾阶段（$ {7 \mathord{\left/ {\vphantom {7 8}} \right. } 8} \leqslant T \leqslant 1 $）

$ \left\{ \begin{gathered} S = \frac{1}{{ {\text π} + 4}}\left( {4 + {\text π} T - \frac{1}{4}\sin 4 {\text π} T} \right)，\\ V = \frac{ {\text π} }{{ {\text π} + 4}}\left( {1 - 3\cos 4 {\text π} T} \right) ，\\ A = \frac{{4{ {\text π} ^2}}}{{ {\text π} + 4}}\sin 4 {\text π} T ，\\ J = \frac{{16{ {\text π} ^3}}}{{ {\text π} + 4}}\cos 4 {\text π} T。\\ \end{gathered} \right. $

(3)

式中，T、S、V、A、J分别为为无量纲时间、无量纲位移、无量纲速度、无量纲加速度、无量纲跃度。利用Matlab编程计算得到运动曲线如图4所示。

可以看出，位移S、速度V、加速度A曲线均为连续曲线，而跃度J曲线不连续，在运动开始和终止处有突变，会导致机构存在残余振动。由于弹鼓对运动平稳性要求较高，因此有必要在保持改进正弦运动规律的优点的前提下，对其进行优化改进，让跃度连续。

3 建立跃度连续的改进正弦加速度运动规律数学模型 3.1 改进运动规律数学模型

改进正弦加速度运动规律是以加速度连续为基础建立数学模型的，运动始末阶段是1/4周期的正弦曲线，因此，它的一阶导数即跃度曲线在开始和结束处存在突变。若将图4中的跃度曲线改造为图5形式，并以该曲线为基础，以改进正弦加速度运动规律参数建立数学模型，并通过积分求解出加速度、速度和位移曲线，就能得到跃度连续的改进正弦加速度运动规律曲线^[7]。

该曲线将行程起始阶段和末尾阶段的1/4余弦曲线改为1/2的正弦曲线，改进后的跃度计算公式如下：

$ \left\{\begin{aligned} & J={J}_{1}\mathrm{sin}8 {\text π} T，\text{ } 0 \leqslant T \leqslant 1/8，\\ & J=-{J}_{2}\mathrm{sin}\frac{8 {\text π} T- {\text π} }{6} ，1/8 \leqslant T \leqslant 7/8，\\ & J={J}_{3}\mathrm{sin}(8 {\text π} T- {\text π} )，\text{ } 7/8 \leqslant T \leqslant 1。\end{aligned} \right.$

(4)

对式（4）逐次积分，得到加速度、速度和位移计算公式如下：

$ \left\{\begin{aligned} & A=-\frac{{J}_{1}}{8 {\text π} }\mathrm{cos}8 {\text π} T+{A}_{1}\text{ }，0 \leqslant T \leqslant \frac{1}{8}，\\ & A=\frac{3{J}_{2}}{4 {\text π} }\mathrm{cos}\frac{8 {\text π} T- {\text π} }{6}+{A}_{2}，\frac{1}{8} \leqslant T \leqslant \frac{7}{8}，\\ & A=-\frac{{J}_{3}}{8 {\text π} }c\text{os}\left(8 {\text π} T- {\text π} \right)+{A}_{3} ，\frac{7}{8} \leqslant T \leqslant 1。\end{aligned}\right. $

(5)

$ \left\{ \begin{gathered} V = - \frac{{{J_1}}}{{64{ {\text π} ^2}}}\sin 8 {\text π}T + {A_1}T + {B_1} {\text{ }} {0 \leqslant T \leqslant 1/8}，\\ V = \frac{{9{J_2}}}{{16{ {\text π} ^2}}}\sin \frac{{8 {\text π} T - {\text π} }}{6} + {A_2}T + {B_2} {\text{ }} {1/8 \leqslant T \leqslant 7/8} ，\\ V = - \frac{{{J_3}}}{{64{ {\text π} ^2}}}\sin (8 {\text π} T - {\text π} ) + {A_3}T + {B_3} ，{7/8 \leqslant T \leqslant 1}。\\ \end{gathered} \right. $

(6)

$ \left\{ \begin{gathered} S = \dfrac{{{J_1}}}{{512{ {\text π} ^3}}}\cos 8 {\text π} T + \dfrac{1}{2}{A_1}{T^2} + {B_1}T + {C_1} ，\\ {\text{ }} {0 \leqslant T \leqslant 1/8} ，\\ S = - \dfrac{{27{J_2}}}{{64{ {\text π} ^3}}}\cos \begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{8 {\text π} T - {\text π} }}{6} + \dfrac{1}{2}{A_2}{T^2} + {B_2}T + {C_2}} ，\end{array} \\ {\text{ }}{1/8 \leqslant T \leqslant 7/8}，\\ S = \dfrac{{{J_3}}}{{512{ {\text π} ^3}}}c{\text{os}}\left( {8 {\text π} T - {\text π} } \right) + \dfrac{1}{2}{A_3}{T^2} + {B_3}T + {C_3}，\\ {\text{ }} {7/8 \leqslant T \leqslant 1}。\\ \end{gathered} \right. $

(7)

3.2 计算待定系数

式（4）～ 式（7）为改进后的改进正弦加速度运动规律数学模型，有12个待定系数，即J₁～J₃、A₁～A₃、B₁～B₃、C₁～C₃。根据T=0处A=0、V=0、S=0；T=1处A=0、V=0、S=1；运动在T=1/8和T=7/8处加速度、速度和位移曲线连续，共计12个方程，可解得12个待定系数值如下，式中$P = 1/\left( {140 + 7{ {\text π} ^2}} \right)$。

$ \begin{split} & \left\{ \begin{gathered} {J_1} = 512P{ {\text π} ^3}, \\ {J_2} = 512P{ {\text π} ^3}/3, \\ {J_3} = 512P{ {\text π} ^3}, \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left\{ \begin{gathered} {A_1} = 64P{ {\text π} ^2}, \\ {A_2} = 0，\\ {A_3} = - 64P{ {\text π} ^2}, \\ \end{gathered} \right. \\ & \left\{ \begin{gathered} {B_1} = 0，\\ {B_2} = 8P{ {\text π} ^2}, \\ {B_3} = 64P{ {\text π} ^2}, \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left\{ \begin{gathered} {C_1} = - P , \\ {C_2} = \left( {70 - {{\text{π }}^2}/2} \right)P, \\ {C_3} = \left( {141 - 25{ {\text π} ^2}} \right)P。\\ \end{gathered} \right. \end{split}$

代入式（4）~ 式（7），即可得到跃度连续的改进正弦加速度运动规律一般公式。

3.3 改进运动规律曲线

利用Matlab编程计算得到改进后的改进正弦加速度运动规律曲线如图6所示。

通过对比改进前（图4）和改进后（图6）的曲线，可以看出改进后的凸轮曲线跃度连续，加速度、速度和位移在行程起始和末尾处变化更加平缓，提高了凸轮机构从动转盘在间歇运动时的稳定性，减少了振动和冲击^[8]。

4 弹鼓凸轮机构改进运动规律

式（4）~ 式（7）为跃度连续的改进正弦加速度运动规律的无量纲参数方程^[9]，式中

$ \left\{ \begin{gathered} T = \frac{t}{{{t_h}}}{\text{ }}S = \frac{\varphi }{{{\varphi _h}}}{\text{ }}，V = \frac{{{\rm d}S}}{{{\rm d}T}} = \frac{\omega }{{{{{\varphi _h}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\varphi _h}} {{t_h}}}} \right. } {{t_h}}}}} ，\\ A = \frac{{{\rm d}V}}{{{\rm d}T}} = \frac{\varepsilon }{{{{{\varphi _h}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\varphi _h}} {{t_h}^2}}} \right. } {{t_h}^2}}}}{\text{ }}，J = \frac{{{\rm d}A}}{{{\rm d}T}} = \frac{j}{{{{{\varphi _h}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\varphi _h}} {{t_h}^3}}} \right. } {{t_h}^3}}}} 。\\ \end{gathered} \right. $

由弹鼓设计参考周期运动规律可知$ { {t}}_{m{h}}=0.5\;\mathrm{s}，{{\phi }}_{{h}}={{\text {π}} }/3 ，$$ { { t}}_{h}=0.5\;\text{s}，{\phi }_{h}={\text{π}} /3 $，代入相关参数，得到弹鼓凸轮机构从动转盘的改进角位移、角速度、角加速度及角跃度公式如下，$P = 1/\left( {140 + 7{{\text{π}} ^2}} \right)$。

1）运动起始阶段（$0 \leqslant t \leqslant {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {16}}} \right. } {16}}$）

$ \left\{ \begin{gathered} \varphi = \frac{{\text π} }{3}P\left( {\cos 16{\text π} t + 128{{\text π} ^2}{t^2} - 1} \right) , \\ \omega = - \frac{{16{{\text π} ^2}}}{3}P\left( {\sin 16{\text π} t - 16{\text π} t} \right) , \\ \varepsilon = - \frac{{256{{\text π} ^3}}}{3}P\left( {\cos 16{\text π} t - 1} \right), \\ J = \frac{{4096{{\text π} ^4}}}{3}P\sin 16{\text π} t, \\ \end{gathered} \right. $

2）运动中间阶段（$ 1/16\leqslant {t} \leqslant 7/16 $）

$ \left\{ \begin{gathered} \varphi = - 24{\text π} P\left( {\cos \begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{16{\text π} t - {\text π} }}{6} - \dfrac{2}{9}{{\text π} ^2}t - \dfrac{{70}}{{72}} + \dfrac{{{{\text π} ^2}}}{{144}}} \end{array}} \right), \\ \omega = 64{{\text π} ^2}P\left( {\sin \frac{{16{\text π} t - {\text π} }}{6} + \frac{{{{\text π} ^2}}}{{12}}} \right) , \\ \varepsilon = \frac{{512{{\text π} ^3}}}{3}P\cos \frac{{16{\text π} t - {\text π} }}{6} , \\ J = - \frac{{4096{{\text π} ^4}}}{9}P\sin \frac{{16{\text π} t - {\text π} }}{6} 。\\ \end{gathered} \right. $

3）运动末尾阶段$ 7/16\leqslant {t}\leqslant 1/2 $

$ \left\{ \begin{gathered} \varphi = \frac{{\text π} }{3}P\left( {\cos \left( {16{\text π} t - {\text π} } \right) - 128{{\text π} ^2}{t^2} + 128{{\text π} ^2}t} \right. + \\ \left. {{\text{ }}141 - 25{{\text π} ^2}} \right), \\ \omega = - \frac{{16{{\text π} ^2}}}{3}P\left( {\sin (16{\text π} t - {\text π} ) + 16{\text π} t - 8{\text π} } \right) ，\\ \varepsilon = - \frac{{256{{\text π} ^3}}}{3}P\left( {\cos (16{\text π} t -{\text π} ) + 1} \right)，\\ J = \frac{{4096{{\text π} ^3}}}{3}P\sin (16{\text π} t - {\text π} )。\\ \end{gathered} \right. $

4）停歇阶段（${1/2} \leqslant t \leqslant 1$）

$ \left\{ \begin{gathered} \varphi = {{\text π} \mathord{\left/ {\vphantom {{\text π} 3}}\right. } 3} , \\ \omega = 0 , \\ \varepsilon = 0 , \\ J = 0 。\\ \end{gathered} \right. $

利用Matlab编程计算得到改进后的弹鼓凸轮从动转盘角位移、角速度、角加速度及角跃度曲线与改进前的对比，如图7所示。

虽然改进后的最大速度和最大加速度比原来略有增加，但是消除了运动起始和终止处的加速度突变，而且跃度连续，加速度、速度和位移在行程起始和末尾处变化更加平缓，弹鼓的运动平稳性和停位可靠性明显增加。考虑到弹鼓对运动开始和停止瞬间的工况要求较高，因此，这样改进是值得的。

5 结　语

弹鼓通过弧面分度凸轮机构实现间歇步进运动，在间歇期和扬弹机完成弹药交接，必须保证运动平稳性。因此，采用运动始末处加速度存在突变的余弦加速度运动规律是不合适的。改进正弦加速度运动规律速度和加速度值相对较小，且没有突变，但是跃度不连续，仍可能存在振动。本文以跃度连续为基础，倒推加速度、速度和位移曲线公式，根据边界条件和曲线连续条件求出相关系数，得到了一种跃度连续的改进正弦加速度运动规律，并且加速度、速度和位移在行程起始和末尾处变化更加平缓，提高了弹鼓在间歇运动时的平稳性，减少了振动和冲击。