0 引　言

水声阵列信号处理是一种利用声信号典型空域特性来提取信号有效信息的一种重要手段，具有灵活的波束控制、高增益、高分辨、抗干扰等优势^[1]。自适应波束形成可以有效获取各路水听器噪声的有效信息，通过实时调整不同的权值，实现提高目标分辨、减小旁干扰、抑制背景噪声，从而达到有效提高检测能力的目的，其中应用最广的算法即最小方差无畸变响应（Minimum Variance Distortionless Response, MVDR）算法^[2]，能够保持波束指向方向信号无失真的情况下，最小化基阵输出功率从而抑制干扰，即使在较低的信噪比情况下，也具有良好的目标分辨能力和干扰抑制能力。

对于水下的自主潜航器以及潜艇，为了保持隐蔽性，都是采用被动声呐探测目标宽带辐射噪声来探测、跟踪和识别目标^[3]。对于宽带信号的MVDR算法的研究主要集中在频域处理上^[4]，首先将数据分块（每个数据块记为1个快拍），然后将每个快拍内的数据通过FFT变换分为多个窄带信号，在每个窄带信号上估计阵列协方差，以窄带上的输出优化实现综合宽带的效果，然而一方面由于存在干扰源扰动时，MVDR不能很好地将零点对准干扰方向，另一方面，对方位快变的目标，该方法不能足够快地适应非平稳信号，性能会在此时严重下降；王良等^[5]提出一种基于时域解析信号的宽带MVDR算法，通过Hilbert变换构造时域解析信号，仅仅通过一次快拍获得复数形式的最优权向量，在信号检测和方位分辨性能上获得提高，具有相当的应用潜力，但是由于涉及协方差矩阵的求逆运算，难以适应实时性更高要求的工程实现。

因此，针对协方差矩阵求逆的问题，本文提出一种基于SRM（Spiked Random Matrix）模型的估计算法，首先对宽带信号进行时域解析信号的构造，依据基于Spiked模型的随机矩阵理论，然后通过对快拍信号的协方差矩阵的特征值进行调整和处理，实现精确的协方差矩阵的逆运算估计，方法简单易行，尤其适合多传感器和快拍样本受限的环境，相比对角读取和特征子空间波束形成的方法^[6]，具有更好的波束形成性能。

1 基本模型

一种宽带MVDR算法的基本思想是将时域实信号通过希尔伯特变换构造出时域复数解析信号，再利用线性约束条件使阵列输出功率最小的准则确定复数形式的最优权向量，从而获得来波方向的波束输出功率。其基本模型如图1所示^[5]。

记M阵元的阵列接收信号经时延$ \Delta {\tau _i}{\text{ }}(1 \leqslant i \leqslant M) $以及滤波之后的期望信号矢量为：

$ {\boldsymbol{S}} = {[{s_1},{s_2},...,{s_M}]{\rm ^T} }, $

(1)

阵元输入为：

$ \boldsymbol{X}=\boldsymbol{S}+\boldsymbol{V_{ }}。$

(2)

式中，$ {\boldsymbol V} = [{v_1},{v_2},...,{v_M}] {\rm ^T} $为阵列加性各向同性噪声矢量与干扰之和。

对阵元输入$ X $做Hilbert变换得到其输出的信号为：

$ \tilde X = H(X)。$

(3)

其中，$ H( \cdot ) $为Hilbert变换。

构造时域复数信号为：

$ Y = X + j \cdot \tilde X, $

(4)

阵列自适应输出为：

$ \boldsymbol{C}=\boldsymbol{W}^{\mathrm{H}}\boldsymbol{Y}。$

(5)

式中，$ \mathrm{H} $为共轭转置；$ {\boldsymbol{W}} = {[{w_1},{w_2},...,{w_M}]{\rm ^T} } $。

此时，基阵的输出功率为：

$ P(\theta ) = E\{ |{\boldsymbol{C}}{|^2}\} = E\{ {\boldsymbol{C}}{{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{H}}}\} = {{\boldsymbol{W}}^{\mathrm{H}}}{\boldsymbol{RW}} 。$

(6)

式中，$ {\boldsymbol{R}} = E\{ {\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{Y}}^H}\} $为基阵输出的协方差矩阵。一般情况下，协方差矩阵是由一次快拍时间内的数据估计得到，即：

$ \mathop {\boldsymbol{R}}\limits^{} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 0}^{N - 1} {{\boldsymbol{Y}}{{\boldsymbol{Y}}^{\mathrm{H}}}} 。$

(7)

在波束形成的输出功率中，信号源的能量不仅在来波方向上有贡献，而且对波束宽度内的其他方向也有不同程度的贡献。MVDR波束形成方法是在保持来波方向信号能量不变的前提下，使得信号源能量对波束宽度外的其他方向最小化，这实际上是一个约束最佳化的问题求解，可以表达为：

$ \left\{ {\begin{aligned} & {P(\theta ) = \min ({{\boldsymbol{W}}^{\mathrm{H}}}{\boldsymbol{RW}})，{\text{ }}} \\ & {s.t.\sum\limits_{i = 1}^M {{\omega _i} = 1} } 。\end{aligned}} \right. $

(8)

式中，$ {\boldsymbol I } = {[1,1,...,1]^ {\rm T}} $实际上是矢量加法器，以此可以计算最优权向量及TAMVDR输出功率。通过对上式的求解可得出MVDR波束形成器的最优权向量为：

$ {\boldsymbol{W}} = \frac{{{{\boldsymbol{I}}\rm^T}{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}}}{{{{\boldsymbol{I}}\rm^T}{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{I}}^{}}}} ,$

(9)

其输出功率为：

$ P(\theta ) = \frac{1}{{{{\boldsymbol{I}}\rm^T}{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{\boldsymbol{I}}}} 。$

(10)

2 基于SRM模型的估计算法

传统的时域复数解析MVDR算法（TAMVDR）需要通过复杂的求逆运算来计算$ {{\boldsymbol{R}}^{ - 1}} $，随着阵元数M的增加，求逆运算设计的运算量指数增加，很难满足水下预警探测的实时性要求。因此，基于SRM模型的估计算法目的就是实现协方差矩阵$ {{\boldsymbol{R}}^{ - 1}} $的快速估计，避免矩阵求逆的运算过程，协方差矩阵如式（7），可以通过特征值分解表示为：

$ {\boldsymbol{R}} = \sigma _{}^2\left( {{{\boldsymbol{I}}_M} + \sum\limits_{i = 1}^m {{t_i}{{\boldsymbol{v}}_i}{\boldsymbol{v}}_i^H} } \right) ，$

(11)

其中特征值可以表示为:

$ \left( {{\sigma ^2}({t_1} + 1),...,{\sigma ^2}({t_m} + 1),{\sigma ^2},..,{\sigma ^2}} \right)。$

(12)

且$ {t_i} \gt 0 $，$ i = 1,..,m $，$ {v_i} $为m个特征值对应的特征矢量。一般的矩阵逆的估计方法都采用式（13），在缺乏先验信息的条件下，在文献[7]中被广泛应用。

$ {{\boldsymbol{\hat R}}^{ - 1}} = \sum\limits_{i = 1}^M {{\eta _i}{{\boldsymbol{u}}_i}{\boldsymbol{u}}_i^{\mathrm{H}}} 。$

(13)

根据Spiked模型协方差结构，将N-m个相对较小的特征值消除忽略，令$ {\omega _i} = {\sigma ^2}{\eta _i} - 1 $，可以获得基于SRM模型的估计结构^[8],

$ {{\boldsymbol{\hat R}}^{ - 1}} = \frac{1}{{{\sigma ^2}}}\left( {{{\boldsymbol{I}}_M} + \sum\limits_{i = 1}^m {{\omega _i}{{\boldsymbol{u}}_i}{\boldsymbol{u}}_i^{\mathrm{H}}} } \right)。$

(14)

通过上式可以判断，实现协方差矩阵$ {{\boldsymbol{R}}^{ - 1}} $的估计的最大挑战可以转变为，设计计算最佳的$ {\mathbf{\omega }} = [{\omega _1},..,{\omega _m}] {\rm ^T} $，使波束宽度外其他方向的输出功率$ P(\theta ) $最小。

根据随机矩阵理论^[9]，最佳的$ {\mathbf{\hat \omega }} $估计算法如下：

步骤1　对一次快拍时间内的数据获得的$ {\boldsymbol{R}} $进行特征值分解，并且按照从大到小的顺序对特征值进行排序，获得排序后的特征值$ {\lambda _i} $和特征向量$ \mathit{\mathit{u}}\mathit{_i} $。

步骤2　估计值$ {\hat t_i} $可以表示为：

$ {\hat t_i} = \frac{{{\lambda _i}/{\sigma ^2} + 1 - {c_n} + \sqrt {{{({\lambda _i}/{\sigma ^2} + 1 - {c_n})}^2} - 4{\lambda _i}/{\sigma ^2}} }}{2} - 1 。$

(15)

步骤3　估计值$ {\hat k_i} $可以表示为：

$ {\hat k_i} = \frac{{1 + {c_n}/{{\hat t}_i}}}{{1 - {c_n}/{{({{\hat t}_i})}^2}}}{{\boldsymbol{a}}^H}(\theta ){{\boldsymbol{u}}_i}{\boldsymbol{u}}_i^H{{\boldsymbol{a}}^{}}(\theta )。$

(16)

其中，$ {\mathbf{\alpha }}(\theta ) $为指定来波方向的方向矢量。对经过滤波器以及时延之后的数据处理，可以定义：

$ \mathbf{\alpha}(\theta)=\frac{1}{\sqrt{N}}[0,e^{j{\text{π}}\sin\theta},..,e^{j{\text{π}}\sin\theta(n-1)}]，$

(17)

步骤4　根据式（17）的计算结果，可计算：

$ {\hat \psi _i} = \frac{{\displaystyle\sum\nolimits_{j = 1}^m {({{\hat k}_j}/{{\hat t}_j})} }}{{\displaystyle\sum\nolimits_{j = 1}^m {({{\hat k}_j}/{{({{\hat t}_j})}^2})} }}。$

(18)

步骤5　最终获得$ {\hat \omega _i} = \dfrac{{{{\hat t}_i} + {c_n}}}{{{{({{\hat t}_i})}^2} + {{\hat t}_i}}}\left( {{{\hat \psi }_i} - {{\hat t}_i}} \right) $，其中，$ {c_n} = M/n $，$ n $为快拍数。

3 仿真结果及海上数据验证

仿真参数设置：均匀间隔直线线列阵，阵元间距设计为中心频率的半波长，存在2个目标，目标信号为宽频色噪声（信噪比为10 dB和15 dB）目标入射角为20°和40°，信号处理带宽为1 ～2 kHz，采样频率为48 kHz，加性噪声为非相干高斯白噪声。

图2和图3分别为在阵元数N=300和N=400时，常规波束形成（CBF）、矩阵求逆波束形成（TAMVDR）以及基于SRM模型波束形成（MVDR-Spiked）的空间方位谱结果曲线对比分析情况，横坐标为方向角度，纵坐标为归一化后的空间谱。

对3种波束形成方法比较可以发现，提出的基于SRM模型估计的MVDR波束形成方法性能较直接进行拟运算的MVDR波束形成方法波束指向性能更优，信号处理复杂度更低，随着阵元间距数的增加，性能获得明显的提升。

为了进一步验证该结论，因此采用海上试验数据进行验证。试验海区为中国渤海海域，季节为夏季，试验配合目标为海上的渔船，利用直线阵接收目标信号，基阵间隔为0.5 m，实验选取了无坏道的80个通道的接收信号，声速测量为1 466 m/s，采样频率为40 kHz，处理频段为0.8～2 kHz。

数据处理过程中采用的基于SRM模型波束形成（MVDR-Spiked）方法，相对于其他MVDR算法，该算法可在一次快拍的条件下获得复数形式的最优权向量，利用SRM估计模型，减少了算法运算量，因而具有工程应用的潜力。实验数据处理过程中的每拍数据长度为1024点。

图4为海上数据处理结果。可以发现，海上试验数据可以判断，基于SRM模型估计的MVDR波束形成方法指向宽度更窄，噪声干扰更小，目标的显示更清晰，性能更优。

4 结　语

在分析现有高分辨力算法应用于被动声呐检测时局限性的基础上，针对频域MVDR在短数据条件下稳定性差的问题，建立了时域解析信号的MVDR结构，在此基础上，依据基于Spiked模型的随机矩阵理论，然后通过对快拍信号的协方差矩阵的特征值进行调整和处理，实现精确的协方差矩阵的逆运算估计，方法简单易行，尤其适合多传感器和快拍样本受限的环境，相比对角读取和特征子空间波束形成的方法，该仿真结果和海上试验数据验证了该方法的有效性，对于被动声呐的远程预警探测具有重要意义。