0 引　言

随着工业技术的进步，板类结构逐渐向大型化、轻质化方向发展，使得板类结构的低频振动问题日益严峻。因此，研究板类结构的低频振动控制至关重要^{[1 − 2]}。

近年来，一种称为声子晶体（PC）的新型周期性复合材料被提出，凭借着其超常带隙特性在减振降噪领域具有广阔的应用前景^[3]。声子晶体按照其形成机理可分为Bragg型声子晶体^[4]和局域共振型声子晶体^[5]。Bragg型声子晶体带隙高，不能满足低频振动与噪声的抑制需求。局域共振型声子晶体，由于存在低频的共振单元，可以抑制某些频段内的弹性波传播，从而产生低频带隙。一经提出，就引发了广泛的关注，从而涌现了各色各样的声子晶体结构。Zhang等^[6]提出一种由幂指数棱柱形声子晶体和悬臂梁组成的新型声子晶体构型，可以产生具有低、中、高频完全带隙，实现板结构的宽带减振；Lu等^[7]研究了一种新型二自由度谐振的弹性超材料梁，可以产生2条低频带隙，频率范围分别为198 ～410 Hz和154 ～167 Hz，在低频范围内有良好的减振降噪效果。邢媛等^[8]设计了一种新型双振子声子晶体结构，研究表明该结构在较宽频带内具有良好的弹性波耗散性能，可为工业装备的噪声与振动控制提供一种新方法。然而，迄今为止，关于局域共振机理和传输特性的研究报道较多，但在声子晶体带隙结构优化设计方面却鲜有研究。Liu等^[9]研究了一种二维方形螺旋局域谐振声子晶体的带隙特性，并提出了相应的带隙优化方案，但考虑的是以低频带隙宽度最大为优化目标，尚未涉及实际应用环境中面向特定目标频率的带隙优化设计等问题。

针对以上问题，开展一种面向目标频率的声学超结构带隙优化设计研究，旨在为局域共振声子晶体带隙优化设计提供一种通用的设计方法和思路。

1 悬臂梁式局域共振单元 1.1 晶胞和能带结构

一种含通孔的悬臂梁局域共振单元构型，如图1所示，该构型由通孔悬臂梁和质量块2个部分组成，其底部通过块状结构与基体板连接。基体板的尺寸为$ a \times a \times h = 35{\text{ mm}} \times {\text{35 mm}} \times {\text{2 mm}} $；薄板梁长度$ b = 30{\text{ mm}} $，宽度$ c = 6{\text{ mm}} $，高度$ d = 1{\text{ mm}} $，2个通孔直径$ g = 2{\text{ mm}} $；质量块长度$ e = 6{\text{ mm}} $，高度$ f = 7{\text{ mm}} $，宽度与薄板梁宽度保持一致；悬臂梁与基体板连接块的尺寸为 $ 4{\text{ mm}} \times {\text{6 mm}} \times {\text{2 mm}} $。

为了更好地满足实际应用的要求，选择了使用最广泛的材料制备局域共振单元。其中悬臂梁是由有机树脂材料3D打印制成，两端质量块由铅块线切割制成，基体板由铝合金制成。悬臂梁局域共振单元的相关材料参数见表1。

依据声学超材料相关理论，当Bloch波矢围绕第一布里渊区边界扫描时，就可以确定频率和波矢之间的色散关系，依照此理论，计算悬臂梁局域共振单元的能带结构，结果如图2所示。

可以看出，悬臂梁局域共振单元在0～1400 Hz范围内产生了2条弯曲波带隙，记为BG1、BG2，带隙频率范围分别是132 ～159 Hz、920 ～1052 Hz。此外，带隙BG1、BG2的下边界与局域共振单元的固有频率（虚线）基本重合，表明带隙BG1和BG2是局域共振单元引起的局域共振带隙。

根据板的振动理论可知，有限厚度板中存在弯曲波、纵波和水平波，图2能带结构中也包含了这3种波的信息，且这3种波模式会产生模态转换，很难从能带结构中直接提取相关波的带隙范围，为了识别验证能带结构中的带隙，采用了一种平均模态位移方法^[10]，帮助识别带隙特性。该方法用平均模态位移来表征行波的耦合强度，当某个方向的平均模态位移在某个频段为0时，说明在该方向打开了带隙，共振单元的振动模式和基板中的行波发生了强耦合作用。

为此，计算了基板在Z方向的平均模态位移，结果如图3所示。与图2对比可知，NMDz为0的频段与能带结构的带隙范围一致，进一步证明了能带结构的带隙为弯曲波带隙。

1.2 带隙机理研究

为了研究带隙的形成机理，图4所示为图2中2条带隙边界处的模态特征形态和位移矢量场。对于谐振模态A和F，即图4（a）和图4（c），可以发现基体板保持静止，而悬臂梁共振单元发生振动，振动能量很好地集中在局域共振系统当中，因此BG1和BG2在此频率下打开。而观察BG1和BG2的上限频率对应的C、H模态可以看出，弹性波在基体板和局域共振结构上都发生了耦合，即抑振效果失效，带隙在此频率下闭合。综上可知，悬臂梁局域共振单元实际上是类似于一个“质量-弹簧”系统，在对应的谐振模态频率下产生了$ x $、$ y $、$ z $方向的力，使得局域共振单元与基体中的弹性波发生了强耦合作用，从而导致了带隙的生成。

为进一步研究悬臂梁局域共振单元的带隙形成机理，计算了结构的前15阶模态，且在Z轴方向上，前15阶的模态有效质量之和约占总质量的98%，满足模态截断的要求。各阶模态的有效质量占比如图5所示。

可以看出，模态有效质量占比较大的2阶、5阶和6阶模态同时也是引起BG1和BG2带隙产生的谐振模态。侧面也反映模态有效质量占比大小是模态是否产生带隙的一个考量标准。这也为下一步面向目标频率的带隙优化设计提供了一种思路，即以打开带隙的2阶和5阶模态频率为优化对象，调控模态频率的大小从而控制带隙的打开位置。

2 响应面分析

所提出的悬臂梁局域共振单元虽然具备良好的带隙特性，但不能满足特定频率下振动峰值的衰减要求。针对这个问题，有必要对悬臂梁局域共振单元构型进行结构参数优化。这里以2条带隙的打开频率2阶模态频率和5阶模态频率作为优化对象，以悬臂梁共振单元构型的几何变量为设计变量，开展相应的带隙优化设计工作。

2.1 模态频率关于结构参数的灵敏度分析

根据前面分析结果可知，2阶模态和5阶模态是带隙打开的关键，而工程上板类结构面临的工况不一。为此，需进一步优化设计以得到适应不同工况的悬臂梁局域共振单元结构。

由系统动力学理论可知，结构的无阻尼振动方程$ {\boldsymbol{M}}\ddot u + {\boldsymbol{K}}u = 0 $与各阶固有频率$ {\omega _i} $及相应的阵型向量$ {\varphi _i} $之间存在以下关系：

$ \varphi _i^{\text{T}}{\boldsymbol{M}}{\varphi _i} = {\boldsymbol{I}} ，$

(1)

$ \varphi _i^{\text{T}}{\boldsymbol{K}}{\varphi _i} = {\lambda _i} = {\omega _i}^2。$

(2)

式中：I为单位矩阵，$ {\lambda _i} $为系统的第i阶特征值。

假设第$ j $个影响结构形状的参数$ {S_j} $，将式（1）对$ {S_j} $进行求导，得到：

$ \frac{{\partial \varphi _i^{\text{T}}}}{{\partial {S_j}}}{\boldsymbol{M}}{\varphi _i} + \varphi _i^{\text{T}}\frac{{\partial {\boldsymbol{M}}}}{{\partial {S_j}}}{\varphi _i} + \varphi _i^{\text{T}}{\boldsymbol{M}}\frac{{\partial \varphi _i^{\text{T}}}}{{\partial {S_j}}} = 0。$

(3)

根据向量基本理论可得到固有频率对结构参数灵敏度的关系式为：

$ \frac{{\partial {\omega _i}}}{{\partial {S_j}}} = \frac{{\partial {\omega _i}}}{{\partial {\lambda _i}}}\frac{{\partial {\lambda _i}}}{{\partial {\omega _j}}}\frac{1}{{2f}}{\varphi _i}^{\text{T}}\left[\frac{{\partial {\boldsymbol{K}}}}{{\partial {S_j}}} - {\omega _i}^2\frac{{\partial {\boldsymbol{M}}}}{{\partial {S_j}}}\right]{\varphi _i} 。$

(4)

可以看出，结构参数$ {S_j} $的改变将引起质量矩阵和刚度矩阵发生变化，进而影响结构的固有频率。对于悬臂梁局域共振结构，可以通过优化结构的材料参数及几何尺寸来调控固有频率的大小，其中材料参数包括密度、弹性模量和泊松比，几何尺寸包括悬臂梁的长、宽、高，质量块的长、宽、高及通孔的半径大小。本文已对悬臂梁局域共振单元的材料进行选型，因此，仅研究局域共振单元几何结构的参数优化问题。在优化悬臂梁局域共振单元之前，首先对关健价模态2阶和5阶的固有频率相对于局域共振单元各设计变量的灵敏度进行研究，以悬臂梁长P₁、悬臂梁宽P₂、悬臂梁高P₃、质量块长P₄、质量块高P₅及通孔直径P₆为初选设计变量，计算2阶固有频率P₇和5阶固有频率P₈关于悬臂梁局域共振单元结构参数的灵敏度结果如图6和图7所示。

可知，P₇（2阶频率）和P₈（5阶频率）关于悬臂梁的高度P₃的灵敏度最大，其次是悬臂梁长度P₅、质量块高度P₁和通孔直径P₆，而且P₃的灵敏度值为正呈正相关，表明随着悬臂梁高度的增加，其共振频率也相应的呈现增大的趋势；同样，悬臂梁长度P₁、质量块高度P₅和通孔直径P₆的灵敏度值为负呈负相关，即表明2个关键阶频率随着悬臂梁长度、质量块高度和通孔直径的增加而呈现降低的趋势。而其余设计变量悬臂梁宽度P₂和质量块宽度P₄对固有频率的影响较小。故通过上述灵敏度分析，从6个初选设计变量中选择悬臂梁长度、高度，质量块高度和通孔直径这4个灵敏度较高的变量作为优化的设计变量，从而减少设计输入，提高优化效率。

2.2 悬臂梁式局域共振单元响应面模型

响应面方法是一种综合试验设计和数学建模的优化方法。通过设计一系列样本点插值或拟合形成输出变量（2阶固有频率、5阶固有频率）关于设计变量（悬臂梁长度、高度，质量块高度以及通孔直径）的数学函数关系。在允许的误差范围内，用所构建的响应面模型代替悬臂梁局域共振单元的有限元模型，从而开展后续的分析和优化工作。响应面的构建包含设计变量、试验设计和模型构建。

2.2.1 设计变量

考虑到现有的加工精度和工艺要求，悬臂梁局域共振单元参数设计如表2所示。

2.2.2 最优空间填充设计

在试验设计过程中，选取好的样本点不仅能降低计算成本，还能提高响应面的精度，所以选取合适的试验设计方法至关重要。本文选取一种最佳空间填充设计的DOE（Design of Experiment）方法，这种方法本质上也是一种拉丁超立方体采样（LHS）方法，是在LHS方法的基础上进行多次迭代优化，保持有效的LHS（没有采样点共享行和列），从而实现更加均匀的点空间分布，能够以最少的点数最大限度地洞察设计，适用于更加复杂的建模技术，故本文采用该方法获得试验样本点。求得25组样本点对应的各输出变量结果如表3所示。

2.2.3 基于遗传聚合的响应面模型建立

遗传聚合响应面技术可以自动选择配置或生成最适合问题中每个输出变量的响应面模型。该方法基于一种遗传算法，生成并行求解的不同响应面类型的种群，通过计算每个响应面的适应度函数，以此来确定每个输出变量的最佳响应面方法。尽管遗传聚合方法比经典的响应面方法需要更多的时间，但其具有更佳的可靠性和精度。

基于上述遗传聚合响应面模型的概念理论，利用Workbench软件中的Design Xplorer模块，依据上面生成的试验样本点，构建遗传聚合响应面模型，获得各设计变量对2个输出变量的多个响应面模型。

为了评价响应面模型的准确性和合理性，常用R²和RMSE相对均方根误差及相对最大绝对误差RMSE等指标来衡量响应面的拟合程度。同时，还可以通过Workbench的响应面模块查看计算值和响应面预测值的关系曲线图，直观判断响应面的拟合程度，计算值和响应面预测值的关系曲线越接近45°曲线，就表明响应面的质量就越好。

根据遗传聚合模型拟合结果和实际的计算数值，得到相应的遗传聚合响应面模型评价指标，如表4所示。

可以看出，验证点处的2阶频率和5阶频率的均方根误差分别为0.0591和3.9129，相对最大绝对误差分别为0.2390和2.3716，拟合误差控制在95%以上。

另外，通过图8 ～ 图9可以看出，所构建的响应面模型表面光滑，且验证点的计算值和响应面预测值关系曲线接近45°曲线，表明所构建的响应面模型合理，拟合度较高，可以替代局域共振模型进行后续的优化设计工作。

3 悬臂梁式局域共振单元多目标优化

要实现多目标优化设计，需先明确本次优化的目标和约束条件。本文基于实际的工况环境，以2阶和5阶固有频率分别在100 Hz和700 Hz处打开带隙为优化目标，悬臂梁局域共振单元的尺寸范围为约束。其约束的具体定义如下：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\text{seek}}\;{f_1}(x) = 100\;{\text{Hz,}}\;{f_{\text{2}}}(x) = 700\;{\rm{Hz}}} ，\\ {x \in [{x_L},{x_U}]} 。\end{array}} \right. $

(5)

式中：$ {f_1}(x) $为2阶固有频率，$ {f_{\text{2}}}{\text{(}}x{\text{)}} $为5阶固有频率，$ x \in [{x_L},{x_U}] $为设计变量，其中$ {x_L} $和$ {x_U} $分别为设计变量的下限和上限值。从而建立优化模型如下：

$ \begin{gathered} {\rm{seek}}\;{f_1}(P_1\,P_3\,P_5\,P_6) = 100{\text{ Hz}}，\\ {\rm{seek}}\;{f_2}(P_1\,P_3\,P_5\,P_6) = 700{\text{ Hz}}，\\ \left\{ { \begin{array}{*{20}{l}} {26 \leqslant P_1 \leqslant 34}，\\ {0.8 \leqslant P_3 \leqslant 1.4}，\\ {5 \leqslant P_5 \leqslant 9}，\\ {0.8 \leqslant P_6 \leqslant 3.2}。\end{array}} \right. \\ \end{gathered} $

(6)

在Workbench的响应面优化模块中，可以设置各优化目标的权重，分别为default、higher、lower。而低频带隙精准打开往往是关注的重点，因此，将优化目标P₇设置为higher，P₈设置为default。

本文采用MOGA（多目标优化的迭代遗传算法）对响应面进行优化，迭代50次，得到3组最优方案。优化方案及验证结果分别如表5和表6所示。

可以看出，3种优化方案各设计变量参数相差不大，优化结果比较接近，3种优化方案的优劣对比可通过表6的方案误差进行分析。表6计算了3种优化方案的2种误差结果，误差1表征的是3种优化方案响应面预测值和真实值的误差结果，可以看出，3种优化方案的误差1最大不超过1%，由此说明所构建的响应面模型精度较高；同样，误差2表征的是3种优化方案真实值与优化目标的误差结果，可以看出，方案2的误差值最小为最优方案。

为了验证方案2的优化结果，将方案2的所有设计变量导入Comsol仿真软件中，计算其能带结构。

从图10的能带结构图可以看出，优化方案2的悬臂梁局域共振单元产生了2条带隙，且分别在100 Hz和701 Hz频率处打开，进一步说明可以利用该优化方法设计出能够精准匹配特定频率的局域共振单元结构，这为局域共振型声学超结构的带隙设计提供了一种可行的思路。

4 结　语

为了适应不同工况下的抑振需求，本文开展了一种面向目标频率的声学超结构带隙优化设计研究，旨在为局域共振型声学超结构带隙优化设计提供一种通用的设计方法和思路。首先，基于一种含通孔的悬臂梁局域共振单元，对其带隙结构和产生机理进行分析研究，得出2阶和5阶谐振频率是其2条带隙打开的重要原因。紧接着，以2阶和5阶固有频率为优化目标，局域共振构型的几何参数为设计变量，借助参数相关性分析筛选出关键的设计变量，通过最优空间填充设计获取试验样本点，构建遗传聚合响应面模型进行结构参数优化。结果显示，优化设计后的局域共振单元的2条带隙均在目标频率处打开。本研究成果可为局域共振型声学超结构带隙设计提供一种方法和思路。