0 引　言

加肋圆柱壳结构广泛应用于水下航行器等海洋平台，其内部安装有推进电机、泵等机械设备。机械设备在运转过程中产生的低频振动通过基座、铺板等结构传递到壳体上，从而产生辐射噪声^[1]。研究发现加肋圆柱壳内机械设备位置优化可实现结构振动低频线谱的有效隔离^[2]。设备位置优化可以通过分析壳体的振动响应，建立合适的设备优化布置分析方法，利用合理的优化布置算法求解设备位置的最优值^[3]。

目前国内外主要开展了加肋圆柱壳上作动器优化设计研究，其中Jun^[4]采用Gramian矩阵求解设备在圆柱壳体上作用位置的分布系数矩阵，优化确定数目的作动器/传感器作用位置；Brand等^[5]以简单支撑板为被控结构，优化了作动器的位置。姚熊亮等^[6]提出一种新型的基座位置分布方法，实验证明能够有效降低壳体表面的噪声辐射。刘潇翔等^[7]提出基于哈密顿系统的作动器位置优化准则；马扣根等^[8]以柔性结构为研究对象，提出基于模态可控度的作动器/传感器位置优化的度量指标。张志谊等^[9]利用Gramian矩阵象空间和零空间与模态可控可观性之间的关系，给出了一种评价设备可控可观度的方法。

本文针对加肋圆柱壳内部机械设备布置声学设计问题，提出一种基于谱元法的机械设备布置声学设计方法。该方法在经典薄壳理论的基础上，采用谱元法理论分析加肋圆柱壳振动响应，在频域上建立加肋圆柱壳结构振动微分方程，求解方程得到振动响应的解析表达式，解决了理论计算加肋圆柱壳振动响应难题，并通过对目标函数求导可以得到壳体法向振动响应极小值时的位置参数，从而建立加肋圆柱壳内部机械设备声学优化布置方法。

1 基于谱元法的加肋圆柱壳振动理论计算 1.1 加肋圆柱壳振动响应谱元法分析

以加肋圆柱壳体作为研究对象，基于薄壳弹性理论分析，仅考虑环肋在径向的作用力，建立耐压壳体结构物理模型，如图1所示。

当壳体结构厚度远小于结构的曲率半径时（$ h/R \lt 1/20 $），可以近似为薄壁结构。肋骨、力作用将圆柱壳体分解为多段区域，对每段壳体应用壳体理论，圆柱壳体的运动微分方程^[10]：

$ \begin{split} & {R^2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{1 - v}}{2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial {\theta ^2}}} + \frac{{R\left( {1 + v} \right)}}{{2R}}\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial x\partial \theta }} + Rv\frac{{\partial w}}{{\partial x}} =\\ & \frac{{\rho \left( {1 - {v^2}} \right)}}{E}{R^2}\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial x}}，\end{split} $

(1)

$ \begin{split} & \frac{{R\left( {1 + v} \right)}}{2}\frac{{{\partial ^2}u}}{{\partial x\partial \theta }} + \frac{{{R^2}\left( {1 - v} \right)}}{2}\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {\theta ^2}}} + \frac{{\partial w}}{{\partial \theta }=} \\ & \frac{{\rho \left( {1 - {v^2}} \right)}}{E}{R^2}\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {t^2}}}，\end{split} $

(2)

$ \begin{split} &- Rv\frac{{\partial u}}{{\partial x}} - \frac{{\partial v}}{{\partial \theta }} - w - \frac{{{h^2}}}{{12{R^2}}}\left( {{R^4}\frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {x^4}}} + 2{R^2}\frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {x^2}\partial {\theta ^2}}} + \frac{{{\partial ^4}w}}{{\partial {\theta ^4}}}} \right)= \\ & \frac{{\rho \left( {1 - {v^2}} \right)}}{E}{R^2}\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {t^2}}}。\\[-1pt] \end{split} $

(3)

式中：$ R、h $分别为圆柱壳体半径和厚度；$ E、v、\rho $分别为杨氏模量、泊松比和材料密度。

采用谱单元法求解壳体运动微分方程式（1）～式（3），对某一固定模态下的径向、周向和轴向上的结构位移解的谱形式：

$ \left\{\begin{split} & u\left( {x,\theta ,t} \right) = \sum\nolimits_{n = 1}^\infty {\left( {\sum\nolimits_{s = 1}^\infty {{\beta _{sn}}{A_{sn}}{e^{{\lambda _i}x}}\left( x \right)} } \right)} \cos \left( {n\theta } \right){e^{j\omega t}}，\\ & v\left( {x,\theta ,t} \right) = \sum\nolimits_{n = 1}^\infty {\left( {\sum\nolimits_{s = 1}^\infty {{\gamma _{sn}}{A_{sn}}{e^{{\lambda _i}x}}\left( x \right)} } \right)} \cos \left( {n\theta } \right){e^{j\omega t}} ，\\ & w\left( {x,\theta ,t} \right) = \sum\nolimits_{n = 1}^\infty {\left( {\sum\nolimits_{s = 1}^\infty {{\delta _{sn}}{A_{sn}}{e^{{\lambda _i}x}}\left( x \right)} } \right)} \cos \left( {n\theta } \right){e^{j\omega t}} 。\end{split} \right.$

(4)

式中：$ k $为波数；$ {u}_{0}、{v}_{0} $和$ {w_0} $均为幅值系数。

将式（4）代入式（1）～式（3）得到

$ \left[ {\left( {k,n,\omega } \right)} \right]\left[ \begin{gathered} {\beta _{sn}} \\ {\gamma _{sn}} \\ {\delta _{sn}} \\ \end{gathered} \right] = 0，$

(5)

式中：

$ \begin{split} & \left[ {\left( {k,n,\omega } \right)} \right]= \\ & \scriptsize\left| \begin{gathered} {\lambda ^2} - a{n^2}\left( {1 - \mu } \right) + \Omega {\omega ^2}{\text{ }}n\lambda \frac{{1 + \gamma }}{2}{\text{ }}\gamma \lambda - \mu \lambda \left( {{\lambda ^2} + {n^2}a} \right) \\ {\text{ }} - n\lambda \frac{{1 + \gamma }}{2}{\text{ }}a{\lambda ^2}\left( {1 + 3\mu } \right) - {n^2} + \Omega {\omega ^2}{\text{ }} - n + \mu n\frac{{3 - \gamma }}{2}{\lambda ^2} \\ {\text{ }}\gamma \lambda - \mu \lambda \left( {{\lambda ^2} - {n^2}a} \right){\text{ }}n\left( {1 - \mu \frac{{3 - \gamma }}{2}{\lambda ^2}} \right){\text{ 1}} + \mu \left[ {{{\left( {{\lambda ^2} - {n^2}} \right)}^2} - 2{n^2} + 1} \right] - \Omega {\omega ^2} \\ \end{gathered} \right| ，\end{split} $

$ {\omega ^2} = \frac{{\rho {a^2}\left( {1 - {v^2}} \right)}}{E}。$

由式（5）可以求得各模态下波数k的解以及振动各响应的振幅比。由于圆柱壳体是弯曲结构，为描述其节点状态，令自由度$ \psi = {\mathrm{d}}w/{\mathrm{d}}x = 0 $，位移各项可以用$ u\left( {x,\theta ,t} \right) $的函数表示，在波数$ {k_j} $下的解为：

$ \left\{ \begin{gathered} {\beta _{sn}} \\ {\gamma _{sn}} \\ {\delta _{sn}} \\ {\phi _{sn}} \\ \end{gathered} \right\} = \left\{ \begin{gathered} 1 \\ {\varphi _v} \\ {\varphi _w} \\ {\varphi _\psi } \\ \end{gathered} \right\}{\beta _{sn}} = {\left\{ \Phi \right\}_j}{\beta _{sn}}。$

(6)

式中，$ {\varphi }_{v}、{\varphi }_{w} $均为拓振动比例系数。

对于每个模态，其振幅未确定，如果幅值系数能确定，则圆柱壳体结构的位移解可以表示为：

$ \left[ \begin{gathered} \tilde u\left( x \right) \\ \tilde v\left( x \right) \\ \tilde w\left( x \right) \\ \end{gathered} \right] = \left[ \begin{gathered} {\text{ }}{e^{ - i{k_1}x}}{\text{ }}0{\text{ }}0{\text{ }}0 \\ {\text{ }}0{\text{ }}{e^{ - i{k_2}x}}{\text{ }}0{\text{ }}0 \\ {\text{ }}0{\text{ }}0{\text{ }}{e^{ - i{k_3}x}}{\text{ }}0 \\ {\text{ }}0{\text{ }}0{\text{ }}0{\text{ }}{e^{ - i{k_4}x}} \\ \end{gathered} \right]\left[ {{A_i}} \right] + \left[ {e\left( {L - x} \right)} \right]\left[ {{A_j}} \right]。$

(7)

式中：$\left[ {\boldsymbol{A}} \right]$为各分段圆柱壳体的幅值系数。

分段圆柱壳体在肋骨和力作用处位移和受力连续，利用力和位移连续条件，可得到含有16个未知的幅值系数$ {A_i} $，可以求解得到相邻两段圆柱壳体的位移解。对于环肋数量为$ n $的圆柱壳体，壳体之间通过环肋连接，由此可得到$ 8\left( {n + 1} \right) $只含有$ 8\left( {n + 1} \right) $幅值系数的方程组，矩阵形式如下：

$ \left[ A \right] = \left[ {{K_A}} \right]_{n \times n}^{ - 1}\left\{ F \right\}。$

(8)

式中：$ \left\{ F \right\} $为表示受力的列向量；$ \left[ K \right] $为系数矩阵；$ \left[ A \right] $为各分段圆柱壳体的幅值系数。

力的作用点两侧共有16个关于$ {A_j} $的方程，并补充两端边界条件和外部激励力向量$ \left\{ F \right\} $，可求出加肋圆柱壳体振动响应的理论计算公式，从而对加肋圆柱壳体的振动特性进行详细分析，作为设备位置声学优化计算的依据。

1.2 计算方法有效性分析

为验证波谱单元法在加肋壳体结构振动计算中的准确性，根据壳体模型结构和材料参数，建立有限元模型，材料参数为弹性模量210 GPa，泊松比0.3，阻尼系数0.01，基本参数如表1所示。

首先通过COMSOL有限元软件计算得到各阶模态及与其相对应的频率，具体结果如图2所示。根据谱单元法计算加肋壳体结构的振动频响曲线，利用频响曲线的峰值可得到结构自由振动下的各阶模态频率，图3为通过谱单元法计算得到的频响曲线。

由图3可知，通过谱单元法计算得到的四阶模态频率分别为103.9 Hz、184 Hz、240 Hz、272 Hz；而通过有限元计算法得到的四阶模态频率分别为102.21 Hz、182.7 Hz、246.27 Hz、270.64 Hz。两者的计算结果几乎一致，因此谱元法可用于圆柱壳体结构的计算。

2 机械设备位置声学优化研究

圆柱壳体结构的振动响应可以简化为线性系统，任意点的位移响应和任意点的激励力成线性关系，当激励力是单位力因此任意点的位移可表示为：

$ w\left( {x,\theta } \right) = {w_p}\left( {x,\theta } \right){F_p}。$

(9)

式中：$ {F_p} $为激励力系数；$ {w_p}\left( {x,\theta } \right) $为激励力$ F $单独作用时的位移系数。

当激励力是单位力时，激励力到该点的位移传递函数等于此时的位移响应，因此可以取单位激励力作用下结构的位移响应作为激励力到该点的传递函数，根据谱元法，求得圆柱壳体结构响应在各频率点下的表达式：

$ w\left( {x,\theta } \right) = \sum\nolimits_{m,n} {\left[ {{A_{nm}}} \right]} = {\left[ {{k_{nm}}} \right]^{ - 1}}{\left\{ F \right\}_{nm}}。$

(10)

当结构中仅受到一个激励力作用时，任意点的位移是：

$ w\left( {x,\theta } \right) = {w_p}\left( {x,\theta } \right){F_p} = {A_{sn}}{e^{\lambda x}}\cos \left( {n\theta } \right){e^{j\omega t}} 。$

(11)

根据加肋圆柱壳振动响应理论计算方法，将单位激励力作用下的结构振动响应作为主动控制的目标函数，其计算公式为：

$ {w_{s\min }}\left( {x,\theta } \right) = {\int_0^{2 {\text{π}} } {\left| {{w_p}\left( {x,\theta } \right){F_p}} \right|} ^2}{\mathrm{d}}\theta 。　　 $

(12)

取单位激励力作用下结构的位移响应作为激励力到该点的传递函数，当结构中存在一个激励力时，目标函数是位移在圆周方向的积分的均方值目标函数取得最小值，通过对目标函数求导，当导数值为0时，加肋圆柱壳振动响应均值最小。即

$ \frac{{{\partial ^2}\displaystyle\sum {\displaystyle\int {w\left( {{x_e},\theta } \right){F_p}{\rm{d}}\theta } } }}{{\partial x\partial \theta }} = 0 ,　 $

(13)

将式（11）代入式（13），得到

$ \frac{{{\partial ^2}\displaystyle\sum {\displaystyle\int_0^{2 {\text{π}} } {{A_{sn}}{e^{\lambda x}}\cos \left( {n\theta } \right){e^{j\omega t}}} } }}{{\partial x\partial \theta }} = 0, $

(14)

式中：$ {F_p} = {F_s} + {F_r} $。

为了求得位移在圆周方向的积分的最小均方值，分别对激励力的实部和虚部求偏导，并令其结果等于0，从而解得最优的激励力：

$ {F_p} = - \frac{{\displaystyle\int_0^{2 {\text{π}} } {{w_s}\left( {{x_e},\theta } \right){{\tilde w}_r}\left( {{x_e},\theta } \right){\mathrm{d}}\theta } }}{{\displaystyle\int_0^{2 {\text{π}} } {{{\left| {{w_s}\left( {{x_e},\theta } \right)} \right|}^2}{\mathrm{d}}\theta } }} 。$

(15)

联立式（1）～式（15），通过单位激励力单独作用于控制目标的位移，使控制目标位移在圆周方向的积分的均方值最小，求得圆柱壳体结构整体法向振动最小时的设备安装位置。

3 数值分析 3.1 计算模型

加肋圆柱壳数值计算模型如图1所示，基本参数见表1。由于圆柱壳体上有肋骨存在，肋骨可对振动能量的传播起阻碍作用，因此将机械设备基座安装在肋骨上有利于振动噪声控制。数值计算模型是在不改变壳体整体强度的前提下，将机械设备安装在不同肋骨上，分析不同位置对结构振动的影响。对于单激励源，作用于结构$ \left( {{\theta _0} = 0,{z_0} = 0} \right) $位置，且激励源是幅值为1 N的单位法向激励力，以计算得到的结构整体的均方法向速度级传递函数来评价振动响应大小的计算效果。

3.2 设备布置声学优化计算 3.2.1 周向位置声学计算

首先分析同一肋位安装角度变化对加肋圆柱壳结构振动响应的影响，以2号肋位为激励设备安装轴向位置，将单点激励设备分别安装在圆周上的顶部、侧壁、底部等位置，其具体分布示意图如图4所示，图中圆点为激励位置。

对以上4种位置方案下的壳体振动响应进行仿真计算，激励力为单位力，激励频率为5 ~ 400 Hz，其余参数如表1所示，具体计算结果如图5所示。

方案1和方案3中激励设备安装位置属于加肋圆柱壳结构的顶点位置，方案2和方案4中激励设备安装位置属于加肋圆柱壳结构的侧点位置，由图5可知，考虑到加肋圆柱壳结构的对称性，顶部安装和底部安装引起的加肋圆柱壳结构振动响应基本一致；两舷侧壁安装引起的加肋圆柱壳结构振动响应基本一致。

激励力同样设置为单位力，激励频率为5 ~ 400 Hz，结构参数不变，对顶点位置和侧点位置的振动响应均值进行对比计算，结果如图6所示。

对比周向不同位置激励壳体结构振动响应平均值频谱结果，发现该模型在200 Hz频率范围内，单点激励作用于顶点位置时的加肋圆柱壳结构振动响应大于激励作用在侧点位置时的壳体结构振动响应；200～300 Hz频率范围内振动响应相差不大。因此设备周向安装位置和工作频率不同，引起的结构振动响应存在较大差异。单点激励最优位置尽量安装在壳体的侧向位置，抑制加肋圆柱壳体的振动，从而降低结构的辐射噪声。

3.2.2 轴向位置声学计算

激励设备的位置优化不仅局限于周向安装位置上的优化，激励设备安装在不同肋位上时，加肋圆柱壳的结构振动特性也会发生改变。基于同肋位周向位置加肋圆柱壳结构振动响应计算结果，将激励均设置在周向安装的最优位置，即两舷侧壁处，在轴向位置声学计算过程中，计算目标为单点激励作用在不同肋位上加肋圆柱壳的结构振动响应，轴向设备安装位置如图7所示。

振动响应计算频率为5～400 Hz，激励源分别位于2、3、4、5号肋骨，激励力设为幅值为1 N的单位法向激励力，激励频率取5～400 Hz。不同轴向位置单点激励壳体结构振动响应平均计算结果如图8所示。

对比计算结果，发现在5～400 Hz的频率段上，单点激励作用在4号肋位上时结构振动响应较其他安装位置大，且在250 Hz频率处出现峰值，达到57 dB左右，因此设备轴向安装位置和工作频率不同，引起的结构振动响应存在较大差异。

综上，单点激励的设备安装过程中，可将激励点设置在加肋圆柱壳的侧向位置，减小应力波的传播范围，并且尽量避免选取壳体结构的中间位置，达到有效抑制振动噪声的传播的目的，并实现了单点激励的设备位置优化，为控制实验提供理论依据。

4 实验研究 4.1 试验装置

为验证理论计算方法的正确性，按照表1参数建立了水下航行器加肋圆柱壳模拟平台。平台包括筒体结构、平台、基座等部件，平台内部安装多台激振器，模拟不同安装位置的振源设备。

4.2 试验工况

将模拟机械设备的激振器分别安装于2、3、4、5号肋骨侧壁，激励频率为100 Hz和5～400 Hz，激励力幅值设为10 N。在壳体结构外表面均匀布置8个测点，分析测试结构法向振动加速度。具体实验方法如下：

实验模型选取以舱首内壁为起点的4段相邻肋骨侧壁，在任意肋壁中间位置选取沿周向均匀分布的8个点，实验频率范围为100 Hz，采用单点激励的作用方式，激励力和控制力位于同一肋间的同一轴向的不同轴周向位置，计算4段肋骨内壁的振幅平均值，考虑到各测试点间的相互耦合，选取肋2、肋3、肋4和肋5，计算得到不同肋壁振动时8个测点的加速度级响应及其平均值。通过比较肋壁振动加速度级平均值和差值来衡量振动响应的大小。

4.3 实验结果

利用加速度传感器采集壳板法向振动响应信号，激振器分别安装于2、3、4、5号肋骨侧壁，激励频率为100 Hz时，振动加速度级如表2所示。

激振器分别安装于2、3、4、5号肋骨侧壁，激励频率为5～400 Hz时，各肋位处壳板上测点5～400 Hz振动加速度频谱如图9所示。

由表2可知，当激励源安装位于4号肋位侧壁时壳板的振动响应最大，约为129 dB；激励源安装位于2号肋位侧壁时壳板的振动响应最小，约为119 dB，与仿真计算结果趋势基本相同。由图9对比分析各肋位壳板振动加速度响应，发现当激励频率为19 Hz、30 Hz、100 Hz、125 Hz时，结构容易产生线谱成份，且激振器安装于4号肋位侧壁时结构振动响应较大，容易产生较大的辐射噪声，与仿真计算结果趋势基本相同。

5 结　语

本文采用的区域分解的谱单元法对加肋壳振动特性进行深入研究，通过求解最小均方法向函数值，从而求解最小振动响应的最佳激励力位置，达到抑制辐射噪声的最优效果，在实验过程中取得了良好的计算效果，并得出以下结论：

1）提出一种基于谱元法的加肋圆柱壳的振动理论的计算方法，推导了单位激励力作用下结构的最小位移响应的计算公式，并对谱元法进行了有效性分析。

2）研究结果表明，周向位置上激励点位置测点安装优于顶点安装，轴向位置上壳体边缘效果优于壳体中间位置，本文的研究成果可应用于大型复杂结构的振动响应分析以及声学方案的制定，从而提升设备整体的声隐身特性。