0 引　言

在船体曲面设计过程中，需以船舶的静动力性能为基础进行反复修正，并且每次对船体曲面的调整都会改变船舶的水面运动性能，接着基于流体力学理论分析船舶的水面运动性能，通过反复的修改以及分析，最终能得到满足船舶水面运动性能的曲面^[1]。进行船型优化改进时，船舶水面运动性能以数值模拟技术为基础进行分析，该方法在构建船体模型的过程中，效率比较低^[2]。和传统的船舶建模方法相比较，NURBS曲面理论在修改及控制船舶曲面方面比较灵活，船舶曲面以NURBS理论为基础进行设计修改，可最大限度提升船舶的设计效率^[3]。利用NURBS曲线设计方法将船舶的几何模型及网格模型统一在一起，这样可迅速地将NURBS设计的船舶曲面直接转换成网格模型，然后再进行数值模拟分析，能避开船舶在设计过程中的重复性工作，从而可给船舶的型体设计打下坚实基础^[4]。本文基于NURBS曲面理论，研究了船舶主体模型的CAD建模方法，这有助于我国船舶结构设计方法的快速提升。

1 NURBS曲面理论 1.1 NURBS曲线曲面的表达

B样条基函数存在多种形式的定义，由于De Boor-Cox-Mansfield基函数在计算机上较容易实现，因此本文采用该类型的基函数递推公式^[5]。假设存在非递减数列，如下式：

$ {U^{'}} = \left\{ {{u_0}} \right., \cdots ,\left. {{u_n}} \right\},{u_i} \leqslant {u_n} \text{，} $

(1)

式中：u_n为节点，基于式（1）可得到B样条基函数的表达式，如式（2）。

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{B_{i,0}} = \left\{ {\begin{split} &{1,}\quad{{u_i} \leqslant u \leqslant {u_{i + 1}}}，\\& {0,}\quad{\rm{others}} ，\end{split}} \right.} \\ {{B_{i,p}}\left( u \right) = \displaystyle\frac{{u - {u_i}}}{{{u_{i + p}} - {u_i}}}{B_{i,p - 1}}\left( u \right) + \displaystyle\frac{{{u_{i + p + 1}} - u}}{{{u_{i + p + 1}} - {u_{i + 1}}}}{B_{i + 1,p - 1}}\left( u \right)} \text{。} \end{array}} \right. $

(2)

假设存在控制定点数列V_i，并且B样条的次数为p次，那么基于式（1）可得到p次的B样条曲线，如下式（3）：

$ {C_i}\left( u \right) = \sum\limits_{i = 0}^p {{B_{j,p}}\left( u \right){V_{i + j}}} \text{。} $

(3)

在B样条曲线实际应用的过程中，一般为已知测量数据，需构建出一条通过已有测量数据的B样条曲线，即通过给定的测量数据求解出B样条曲线，满足下式：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{V_0} = {P_0}} ，\\ {{V_{n + 2}} = {P_n}} 。\end{array}} \right. $

(4)

和B样条曲线受到单参数控制相比，B样条曲面会受到2个参数的控制。假设V_i,j为控制顶点，并且B样条曲面的2个控制参数方向分别为U和W，分别如式（5）和式（6）所示，B样条曲面的定义如式（7）所示。

$ U = \left\{ {\underbrace {0,...,0}_{p + 1},{u_{p + 1}},...,{u_n},\underbrace {1,...,1}_{p + 1}} \right\}\text{，} $

(5)

$ W = \left\{ {\underbrace {0,...,0}_{q + 1},{w_{q + 1}},...,{w_m},\underbrace {1,...,1}_{q + 1}} \right\}\text{，} $

(6)

$ S\left( {u,w} \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {\sum\limits_{j = 0}^m {{B_{i,p}}\left( u \right){B_{j,q}}\left( w \right){V_{i,j}}} } \text{。} $

(7)

式中：u和w均为3次基函数。非均匀p次有理NURBS曲线，如式（8）所示。

$ C\left( u \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {{V_i}{R_{i,p}}\left( u \right)} \text{，} $

(8)

R_i,p(u)的表达式，如式9所示，表示p次有理基函数。

$ {R_{i,p}}\left( u \right) = \frac{{{W_i}{B_{i,p}}\left( u \right)}}{{\sum\limits_{j = 0}^n {{W_j}{B_{j,p}}\left( u \right)} }}\text{。} $

(9)

非均匀u向p次w向q次有理NURBS曲面可用式（10）表示。

$ S'\left( {u,w} \right) = \frac{{\sum\limits_{i = 0}^n {\sum\limits_{j = 0}^m {{B_{i,p}}\left( u \right){B_{j,p}}\left( w \right){W_{i,j}}{V_{i,j}}} } }}{{\sum\limits_{i = 0}^n {\sum\limits_{j = 0}^m {{B_{i,p}}\left( u \right){B_{j,q}}\left( w \right){W_{i,j}}} } }}\text{，} $

(10)

式中，W_i,j为B样条基函数，其表达式如下。

$ {W_{i,j}} = \left\{ {{w_0},...,{w_{m + q + 1}}} \right\}\text{。} $

(11)

1.2 船体曲线曲面光顺

假定存在一个弹性样条，并且该样条经过了给定的型值点，其应变能表达式为：

$ A = \frac{1}{2}{\left( {EI} \right)^2}\int_0^L {{{\left| {k\left( s \right)} \right|}^2}{\mathrm{d}}s} \text{。} $

(12)

一般情况下应变能A越小，表明曲线越光顺，即曲线的总曲率越小，当应变能A=0的时候，此时的曲线为一条直线。由于式（12）的解算十分繁琐，因此一般使用近似的能量模型来计算，为了降低计算难度，通常使用曲线的二阶导数来代替样条的曲率，则样条曲线的能量模型可表示为：

$ {E_c} = \int_0^b {{{\left| {C''\left( u \right)} \right|}^2}{\mathrm{d}}u} \text{。} $

(13)

从式（13）可知，样条曲线越光滑，其能量值就越小。曲线偏离程度的约束可表示为：

$ {T_C} = \sum\limits_{l = 0}^{n + 2} {{{\left( {V_l^* - {V_l}} \right)}^2} \lt \varepsilon } \text{。} $

(14)

式中，ε为容差。在满足曲线偏离约束条件的情况下，以最小的曲线应变能为目标，则可构建出优化方程，即通过式（13）和式（14）可获得曲线的光顺模型。此时，存在有约束条件的规划问题，一般会将有约束的转变成无约束的问题进行解算，然后使用惩罚函数对优化方程进行求解，如下式：

$ {F_C} = \alpha \cdot \int_a^b {{{\left| {C''\left( u \right)} \right|}^2}du + \sum\limits_{l = 0}^{n + 2} {\gamma {{\left( {V_l^* - {V_l}} \right)}^2}} } \text{。} $

(15)

式（15）的求解目标是计算F_C的极小值，计算方法如式（16）所示。对式（16）进行解算，则可获得光顺之后的B样条曲线。

$ \frac{{\partial {F_C}}}{{\partial V_l^*}} = 0\text{。} $

(16)

剪力跃度平方和的表达式，如式（17）所示。剪力跃度平方和越小，曲率变化就会越均匀。

$ {D_C} = {\sum\limits_{l = 0}^{n - 2} {\left| {\frac{{{k_{l + 2}} - {k_{l + 1}}}}{{{l_{l + 1}}}} - \frac{{{k_{l + 1}} - {k_l}}}{{{l_l}}}} \right|} ^2}\text{。} $

(17)

2 船舶三维模型稳定性计算

一般情况下，使用二维积分的方法对船舶的水面静水力进行求解，二维积分法主要是梯形法等，虽然二维积分计算方法的原理相对比较简单，但求解的过程十分复杂，并且其求解精度低^[6]。随着船舶三维设计方法的推广，船舶利用三维计算的方法进行静水力求解。船舶的静水力曲线在解算过程中，涉及到的参数主要有船长、最大吃水、附体系数等^[7]。船舶的排水量随吃水深度的变化曲线，如图1所示。可以看出，船舶的排水量和吃水深度是呈线性关系。

在船舶吃水深度为11.5 m的情况下，采用三维设计方法对船舶的静水力进行计算，计算结果和船舶原有结果如表1所示。可知，三维模型解算方法得到的剖面参数和船舶原有的数值十分接近，但得到的方形参数和棱形参数都比原有的数值要大一些。

在对船舶静稳性力臂的解算过程中，采用的是等排水量的方法，通过船舶的三维实体模型可获得等体积倾斜水线，利用这个倾斜水线可对船舶的三维模型进行切割，获得水线下方的实体模型，接着利用内置函数获得切割实体的体积心，然后利用式（18）可对船舶的静稳性力臂进行解算。

$ l = {y_B}\cos \phi + {z_B}\sin \phi - {z_G}\cos \phi \text{。} $

(18)

在解算过程中，设置纵倾角为0.53°，图2为船舶静稳性力臂的变化曲线。可知，船舶静稳性力臂的最大值出现在横倾角等于30°的地方。船舶三维模型需满足稳性衡准数，其表达式如式（19）所示；当宽深比大于2的情况下，横倾角的减小值如式（20）所示。

$ K = \frac{{{l_q}}}{{{l_f}}} \geqslant 1\text{，} $

(19)

$ \Delta \theta = 20\left( {\frac{B}{D} - 2} \right) \cdot \left( {k - 1} \right)\text{。} $

(20)

式中：船舶宽/深比的最大值取2.5；稳性衡准数K的最大值取1.5。船舶吃水深度随压载舱容积变化曲线，如图3所示，可知，随着船舶压载舱容积的增大，船舶的吃水深度先缓慢上升，当压载舱容积大于600 m³的时候，船舶吃水深度的增长率会突然变大。

3 船舶模型建模技术

基于船舶结构的设计思路，对船舶的结构执行细化封装，然后基于模块化的思路分解船体结构，并构造出船舶模型库，利用该船舶模型库可快速建模，接着利用类型库存储船舶的设计经验，最终实现船体模型的快速建立以及修改。本文提出的快速建模系统结构图，如图4所示。

图4中类型库的任务是对船舶的基本类型进行构建，规则库的目标是生成船舶结构设计参数并提供给模型库，型材库的主要任务是基于标准的型材对其参数进行建立，船舶构件的拓扑信息存储在数据库中。对船舶曲面模型进行构建是船舶结构设计的前提，船舶形状曲线是通过船舶的型线信息处理组件得到的，并用于船舶的构建设计，最后以该形状曲线为基础对船舶构件的轮廓线进行绘制，得到船舶构件的三维结构模型。图4中各种类型的库结构均为可扩展的，新的船型结构以及标准可以随时添加进去。

在船舶的船体结构设计过程中，最复杂困难的设计工作是船体结构重心位置的确定。本文在一定的间距下，对船舶的重心位置进行计算，最终可获得不同分段肋位上的重心位置，不同肋位上重心位置的变化曲线，如图5所示。可知，肋位号越大，表示距离船舶几何中心越远，纵坐标重心位置是以船舶底部为基准的垂直距离，因此距离船舶几何中心越远，其重心位置越低。

在数字化的设计过程中，虚拟化为其最重要的特征，主要的工作方式是程序化，采用模块化技术自动对相关设计任务进行批量操作，这样可极大提升工作效率。本文图形平台采用solidworks，数据库采用SQL Server，该数据库主要是用于用户端的数据显示任务，同时对ODBC数据库进行构建，然后将设计的结果显示到接口界面上，并将船体模型的设计以及建造信息存储到数据库中，其系统结构如图6所示。

4 结　语

NURBS曲面理论凭借其优良特性，被采纳为计算机处理曲面形状的工业标准，因此很多CAD建模软件均支持NURBS曲面理论的建模方法。NURBS曲面理论在船体曲线曲面设计方面存在很多长处。在船舶结构的设计过程中，通过NURBS工具对船体的曲面进行插值计算以及边界处理，可获得基于NURBS表达式的船舶曲面设计，最后利用数值分析的方法，以确定船舶曲面的水动力性能，极大提升了船舶结构的设计效率。