0 引　言

水下无人探测技术可提升我国水下作战能力，水声目标探测跟踪是关键技术之一^[1]。搭载单矢量水听器的水下缓动平台（如水下滑翔机、浮标等）能获取水声目标的方位信息^[2]，基于单平台探测目标纯方位信息要实现对目标的运动参数估计必须满足平台机动条件，否则系统不可观测^{[3 − 4]}，一般水下缓动平台难以满足机动条件，多平台协同探测成为重点发展方向^{[5 − 6]}。

理想条件下，2台或多台缓动平台对目标的方位测向线的交点即为目标位置，实现基于纯方位信息的水声目标定位^[7]。但复杂的海洋环境，使得测量方位受环境噪声、传感器精度及多平台协同困难等影响，增加了定位结果的不确定性^{[8 − 9]}。探测时延在多缓动平台协同探测中影响尤为突出，由于不同平台空间布局不同，使得探测目标信息在时间上不一致，难以实现对同一目标定位和关联。时间配准是解决时延引起目标探测方位误差的较好方法，时空配准的基础就是对方位误差情况分析，现有研究多采用理想化数学近似模型或采用多约束条件进行讨论^[10]，误差分析结果缺乏普适性，在实际应用中依然存在误差。

为给水下纯方位定位和跟踪提供更准确的目标信息，基于双水下缓动平台建立一种基于平台空间分布的时延与方位探测误差之间的数学模型，并对多种适用条件进行分析，最后基于仿真实验和实测数据验证，掌握了方位探测误差与时延的分布规律，可提升后续目标航迹起始、目标定位、关联和跟踪精度。

1 目标运动模型

在水下目标跟踪系统中，假设目标在二维平面内运动，一般水面航船等目标在短时间内很少发生机动，多以匀速直线模式运动，因此，可构建基于CV模型的目标纯方位运动离散数学模型：

状态方程

$ {{\boldsymbol{x}}_m}(k) = {{\boldsymbol{F}}_m} \cdot {{\boldsymbol{x}}_m}(k - 1) + {{\boldsymbol{v}}_m}(k)，$

(1)

测量方程

$ {\theta _m}(k) = h({{\boldsymbol{x}}_m}(k)) + {w_m}(k) = \arctan \frac{{{x_m}(k) - {x_o}}}{{{y_m}(k) - {y_o}}} + {w_m}(k) 。$

(2)

式中：$ {{\boldsymbol{x}}_m}(k) $为m平台第k时刻的目标状态，即$ {{\boldsymbol{x}}_m}(k) = \left[ {{x_m}\left( k \right){\text{ }}{y_m}\left( k \right){\text{ }}{v_{mx}}\left( k \right){\text{ }}{v_{my}}\left( k \right)} \right] $；$ {\theta _m}(k) $为m平台第k时刻目标测量方位角；$ {{{v}}_m}(k) $和$ {w_m}(k) $分别为均值均为0。协方差为$Q\left( k \right)$和$R\left( k \right)$的系统噪声和测量噪声。

以2台水下缓动平台作为研究对象，水下缓动平台在目标探测时间内可视为静止状态，同时假设水听器在探测过程无噪声干扰^[11]。仅考虑声波在海水中的传播影响，对目标运动过程中的每一时刻节点进行测量方位误差分析。

2 时延下测角误差分析

在二维平面，水面目标保持匀速直线运动，S₁和S₂为两台水下缓动平台，构建直角坐标系，以正北方向为0°，方位角顺时针变化，双水下缓动平台目标纯方位定位几何示意图如图1所示。

当目标在$k$时刻运动到A点，若不考虑声波传播路径受海洋环境影响，且声波符合直线传播模式，此时缓动平台S₁经过时延${\tau _1}$接收到A点目标辐射噪声，方位角估计为${\theta _1}(k + {\tau _1})$，缓动平台S₂经过时延${\tau _2}$接收到A点目标辐射噪声，方位角估计为${\theta _2}(k + {\tau _2})$，此时两平台获取的目标信息为同一目标点的信息，不考虑时延基于最小二乘法等可实现目标定位和运动分析^[12]。在实际应用场景中，由于探测平台和目标距离不同，时延不同，存在${\tau _1} > {\tau _2}$，目标只有运动到B点时，S₂才接收到$k + {\tau _1}$时刻的目标信息，目标方位角为${\theta _2}(k + {\tau _1})$，利用S₁和S₂同一时刻接收的方位角进行目标定位，则将得到虚假定位点，距离目标较近的平台S₂需将时间后退到$k + {\tau _2}$时刻，即时间配准，才能实现与S₁准确方位关联和目标定位。以距离目标点近的探测平台讨论，定义其探测方位误差为：

$ \Delta \theta = \left\{ \begin{gathered} \left| {{\theta _2}\left( {k + {\tau _1}} \right) - {\theta _2}\left( {k + {\tau _2}} \right)} \right|{\text{ }},{\tau _1} > {\tau _2}，\\ \left| {{\theta _1}\left( {k + {\tau _2}} \right) - {\theta _1}\left( {k + {\tau _1}} \right)} \right|{\text{ ,}}{\tau _1} < {\tau _2} 。\\ \end{gathered} \right. $

(3)

基于目标不同运动位置，对探测平台探测方位误差大小进行讨论分析。以S₁探测时间为基准讨论S₂探测目标方位误差，反之适用。设S₂探测平台接收目标B点辐射噪声时延为$\tau '_2$，目标运动速度为$v$，则在A到B时间段内目标运动了$\Delta R = v\left( {{\tau _1} - \tau '_2} \right)$，A、B和S₂构成了一个关于探测方位角误差$\Delta {\theta _2}$的三角形，根据余弦定理构建误差分析模型：

$ \Delta {R^2} = {(c{\tau _2})^2} + {(c\tau' _2)^2} - 2c{\tau _2}c\tau' _2 \cos \Delta {\theta _2} ，$

(4)

其中，c为声速，对上式进行求解可得

$ \Delta {\theta _2} = \arccos \frac{{{c^2}\left( {\tau _2^2 + \tau _2^{'2}} \right) - {v^2}{{\left( {{\tau _1} - \tau '_2 } \right)}^2}}}{{2{c^2}{\tau _2}\tau '_2 }} 。$

(5)

令$f\left( {\tau '_2 } \right) = \dfrac{{{c^2}\left( {\tau _2^2 + \tau _2^{'2}} \right) - {v^2}{{\left( {{\tau _1} - \tau' _2 } \right)}^2}}}{{2{c^2}{\tau _2}\tau '_2 }}$，因反余弦函数为单调递减函数，因此，只需找出$f\left( {\tau '_2} \right)$的极小值就可得到$\Delta {\theta _2}$的最大值，即令$\dfrac{{{\rm d}f\left( {\tau '_2 } \right)}}{{{\rm d}\tau '_2 }}$=0，求得

$ \tau _2^{'2} = \frac{{{c^2}\tau _2^2 - {v^2}\tau _1^2}}{{{c^2} - {v^2}}} 。$

(6)

对上式进行讨论：

1）因海上航船目标最大速度$v$远小于海水声速c，因此，${c^2} - {v^2}$一定是正值，只有当$\dfrac{{{\tau _2}}}{{{\tau _1}}} > \dfrac{v}{c}$，

$ \tau '_2 = \sqrt {\frac{{{c^2}\tau _2^2 - {v^2}\tau _1^2}}{{{c^2} - {v^2}}}}，$

(7)

将$ \tau' _2 $代入式（2）可求得最大探测方位误差值$\Delta {\theta _{2\max }}$。

2）当$\dfrac{{{\tau _2}}}{{{\tau _1}}} < \dfrac{v}{c}$时，式（7）中$ \tau '_2 $只有复数解，不符合实数解要求。对其进一步分析，根据$\dfrac{{{\tau _2}}}{{{\tau _1}}} < \dfrac{v}{c}$可得$\frac{{{L_2}}}{{{L_1}}} = \dfrac{{c{\tau _2}}}{{c{\tau _1}}} < \dfrac{v}{c}$，针对实际海上应用场景，假设航船最大速度v取值为10 m/s，且一般矢量水听器探测距离有限，假设其探测距离L₁≤15 km，则L₂<100 m，如图2所示，说明S₂探测平台离目标点较近，才导致$ \tau '_2 $无法直接用式（5）进行求解。

当$ \tau '_2 $为实数且逐渐增大时，$f\left( {\tau '_2} \right)$是单调递增函数，对$\Delta {\theta _2}$最大值进行求解，即求$\tau '_2$最小值，基于三角形构成条件和余弦定理，增加约束条件，求使得$\Delta {\theta _2}$取最大值的条件为

$ \max \left( {\Delta {\theta _2}} \right),s.t.\left\{ \begin{gathered} \tau '_2 > \frac{{v{\tau _1} - c{\tau _2}}}{{c + v}}，\\ \tau' _2 < \frac{{v{\tau _1} + c{\tau _2}}}{{c + v}}，\\ - 1 \leqslant f\left( {\tau '_2} \right) \leqslant 1 。\\ \end{gathered} \right. $

(8)

3）特殊情况，当两探测平台位于目标航路上时，探测方位不论怎么变化始终处于同一条航路上，无法实现对目标的有效定位跟踪。

当一个探测平台位于目标航路上，另一个探测平台不和目标航路重合时，也可实现对目标的有效定位和跟踪：当${\tau _1} \ne 0$，$\dfrac{{{\tau _2}}}{{{\tau _1}}} \geqslant \dfrac{v}{c}$时，$ \Delta {\theta _{2\max }} $为0°，即探测角度不受双站探测时延影响无误差；当${\tau _1} \ne 0$，$\dfrac{{{\tau _2}}}{{{\tau _1}}} < \dfrac{v}{c}$，$ \Delta {\theta _{2\max }} $为180°，即探测角度因双站探测时延发生了翻转；当${\tau _1} = 0$，即目标点在S₁平台位置时，$ \tau '_2 = \sqrt {\dfrac{{{c^2}\tau _2^2}}{{{c^2} - {v^2}}}} $，$ \Delta {\theta _{2\max }} $取最大误差值$\arccos \dfrac{{\left( {{c^2} - {v^2}} \right)\tau _2^{'2} + {c^2}\tau _2^2}}{{2{c^2}{\tau _2}\tau' _2 }}$，且该误差只取决于S₁和S₂平台距离与目标运动速度。

3 仿真与试验数据分析 3.1 仿真分析

对时延引起方位误差进行仿真分析，假设一目标以最大速度${v_{\max }} = 10\;{\mathrm{m/s}}$，航向为143°匀速直线运动，两缓动平台坐标分别是[2000,100]、[5000,0]，其空间分布态势和两平台探测目标方位历程图如图3和图4所示。

以S₁平台探测时刻为基准，讨论S₂平台探测目标方位误差，根据误差模型计算双平台不同时延影响下目标探测方位误差如图5所示。

由图可得，目标方位测量误差与双平台时延差有着正相关关系，在双平台时延最小时测角误差也最小；在目标位于两平台正横位置时方位测量误差局部最大，在目标位于S₁探测平台正横位置（S₁时延为${\tau _{1\min }}$）时，对于S₂方位误差极大值点即目标位于${k_1} + {\tau _{1\min }} - \tau '_2$时刻，则该时刻目标到S₁的时延为$\sqrt {{{\left( {\tau '_2 - {\tau _{1\min }}} \right)}^2} + \tau _{1\min }^2} $，相较于S₁正横位置发生了前移；同样，当S₁接收到S₂正横位置（S₂时延为${\tau _{2\min }}$）的辐射噪声时，此时S₁探测时间为$ {k_2} + {\tau _1} $，对于S₂探测平台误差极大值点即目标位于${k_2} + {\tau _1} - \tau '_2$时刻，则该时刻目标到S₂的时延为$ \sqrt {{{\left( {{\tau _1} - \tau '_2} \right)}^2} + \tau _{2\min }^2} $，相较于S₂正横位置发生了后移。

两缓动平台位置和目标速度保持不变，设置探测空间为[−1000,8000]×[−4000,4000]，假设目标位于空间的任意位置，对S₂探测方位角最大误差进行仿真，结果如图6所示。

仿真结果可验证第2节误差模型分析结果，距离探测平台越近，时延引起的目标探测方位误差越大，目标距离探测平台1 km左右，方位误差可达1°，距离500 m则方位误差可达到2°，离探测平台越近误差越大且不确定性增加；方位误差分布受两平台空间布局影响，目标位于两平台之间时延较小方位误差也较小，但变化率随距离梯度变化快，方位误差变化等高线呈椭圆形分布。

3.2 试验数据验证所示

图7～图9为某次海试两台水下缓动平台协同探测的实测数据，对两缓动平台的探测时间和目标方位进行时间配准，并对环境噪声干扰和传感器精度误差进行预处理，然后进行目标探测方位误差分析，图10和图11分别为目标测量方位误差分布的模型计算和实测数据计算结果，误差分布基本一致。

从实验结果可知，试验数据结果验证了误差模型的准确性及测角误差受双平台时延影响的分布规律。

4 结　语

本文对双水下缓动平台探测时延引起目标方位偏差问题，基于实际应用场景构建目标状态方程和时延误差分析数学模型，综合考虑不同时延情况下，将目标方位测量误差规律化，并通过仿真实验和实测数据验证了模型的准确性，该模型也可推广到多平台时延误差分析。时延误差分析是目标信息关联的前提，对提高多平台协同目标定位和跟踪精度具有重要意义。