0 引　言

风力助推转子是人类利用风能的一种创新技术，该技术通过旋转圆柱体可使船舶在横风或斜风状态下，产生航行方向上的推力，达到减少油耗，节约运营成本的目的，同时有效降低船舶能效设计指数（EEDI），是一种创新型能效技术。实际运用中，通过在船上安装圆筒，并驱动圆筒在风中旋转，产生垂直于风速方向的力，从而为船舶提供前进的助推动力，如图1所示。早在20世纪初，Anton Flettner提出马格努斯效应可应用于船舶的推进，但当时并未得到推广。随着国际社会对环保的日益关注，以及业界对这一领域研究的逐步深入，风力助推转子（又称Flettner转子）技术在船舶上的应用也迈入一个崭新的阶段。因此，关于旋转柱体的绕流问题近年来也重新成为研究的热点。

1934年Thom^[1]提出，在Flettner转子的顶部增加一个圆盘，可以显著增加升力系数，减小阻力，提高节能效率。Clayton等^[2]在1985年对增加了Thom盘的Flettner转子进行分析，数据肯定了增强效应的存在，但增强效果没有Thom声称的显著。随后，Craft等^{[3 − 4]}在2011年使用URANS模型进行了模拟分析，模拟结果显示，Thom盘对升力系数的增强效果不超过10%。2014年Traut等^[5]在CFD仿真Flettner转子气动性能的研究基础上，提出一种性能模型，模拟了Flettner转子的功率节约。研究指出，一艘装有3个Flettner转子的5500 t货船可节省主机所需功率的50%。

Mittal等^[6]分析了Re=200，转速比$ \alpha = 0\text{~}5 $范围内（$ \alpha = \omega D/2u $，其中$ \omega $为旋转角速度，$ D $为圆柱体直径，$ u $为来流速度）旋转圆柱绕流，发现单侧漩涡脱落的第2个不稳定区域。王丹等^[7]研究了不同雷诺数下的旋转圆柱绕流，结果表明随着转速比$ \alpha $增加，临界转速比$ {\alpha _c} $增加，第二不稳定区域前移。

巴悦等^[8]研究了不同间距比以及旋转方式下的圆柱体绕流特性，发现当上下游圆柱均顺时针旋转且间距比为3时圆柱体升阻比较大。孙姣等^[9]实验研究了Re=1000时旋转圆柱绕流。当转速比$ \mathrm{\alpha }=2 $附近，圆柱体尾部漩涡脱落不在明显。徐一航等^[10]实验并数值研究了Re=20000 ~ 90000，$ \alpha = 0\sim0.72 $范围内的旋转圆柱体后不同剖面处的速度，湍度分布以及剪切层变化规律，分析表明圆柱体侧后方的涡的位置上移对圆柱体的升力影响十分显著。唐卫国等^[11]对2种流动状态下的旋转圆柱体进行模拟研究发现，随着转速比的变化，圆柱体尾流呈现不同的尾流形态。叶煜航等^[12]实验研究了转速比对于并列旋转圆柱体尾流的影响。研究结果表明第一类旋转（顺风反转）对尾涡结构削减效果最好。穆鑫等^[13]数值研究了间距比和转速比对于并列圆柱体绕流特性的影响。计算结果表明，并列旋转圆柱体可以明显减轻间隙流对于尾流的影响，同时能够有效抑制圆柱体尾涡的形成和脱落。

目前关于旋绕圆柱体绕流的研究多集中于低雷诺数和单圆柱体范畴，而实际工程中通常利用多个转子共同辅助航行器航行，本文研究亚临界雷诺数范围内串列旋转圆柱体在横向来流作用下的水动力特性，寻找合适的转速比来帮助航行器辅助推进，为实际工程应用提供指导。

1 数值模型 1.1 控制方程

二维非定常不可压缩流动，其控制方程通常包括质量守恒方程和动量方程，具体表达式如下：

$ \frac{{\partial \overline {{u_i}} }}{{\partial t}} = 0，$

$ \frac{{\partial \overline {{u_i}} }}{{\partial t}} + \frac{{\partial \overline {{u_i}} \overline {{u_j}} }}{{\partial {x_j}}} = - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial \overline p }}{{\partial {x_i}}} + \upsilon \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left(\frac{{\partial \overline {{u_i}} }}{{\partial {x_j}}}\right) - \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\overline {u_i'u_j'}。$

式中：$ \overline {{u_i}} $为速度时均；$ \overline p $为压力时均；$ \rho $为流体密度；$ \upsilon $为运动粘性系数；$ \overline {u_i'u_j'} $为雷诺应力项。

1.2 湍流模型

Yakhot 和 Orszag 从量子物理中的能量频谱分析、统计学中的相关分析以及重整化群理论出发，对湍流问题进行了全新的研究，建立了重整化群湍流模型理论。在 RNG 湍流模型中，同样产生了类似于雷诺应力的附加项，导致控制方程组不封闭。但 Yakhot 等未直接采用 Boussinesq 假设来对控制方程进行封闭，而是利用摄动展开将重整化粘性应力项展开成无量纲参数的形式。

$ \frac{{\partial k}}{{\partial t}} + \overline {{u_j}} \frac{{\partial k}}{{\partial {x_j}}} = \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}({\alpha _k}{\upsilon _t}\frac{{\partial k}}{{\partial {x_j}}}) - \overline {u_i'u_j'} {S_{ij}} - \varepsilon，$

$ \frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial t}} + \overline {{u_j}} \frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {x_j}}} = - {C_1}\frac{\varepsilon }{k}\overline {u_i'u_j'} - {C_2}\frac{{{\varepsilon ^2}}}{k} + \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}({\alpha _\varepsilon }{\upsilon _t}\frac{{\partial \varepsilon }}{{\partial {x_j}}}) - \Lambda。$

其中：$ k $为湍动能；$ \varepsilon $为湍流耗散率；湍动粘度$ {\upsilon _t} = {C_\mu }\dfrac{{{k^2}}}{\varepsilon } $，$ {\mathrm{C}}_{\mathrm{\mu }}=0.085 $；$ {S_{ij}} $为应变率张量；$ {C_1} = 1.42 $，$ {C_1} = 1.68 $，$ {\alpha _k} = {\alpha _\varepsilon } = 1.39 $；$ \Lambda $为生成项。

基本方程由重整化群方法推导，这与雷诺时间平均的方法截然不同。理论上，RNG 模型能够保留更多的湍流细节，相对较准确。RNG 湍流模型中的常数由理论推导得到，而不是像雷诺平均模型借助实验手段确定。因此，RNG 模型建立更加严密，适用范围更具广泛性。此外，RNG 湍流模型中保留了耗散率方程中的生成项，并通过尺度展开的手段来确定它的具体表达式，这对于准确模拟强剪切、大曲率以及分流等流动过程具有重要意义。

1.3 计算域网格划分

计算流域如图1 所示，圆柱体的直径$ D = 10\;{\text{mm}} $，坐标原点位于前圆柱体的中心，后圆柱体位于上游圆柱体下游$ 5D $。计算流域流向长度和横向长度分别为 $ 45D $和$ 30D $。坐标原点距离来流入口$ 15D $，距离来流出口$ 30D $，距离两侧面分别$ 15D $。现有的研究表明，当计算流域的阻塞率小于 5% 时，计算流域对于计算结果的影响很小，本文计算流域的阻塞率为 3.3%，可以认为计算流域宽度对计算结果的影响可以忽略。采用重叠网格技术对计算流域进行网格处理，分别划分了1套背景网格和2套部件网格，网格类型采用六面体网格。其中，背景网格流向和横向分别布置了 285 和 200 个节点，并对重叠网格区域范围内网格进行加密，以便捕获到流动分离和尾流特征。圆柱体周围$ 4D $范围设为重叠网格区域，部件周向布置了 120 个节点，径向布置 25 个节点。经验公式 $ {{Y}}^{+}=0.172\times {\mathrm{R}\mathrm{e}}^{0.9}\frac{\Delta {y}}{{D}} $，将结构表面第一层网格高度设置为$ \Delta y = 0.015D $，计算流域网格如图2 所示。为了显示柱体尾部的流场特征，分别在$ x/D=1、1.5、2.5、6、6.5、7.5 $处设置检测时均速度，同时在（$ 2.5D $，0，0）、（$ 2.5D $，$ 1D $，0）、（$ 2.5D $，$ \mathrm{D} $$ - 1D $，0）、（$ 7.5D $，0，0）、（$ 7.5D $，$ 1D $，0）、（$ 7.5D $，$ - 1D $，0）处设置6个监测点监测时均流速。待计算稳定之后，每隔（0.000 1 ~0.000 5 s）采样一次，共采样 4 s，从而摆脱对时间的依赖性。

入口处设置为速度入口（velocity-inlet），来流速度为$ u = 0.39\;{\text{m/s}} $；出口设置为压力出口（pressure-outlet）；两侧设置为对称边界（symmetry）；圆柱体的表面设置为无滑移边界（no-slip）；重叠网格交界处设置为 overset 边界。

本文采用有限体积法对控制方程进行离散，压力和速度的耦合通过 SIMPLE 算法求解，动量方程采用二阶迎风格式，湍动能和湍流耗散率采用一阶迎风格式，瞬态方程采用一阶隐式离散，残差精度设置为10⁻⁵。

1.4 模型验证

模型验证选取的工况为 Re=3900 的圆柱绕流，计算结果如表1 所示。本文计算结果与已发表的文献结果吻合较好。同时，为了验证本文旋转圆柱绕流计算方法的准确性，计算了 Re=200 时不同转速比下的圆柱绕流，计算结果如表2 所示。本文计算结果与文献结果误差均在可接受范围，证明了本文所建立的旋转圆柱模型的可靠性。

2 计算结果与分析 2.1 圆柱体受力

图3为圆柱体受力随转速比的变化曲线。随着转速比的增大，上游圆柱体的阻力均值逐渐减小，与之相反的是下游圆柱体所受的阻力均值逐渐增大，当转速比$ \alpha = 1.25 $附近时，上下游圆柱体所受的阻力均值相当。随着转速比的继续增大，下游圆柱体所受的阻力均值甚至大于上游圆柱体。此时，上下圆柱体所受的阻力均值变化趋势相同，均呈现先增大后减小。对于升力均方根而言，除了转速比较小时，下游圆柱体升力均方根值大于上游圆柱体。当转速比$ 0.5 \leqslant \alpha \leqslant 1.25 $时，上游圆柱体与下游圆柱体所受的升力均方根值随着转速比的增大而增大，二者数值相近。当转速比$ \alpha \geqslant 1.75 $时，上游圆柱体和下游圆柱体升力均方根值差异逐渐显著。前后圆柱体的升力均值如表3所示，在转速比较大时，将在航行器上产生一个扭矩，这对航行器航向稳定性将是不利的，想要消除这种不利的影响，下游圆柱体需要更的转速比才能平衡这个扭矩，但航行器可以利用该扭矩帮助改变航向。

对升力曲线进行快速傅里叶变换（FFT）得到圆柱体的泻涡频率。通过升力曲线频谱得到斯特劳哈尔数随转速比的变化曲线如图4所示。当转速比较小时，斯特劳哈尔数维持在$ St = 0.18 $附近。但随着转速比进一步增大，在升力频谱中观测不到低频分量，说明在圆柱体尾部没有大尺度的漩涡脱落。

2.2 涡量云图

图5左栏为典型转速比下圆柱体尾涡结构，右栏为对应的压力云图叠加流线，转速比分别取为$ {\alpha }= 0.5,1.25,2.0 $。当转速比$ \alpha = 0.5 $时，可以观察到上游圆柱体的明显的尾涡脱落，上游圆柱体的泻涡A撞击到下游圆柱体上，与下游圆柱体同向漩涡B合并形成一个漩涡，如图5（a）虚线所示。随着尾涡在向下游的运动过程中形成双列漩涡。当转速比$ \alpha = 1.25 $时，圆柱体前端驻点位置发生下移相对于低转速的情形。圆柱体尾部交替泻放的漩涡消失，取而代之的是一个被拉长的倾斜稳定尾流，即尾流为一正一负2个稳定的涡流，两层漩涡之间存在一个缓冲层。此时，由于圆柱体的旋转效应，在圆柱体下方形有隔膜形成的迹象。随着转速比的进一步增大，圆柱体前端驻点消失，圆柱体上端泻放的顺时针漩涡由于惯性作用下包裹整个圆柱表面，并在顺时针和逆时针漩涡之间形成一道贯穿的隔膜。

由压力云图可以看出，流体从左边往右边流动，而双圆柱转子为逆时针旋转，这导致转子上下出现压力差，转子上方的压力大下方压力，压力作用在转子上，在圆柱体形成一个向下的横向力，正是由于这个横向力的存在，可以帮助航行器在航行过程中提供辅助前进的动力，达到节省燃料的目的。随着转速比的增大，圆柱体前端的高压区域逐渐上移，且在圆柱体的侧面的低压区域逐渐增大，横向力逐渐增大。正如前文提到的，前后圆柱体之间存在一个推进力差，在实际航行过程中需要注意。

图6为典型转速比下的6个监测点处的速度的功率谱密度，图中曲线均满足−5/3幂律。当转速比$ \alpha = 0.5 $时，可以明显的看到圆柱体绕流所对应的主频，同时功率谱还表现出多频现象，这是由于上下游圆柱体相互作用导致的。随着转速比的增大，圆柱体尾流中主频消失，取而代之的是一个驼峰结构，表明尾流中没有大尺度的漩涡脱落。

2.3 不同转速比对时均流场的影响

对于亚临界雷诺数范围内的圆柱绕流而言，湍流会导致尾流中会形成各种能级的漩涡尺度，通过对流场进行时均化处理，可以摆脱其对时间的依赖。图7和图8分别为6个监测位置处顺流向和横流向的时均速度曲线。

对于顺流向流速而言，转速比对于圆柱体尾部近流场的影响十分明显。不同的转速比导致圆柱体尾部的回流区域长度发生改变，当转速比$ \alpha > 1.0 $时，回流区域消失。随着转速比的增大，流向时均速度剖面由对称的V型向偏V型转变，流向速度不再沿中心对称，而是逐渐向圆柱体旋转方向偏移。同时，流向流速最小值逐渐增大，流速剖面变得平缓。随着距离的增加，圆柱体旋转对圆柱体周尾流场的影响逐渐减小。下游圆柱体流向时均速度变化趋势和上游圆柱类似，但是由于上游圆柱的存在使其中心流速降低。

由图8可知，随着距离的增加，两圆柱体之间y方向的速度分量由反对称分布逐渐不再呈现反对称分布。当转速比$ \alpha > 0.5 $时，y方向的时均速度随转速比的影响不明显，速度幅值逐渐减小，在$ x/D = 2.5 $时，y方向的速度幅值基本维持在$ v/{u_0} = 0 $附近波动。而下游圆柱体y方向的速度分量受上游圆柱体和转速比的影响较两圆柱体之间幅值波动剧烈。

3 结　语

本文基于重叠网格技术研究有环量的串列圆柱体绕流，分析了Re=3900时不同转速比对于柱体绕流的影响，经分析得出以下结论：

1）利用旋转圆柱体的马格努斯效应在转子上产生一个横向力，可以帮助航行器提供辅助动力，达到节省燃料的目的。结果表明转速比$ \alpha = 1.25 $是一个最优转速。然而，当转速比较大时，上下游圆柱产生的横向力差距变大，这将在航行器上产生一个扭矩，这对航行器的航向稳定性是不利的，想要消除这种不利的影响，下游圆柱体需要更大的转速比才能平衡这个扭矩，但航行器也可以利用该扭矩改变航向。

2）当转速比较小时，斯特劳哈尔数维持在一个恒定值。然而，随着转速比增加到$ \alpha > 0.5 $时，斯特劳哈尔数迅速减小为0，表明旋转圆柱体的尾涡由交替脱落转变为无明显的漩涡脱落，即由尾流撞击模式，逐步转变为倾斜稳定尾流。

3）当转速比较小时，上游圆柱体的存在对下游圆柱体的时均流场以及结构受力等均产生显著的影响；当转速比较大时，上游圆柱体对下游圆柱体的影响逐渐削弱。