0 引　言

随着时代的发展，水下机器人现已被广泛应用于深海探测、海洋矿产开采及海上平台清污、维修等任务中，在人类研究和开发海洋的工作中扮演着越来越重要的角色。同时由于其工作环境较为复杂，为保证机器人的作业能力，就需要对机器人运动轨迹、航行姿态等进行有效控制。

水下机器人轨迹跟踪控制一直是水下机器人研发领域的一大研究热点。传统的控制方法有PID控制^[1]、自适应控制^[2]、反步滑模控制^[3−4]等，虽然能够达到较好的控制效果，但皆存在着一定的问题，如PID控制抗干扰能力较弱、自适应控制可能导致的“参数漂移”现象、反步滑模控制可能存在“微分爆炸”问题及抖振问题等，同时上述控制方法也较难获取系统稳定所需的调节时间。相较于传统控制方法，有限时间控制以能够保证闭环控制系统在有限时间内稳定的特点受到广泛关注，在扰动观测器设计和轨迹跟踪控制器方面都有着较多的应用。杜家璐等^[5]基于超螺旋（Super-Twisting，ST）算法分别设计出可在有限时间内对机器人所受扰动进行实时估计的扩张状态观测器和用于实现机器人三维轨迹跟踪的控制器，仿真结果对控制律的有效性进行了验证。Guerrero等^[6−7] 针对考虑模型不确定性和外界扰动的AUV轨迹跟踪问题展开研究，结合超螺旋算法和自适应控制完成了扰动观测器和轨迹跟踪控制律的设计，并通过实模试验对所提出的观测器和控制律性能进行了验证。Ali等^[8]设计了一个三阶快速有限时间扰动观测器用于估计自主水下机器人（AUV）总扰动及扰动的一阶导数，然后基于非奇异快速终端滑模控制（NFTSMC）设计了用于实现AUV三维轨迹跟踪控制的控制器。数值仿真结果表明，与传统扩张观测器相比，所提出的观测器的快速性和准确性都更好。Zheng等^[9]针对在时变扰动条件下实现AUV轨迹跟踪问题提出了带扰动观测器的有限时间滑模控制器，并与传统的有限时间滑模控制器进行了对比，仿真结果表明所提出的控制器有着更高的跟踪精度和更强的鲁棒性。

基于上述讨论，为提高水下机器人在水下作业时抗干扰能力，针对考虑模型误差和时变外界环境扰动的水下机器人水平面轨迹跟踪问题，本文设计一种带有限时间扰动观测器的轨迹跟踪控制律。首先基于有限时间控制设计一个扰动观测器对总扰动进行实时估计，然后基于反步滑模控制完成带扰动观测器的轨迹跟踪控制律设计，设计过程中采用二阶滤波器对虚拟控制信号进行过滤，并设计滤波补偿系统用于保证滤波信号的精度。最后在Matlab Simulink平台进行仿真实验，对扰动观测器和控制律的性能进行检验。

1 水下机器人模型

本文选用的坐标系如图1所示，分别定义为惯性坐标系$O - XYZ$和附体坐标系$o - xyz$，附体坐标系原点定于机器人主体重心处。图2为本文研究的水下机器人几何模型，机器人主体总长0.4 m，直径0.2 m，主体左右两侧对称布置一对推进导管螺旋桨，首尾反对称布置一对导管螺旋桨，用以提供水下机器人运动过程中所需的力和力矩。螺旋桨动力由脐带缆提供，但假定脐带缆缆径较小，受外界海洋环境干扰影响小，忽略其对机器人运动的影响。机器人水平面运动方程可由常规的水下机器人六自由度运动方程^[10]简化而来。在仅考虑纵荡$\left( x \right)$、横荡$\left( y \right)$和转首$\left( {Rz} \right)$的情况下，可以得到水下机器人在水平面的三自由度运动方程，如下式：

$\left\{ \begin{gathered} {\boldsymbol{\dot \eta }} = {\boldsymbol{J\upsilon }}，\\ {\boldsymbol{M\dot \upsilon }} + {\boldsymbol{C\upsilon }} + {\boldsymbol{D\upsilon }} + {\boldsymbol{g}} = {\boldsymbol{\tau }} + {{\boldsymbol{\tau }}_{{\text{do}}}}。\\ \end{gathered} \right.$

(1)

式中：${\boldsymbol{\eta }}{\text{ = }}{\left\{ {x,y,\psi } \right\}^{\text{T}}}$为位姿向量；$x,y,\psi$分别为惯性坐标下纵荡位置、横荡位置和首摇角；${\boldsymbol{\upsilon }} = {\left\{ {u,v,r} \right\}^{\text{T}}}$为速度向量，$u、v、r$分别为附体坐标系下的纵荡速度、横荡速度和首摇角速度；${\boldsymbol{J}}$为转换矩阵；${\boldsymbol{M}} = {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{M}}} }} + {\boldsymbol{\bar M}} = {\rm{diag}}\{ {m_{ii}}\}$为考虑附加质量的惯性矩阵，$i = 1,2,3$，${{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{M}}} }}$和${\boldsymbol{\bar M}}$ 分别表示模型参数确定项和不确定项，后续参数矩阵符号含义与此相同；${\boldsymbol{C}} = {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{C}}} }} + {{\bar {\boldsymbol{C}}}}$为科里奥利向心力矩阵；${\boldsymbol{D}} = {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{D}}} }} + {{\bar {\boldsymbol{D}}}} = {\rm{diag}}\left\{ {{D_i}} \right\}$为阻尼矩阵，其中${D_i} = {D_{{\text{non}}i}} \cdot \left| {{{\boldsymbol{\upsilon }}_i}} \right| + {D_{{\text{lin}}i}}$，${D_{{\text{non}}i}}$、${D_{{\text{lin}}i}}$分别为阻尼力非线性项和线性项系数，$i = 1,2,3$；${\boldsymbol{g}} = {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{g}}} }} + {\boldsymbol{\bar g}}$为恢复力矩阵，本文由于仅考虑水平面三自由度，且认为重力和浮力相等，${\boldsymbol{g}}{\text{ = }}0$；${\boldsymbol{\tau }} = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _u}}&{{\tau _v}}&{{\tau _r}} \end{array}]^{\text{T}}}$为控制输入向量，依次分别为纵荡推力、横荡推力和首摇力矩；外部环境扰动${{\boldsymbol{\tau }}_{{\text{do}}}} = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _{{\text{do}}u}}}&{{\tau _{{\text{do}}v}}}&{{\tau _{{\text{do}}r}}} \end{array}]^{\text{T}}}$。

${\boldsymbol{J}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \left( \psi \right)}&{ - \sin \left( \psi \right)}&0 \\ {\sin \left( \psi \right)}&{\cos \left( \psi \right)}&0 \\ 0&0&1 \end{array}} \right]。$

(2)

${\boldsymbol{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{ - {m_{22}}v} \\ 0&0&{{m_{11}}u} \\ {{m_{22}}v}&{ - {m_{11}}u}&0 \end{array}} \right] 。$

(3)

若定义${{\boldsymbol{\tau }}_{\text{d}}} = {{\boldsymbol{\tau }}_{{\text{do}}}} - {{\boldsymbol{\tau }}_{{\text{dm}}}} = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _{{\text{d}}u}}}\quad{{\tau _{{\text{d}}v}}}\quad{{\tau _{{\text{d}}r}}} \end{array}]^{\text{T}}}$为总扰动向量，其中模型${{\boldsymbol{\tau }}_{{\text{dm}}}} = {\boldsymbol{\bar M\dot \upsilon }} + {{\bar {\boldsymbol{C}}{\boldsymbol{\upsilon}} }} + {{\bar {\boldsymbol{D}}{\boldsymbol{\upsilon}} }} + {{\bar {\boldsymbol{g}}}}$，则可得到考虑模型误差和外界扰动的水平面水下机器人运动方程如下式：

$\left\{ \begin{gathered} {{\dot {\boldsymbol{\eta}} }} = {\boldsymbol{J\upsilon }}，\\ {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{M}}} \dot \upsilon }} + {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{C}}} \upsilon }} + {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{D}}} \upsilon }} + {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{g}}} }} = {\boldsymbol{\tau }} + {{\boldsymbol{\tau }}_{\text{d}}} 。\end{gathered} \right.$

(4)

所研究的水下机器人模型近似三平面对称，故在运动分析中部分参数矩阵仅考虑对角线部分。更为详细的参数介绍可见文献[7,11]。

2 控制策略设计

本文的研究目标是通过设计水下机器人水平面轨迹跟踪控制器使得其能够对期望轨迹实现有效跟踪，并保持持续且良好的跟踪效果。首先介绍相关假设及引理，相似的假设可见于文献[5,9]。

假设1　期望轨迹${{\boldsymbol{\eta }}_{\text{d}}}$为连续函数，且其一、二阶导数存在且有界。

假设2　总扰动项${{\boldsymbol{\tau }}_{\text{d}}}$是一个Lipschitz连续信号，且$\left| {{{\dot \tau }_{{\text{d}}i}}} \right| \leqslant \bar d$，$i = 1,2,3$，$\bar d$为一未知常数。

引理1^[12]：考虑系统${\boldsymbol{\dot x}} = {\boldsymbol{f}}\left( {{\boldsymbol{x}}\left( t \right)} \right)$，${\boldsymbol{f}}\left( 0 \right) = 0，x \in {R^n}，{\boldsymbol{f}}:{U_0} \to {R^n}$在原点的邻域中连续，存在Lyapunov函数$V\left( {\boldsymbol{x}} \right) > 0$，正常数$\alpha ，\beta，\gamma > 0，{p_1} \in \left( {0.5，1} \right)，{p_2} < {p_1}$，$V\left( {{{\boldsymbol{x}}_0}} \right)$为$V\left( {\boldsymbol{x}} \right)$的初始值。

1） 若$\dot V\left( {\boldsymbol{x}} \right) \leqslant - \alpha V{\left( {\boldsymbol{x}} \right)^{{p_1}}} + \beta V{\left( {\boldsymbol{x}} \right)^{{p_2}}}$成立，则该系统有限时间一致最终有界稳定，${\boldsymbol{x}}$在有限时间$T \leqslant V{\left( {{{\boldsymbol{x}}_0}} \right)^{1 - {p_1}}}/ \left[ {\left( {\alpha - \theta } \right)\left( {1 - {p_1}} \right)} \right]$内收敛至原点周围区域$\Xi = \left\{ {\boldsymbol{x}}:V{{\left( {\boldsymbol{x}} \right)}^{{p_1} - {p_2}}} < \beta /\theta \right\}$，常数$\theta \in \left( {0,\alpha } \right)$。

2） 若$\dot V\left( {\boldsymbol{x}} \right) \leqslant - \alpha V{\left( {\boldsymbol{x}} \right)^{{p_1}}} - \beta V\left( {\boldsymbol{x}} \right) + \gamma V{\left( {\boldsymbol{x}} \right)^{{p_2}}}$成立，则该系统快速有限时间一致最终有界稳定。${\boldsymbol{x}}$在有限时间$T \leqslant {\left[ {\left( {\beta - {\theta _2}} \right)\left( {1 - {p_1}} \right)} \right]^{ - 1}}\ln \left[ {1 + {{\left( {\alpha - {\theta _1}} \right)}^{ - 1}}\left( {\beta - {\theta _2}} \right)V{{\left( {{{\boldsymbol{x}}_0}} \right)}^{1 - {p_1}}}} \right]$ 内收敛至原点周围区域$\Xi = \left\{ {\boldsymbol{x}}:{\theta _1}V{{\left( {\boldsymbol{x}} \right)}^{{p_1} - {p_2}}} + {\theta _2}V{{\left( {\boldsymbol{x}} \right)}^{1 - {p_2}}} < \gamma \right\}$，常数${\theta _1} \in \left( {0,\alpha } \right),{\theta _2} \in \left( {0,\beta } \right)$。

引理2　针对标量函数$V:\left[ {0,\infty } \right) \in R$，不等式方程$\dot V \leqslant - \alpha V + f,\forall t \geqslant {t_0} \geqslant 0$的解为$V\left( t \right) \leqslant {{\text{e}}^{ - \alpha \left( {t - {t_0}} \right)}}V\left( {{t_0}} \right) + \int_{{t_0}}^t {{{\text{e}}^{ - \alpha \left( {t - \tau } \right)}}f\left( \tau \right)} {\rm{d}}\tau$，其中 $\alpha$为任意常数。

2.1 扰动观测器设计

为对总扰动进行实时估计，定义变量${{\boldsymbol{\sigma }}_1} = {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{M}}} \upsilon }} + \int {\boldsymbol{\nu }}$，依据扩张状态观测器构造思想，将总扰动${{\boldsymbol{\tau }}_{\text{d}}}$增广为新的状态变量${{\boldsymbol{\sigma }}_2}$，结合式（4）可得如下系统：

$\left\{ \begin{gathered} {{{\boldsymbol{\dot \sigma }}}_1} = {\boldsymbol{F}} + {\boldsymbol{\tau }} + {{\boldsymbol{\sigma }}_2}，\\ {{{\boldsymbol{\dot \sigma }}}_2} = {\boldsymbol{d}} 。\\ \end{gathered} \right.$

(5)

式中：${\boldsymbol{F}} = - \left( {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{C}}} \upsilon }} + {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{D}}} \upsilon }}} \right) + {\boldsymbol{\upsilon }}$；${\boldsymbol{d}} = {\left[ {{d_1}\left( t \right),{d_2}\left( t \right),{d_3}\left( t \right)} \right]^{\text{T}}}$，为总扰动的一阶导数，满足假设2所给的条件。

结合式（5），有限时间扰动控制器可被设计为：

$\left\{ \begin{gathered} {{{\boldsymbol{\dot {\hat \sigma} }}}_1} = {\boldsymbol{F}} + {\boldsymbol{\tau }} + {{{\boldsymbol{\hat \sigma }}}_2} + {{\boldsymbol{K}}_1}{{\boldsymbol{\varPhi }}_1}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_1}} \right) ，\\ {{{\boldsymbol{\dot {\hat \sigma} }}}_2} = {{\boldsymbol{K}}_2}{{\boldsymbol{\varPhi }}_2}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_1}} \right) 。\\ \end{gathered} \right.$

(6)

式中：${{\boldsymbol{K}}_1} = {\rm{diag}}\{ {k_{11}},{k_{12}},{k_{13}}\}$、${{\boldsymbol{K}}_2} = {\rm{diag}}\{ {k_{21}},{k_{22}},{k_{23}}\}$，为待设计正定矩阵；${{\boldsymbol{\varPhi }}_1}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_1}} \right) = {\left[ {{\phi _{11}},{\phi _{12}},{\phi _{13}}} \right]^{\text{T}}}$，${{\boldsymbol{\varPhi }}_2}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_1}} \right) = {\left[ {{\phi _{21}},{\phi _{22}},{\phi _{23}}} \right]^{\text{T}}}$。

其中：

$\left\{ \begin{gathered} {\phi _{1i}} = si{g^{{\beta _1}}}\left( {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right) + si{g^{{\beta _2}}}\left( {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right)，\\ {\phi _{2i}} = \phi _{1i}'{\phi _{1i}} ，\\ \phi _{1i}' = {\beta _1}{\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|^{{\beta _1} - 1}} + {\beta _2}{\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|^{{\beta _2} - 1}}。\\ \end{gathered} \right.$

(7)

式中：${{\boldsymbol{\tilde \sigma }}_1} = {{\boldsymbol{\sigma }}_1} - {{\boldsymbol{\hat \sigma }}_1}$为${{\boldsymbol{\sigma }}_1}$的估计误差；$si{g^a}\left( x \right) = {\left| x \right|^a}{\rm{sign}}\left( x \right)$，$i = 1,2,3$，${\rm{sign}}(·)$为符号函数；$\dfrac{1}{2} < {\beta _1} < 1$，$2 > {\beta _2} > 1$，为常数。定义${{\boldsymbol{\tilde \sigma }}_2} = {{\boldsymbol{\sigma }}_2} - {{\boldsymbol{\hat \sigma }}_2}$为${{\boldsymbol{\sigma }}_2}$的估计误差，令${\boldsymbol{\tilde \sigma }} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_1}}&{{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_2}} \end{array}} \right]^{\text{T}}}$，结合式（5）～式（7）可以得到如下误差系统：

$\left\{ \begin{gathered} {{{\boldsymbol{\dot {\tilde \sigma} }}}_1} = {{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_2} - {{\boldsymbol{K}}_1}{{\boldsymbol{\varPhi }}_1}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_1}} \right)，\\ {{{\boldsymbol{\dot {\tilde \sigma} }}}_2} = {\boldsymbol{d}} - {{\boldsymbol{K}}_2}{{\boldsymbol{\varPhi }}_2}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_1}} \right) 。\\ \end{gathered} \right.$

(8)

考虑Lyapunov函数$V\left( {{\boldsymbol{\tilde \sigma }}} \right){\text{ = }}\sum\limits_{i = 1}^3 {{V_i}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_i}} \right)} = \sum\limits_{i = 1}^3 {{{\boldsymbol{{ E}}}_i}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_i}{{\boldsymbol{{ E}}}_i}}$，其中${ {\boldsymbol{E}}_i} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\phi _{1i}}}&{{{\tilde \sigma }_{2i}}} \end{array}} \right]^{\text{T}}}$，$i$为第$i$个元素，${{\boldsymbol{P}}_i}$为正定对称矩阵。${\tilde \sigma _{1i}} \ne 0$时，${{\boldsymbol{{ E}}}_i}$对时间求导并将式（7）代入可得：

$\begin{split} {{{{\dot {\boldsymbol E}}}}_i} =& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\beta _1}{{\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|}^{{\beta _1} - 1}}\left( {{{\tilde \sigma }_{2i}} - {k_{1i}}{\phi _{1i}}} \right)} \\ { - {\beta _1}{{\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|}^{{\beta _1} - 1}}{k_{2i}}{\phi _{1i}}} \end{array}} \right] +\\ & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\beta _2}{{\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|}^{{\beta _2} - 1}}\left( {{{\tilde \sigma }_{2i}} - {k_{1i}}{\phi _{1i}}} \right)} \\ { - {\beta _2}{{\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|}^{{\beta _2} - 1}}{k_{2i}}{\phi _{1i}}} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ {{d_i}} \end{array}} \right] = \\ & {\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|^{{\beta _1} - 1}}{{\boldsymbol{A}}_{i1}}{{\boldsymbol{E}}_i} + {\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|^{{\beta _2} - 1}}{{\boldsymbol{A}}_{i2}}{{\boldsymbol{E}}_i} + {{\boldsymbol{\varOmega }}_i} 。\end{split}$

(9)

式中：${{\boldsymbol{\varOmega }}_i} = {[\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{d_i}} \end{array}]^{\text{T}}}$；${{\boldsymbol{A}}_{i1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\beta _1}{k_{1i}}}&{{\beta _1}} \\ { - {\beta _1}{k_{2i}}}&0 \end{array}} \right]$；${{\boldsymbol{A}}_{i2}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\beta _2}{k_{1i}}}&{{\beta _2}} \\ { - {\beta _2}{k_{2i}}}&0 \end{array}} \right]$。结合Lyapunov方程${\boldsymbol{A}}_{ij}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_i} + {{\boldsymbol{P}}_i}{{\boldsymbol{A}}_{ij}} = - {{\boldsymbol{Q}}_{ij}}$，$j = 1,2$，可得：

$\begin{split} {{\dot V}_i}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_i}} \right) =& 2{{{{\boldsymbol E}}}_i}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_i}{{{{\dot {\boldsymbol E}}}}_i} = {{{{\boldsymbol E}}}_i}^{\text{T}}{\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|^{{\beta _1} - 1}}\left( {{\boldsymbol{A}}_{i1}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_i} + {{\boldsymbol{P}}_i}{{\boldsymbol{A}}_{i1}}} \right){{{{\boldsymbol E}}}_i}+\\ & {{{{\boldsymbol E}}}_i}^{\text{T}}{\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|^{{\beta _2} - 1}}\left( {{\boldsymbol{A}}_{i2}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_i} + {{\boldsymbol{P}}_i}{{\boldsymbol{A}}_{i2}}} \right){{{{\boldsymbol E}}}_i} + 2{{\boldsymbol{\Omega }}_i}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_i}{{{{\boldsymbol E}}}_i}= \\ & - {{{{\boldsymbol E}}}_i}^{\text{T}}{\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|^{{\beta _1} - 1}}{{\boldsymbol{Q}}_{i1}}{{{{\boldsymbol E}}}_i} - {{{{\boldsymbol E}}}_i}^{\text{T}}{\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|^{{\beta _2} - 1}}{{\boldsymbol{Q}}_{i2}}{{{{\boldsymbol E}}}_i} +\\ & 2{{\boldsymbol{\varOmega }}_i}^{\text{T}}{{\boldsymbol{P}}_i}{{{{\boldsymbol E}}}_i}\leqslant - {\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|^{{\beta _1} - 1}}{\lambda _{\min }}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_{i1}}} \right){\left\| {{{{{\boldsymbol E}}}_i}} \right\|^2} - {\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|^{{\beta _2} - 1}}\times\\ & {\lambda _{\min }}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_{i2}}} \right){\left\| {{{{{\boldsymbol E}}}_i}} \right\|^2} + 2\bar d\left\| {{{\boldsymbol{P}}_i}} \right\|\left\| {{{{{\boldsymbol E}}}_i}} \right\| ，\\[-10pt] \end{split}$

(10)

又因为$1 > {\beta _1} > \dfrac{1}{2}$，可得${\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|^{{\beta _1} - 1}} \geqslant {\left\| {{{\boldsymbol{{\rm E}}}_i}} \right\|^{{\beta _1} - 1}}$。则当$\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right| \geqslant 1$时，由$2 > {\beta _2} > 1$知${\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|^{{\beta _2} - 1}} \geqslant 1$，结合

${\lambda _{\max }}{\left( {{{\boldsymbol{P}}_i}} \right)^{ - 1}}{V_i}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_i}} \right) \leqslant {\left\| {{{\boldsymbol{E}}_i}} \right\|^2} \leqslant {\lambda _{\min }}{\left( {{{\boldsymbol{P}}_i}} \right)^{ - 1}}{V_i}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_i}} \right)，$

(11)

式（10）可表示为：

$\begin{split} {{\dot V}_i}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_i}} \right) \leqslant & - {\lambda _{\min }}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_{i1}}} \right){\left\| {{{\boldsymbol{{ E}}}_i}} \right\|^{{\beta _1} + 1}} - {\lambda _{\min }}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_{i2}}} \right){\left\| {{{\boldsymbol{{ E}}}_i}} \right\|^2}+ \\ & 2\bar d\left\| {{{\boldsymbol{P}}_i}} \right\|\left\| {{{\boldsymbol{{ E}}}_i}} \right\|\leqslant \\ {\text{ }} & - {\alpha _{i1}}V_i^{\frac{{{\beta _1} + 1}}{2}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_i}} \right) - {\alpha _{i2}}{V_i}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_i}} \right) + {\alpha _{i3}}V_i^{\frac{1}{2}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_i}} \right) 。\end{split}$

(12)

式中：${\alpha _{i1}}{\text{ = }}{\lambda _{\min }}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_{i1}}} \right){\lambda _{\max }}{\left( {{{\boldsymbol{P}}_i}} \right)^{ - \frac{{{\beta _1} + 1}}{2}}}$；${\alpha _{i2}} = {\lambda _{\min }}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_{i2}}} \right) {\lambda _{\max }}{\left( {{{\boldsymbol{P}}_i}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}$；${\alpha _{i3}} = 2\bar d\left\| {{{\boldsymbol{P}}_i}} \right\|{\lambda _{\min }}{\left( {{{\boldsymbol{P}}_i}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}$；${\lambda }_{\mathrm{max}}(·)$、${\lambda }_{\mathrm{min}}(·)$分别为矩阵的最大、最小特征值。由引理1可得${{\boldsymbol{\tilde \sigma }}_i}$在有限时间${T_{i1}} \leqslant {\left[ {\left( {{\alpha _{i2}} - {\theta _{i2}}} \right)\left( {1 - {\beta _1}} \right)/2} \right]^{ - 1}} \ln [ 1 + {{\left( {{\alpha _{i1}} - {\theta _{i1}}} \right)}^{ - 1}} {\left( {{\alpha _{i2}} - {\theta _{i2}}} \right){V_i}{{\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_{i0}}} \right)}^{\frac{{1 - {\beta _1}}}{2}}}} ]$内收敛至有界区域${\Xi _{i1}} = \{ {{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_i}: {{\theta _{i1}}{V_i}{{\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_i}} \right)}^{\frac{{{\beta _1}}}{2}}} + {\theta _{i2}}{V_i}{{\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_i}} \right)}^{\frac{1}{2}}} < {\alpha _{i3}}} \}$，${\theta _{i1}} \in \left( {0,{\alpha _{i1}}} \right), {\theta _{i2}} \in \left( {0,{\alpha _{i2}}} \right)$。

由于当$\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right| < 1$时，${\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|^{{\beta _1} - 1}}$的值随着$\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|$的不断减小将远大于${\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right|^{{\beta _2} - 1}}$，故当系统进入$\left| {{{\tilde \sigma }_{1i}}} \right| < 1$的区域后，式（10）可表示为：

$\begin{split} {\dot V_i}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_i}} \right) & \leqslant - {\lambda _{\min }}\left( {{{\boldsymbol{Q}}_{i1}}} \right){\left\| {{{\boldsymbol{{\rm E}}}_i}} \right\|^{{\beta _1} + 1}} + 2\bar d\left\| {{{\boldsymbol{P}}_i}} \right\|\left\| {{{\boldsymbol{{\rm E}}}_i}} \right\| \leqslant\\ & - {\alpha _{i1}}V_i^{\frac{{{\beta _1} + 1}}{2}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_i}} \right) + {\alpha _{i3}}V_i^{\frac{1}{2}}\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_i}} \right)。\end{split}$

(13)

由引理1可知状态${{\boldsymbol{\tilde \sigma }}_i}$可在有限时间${T_i} = {V_i}{\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_{i0}}} \right)^{\frac{{1 - {\beta _1}}}{2}}}/\left[ {\left( {{\alpha _{i1}} - {\theta _{i3}}} \right)\left( {1 - {\beta _1}} \right)/2} \right] + {T_{i1}}$内最终收敛至区域${\Xi _{i2}} = \left\{ {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_i}:{\theta _{i3}}{V_i}{{\left( {{{{\boldsymbol{\tilde \sigma }}}_i}} \right)}^{\frac{{{\beta _1}}}{2}}} < {\alpha _{i3}}} \right\}$，${\theta _{i3}} \in \left( {0,{\alpha _{i1}}} \right)$。

综上，式（8）所示扰动观测器估计误差系统可在有限时间$T = \max \left\{ {{T_i}} \right\},i = 1,2,3$内一致最终有界稳定，扰动估计误差收敛至原点周围一个非常小的区域，即存在$\varepsilon > 0$满足$t > T$时，$\left\| {{{{\boldsymbol{\tilde \tau }}}_{\text{d}}}} \right\| = \left\| {{{\boldsymbol{\tau }}_{\text{d}}} - {{{\boldsymbol{\hat \tau }}}_{\text{d}}}} \right\| \leqslant \varepsilon$。

2.2 轨迹跟踪控制器设计

对于满足假设1条件的期望轨迹${{\boldsymbol{\eta }}_{\text{d}}}$，定义跟踪误差${{\boldsymbol{\eta }}_{\text{e}}} = {\boldsymbol{\eta }} - {{\boldsymbol{\eta }}_{\text{d}}} = {\left\{ {{x_{\text{e}}},{y_{\text{e}}},{\psi _{\text{e}}}} \right\}^{\text{T}}}$，结合式（4）的运动方程，可得：

${{\boldsymbol{\dot \eta }}_{\text{e}}} = {\boldsymbol{\dot \eta }} - {{\boldsymbol{\dot \eta }}_{\text{d}}} = {\boldsymbol{J\upsilon }} - {{\boldsymbol{\dot \eta }}_{\text{d}}} ，$

(14)

考虑滑模面${{\boldsymbol{s}}_1} = {{\boldsymbol{\eta }}_{\text{e}}} + {{\boldsymbol{k}}_1}\int {{{\boldsymbol{\eta }}_{\text{e}}}}$，${{\boldsymbol{k}}_1}$为待设计正定对角矩阵。选取Lyapunov函数${V_1} = 0.5{\boldsymbol{s}}_1^{\text{T}}{{\boldsymbol{s}}_1}$，求导可得：

${\dot V_1} = {{\boldsymbol{s}}_1}^{\text{T}}\left( {{\boldsymbol{J\upsilon }} - {{{\boldsymbol{\dot \eta }}}_{\text{d}}} + {{\boldsymbol{k}}_1}{{\boldsymbol{\eta }}_{\text{e}}}} \right) 。$

(15)

为避免后续控制器设计时对虚拟控制律求导，定义如下二阶滤波器^[13-14]：

${{\boldsymbol{\ddot \upsilon }}_{{\text{df}}}} = - 2\lambda {\omega _n}{{\boldsymbol{\dot \upsilon }}_{{\text{df}}}} - \omega _n^2\left( {{{\boldsymbol{\upsilon }}_{{\text{df}}}} - {{\boldsymbol{\upsilon }}_{\text{d}}}} \right) 。$

(16)

式中：${{\boldsymbol{\upsilon }}_{\text{d}}}$为虚拟期望速度向量，用作滤波器输入项；${{\boldsymbol{\upsilon }}_{{\text{df}}}}$为滤波器输出向量；$\lambda$和${\omega _n}$为滤波器参数，其取值范围分别为$0 < \lambda < 1$，${\omega _n} > 0$。

为保证过滤后的信号与虚拟控制信号的接近精度，参考文献[15]所用方法，增加滤波补偿辅助系统用于补偿滤波误差，并定义滤波器误差为${{\boldsymbol{e}}_{\text{f}}} = {{\boldsymbol{\upsilon }}_{{\text{df}}}} - {{\boldsymbol{\upsilon }}_{\text{d}}}$，机器人实际速度和期望速度之间的误差为${{\boldsymbol{\upsilon }}_{\text{e}}} = {\boldsymbol{\upsilon }} - {{\boldsymbol{\upsilon }}_{{\text{df}}}} = {\boldsymbol{\upsilon }} - {{\boldsymbol{e}}_{\text{f}}} - {{\boldsymbol{\upsilon }}_{\text{d}}}$，辅助系统状态变量为$\;{\boldsymbol{\varphi }}$。

考虑如下Lyapunov函数

${V_2} = {V_1} + 0.5{{\boldsymbol{\varphi }}^{\text{T}}}{\boldsymbol{\varphi }}，$

(17)

求导可得：

${\dot V_2} = {{\boldsymbol{s}}_1}^{\text{T}}\left( {{\boldsymbol{J}}\left( {{{\boldsymbol{\upsilon }}_{\text{e}}} + {{\boldsymbol{e}}_{\text{f}}} + {{\boldsymbol{\upsilon }}_{\text{d}}}} \right) - {{{\boldsymbol{\dot \eta }}}_{\text{d}}} + {{\boldsymbol{k}}_1}{{\boldsymbol{\eta }}_{\text{e}}}} \right) + {{\boldsymbol{\varphi }}^{\text{T}}}{\boldsymbol{\dot \varphi }}，$

(18)

若选取虚拟期望速度和辅助状态变量更新律分别为：

${{\boldsymbol{\upsilon }}_{\text{d}}} = {{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}\left( {{{{\boldsymbol{\dot \eta }}}_{\text{d}}} - {{\boldsymbol{k}}_1}{{\boldsymbol{\eta }}_{\text{e}}} - {{\boldsymbol{k}}_2}{{\boldsymbol{s}}_1} + {{\boldsymbol{\rho }}_1}{\boldsymbol{\varphi }}} \right) ，$

(19)

${\boldsymbol{\dot \varphi }} = \left\{ {\begin{split} & { - {{\boldsymbol{\rho }}_2}{\boldsymbol{\varphi }} - \dfrac{{\boldsymbol{\varphi }}}{{{{\left\| {\boldsymbol{\varphi }} \right\|}^2}}}\left( {\left| {{\boldsymbol{s}}_1^{\text{T}}{\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{e}}_{\text{f}}}} \right|{\text{ + 0}}{\text{.5}}{{\boldsymbol{e}}_{\text{f}}}^{\text{T}}{{\boldsymbol{e}}_{\text{f}}}} \right){\text{ + }}{{\boldsymbol{e}}_{\text{f}}}，{\text{ }}\left\| {\boldsymbol{\varphi }} \right\| \geqslant \delta }，\\ &{{\text{ }}0，{\text{ }}\left\| {\boldsymbol{\varphi }} \right\| < \delta } 。\\[-15pt]\end{split}} \right.$

(20)

式中：${{\boldsymbol{k}}_2}$、${{\boldsymbol{\rho }}_1}$、${{\boldsymbol{\rho }}_2}$皆为待设计正定对角矩阵；$\delta$为一个很小的正常数。则式（18）可写为：

$\begin{split} {\dot V_2} =& {\boldsymbol{s}}_1^{\text{T}}{\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{\upsilon }}_{\text{e}}} + {\boldsymbol{s}}_1^{\text{T}}{\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{e}}_{\text{f}}} - {\boldsymbol{s}}_1^{\text{T}}{{\boldsymbol{k}}_2}{{\boldsymbol{s}}_1} + {\boldsymbol{s}}_1^{\text{T}}{{\boldsymbol{\rho }}_1}{\boldsymbol{\varphi }} - {{\boldsymbol{\varphi }}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{\rho }}_2}{\boldsymbol{\varphi }}- \\ & \left| {{\boldsymbol{s}}_1^{\text{T}}{\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{e}}_{\text{f}}}} \right| - {\text{0}}{\text{.5}}{{\boldsymbol{e}}_{\text{f}}}^{\text{T}}{{\boldsymbol{e}}_{\text{f}}} + {{\boldsymbol{\varphi }}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{e}}_{\text{f}}}。\end{split}$

(21)

利用矩阵形式的Young不等式可以得到${\boldsymbol{s}}_1^{\text{T}}{{\boldsymbol{\rho }}_1}{\boldsymbol{\varphi }} \leqslant {\boldsymbol{s}}_1^{\text{T}}{{\boldsymbol{s}}_1} + 0.25{\left( {{{\boldsymbol{\rho }}_1}{\boldsymbol{\varphi }}} \right)^{\text{T}}}{{\boldsymbol{\rho }}_1}{\boldsymbol{\varphi }}$，${{\boldsymbol{\varphi }}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{e}}_{\text{f}}} \leqslant 0.5{{\boldsymbol{\varphi }}^{\text{T}}}{\boldsymbol{\varphi }} + 0.5{{\boldsymbol{e}}_{\text{f}}}^{\text{T}}{{\boldsymbol{e}}_{\text{f}}}$，代入式（21）可得：

$\begin{split} {\dot V_2} \leqslant & {\boldsymbol{s}}_1^{\text{T}}{\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{\upsilon }}_{\text{e}}} - \left( {{{\boldsymbol{k}}_2} - {{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}} \right){\boldsymbol{s}}_1^{\text{T}}{{\boldsymbol{s}}_1}- \\ & \left( {{{\boldsymbol{\rho }}_2} - 0.25{\boldsymbol{\rho }}_1^{\text{T}}{{\boldsymbol{\rho }}_1} - 0.5{{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}} \right){{\boldsymbol{\varphi }}^{\text{T}}}{\boldsymbol{\varphi }}。\end{split}$

(22)

定义${{\boldsymbol{s}}_2} = {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{M}}} }}{{\boldsymbol{\upsilon }}_{\text{e}}}$并考虑Lyapunov函数${V_3} = 0.5{\boldsymbol{s}}_2^{\text{T}}{{\boldsymbol{s}}_2}$，其一阶时间导数为：

${\dot V_3} = {\boldsymbol{s}}_2^{\text{T}}\left( { - {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{C}}} \upsilon }} - {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{D}}} \upsilon }} + {\boldsymbol{\tau }} + {{\boldsymbol{\tau }}_{\text{d}}} - {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{M}}} }}{{{{\dot {\boldsymbol{\upsilon}} }}}_{{\text{df}}}}} \right) 。$

(23)

结合前文所得扰动估计值${{\boldsymbol{\hat \tau }}_{\text{d}}}$可选取控制律，可得：

${\boldsymbol{\tau }} = {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{C}}} \upsilon }} + {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{D}}} \upsilon }} - {{\boldsymbol{\hat \tau }}_{\text{d}}} + {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{M}}} }}{{\boldsymbol{\dot \upsilon }}_{{\text{df}}}} - {{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{M}}} }}^{ - {\text{T}}}}{{\boldsymbol{J}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{s}}_1} - {{\boldsymbol{k}}_3}{{\boldsymbol{s}}_2} - {{\boldsymbol{k}}_4}{{\rm{t}}{\rm{an}}h} \left( {{{\boldsymbol{s}}_2}} \right)。$

(24)

式中：${{\boldsymbol{k}}_3}$、${{\boldsymbol{k}}_4}$为待设计正定对角矩阵；${{\rm{tan}}h} \left( {{{\boldsymbol{s}}_2}} \right) = {\left[ {\tanh \left( {{{\boldsymbol{s}}_{2i}}} \right)} \right]^{\text{T}}}$，$i = 1,2,3$。

考虑Lyapunov函数${V_4} = {V_2} + {V_3}$并综合式（22）~式（24）可得：

$\begin{split} {{\dot V}_4} \leqslant & {\boldsymbol{s}}_1^{\text{T}}{\boldsymbol{J}}{{\boldsymbol{\upsilon }}_{\text{e}}} - \left( {{{\boldsymbol{k}}_2} - {{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}} \right){\boldsymbol{s}}_1^{\text{T}}{{\boldsymbol{s}}_1}- \\ & \left( {{{\boldsymbol{\rho }}_2} - 0.25{\boldsymbol{\rho }}_1^{\text{T}}{{\boldsymbol{\rho }}_1} - 0.5{{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}} \right){{\boldsymbol{\varphi }}^{\text{T}}}{\boldsymbol{\varphi }}+ \\ & {\boldsymbol{s}}_2^{\text{T}}\left( {{{\boldsymbol{\tau }}_{\text{d}}} - {{{\boldsymbol{\hat \tau }}}_{\text{d}}} - {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{M}}} }}}^{ - {\text{T}}}}{{\boldsymbol{J}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{s}}_1} - {{\boldsymbol{k}}_3}{{\boldsymbol{s}}_2} - {{\boldsymbol{k}}_4}{Tanh} \left( {{{\boldsymbol{s}}_2}} \right)} \right) \leqslant \\ {\text{ }} &- \left( {{{\boldsymbol{k}}_2} - {{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}} \right){\boldsymbol{s}}_1^{\text{T}}{{\boldsymbol{s}}_1} - \left( {{{\boldsymbol{\rho }}_2} - 0.25{\boldsymbol{\rho }}_1^{\text{T}}{{\boldsymbol{\rho }}_1} - 0.5{{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}} \right){{\boldsymbol{\varphi }}^{\text{T}}}{\boldsymbol{\varphi }} +\\ & {\boldsymbol{s}}_2^{\text{T}}{{{\boldsymbol{\tilde \tau }}}_{\text{d}}} - {\boldsymbol{s}}_2^{\text{T}}{{\boldsymbol{k}}_3}{{\boldsymbol{s}}_2} - {\boldsymbol{s}}_2^{\text{T}}{{\boldsymbol{k}}_4}{\tan h} \left( {{{\boldsymbol{s}}_2}} \right) ，\\[-10pt] \end{split}$

(25)

由于${\boldsymbol{s}}_2^{\text{T}}{{\boldsymbol{\tilde \tau }}_{\text{d}}} \leqslant {\boldsymbol{s}}_2^{\text{T}}{{\boldsymbol{s}}_2} + 0.25{\boldsymbol{\tilde \tau }}_{\text{d}}^{\text{T}}{{\boldsymbol{\tilde \tau }}_{\text{d}}} \leqslant {\boldsymbol{s}}_2^{\text{T}}{{\boldsymbol{s}}_2} + 0.25{\varepsilon ^2}$，${\boldsymbol{s}}_2^{\text{T}}{{\boldsymbol{k}}_4} {\tan h} \left( {{{\boldsymbol{s}}_2}} \right) > 0$，则式（25）可变为：

$\begin{split} {\dot V_4} \leqslant & - \left( {{{\boldsymbol{k}}_2} - {{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}} \right){\boldsymbol{s}}_1^{\text{T}}{{\boldsymbol{s}}_1} - \left( {{{\boldsymbol{\rho }}_2} - 0.25{\boldsymbol{\rho }}_1^{\text{T}}{{\boldsymbol{\rho }}_1} - 0.5{{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}} \right){{\boldsymbol{\varphi }}^{\text{T}}}{\boldsymbol{\varphi }}- \\ & \left( {{{\boldsymbol{k}}_3} - {{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}} \right){\boldsymbol{s}}_2^{\text{T}}{{\boldsymbol{s}}_2} + 0.25{\varepsilon ^2} \leqslant - 2{\kappa _1}{V_4} + {\kappa _2}。\\[-10pt] \end{split}$

(26)

式中：${\kappa }_{1} = \min{}{\lambda }_{\mathrm{min}}\left({k}_{2}\right) - 1，{\lambda }_{\mathrm{min}}\left({\rho }_{2} - 0.25{\rho }_{1}^{\text{T}}{\rho }_{1}- 0.5{I}_{3\times 3}\right)，{\lambda }_{\mathrm{min}}\left({k}_{3}\right)-1$；${\kappa _2} = 0.25{\varepsilon ^2}$。适当选取${{\boldsymbol{\rho }}_1}$、${{\boldsymbol{\rho }}_2}$、${{\boldsymbol{k}}_2}$和${{\boldsymbol{k}}_3}$使得${\kappa _1} > 0$，由引理2可得：

${V_4}\left( t \right) \leqslant {V_4}\left( 0 \right){{\text{e}}^{ - 2{\kappa _1}t}} + {\kappa _2}/2{\kappa _1}。$

(27)

可见，$t \to \infty$，${V_4}\left( t \right) \to {\kappa _2}/2{\kappa _1}$，轨迹跟踪误差${{\boldsymbol{\eta }}_{\text{e}}}$最终有界收敛于原点附近一个有界区域。

综上所述，使用扰动观测器式（6）、虚拟期望速度式（19）、辅助系统更新律式（20）和控制律式（24），可使水下机器人轨迹跟踪控制误差系统有界稳定，轨迹跟踪误差收敛于原点附近一个很小的有界区域。轨迹跟踪控制策略框图如图3所示。

3 仿真验证

为验证本文所提出控制方法在考虑模型误差和时变外界环境扰动情况下，能够实现水下机器人对水平面运动期望轨迹的有效跟踪，在2种情况下进行仿真试验。仿真所使用的水下机器人水动力参数来自文献[16]，惯性矩阵${\boldsymbol{M}} = diag\left\{ {21.276,32.790,0.871} \right\}$，阻尼矩阵${\boldsymbol{D}}{\text{ = }}{{\boldsymbol{D}}_{{\text{non}}}} + {{\boldsymbol{D}}_{{\text{lin}}}}$，其中${{\boldsymbol{D}}_{{\text{non}}}} = {\rm{diag}}\left\{ 12.331\left| u \right|, 21.417\left| v \right|,0.612\left| r \right| \right\}$，${{\boldsymbol{D}}_{{\text{lin}}}} = {\rm{diag}}\left\{ {1.012,1.541,0.137} \right\}$。

情况1　水下机器人目标运动轨迹为：

${{\boldsymbol{\eta }}_{\text{d}}} = {\left\{ {2\cos \left( {0.25t} \right),2\sin \left( {0.25t} \right),0.25t + \frac{{\text{π}} }{4}} \right\}^{\text{T}}}。$

(28)

初始状态${\left\{ {{{\boldsymbol{\eta }}_{\text{0}}},{{\boldsymbol{\upsilon }}_0}} \right\}^{\text{T}}} = {\left\{ {1.8,0.2,0,0,0,0} \right\}^{\text{T}}}$。机器人模型误差考虑为+10%，即${{\boldsymbol{\tau }}_{{\text{dm}}}} = 0.1\left( {{\boldsymbol{M\dot \upsilon }} + {\boldsymbol{C\upsilon }} + {\boldsymbol{D\upsilon }} + {\boldsymbol{g}}} \right)$，外界时变扰动为：

${{\boldsymbol{\tau }}_{{\text{do}}}} = \left\{ \begin{gathered} 1.1 + 0.5\sin \left( {0.2t + {\text{π}} /4} \right) + 0.2\cos \left( {0.6t + {\text{π}} /6} \right) \\ 0.9 + 0.3\sin \left( {0.3t + {\text{π}} /3} \right) + 0.4\cos \left( {0.4t + {\text{π}} /5} \right) \\ 1.3 + 0.6\sin \left( {0.1t + {\text{π}} /8} \right) + 0.1\cos \left( {0.7t + {\text{π}} /4} \right) \\ \end{gathered} \right\}。$

(29)

此种情况主要检测所设计控制律在较小模型误差和时变扰动下的控制性能。扰动观测器参数选取为${{\boldsymbol{K}}_1} = 20{{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}$，${{\boldsymbol{K}}_2} = 200{{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}$，${\beta _1} = 0.7$，${\beta _1} = 1.25$。滤波器参数选取为$\lambda = 0.95$，${\omega _n} = 15$。控制器参数$\delta = 0.01$，${{\boldsymbol{k}}_1} = 0.1{{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}$，${{\boldsymbol{k}}_2} = {{\boldsymbol{k}}_3} = {{\boldsymbol{k}}_4} = 3{{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}$，${{\boldsymbol{\rho }}_1} = 0.005{{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}$，${{\boldsymbol{\rho }}_2} = 2{{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}$，${{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}$为3阶单位矩阵。

情况2　机器人模型误差增大为+40%，即${{\boldsymbol{\tau }}_{{\text{dm}}}} = 0.4\left( {{\boldsymbol{M\dot \upsilon }} + {\boldsymbol{C\upsilon }} + {\boldsymbol{D\upsilon }} + {\boldsymbol{g}}} \right)$，外界时变扰动增大为情形1的2倍。目标轨迹、初始状态及设计参数均与情况1相同，即控制律在模型误差及外界扰动都增大的情况下保持不变。

同时为验证本文所设计控制律的优越性，分别选择高增益扰动观测器^[17]和传统反步滑模控制律作为扰动观测器和总控制律的对比项。结合本文控制律设计可得高增益扰动观测器式（30）和传统反步滑模控制律式（31），传统反步滑模控制律采用双曲正切函数用于消除抖振。2种情形下的仿真结果如图4和图5所示。

$\left\{ \begin{gathered} {\boldsymbol{K}}{{{\boldsymbol{\dot {\hat \tau} }}}_{\text{d}}} = {\boldsymbol{\dot \upsilon }} - {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{M}}} }}}^{ - 1}}\left( { - {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{C}}} \upsilon }} - {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{D}}} \upsilon }} + {{\boldsymbol{\tau }}_{{\text{re}}}}} \right)，\\ {{\boldsymbol{\tau }}_{{\text{re}}}} = {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{C}}} \upsilon }} + {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{D}}} \upsilon }} + {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{M}}} }}{{{\boldsymbol{\dot \upsilon }}}_{{\text{df}}}} - {{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{M}}} }}}^{ - {\text{T}}}}{{\boldsymbol{J}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{s}}_1} - {{\boldsymbol{k}}_3}{{\boldsymbol{s}}_2} - {{\boldsymbol{k}}_4}{{\rm{tanh}}} \left( {{{\boldsymbol{s}}_2}} \right)。\\ \end{gathered} \right.$

(30)

$\left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{\tau }}_{{\text{bs}}}}{\text{ = }}{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{C}}} \upsilon }} + {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{D}}} \upsilon }} + {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{M}}} }}{{{\boldsymbol{\dot \upsilon }}}_{{\text{dbs}}}} - {{\boldsymbol{k}}_5}{{\rm{tanh}}} \left( {{{\boldsymbol{s}}_3}} \right)，\\ {{\boldsymbol{\upsilon }}_{{\text{dbs}}}} = {{\boldsymbol{J}}^{ - 1}}\left( {{{{\boldsymbol{\dot \eta }}}_{\text{d}}} - {{\boldsymbol{k}}_1}{{\boldsymbol{\eta }}_{\text{e}}} - {{\boldsymbol{k}}_2}{{\boldsymbol{s}}_1}} \right)，\\ {{\boldsymbol{s}}_3} = {{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{{\boldsymbol{M}}} }}\left( {{\boldsymbol{\upsilon }} - {{\boldsymbol{\upsilon }}_{{\text{dbs}}}}} \right)。\\ \end{gathered} \right.$

(31)

式中：${\boldsymbol{K}}$和${{\boldsymbol{k}}_5}$为增益矩阵，分别取${\boldsymbol{K}} = 0.001{{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}$，${{\boldsymbol{k}}_5} = 10{{\boldsymbol{I}}_{3 \times 3}}$；${\tan h} \left( {{{\boldsymbol{s}}_3}} \right) = {\left[ {\tan h \left( {{s_{3i}}} \right)} \right]^{\text{T}}}$，$i = 1,2,3$。

由图4（a）、图4（c）可以看出，在考虑较小模型误差和一定外界时变扰动的情况下，本文所设计的控制律相较于对比项控制律能够使水下机器人更快地跟踪上目标轨迹。同时可以看出，对比项控制律在各自由度上的最大稳态跟踪误差分别约为$3\times {10}^{-3}\;\text{m}、3\times {10}^{-3}\;\text{m}、2\times {10}^{-2}\;\text{rad}$，远大于本文控制律所得的稳态跟踪误差，即本文所设计的控制律有着更高的跟踪精度。图4（b）为扰动观测器对总扰动的估计误差对比图，可以看出，2种扰动观测器都能够对参考扰动的值实现快速且准确的估计，但相对于本文设计的扰动观测器，对比项观测器的误差收敛速度更慢且有着更大的最大稳态估计误差。同时值得注意的是，虽然所设计的扰动观测器在部分时刻存在抖振，但此时估计误差仍为一很小值，约为$\pm 4 \times {10^{ - 5}}$，除转首自由度误差比较接近外，皆远小于对比项观测器的在各自由度上对应的最大稳态估计误差，故所设计的观测器相较于对比项扰动观测器有着更好的观测性能。而由图4（d）可知，2种控制律下所得的控制输入是相近的，且变化平缓，表明所得到的控制输入合理，即不会对执行机构造成较大冲击。

图5为考虑较大模型误差及更大的外界时变扰动情况下的仿真结果示意图。由图5（a）可以看到，在保持与情况1不变的设计参数下，所设计的控制律仍能实现与情况1同样令人满意的的跟踪效果。综合图4与图5，增大总扰动项后，对比项观测器及控制律所得到的估计误差和跟踪误差都存在一定程度的增大，但并没有使本文设计的扰动观测器和控制律对应的扰动稳态估计误差和轨迹跟踪误差有明显的变化，说明本文所设计的控制律对水下机器人存在的模型误差及未知外界时变扰动具有良好的鲁棒性。同时控制输入项的变化仍然是较为平缓的，同样不会对执行机构产生较大的冲击。

综上所述，本文基于有限时间控制及滑模控制设计的扰动观测器相较于高增益扰动观测器拥有更高的估计精度。所设计的轨迹跟踪控制律对水下机器人存在的模型误差及未知外界时变扰动具有良好的鲁棒性，且相较于传统反步滑模控制有着更快的跟踪速度和更小的跟踪误差。

4 结　语

本文针对水下机器人水平面轨迹跟踪问题展开研究，在考虑机器人模型误差及时变外界扰动的情况下，首先基于有限时间控制方法设计一个有限时间扰动观测器用于对总扰动进行实时估计，然后基于反步滑模控制完成带扰动观测器的轨迹跟踪控制律设计。最后在Matlab Simulink平台中对所设计的控制律的轨迹跟踪控制效果进行仿真实验，并选择高增益扰动观测器和传统反步滑模控制器分别作为本文所设计的扰动观测器和控制器的对比项，结果表明：

1）与传统高增益扰动观测器相比，本文基于有限时间控制提出的扰动观测器有着更快的收敛速度及更小的稳态估计误差。

2）本文所设计的控制律实现了考虑模型误差和未知外界时变扰动的水下机器人水平面轨迹跟踪控制，相较于传统反步滑模控制有着更小的稳态跟踪误差和更快的跟踪速度，同时不同总扰动情况下的仿真结果表明所设计的控制律有着良好的鲁棒性。