0 引　言

泵产品在船舶行业的应用非常广泛，涉及船舶推进系统、发电系统等方方面面。其中，离心泵是船舶中最常见的泵之一。离心泵是一种常见的动力泵，它通过旋转叶轮产生离心力来将液体输送到所需的位置。离心泵通常由马达、叶轮和泵壳组成。马达提供动力，使叶轮旋转，液体被吸入并在离心力的作用下被推送到泵的出口。船舶离心泵主要用于输送海水、燃油、润滑油等介质，被广泛应用于海水循环系统、消防系统、油料输送系统、排水系统等。

离心泵的模态分析是指对离心泵进行振动分析，找出其固有频率及振动模态，以评估其结构的稳定性、可靠性和耐久性。离心泵的振动问题是离心泵故障的主要原因之一，因此进行模态分析可以更好地了解离心泵的结构特点，预测其可能出现的振动问题，从而采取相应的措施进行改进和优化。

由于离心泵的工作介质是流体，因此进行离心泵的力学分析时需要重点考虑流体和固体的耦合作用，本文介绍流体力学的基础理论，研究一种流固耦合求解算法，并结合Workbench进行了船舶离心泵转子的有限元模态分析。

1 流体力学的湍流理论和壁面函数理论 1.1 湍流模型

计算流体力学(CFD)是联系数理模型和流动现象的重要手段，船舶离心泵的流体力学特性分析必须要引入湍流模型，才能使流场求解方程组收敛。

本文主要介绍3种湍流模型^[1]，分别为涡粘模型、$ k - \varepsilon $模型和$ rank - \varepsilon $模型。

1）涡粘模型

涡粘模型的基础是引入湍流粘度参数$ {\ \mu _t} $，用湍流粘度表示湍流应力，此时雷诺应力可表达为：

$ \overline {\rho {u_i}^\prime u_j^\prime } = - \mu \left( {\frac{{ \partial {{\bar u}_i}}}{{ \partial {x_j}}} + \frac{{ \partial {{\bar u}_j}}}{{ \partial {x_i}}}} \right) + \frac{2}{3}\left( {\rho k + {\mu _t}\frac{{ \partial {{\bar u}_ + }}}{{ \partial {x_i}}}} \right){\delta _{ij}} \text{。} $

式中：$ {\delta _{ij}} $为张量符号；k为湍流动能。

2）$ k - \varepsilon $模型

$ k - \varepsilon $模型是一种经典的湍流模型，该模型引入了湍流动力耗散率$ \varepsilon $，定义如下：

$ \varepsilon = \frac{\mu }{\rho }\overline {\left( {\frac{{ \partial u_i^{}}}{{ \partial {x_k}}}} \right)\left( {\frac{{ \partial {u_j}}}{{ \partial {x_k}}}} \right)} \text{。} $

用$ k - \varepsilon $参数表征湍流粘度$ {\ \mu _t} $为：

$ {\mu _t} = \rho {C_\mu }\frac{{{\kappa ^2}}}{\varepsilon } 。$

式中，$ {C_\mu } $为湍流离散系数。

$ k - \varepsilon $模型如下式：

$ \begin{gathered} \frac{{ \partial (\rho k)}}{{ \partial t}} + \frac{{ \partial \left( {\rho {u_i}k} \right)}}{{ \partial {x_i}}} = \frac{ \partial }{{ \partial {x_j}}}\left[ {\left( {\mu + \frac{{{\mu _t}}}{{{\sigma _k}}}} \right)\frac{{ \partial k}}{{ \partial {x_j}}}} \right] + {G_k} - \rho \varepsilon \text{，} \\ \frac{{ \partial (\rho \varepsilon )}}{{ \partial t}} + \frac{{ \partial \left( {\rho {u_j}\varepsilon } \right)}}{{ \partial {x_i}}} = \frac{ \partial }{{ \partial {x_j}}}\left[ {\left( {\mu + \frac{{{\mu _r}}}{{{\sigma _s}}}} \right)\frac{{ \partial \varepsilon }}{{ \partial {x_j}}}} \right] + \frac{\varepsilon }{k}\text{。} \\ \end{gathered} $

3）$ rank - \varepsilon $模型

$ rank - \varepsilon $湍流模型在分析流动和涡旋效应时有较大的优势，其基本表达式为：

$ \begin{gathered} \rho \frac{{{{\rm{D}}_k}}}{{{{\rm{D}}_t}}} = \frac{ \partial }{{ \partial {x_i}}}\left( {{a_k}{\mu _{eff}}\frac{{ \partial k}}{{ \partial {x_i}}}} \right) + {G_k} - \rho \varepsilon n\text{，} \\ \rho \frac{{{{\rm{D}}_l}}}{{{{\rm{D}}_t}}} = \frac{ \partial }{{ \partial {x_i}}}\left( {{a_t}{\mu _{eft}}\frac{{ \partial \varepsilon }}{{ \partial {x_i}}}} \right) + \frac{\varepsilon }{k}{G_l} - \rho \frac{{{\varepsilon ^2}}}{k} \text{。} \\ \end{gathered} $

式中：$ {\ \mu _{eff}} $为$ rank - \varepsilon $模型的液体粘度^[2]；$ {G_k} $、$ {G_l} $为湍流的动量。

1.2 壁面函数理论

壁面函数理论的基本假设是：在靠近壁面处，流体中的速度分布主要由摩擦力控制，而在远离壁面处，速度分布主要由惯性力控制。因此，可以将流场分成2个区域：壁面附近的边界层和远离壁面的外层。在边界层内，壁面函数通过一些经验公式来计算速度和剪切应力的分布，而在外层，可以使用更简单的流动模型来计算速度和压力的分布。

壁面函数是一种在计算流体力学（CFD）中常用的模拟流体在壁面附近的速度和剪切应力的方法。壁面函数理论是基于边界层理论的，边界层理论是描述流体在靠近壁面处，速度剖面变化的一种理论。在CFD模拟中，由于计算网格的限制，通常无法将壁面附近的流场细化到足够小的尺度，因此需要使用壁面函数来模拟壁面附近的流场。

壁面函数理论的示意图如图1所示。

流场与壁面之间的层次划分包括黏性层、对数层、湍流层。

对数层区域，流体的切向速度和剪切应力$ {\tau _p} $满足对数关系，如下式：

$ \begin{gathered} {U_t} = \frac{1}{k}\ln \left( {{y_t}} \right) + C \text{，} \\ {y_t} = \frac{{\rho \Delta {u_s}}}{\mu }\text{，} \\ {u_s} = {\left( {\frac{{{\tau _p}}}{\rho }} \right)^{\frac{1}{2}}}\text{。} \\ \end{gathered} $

2 基于有限元的船舶离心泵转子流固耦合分析 2.1 流固耦合求解方法研究

常见的流固耦合求解方法包括：

1）前沿耦合法（Front-Coupling Method）^[3]。该方法将流体和固体的运动方程分别求解，然后通过界面条件将两者耦合起来。这种方法的优点是能够处理复杂的流体和固体结构，但计算量较大，适用于小规模问题。

2）后沿耦合法（Back-Coupling Method）。该方法将流体和固体的运动方程同时求解，通过界面条件将两者耦合起来。这种方法的优点是计算效率高，适用于大规模问题，但对于复杂的流体和固体结构可能不够准确。

3）有限元法。该方法分别建立流体和固体的网格，然后通过耦合方程将两者结合起来。这种方法的优点是适用于复杂的流体和固体结构，这也是本文使用的方法。

流固耦合的有限元法原理如图2所示。

可知，需要对流体和固体进行力学特性分析，然后通过载荷和程序耦合环节，将流体和固体的求解联系起来。

流固耦合过程首先进行固体（泵）的静力学分析，建立固体的空间弹性体应力模型如图3所示。

刚体的基本变量包括位移向量$ \{ {\boldsymbol{u}}\} $、应变向量$ \{ {\bf{\varepsilon }}\} $、应力向量$ \{ {\bf{\sigma }}\} $，阵列形式如下：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\{ {\boldsymbol{u}}\} = {{[u,v,w]}^{\rm{T}}}} \text{，}\\ {\{ {\bf{\varepsilon }}\} = {{\left[ {{\varepsilon _x},{\varepsilon _y},{\varepsilon _z},{\gamma _{xy}},{\gamma _{xx}},{\gamma _{xx}}} \right]}^{\rm{T}}}}\text{，} \\ {\{ {\bf{\sigma }}\} = {{\left[ {{\sigma _x},{\sigma _y},{\sigma _z},{\tau _{xy}},{\tau _x},{\tau _{zx}}} \right]}^{\rm{T}}}} \text{。} \end{array}} \right. $

系统的平衡方程为：

$ \left[ A \right]\{ {\bf{\sigma }}\} + \{ {{R}}\} = 0 \text{，} $

其中，$ \left[ A \right] $为微分算子，如下式：

$ [{\boldsymbol{A}}] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{ \partial }{{ \partial x}}}&0&0&{\dfrac{ \partial }{{ \partial y}}}&{}&{\dfrac{ \partial }{{ \partial z}}} \\ {}&{\dfrac{ \partial }{{ \partial y}}}&{}&{\dfrac{ \partial }{{ \partial x}}}&{\dfrac{ \partial }{{ \partial z}}}&{} \\ {}&{\dfrac{ \partial }{{ \partial z}}}&{}&{\dfrac{ \partial }{{ \partial y}}}&{\dfrac{ \partial }{{ \partial x}}}&{} \end{array}} \right] \text{。} $

式中，$ \{ {{R}}\} $为体积力向量。

刚体的力学特性边界条件如下式：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{T_x} = {n_x}{\sigma _x} + {n_y}{\tau _{yx}} + {n_z}{\tau _{zx}}}\text{，} \\ {{T_y} = {n_x}{\tau _{xy}} + {n_y}{\sigma _y} + {n_z}{\tau _{zy}}}\text{，} \\ {{T_z} = {n_x}{\tau _{xz}} + {n_y}{\tau _{xy}} + {n_z}{\sigma _z}} \text{。} \end{array}} \right. $

式中：$ \left( {{n_x},{n_y},{n_z}} \right) $为法向量；$ \left( {{T_x},{T_y},{T_z}} \right) $为边界作用力。

2.2 模态理论分析

模态分析是指通过理论计算和数学模型推导的方法，对结构或系统的振动特性进行分析。这种分析方法通常用于预测结构在固有频率和振型方面的特性。本文基于有限元方法对船舶离心泵结构进行模态分析^[4]。

建立结构的运动学微分方程如下：

$ [{\boldsymbol{M}}]\{ {\boldsymbol{\ddot x}}\} + [{\boldsymbol{C}}]\{ {\boldsymbol{\dot x}}\} + [{\boldsymbol{K}}]\{ {\boldsymbol{x}}\} = \{ {\boldsymbol{F}}({\boldsymbol{t}})\} \text{。} $

式中：$ [{\boldsymbol{M}}]\text{、}[{\boldsymbol{C}}]\text{、}[{\boldsymbol{K}}] $分别为质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，矩阵均为n阶方程，$ \{ {\boldsymbol{\ddot x}}\} $、$ \{ {\boldsymbol{\dot x}}\} $、$ \{ {\boldsymbol{x}}\} $分别为加速度向量、速度向量和位移。

对微分方程进行拉普拉斯变换可得：

$ \begin{gathered} \left( {{s^2}[{\bf{M}}] + s[{\bf{C}}] + [{\bf{K}}]} \right)\{ X(s)\} = \{ F(s)\}\text{，} \\ X(s) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } X (t){e^{ - st}}{\rm{d}}t\text{，} \\ F(s) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } F (t){e^{ - st}}{\rm{d}}t\text{。} \\ \end{gathered} $

基于有限元软件的模态分析流程如图4所示。

2.3 基于有限元分析的船舶离心泵转子流固耦合模态分析

基于有限元分析的船舶离心泵转子流固耦合模态分析环节包括：

1）三维建模

离心泵转子的三维建模基于CREO软件，如图5所示。

2）有限元建模

由于离心泵转子结构模型较为复杂，网格的划分方法选用四面体自动划分网格法，有限元网格在workbench软件中完成，网格单元的尺寸设置为5 mm，生成网格数为124964，有限元模型如图6所示。

3）载荷与求解

载荷及边界条件包括：进口压力值为1个标准大气压，湍流强度设置为4500；出口流量设置为标准流量；壁面采用无滑移壁面。

图7为基于流固耦合分析的离心泵转子模态仿真云图。

可知，离心泵转子最大振幅为1.049E-02，位于扇叶根部位置。

3 结　语

船舶离心泵转子的优化设计是一个复杂的工程问题，涉及到流体力学、结构力学和振动特性等多个领域。本文基于流固耦合分析进行船舶离心泵转子的仿真和优化设计，通过计算流体动力学（CFD）方法，对离心泵内部的流场进行分析，采用有限元分析（FEA）等方法，对离心泵转子的结构进行分析，将流场分析和结构分析进行耦合，并在Workbench中进行了结构仿真。