0 引　言

舰船结构的轻量化、高性能化设计是未来海军装备的发展趋势，研究开发新材料、新结构形式的需求日益增长。负泊松比（NPR）材料作为一种超材料，其在受到单轴拉伸时横向会发生膨胀，受压后横向同时收缩。这种独特的拉胀现象使其具备优越的抗拉压性能^[1-2]、振动噪声吸收性能^[3-4]、能量吸收性能^[5-6]。众多优异的力学性能使负泊松比材料满足更苛刻的工程要求，得以应用在舰船防护、航天航空和军事工程等领域^[7]。

自Gibson等^[8]首次提出自主设计的负泊松比蜂窝形状（内凹六边形胞元构型）以来，根据各类应用场合而设计的负泊松比胞元形状不断更新。学者们主要针对二维负泊松比结构进行研究，最常见的二维负泊松比蜂窝结构的微观构型包括内凹角六边形^[8-9]、手性蜂窝^[10-11]、星形^[12-13]、箭型^[14-15]等形式。该类结构通常由二维几何形式的胞元沿面外方向延展一段距离形成，其仅在其面内呈现负泊松比效应，由胞元的平面上的内凹或旋转特性获得，而结构在第三维度上不具备负泊松比效应，存在一定的局限性。

近年来，工业技术的蓬勃发展促进了三维负泊松比材料的设计与制备。Evans等^[16]设计出了第一个各向正交三维的负泊松比构型。随后，Yang^[17]、Wang^[18]等针对三维内凹六边形蜂窝结构力学性能进行深入研究。Gao^[19]等基于二维箭型蜂窝构型，设计出了三维箭型负泊松比结构。周冠等^[20]将非线性变形理论与铁木辛柯梁理论相结合，推导出箭形负泊松比结构的简化力学性能。相较二维负泊松比结构，三维负泊松比结构具备更佳的各向同性，能够在各个轴向上均呈现出负泊松比的特性，突破了二维形式的局限性，具有更广阔的应用前景。

然而当前，对三维负泊松比结构的研究还处于相对初步的阶段，仍有大量新构型的设计亟待挖掘，对其力学性能的研究也尚显不足^[21]。由于三维负泊松比蜂窝材料的构型通常非常复杂，结合试验的分析论证更为有限。

本文提出一种新型三维负泊松比蜂窝（Three-dimensional Negative Poisson ratio Honeycomb,3D-NPH）结构，基于单胞分析法构建了该结构在准静态载荷作用下的等效力学模型，分析了胞元各几何参数对结构整体性能的影响。同时，将理论解与有限元结果及试验结果对比分析，验证了本文所建立的新型3D-NPH结构力学模型的合理性，为后续该型结构的动力学研究及实际应用提供参考。

1 三维负泊松比蜂窝结构设计

二维内凹负泊松比结构首先由Almgren^[22]提出，如图1（a）所示。在此二维构型基础上，通过与初始结构所在平面相垂直的平面上设置一个与其共用直杆MN的相同结构，可将负泊松比效应拓展到该维度上，并依据结构本身的对称性，构造出了如图1（b）所示的三维负泊松比胞元。

将胞元在3个轴向上重复排列组成整个蜂窝结构，如图2（a）所示，这种结构在三轴向上都可呈现出负泊松比效应。便于后续的受力分析，选取如图2（b）所示形式代表整体的蜂窝结构，作为典型的单位胞元。

对于二维负泊松比结构，当受到轴向压缩载荷的时候，内凹方向上的胞壁会发生弯曲变形，且水平方向的胞壁与内凹方向的胞壁之间夹角和内凹胞壁与轴线之间的夹角会同时缩小。因此，在垂直于载荷方向上，元胞会产生压缩应变，产生水平面上的收缩现象，如图3 (a)所示。由于三维负泊松比元胞由2个二维胞元正交组成，所以维元胞能够在横截面内的3个轴向上同时产生收缩现象，表现出更为显著的负泊松比效应，如图3 (b)所示。

2 3D-NPH准静态压缩下的力学性能

结构在准静态载荷作用下的力学表征是描述其性能重要参数，是结构动力学性能研究及工程应用的基础。本文所提出的新型三维负泊松比蜂窝结构，具备高度的对称性。如图4所示，胞元结构关于竖直平面，水平平面和对角平面对称。因此，该结构在轴${x_1}$和${x_2}$方向上所呈现的力学性能一致。在描述该种3D-NPH结构时，仅需要对其在$x$轴（包括${x_1}$和${x_2}$）和$y$轴向上的力学特性进行计算研究。

2.1 3D-NPH胞元受力简化假定

为了简化受力分析过程而又不损失结果的可靠性，在进行胞元受力分析前作如下假设：

1）蜂窝结构的力学性能对边界条件的设置较为敏感，蜂窝中所包含的胞元数量会影响结构整体呈现的力学性能。为了消除边界效应带来的影响，假定3D-NPH中的胞元数量无限，以模拟其高度对称的特性，因此可以将3D-NPH结构中任意竖直方向的直杆和内凹方向的斜杆视为等效构件，极大简化了分析过程。

2）3D-NPH胞元中直杆与斜杆的重叠处假定为与杆件构成整体，在受到轴向压载时不发生旋转弯曲变形。因此，胞元中的所有杆件链接处都被认为是刚性的。

3）将胞元中的杆件视为梁单元，为提高计算结果的准确性，采用铁木辛柯梁理论进行分析，同时考虑了胞元在受力产生的弯曲变形、剪切变形及杆件的轴向拉伸或压缩变形。

4）忽略扭转的影响，因为当结构承受对称载荷时，杆件产生的扭转力矩可以被抵消。

5）假定蜂窝中的所有杆件的截面均为正方形，由于在周期性的阵列过程中，竖直方向的直杆会与4个相邻的胞元所共用，而内凹方向的斜杆会有2个相邻胞元所共享。因此，假定蜂窝中杆件的横截面的边长为t时，则胞元直杆的截面为${t_1} = t/2$，斜杆的截面为${t_2} = t/2$，${t_3} = t$。图5展示了胞元的几何尺寸细节。竖直方向的直杆长度H，内凹方向的斜杆L，内凹角度θ，杆件截面正方形边长t。

2.2 Y轴向压缩下的等效力学性能

单胞法是从无限大的多胞结构中取一基本胞元来研究其等效力学性能^[23]，从而表征整体结构的性能。

当3D-NPH胞元受到y轴向上的单轴压缩时，由于结构本身的对称性，其在${x_1}$和${x_2}$轴上表征的力学性能是一致的。假设胞元整体受到压力${P_Y}$，则在受到压力后，图6中标记的结构受力情况可以代表整个胞元的受力情况。

将杆件视为两端固支的梁。如图7（a）所示，竖直方向的直杆在承受载荷时仅产生y轴向上的压缩变形。对于胞元中斜杆而言，杆件中点处的有效力矩为0，杆件受力情况如图7（b）所示。因此，在进一步分析中，可以将斜杆的一半视为悬臂梁，如图8所示。

假设3D-NPH胞元结构受到的为无穷远处应力${\sigma _{Y\infty }}$的作用，根据Castigliano's Theorem和Euler-Bernoulli梁定理对杆件进行弯曲变形的分析，则悬臂梁产生的弯曲挠度为：

$ \begin{split} {\delta _{YR}} & = \frac{{\partial {U_{YR}}}}{{\partial {F_Y}}} = \frac{\partial }{{\partial {F_Y}}}\mathop \int \nolimits_0^{\frac{L}{2}} \frac{{{M_Y}{{\left( x \right)}^2}}}{{2EI}}{\rm{d}}x =\\ & \mathop \int \nolimits_0^{\frac{L}{2}} \frac{{{M_Y}\left( x \right)}}{{{E_s}I}}\frac{{\partial {M_Y}\left( x \right)}}{{\partial {F_Y}}}{\rm{d}}x = \frac{{{P_Y}{L^3}\sin \theta }}{{4{E_s}{t^4}}}。\end{split} $

(1)

式中：${U_{YR}}$为弯曲变形的能量；${M_Y}$为斜杆两端的弯矩；$I$为斜杆截面的惯性矩是基体材料的弹性模量。

压力${P_Y}$在斜杆轴向上的分力${T_Y}$引起的压缩变形，计算公式可表示为：

$ {{\text{δ }}_{YT2}} = \frac{{{\sigma _{Y\infty }}}}{{{E_s}}}\frac{L}{2} = \frac{{{T_Y}L}}{{2{E_s}{t_2}{t_3}}} = \frac{{{P_Y}\cos \theta L}}{{4{E_s}{t^2}}}。$

(2)

在斜杆长度与厚度之比较小的情况下，需要考虑剪切力对变形的影响。基于Timoshenko梁理论，杆件由于剪切力产生的位移可以表示为：

$ {\delta _{YS}} = \frac{{\partial {U_{YS}}}}{{\partial {Q_Y}}} = \frac{{3{Q_Y}L}}{{5AG}} = \frac{{3{P_Y}\sin \theta L}}{{20{t_2}{t_3}\left( {\dfrac{{{E_s}}}{{2\left( {1 + \upsilon } \right)}}} \right)}} = \frac{{3{P_Y}\sin \theta L}}{{10{t^2}\left( {\dfrac{{{E_s}}}{{2\left( {1 + \upsilon } \right)}}} \right)}}。$

(3)

式中：${Q_Y}$为剪切应力；${U_{YS}}$为结构的剪切能；$A$为斜杆的横截面面积；$G$为杆件的剪切模量；$\upsilon $为结构基体材料的泊松比。

对于胞元中垂直结方向上的直杆，其在受到轴向压缩载荷时，产生的压缩变形为：

$ {{\text{δ }}_{YT1}} = \frac{{{\sigma _{Y\infty }}}}{{{E_s}}}\frac{H}{2} = \frac{{{P_Y}H}}{{32{E_s}{t^2}}} 。$

(4)

总结上述计算结果，胞元分别在x轴和y轴向上的位移为：

$ \left\{ \begin{aligned} & {{\delta _{Yx}} = [2({\delta _{YR}} + {\delta _{YS}})]{\text{cos}}\theta - 2{{\text{δ }}_{YT2}}\sin \theta } ，\\ & {{\delta _{Yy}} = [2({\delta _{YR}} + {\delta _{YS}})]{\text{sin}}\theta + 2{{\text{δ }}_{YT2}}\cos \theta - {{\text{δ }}_{YT1}}} 。\end{aligned} \right. $

(5)

将接触面的作用力和蜂窝胞元的截面积的比值定为等效应力，通过等效应力和等效应变的比值求出等效弹性模量。因此，胞元在y方向的等效弹性模量为：

$ {E}_{y}=\frac{{\sigma }_{y}}{{\varepsilon }_{y}}=\frac{{\sigma }_{Y\infty }}{\dfrac{[2({\delta }_{YR}+{\delta }_{YS})]\text{sin}\theta +2{\text{δ}}_{YT2}\mathrm{cos}\theta -{\text{δ}}_{YT1}}{\dfrac{H}{2}-L\sin\text{ }\theta }} 。$

(6)

胞元等效泊松比可表示为：

$ \begin{split} {\upsilon }_{yx}& =-\frac{{\varepsilon }_{x}}{{\varepsilon }_{y}}={\upsilon }_{y{x}_{1}}={\upsilon }_{y{x}_{2}}=\\ & -\frac{[2({\delta }_{YR}+{\delta }_{YS})]\text{sin}\theta +2{\text{δ}}_{YT2}\mathrm{cos}\theta -{\text{δ}}_{YT1}}{[2({\delta }_{YR}+{\delta }_{YS})]\text{cos}\theta -2{\text{δ}}_{YT2}\mathrm{sin}\theta }\left(\frac{\dfrac{H}{2}-L{\rm{sin}}\text{ }\theta }{L{\rm{cos}}\theta }\right) \end{split}。$

(7)

2.3 X轴向压缩下的等效力学性能

将无穷远处的压应力${\sigma _{X\infty }}$沿${x_2}$轴方向施加到胞元上，由构型的对称性，施加在每个整个斜撑杆上的压力为${P_X}/4$，受力情况如图9（a）所示。由于胞元在x轴方向上受到单轴压缩时，直杆不会承受任何有效载荷或力矩，仅有斜杆产生有效变形，因此，胞元的力学模型可以简化成图9（b）所示的形式。图中存在有2种斜杆结构，在此分别定义为I型和II型，4个斜杆结构在平面ABCD上形成了一个平行四边形，这意味着当胞元沿${x_2}$轴的方向受到压缩载荷时，在点A和点B之间不会产生相对位移。因此，整个胞元的变形量仅由斜杆I决定。综上所述，在受到${x_2}$轴向压缩时，胞元的力学模型可以进一步简化为图10所示形式。

斜杆结构I的整体变形可以分为：压缩变形，剪切变形和弯曲变形，各表达式如下:

弯曲变形

$ {\delta _{XR}} = \frac{{({P_X}\cos \theta ){L^3}}}{{16E{t_2}t_3^3}} = \frac{{({P_X}\cos \theta ){L^3}}}{{8{E_s}{t^4}}} 。$

(8)

式中：$ \text{ }{F}_{X} $为垂直于斜杆轴向的分力；${\delta _{XR}}$为杆件的弯曲变形。

压缩变形

$ {{\text{δ }}_{XT}} = \frac{{{\sigma _T}}}{{{E_s}}}\frac{L}{2} = \frac{{{T_X}L}}{{2{E_s}{t_2}{t_3}}} = \frac{{{P_X}L\sin \theta }}{{8{E_s}{t^2}}} 。$

(9)

式中：${\sigma _T}$为斜杆所受压应力；${T_X}$为垂直于斜杆轴向的分力。

剪切变形

$ {\delta _{XS}} = \frac{{3{P_X}L\cos \theta }}{{40{t_2}{t_3}\left( {\dfrac{{{E_s}}}{{2\left( {1 + \upsilon } \right)}}} \right)}} = \frac{{3{P_X}L\cos \theta }}{{20{t^2}\left( {\dfrac{{{E_s}}}{{2\left( {1 + \upsilon } \right)}}} \right)}}。$

(10)

式中：$ \text{ }{Q}_{X} $为垂直于斜杆轴向的分力；${\delta _{XS}}$为杆件的剪切变形。

因此，胞元在x轴上的等效弹性模量及胞元的等效泊松比可表达为：

$ {E}_{x}=\frac{{\sigma }_{x}}{{\varepsilon }_{x}}=\frac{{\sigma }_{X\infty }}{\dfrac{[2({\delta }_{XR}+{\delta }_{XS})]\mathrm{cos}\theta +2{\text{δ}}_{XS}\mathrm{sin}\theta }{L{\rm{sin}}\text{ }\theta }}，$

(11)

$ {\upsilon }_{xy}=-\frac{{\varepsilon }_{y}}{{\varepsilon }_{x}}={\upsilon }_{{x}_{1}y}={\upsilon }_{{x}_{2}y}=-\frac{{\delta }_{x}}{{\delta }_{y}}\left(\frac{\dfrac{H}{2}-L{\rm{cos}}\text{ }\theta }{L{\rm{sin}}\text{ }\theta }\right) 。$

(12)

3 解析公式的验证

设计3D-NPH结构压缩试验以验证其力学性能解析公式的合理性。利用快速成型技术（3D 打印），选用韧性加强的光敏树脂材料Somos® EvoLVe 128来制作构件，该种材料更加接近于金属的材料特性，能很好地体现负泊松比材料的拉胀特性。

3D-NPH在x轴与y轴向呈现的力学性能不相同，对于同一胞元形状的芯层均设计了2种试件，每种试件各由内凹角θ=65°、70°和75°的胞元组成。图11为内凹角θ=65°的试件模型。

所设计试件在长度与宽度方向上均包含4个完整胞元，满足规范GB1453-2005《夹层结构或芯子平压性能试验方法》的要求。为了便于试验设备进行加载，在各个试件受载的两端设计了一个40 mm宽的平板段。各试件中胞元的直杆长度均为H=20 mm，斜杆长L=10 mm，杆件厚度t=2 mm。通过MTS(Mechanical Testing & Simulation)电子万能试验机对3D打印方法制备的3D-NPH试件施加轴向压缩载荷。试验过程中采用位移加载的形式，柱头的移动速度恒定在1 mm/min，模拟出结构在准静态下的受力状态。

提取MTS试验机压头得到的力-位移曲线中的数据可得到各个3D-NPH试件的等效弹性模量。根据经典的弹性模量公式，试件的等效弹性模量可通过下式求得：

$ {E^{exp}} = \frac{{{\sigma ^{exp}}}}{{{\varepsilon ^{exp}}}} ，$

(13)

$ {\sigma ^{exp}} = \frac{{{F^{exp}}}}{{{S^{exp}}}}，$

(14)

$ {\varepsilon ^{exp}} = \frac{{{\delta ^{exp}}}}{{H_V^{exp}}}。$

(15)

其中：${S^{exp}}$为试件等效受压面积，${S^{exp}} = H_V^{exp}t$；$H_V^{exp}$和t分别为试件厚度及垂直方向上的初始长度。

为消除边界效应对试验数据的影响，选取如图12所示的试件中心区域的胞元作为位移采集对象。

选取区域内胞元上的9个节点作为标定点，分别按行标记为A_1~3、B_1~3及C_1~3。假定变形后的标定点记为A′_1~3，B′_1~3及C′_1~3，则变形前后竖直方向和水平方向的位移可表示为：

$ \Delta {{{y}}_{exp}} = \frac{{\displaystyle\sum \nolimits_1^3 \left( {{A_i}{C_i} - {{A'}_i}{{C'}_i}} \right)}}{3}，$

(16)

$ \Delta {{{x}}_{exp}} = \frac{{\displaystyle \sum \nolimits_1^3 \left( {{A_i}{B_i} - {{A'}_i}{{B'}_i}} \right)}}{3} 。$

(17)

而3D-NPH试件的等效泊松比值计算下公式为：

$ {\upsilon _{xexp}} = \frac{{{\varepsilon _{yexp}}}}{{{\varepsilon _{xexp}}}} = \frac{{\dfrac{{\Delta {{{y}}_{exp}}}}{{{y_o}}}}}{{\dfrac{{\Delta {{{x}}_{exp}}}}{{{x_o}}}}}，$

(18)

$ {\upsilon _{yexp}} = \frac{{{\varepsilon _{xexp}}}}{{{\varepsilon _{yexp}}}} = \frac{{\dfrac{{\Delta {{{x}}_{exp}}}}{{{x_o}}}}}{{\dfrac{{\Delta {{{y}}_{exp}}}}{{{y_o}}}}} 。$

(19)

式中，${x_o}$和${y_o}$分别为测量区域的初始宽度与长度。

提取MTS试验机压头得到的力-位移曲线中的数据代入式（11）中可得到各个3D-NPH试件的等效弹性模量。利用试件x、y 方向上选取节点的位移的数据结果代入式（18）与式（19）即可计算的得到相应试件的等效泊松比值。

利用有限元软件对3D-NPH胞元进行模拟仿真。基体材料采用Somos® EvoLVe 128，设置为理想弹塑性模型，具体数据如表1所示。

有限元模型与各试件中的胞元尺寸保持一致。采用8节点实体单元、缩减积分方程和沙漏控制方法建立有限元模型，如图13所示。在综合考虑模型的复杂度、仿真精度和效率的基础上，选择网格大小为1 mm网格对模型进行划分。分别在胞元的上表面和侧表面上（左面）施加沿y方向和x方向的1 mm/min的强制位移，以研究结构在相应方向上的力学性能。

提取试验结果、有限元仿真结果、理论解，进行对比验证。图14及图15分别为3D-NPH结构在y轴和x轴向上受压时，胞元泊松比值、等效弹性模量（${E_y}/{E_{{s}}}$）随内凹角θ的变化趋势。

可以看出，解析解结果与有限元仿真结果基本一致，产生误差原因可能是由理论分析过程中的蜂窝边界条件简化假设所致。试验结果与理论解之间的误差也在合理的范围之内，在2.4%~5.9%，试件本身可能存在的缺陷，以及试件在持续受压的过程中可能产生的轻微面外位移将导致误差产生。总体来看，有限元结果与试验结果均与理论值之间的存在良好一致性，验证了本文所建立3D-NPH结构力学性模型的有效性。

4 胞元参数对力学性能的影响分析

选取$\theta$、t和H/L作为分析参数，用来表征胞元的几何特征。其中t范围取1.5~2.5 mm；H/L比例范围取2~4；$\theta$范围取20°~70°。

3D-NPH结构在y轴向上的等效泊松比变化规律如图16所示。可以看出，胞元等效泊松比的绝对值随着H/L的增大而增大。在L固定的情况下，H/L的增加意味着胞元在y方向上尺寸的增加，而x方向尺寸保持不变，结构的拉胀效应（auxetic）会更加明显。同时，当θ减小时，结构负泊松比效应愈加明显。横向对比，杆件的增厚会使得胞元的泊松比效应下降，且杆件厚度越大，泊松比值对几何参数H/L和θ的敏感度越低。其原因可能是由于杆件厚度的增加，胞元占据空间的密度越大，留给胞元发生收缩变形的空间被压缩，致使其负泊松比效应被削弱。

θ、H/L和t对3D-NPH结构等效弹性模量$Ey/Es$的影响如图17所示。可以看出，随着θ的减少、H/L和t的增加，$E_y/E_s$将随之增加。H/L增加后y方向的应变${\varepsilon _y}$的减小，t的增加使得杆件的刚度得到提升，而θ的减小，斜杆将会更靠近于竖直杆件，胞元整体构型更加密集，3种变化趋势都促使$E_y/E_s$的增加，进而使得整个胞元可以承受更大的轴向荷载。

3D-NPH在x轴向上的等效泊松比随θ、t和H/L的变化规律如图18所示。可以看出，结构在x轴向等效泊松比的绝对值随着H/L的增加而减小。当L固定，H/L的增加意味着胞元在y方向尺寸的增加，胞元在各方向上产生的位移保持不变，则y向应变${\varepsilon _y}$的减小，x轴向应变${\varepsilon _x}$保持不变，因此结构的等效泊松比绝对值将减小。泊松比绝对值随θ的增加单调增加。而杆件厚度t的增加，并不会对结构呈现的泊松比值产生较大影响。

3D-NPH等效弹性模量$E_x/E_s$的变化趋势如图19所示。可以看出，$E_x/E_s$随H/L的增加而减小。原因为H/L增加，胞元y方向上的尺寸增大，即加载面积增加，而${\varepsilon _x}$保持不变，因此$E_x/E_s$的值将减小。胞元受到x轴向上的压缩时，与y轴受力时所呈现的规律相似，$E_x/E_s$会随着t的增加而增加。同时，$E_x/E_s$随着θ的增加而单调增加。随着θ的增加，斜杆将会更靠近于x方向，进而使得整个胞元可承受更大荷载，进而使得$E_x/E_s$增加。当H/L较小时，结构的等效弹性模量对θ的取值会更加敏感。

5 结　语

本文基于典型二维内凹六边形提出一种新型三维负泊松比蜂窝（3D-NPH）结构，建立了该种3D-NPH结构的等效力学模型，并开展轴向压缩试验对理论结果进行验证。通过研究可得到以下结论：

1）本文设计的3D-NPH在3个维度上均呈现负泊松比效应，其构型具有高度对称性，在轴${x_1}$和${x_2}$上所呈现的力学性能相一致。

2）基于Timoshenko梁理论建立的胞元等效力学模型考虑了弯曲、拉压以及剪切变形，通过试验验证表明，该力学模型具有较高准确度。

3）胞元内凹角θ、杆厚t和胞元直杆与斜杆长度之H/L是影响3D-NPH结构力学表征的重要参数。杆厚t的增加对于3D-NPH胞元的x及y轴向的弹性模量均有提升作用，但会抑制负泊松比效应；而H/L与凹角θ对力学性能的影响与胞元受力方向息息相关。

分析提供了3D-NPH结构负泊松比效应及承载能力对各项几何参数的敏感程度，可作为其在不同运用场景下参数优选的依据，为3D-NPH在舰船结构轻量化、高性能化设计领域中的运用提供理论依据。