0 引　言

合成孔径雷达（Synthetic Aperture Radar, SAR）图像具有较高的分辨率和灵敏度，能够提供丰富的地表信息，舰船尾迹是舰船尾迹SAR图像中常见的一种目标，具有较高的军事和民用价值^{[1 − 3]}。由于SAR图像的复杂背景和噪声干扰，舰船尾迹的检测面临着较大的挑战^[4]。

目前众多学者针对舰船尾迹检测进行研究。闫佳楠等^[5]针对舰船转弯时的开尔文尾迹检测进行研究，通过分析舰船的开尔文尾迹散射特征，深入了解舰船的动力学特性和航行状态，提供舰船尾迹的详细信息，包括长度、宽度、形状、方向等，有助于对舰船进行更准确的识别和跟踪。但是该方法需要高精度的测量仪器和复杂的分析方法，对于低频段和远距离的舰船尾迹可能存在测量误差和分析困难。成艳等^[6]采集舰船的红外遥感图像，利用图像的纹理、形状、边缘信息区分目标与背景，提高检测准确性。但是红外遥感图像的分辨率较低，海面上的舰船所占像素很少，为舰船尾迹检测带来困难。

针对以上方法在舰船尾迹检测中存在的问题，提出基于傅里叶变换的SAR图像舰船尾迹检测方法，将SAR图像变换为低频子带与高频子带，实现舰船尾迹的有效检测。

1 SAR图像舰船尾迹检测方法 1.1 SAR图像舰船尾迹分析

不同类型的舰船尾迹在SAR图像中的表现形式如表1所示。舰船尾迹SAR图像中，舰船航行运动形成的尾迹，主要由开尔文臂与湍流尾迹组成。由舰船湍流或涡流形成的V型较暗的拖尾，组成舰船的湍流尾迹。SAR舰船尾迹图像中的尾迹，受采集图像的雷达系统参数、舰船自身因素以及航行海域海况影响。舰船的发动机系统、类型以及航行速度，是影响航行尾迹的自身因素。采集舰船尾迹SAR图像的雷达波段、雷达观测模式以及雷达极化方式不同时，形成的舰船尾迹同样存在差异。SAR图像中的舰船尾迹，是一种呈现线性特征的固定宽度线性结构，与舰船尾迹SAR图像背景相比，可能更亮或更暗。SAR舰船尾迹图像中的舰船尾迹不一定呈直线存在。

1.2 分数阶傅里叶变换的SAR图像高低频划分

传统的傅里叶变换是一种全局性变换，将傅里叶变换应用于舰船尾迹SAR图像中时，可以获取舰船尾迹信号的整体频率，但是无法获取舰船尾迹的局部特性。因此采用传统的傅里叶变换方法，无法处理舰船尾迹SAR图像这一非平稳信号。为了解决傅里叶变换在SAR图像舰船尾迹处理时的局限性，提出了分数阶傅里叶变换方法。该方法通过线性积分变换以及平面旋转两个部分，进行舰船尾迹SAR图像变换。x(t)表示舰船尾迹SAR图像，利用阶数为 $ p $ 的傅里叶变换，对舰船尾迹SAR图像进行线性积分运算的表达式如下：

$ {X_p}\left( u \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{K_p}\left( {u,t} \right)x\left( t \right)} {\mathrm{d}}t，$

(1)

式中， $ x\left( t \right) $ 与 $ {K_p}\left( {u,t} \right) $ 分别为傅里叶阶数以及核函数。

舰船尾迹SAR图像的变换阶数为1时，傅里叶变换的旋转角度为 $ \text{π} /2 $ ，存在如下表达式：

$ {X_1}\left( u \right) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {x\left( t \right){e^{ - 2j \text{π} ut}}} {\mathrm{d}}t 。$

(2)

式（2）的计算结果，即舰船尾迹SAR图像 $ x\left( t \right) $ 的普通傅里叶变换，其傅里叶逆变换为 $ {X_{ - 1}}\left( u \right) $ 。分析分数阶傅里叶变换的运算过程，存在 $ 0 \leqslant p \leqslant 1 $ 。当 $ p = 0 $ 时，分数阶傅里叶变换获取原始舰船尾迹SAR图像； $ p = 1 $ 时，分数阶傅里叶变换为普通的傅里叶变换。当 $ p $ 从0逐渐转化至1时，分数阶傅里叶变换将平滑的舰船尾迹SAR图像，从原始图像状态转换至普通的傅里叶变换。

舰船尾迹SAR图像 $ x\left( t \right) $ 的 $ p $ 阶分数阶傅里叶变换，可以利用线性正则变换矩阵定义：

$ {\boldsymbol{M}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \alpha }&{\sin \alpha } \\ { - \sin \alpha }&{\cos \alpha } \end{array}} \right]，$

(3)

式中， $ \alpha $ 为SAR图像的旋转角度。

对舰船尾迹SAR图像，进行 $ p $ 阶的分数阶傅里叶变换处理，即将舰船尾迹SAR图像的Wigner分布在时频面上，进行角度为 $ \alpha $ 的逆时针旋转。经过分数阶傅里叶变换后，舰船尾迹SAR图像的广义时频面 $ \left( {u,v} \right) $ 与时频面 $ \left( {t,f} \right) $ 之间，存在如下关系：

$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} u \\ v \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \alpha }&{\sin \alpha } \\ { - \sin \alpha }&{\cos \alpha } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} t \\ f \end{array}} \right] = {\boldsymbol{M}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} t \\ f \end{array}} \right]。$

(4)

利用分数阶傅里叶变换，将舰船尾迹SAR图像划分为高频子带与低频子带。

1.3 基于Radon变换的舰船尾迹线检测

对舰船尾迹SAR图像进行分数阶傅里叶变换处理后，利用Radon变换方法，处理变换后获取的舰船尾迹低频子带图像。舰船尾迹SAR图像中的低频子带图像中，舰船尾迹为不连续的直线。舰船尾迹SAR图像中低频子带图像中的尾迹像素点为 $ \left( {x,y} \right) $ ，SAR图像中心至尾迹线的距离用 $ l $ 表示。经过像素点 $ \left( {x,y} \right) $ 的直线方程表达式如下：

$ l = x\cos \varphi + y\sin \varphi ，$

(5)

式中， $ \varphi $ 为舰船尾迹直线的法向与x轴正向的夹角。

舰船尾迹SAR图像低频子带图像 $ f\left( {x,y} \right) $ 的Radon变换表达式如下：

$ {R_{l,}}_\varphi = \sum\limits_{x = 1}^M {\sum\limits_{y = 1}^N {\beta f\left( {x,y} \right)\left( {l - x\cos \varphi - y\sin \varphi } \right)} } 。$

(6)

式中， $ \;\beta $ 为狄拉克函数。

利用狄拉克函数，衡量像素点是否在舰船尾迹直线上。当 $ \beta = 1 $ 与 $ \beta = 0 $ 时，分别表示像素点 $ \left( {x,y} \right) $ 在舰船尾迹线以及不在尾迹线上。将SAR舰船尾迹图像傅里叶变换结果的低频子带图像，利用Radon变换累加图像直线像素点的灰度值，获取舰船像素点与舰船尾迹线的几何对应关系。搜索Radon变换域中的峰值点位置 $ \left( {l',\varphi '} \right) $ ，将搜索获取的峰值点位置，代入直线方程（5），即可获取最终的SAR图像舰船尾迹线检测结果。

2 实例分析

选取网络上的ERR舰船尾迹SAR图像集作为实验数据集。ERR图像集内的SAR图像像素大小均为400×500 dpi。ERR图像集内包含舰船湍流尾迹、窄V型尾迹等不同类型尾迹。数据集内的SAR舰船尾迹图像，均为ERR号遥感卫星拍摄的。遥感卫星利用精密的SAR仪器采集海洋、陆地等元素的雷达影像。

从图像集内随机选取1幅舰船尾迹SAR图像，原始SAR图像如图1所示。

采用本文方法对该图像进行分数阶傅里叶变换，获取原始舰船尾迹SAR图像的低频子带图像如图2所示。对应的频道谱图如图3所示。由图2可知，采用本文方法可以有效对舰船尾迹SAR图像进行傅里叶变换。通过图像的分数阶傅里叶变换，获取舰船尾迹SAR图像的低频子带。舰船尾迹SAR图像的低频子带内，包含丰富的与舰船尾迹检测相关的有用信息，为舰船尾迹检测提供良好的基础。

分析图3可知，图像中的舰船尾迹区域与图像背景区域差异明显。图3实验结果验证采用分数阶傅里叶变换获取的图像处理结果，可以作为舰船尾迹检测的基础。

采用本文方法对舰船尾迹图像的低频子带进行Radon变换，检测SAR图像的舰船尾迹线。本文方法的舰船尾迹线检测结果如图4所示。

舰船尾迹SAR图像对应的舰船尾迹真值如图5所示。对比图4与图5实验结果，采用本文方法获取的舰船尾迹检测结果，与舰船尾迹真值高度相似，二者极为吻合。采用本文方法有效利用傅里叶变换获取舰船尾迹图像的低频子带，依据低频子带检测舰船尾迹线。图4和图5实验结果验证采用本文方法检测舰船尾迹具有较高精度。

统计采用本文方法对舰船尾迹SAR图像进行分数阶傅里叶变换，变换前与变换后的傅里叶描述子，统计结果如图6所示。由图6可知，采用本文方法对舰船尾迹SAR图像进行尺度与角度的旋转与变换，但是傅里叶描述子仍然可以精准描述舰船尾迹目标。图6（a）与图6（b）仅存在极小的差异。傅里叶变换前后，舰船尾迹SAR图像的傅里叶描述子具有基本相同的变化趋势，验证本文方法可以保证舰船尾迹SAR图像内的特征的稳定性，实现舰船尾迹的精准检测。

采用本文方法对数据集内的全部SAR图像进行尾迹检测，随机选取其中10幅SAR图像的尾迹检测结果如表2所示。由表2可知，采用本文方法可以有效检测不同类型的舰船尾迹，对于舰船尾迹SAR图像中的卡尔文尾迹、布拉格尾迹之类的表面波，以及舰船运行时形成的内波，本文方法均可以高效检测。表2验证了本文方法具有较强的适应性，可以应用于舰船尾迹实际检测中。

3 结　语

本文研究基于傅里叶变换的SAR图像舰船尾迹检测方法，利用分数阶傅里叶变换方法变换舰船尾迹SAR图像，实现舰船尾迹检测。将该方法应用于舰船尾迹检测实际应用中，验证了该方法对舰船尾迹检测的自动化与智能化，具有较强的适应性。该方法的舰船尾迹检测结果，在军事侦察、海洋监测等领域具有广泛的应用前景。