0 引　言

受到海浪、海风、洋流等综合环境因素的影响，船舶航行过程中会产生六自由度方向的复杂运动^[1]。当船舶常态化运动状态被打破，尤其是在恶劣海况条件下，船舶摇荡加剧时，船舶的航行安全存在极大的安全隐患。因此，准确预测船舶摇荡运动状态，能够有效提升船舶航行的安全性，其研究意义极为重大^[2]。

对船舶摇摆进行预测的主要方法包括首前波法、卡尔曼滤波方法、人工神经网络方法以及时间序列分析方法等^[3]。时间序列分析方法主要用于短期预测，其将预测对象按照时间顺序进行属性值排序，使用相应的数学模型研究属性变化特性后进行短期预测。唐刚等^[4]采用Newton方法对ARMA模型参数进行优化，并对船舶升沉运动进行了预测研究。王明瑞等^[5]采用多维度的AR模型，对大型船舶的时间序列模型进行预测。彭秀艳等^[6-7]采用基于卡尔曼滤波的算法对自回归模型(AR)预测模型进行参数估计，提升了模型预测的准确度和速度。为进一步提升AR模型对船舶运动预测的速度，采用了最小二乘法进行参数估计。马洁等^[8]采用线性AR模型，基于水池实验环境进行了船舶运动的研究和预报。王培良^[9]采用基于粒子群算法优化ARIMA模型进行了船舶摇摆运动的预测研究。

综上，基于时间序列分析方法研究预测船舶运动时，不同船舶类型、不同数学模型及不同参数的相同模型的研究结果不尽相同。同时航行环境的差异和波动性，均使得船舶运动尤其是船舶摇摆存在非平稳性，因此本文采用ARIMA模型对集装箱船舶的纵摇角度进行研究并预测^[10]，通过对比不同差分次数的ARIMA模型的预测结果，确定最终的预测模型及参数。

1 理论与方法 1.1 ARIMA模型

当序列的自相关系数或偏相关系数至少有一个不是拖尾或者截尾，则为非平稳序列，需要进行差分运算。船舶的摇摆模型属于非平稳性时间序列，且随机性较大^[9]，因此本文使用ARIMA模型进行分析研究。

ARIMA模型由Box-Jenkins于20世纪70年代提出，其模型本质是在ARMA模型的基础上，将每个预测对象与相应的时间连接构建时间序列，用准确的数学模型描述该时间序列，并根据时间序列的性质预测未来值。

设 $\{{X}_{t}，t=0{\text{，}}\pm 1{\text{，}}\pm 2{\text{，}}\cdots \}$ 是非平稳序列，若存在正整数 $ d $ ，使得

$ {\nabla }^{d}{X}_{t}={W}_{t}{\text{，}} $

(1)

且 $\{{W}_{t}{\text{，}}t=0{\text{，}}\pm 1{\text{，}}\pm 2{\text{，}}\cdots \}$ 是ARMA(p，q)序列，则称 $ {X}_{t} $ 为ARMA(p，d，q)序列，此时 $ {X}_{t} $ 满足

$ {\phi }\left({B}\right){\nabla }^{d}{X}_{t}=\theta \left(B\right){\epsilon }_{t}{\text{。}} $

(2)

式中：p为AR模型的自回归项；d为差分次数；q为MA模型的移动平均项数； $ {\nabla }^{d} $ 为d阶差分算子； $ {\epsilon }_{t} $ 为零均值、方差为 $ {{\sigma }_{\epsilon }}^{2} $ 的平稳白噪声；B为后移算子， $ \mathrm{\phi }\left(\mathrm{B}\right) $ 与 $ \theta \left(B\right) $ 均为算子多项式，分别如下：

$ \left\{\begin{aligned} & B{X}_{t}\equiv {X}_{t-1}\text{，}B{\varepsilon }_{t}\equiv {\varepsilon }_{t-1}{\text{，}}\\ & \phi \left(B\right)=1-{\mathrm{\phi }}_{1}B-{\mathrm{\phi }}_{2}{B}^{2}-\cdots {\mathrm{\phi }}_{p}{B}^{p}{\text{，}}\\ & \theta \left(B\right)=1-{\theta }_{1}B-{\theta }_{2}{B}^{2}-\cdots {\theta }_{q}{B}^{q}{\text{。}} \end{aligned}\right. $

(3)

式中： $ {\phi }_{j}$ 为AR模型的自回归系数， $j=1，2，\cdots p $ ； $ {\theta }_{j} $ 为MA模型的移动平均系数^[11]， $j=1，2，\cdots q $ 。

1.2 差分运算及其检验

差分运算是指将序列t时刻的值与其后移值相减的运算，具有强大的确定性信息提取能力，能够使非平稳序列显示出平稳序列的性质，此时可称非平稳序列为差分平稳序列，差分平稳序列可以使用ARIMA模型进行拟合^[12]。

式(1)中的d阶差分算子可表示为：

$ \begin{split} {\nabla ^d} \equiv & {\left( {1 - {\rm{B}}} \right)^d} = 1 - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} d\\ 1 \end{array}} \right)B + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} d\\ 2 \end{array}} \right){B^2} + \cdots + \\ & {\left( { - 1} \right)^{d - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} d\\ {d - 1} \end{array}} \right){B^{d - 1}} + {\left( { - 1} \right)^d}{B^d}{\text{，}} \end{split} $

(4)

其中常用的一阶差分和二阶差分分别如下：

$ \left\{\begin{aligned} & \nabla {X}_{{\rm{t}}}={X}_{{\rm{t}}}-{X}_{{\rm{t}}-1}=(1-B){X}_{{{t}}}{\text{，}}\\ & {\nabla }^{2}{X}_{{\rm{t}}}={X}_{{\rm{t}}}-2{X}_{{\rm{t}}-1}+{X}_{{\rm{t}}-2}={(1-B)}^{2}{X}_{{{t}}}{\text{。}} \end{aligned}\right. $

(5)

经过差分后的序列需要检验其平稳性，单位根检验是其中常用的方法之一，其公式如下：

$ {X}_{t}={c}+\mathrm{\alpha }{t}+{{\delta }X}_{{{t}}-1}+{\beta }_{1}\nabla {X}_{{{t}}-1}+\cdots +{\beta }_{p}\nabla {X}_{{{t}}-p}+{\epsilon }_{{{t}}} 。$

(6)

式中：c为常数项； $ \mathrm{\alpha } $ 为趋势项； $ \beta $ 为系数项； $ \mathrm{\delta } $ 为斜率系数； ${\epsilon }_{{{t}}}$ 为残差项。

如果检验拒绝 $ {H}_{0}:\mathrm{\delta }=1 $ ，即所检验序列中存在单位根，序列为非平稳序列，则继续进行差分，直到序列稳定为止。

传统差分运算次数取值为首次获得平稳序列的正整数d，而研究发现针对船舶摇摆角度的预测，使用不同次数d的ARMA(p，d，q)模型进行预测，获得的结果也不尽相同。因此，在传统检验的基础上，通过均方误差(mean squared error，MSE)分析模型的优劣。

$ \mathrm{M}\mathrm{S}\mathrm{E}=\frac{1}{n}\sum _{t={\rm{1}}}^{n}{E}_{t}^{2}=\frac{1}{n}\sum _{{{t}}=1}^{n}{({X}_{{\rm{t}}}-\widehat{{X}_{{{t}}}})}^{2}{\text{。}} $

(7)

式中： ${E}_{{{t}}}$ 为第t个实际值之与预测值的绝对误差； ${X}_{{{t}}}$ 为实际值； $\widehat{{X}_{{{t}}}}$ 为预测值。

1.3 模型定阶的AIC准则

AIC准则是由日本统计学家Akaike于20世纪70年代提出，因此又称为Akaike信息准则。

AIC准则可描述为：

$ \mathrm{min}AIC=n\mathrm{ln}{\widehat{{\sigma }_{\epsilon }}}^{2}+2(p+q+1){\text{。}} $

(8)

式中：n为样本容量； $ {\widehat{{\sigma }_{\epsilon }}}^{2} $ 为 $ {{\sigma }_{\epsilon }}^{2} $ 的估计，其与p和q有关。若当 $ p=\widehat{p}，q=\widehat{q} $ 时，式(7)达到最小值，则认为序列是ARMA( $ \widehat{p}，\widehat{q} $ )。

1.4 参数确定

根据Yule-Walker方程可知，式(3)中的自回归系数 $ \mathrm{\phi } $ 与其自相关系数 $ \rho $ 存在如下关系：

$ \left[\begin{array}{cc}\genfrac{}{}{0pt}{}{\begin{array}{cc}1& {\rho }_{1}\end{array}}{\begin{array}{cc}{\rho }_{1}& 1\end{array}}& \genfrac{}{}{0pt}{}{\begin{array}{cc}\cdots & {\rho }_{p-1}\end{array}}{\begin{array}{cc}\cdots & {\rho }_{p-2}\end{array}}\\ \genfrac{}{}{0pt}{}{\begin{array}{cc}⋮& ⋮\end{array}}{\begin{array}{cc}{\rho }_{p-1}& {\rho }_{p-2}\end{array}}& \begin{array}{c}\begin{array}{cc}⋮& ⋮\end{array}\\ \begin{array}{cc}\cdots & 1\end{array}\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\phi }_{1}\\ {\phi }_{2}\\ \begin{array}{c}⋮\\ {\phi }_{p}\end{array}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\rho }_{1}\\ {\rho }_{2}\\ \begin{array}{c}⋮\\ {\rho }_{p}\end{array}\end{array}\right]{\text{,}} $

(9)

而移动平均系数 $ \mathrm{\theta } $ 与其自协方差之间存在如下关系：

$ \begin{aligned} & {\rm{cov}}\left({X}_{t}\text{，}{X}_{t-s}\right)={\gamma }_{t\text{，}} s=\\ &\left\{\begin{aligned} &{\sigma }^{2}({\theta }_{s}+{\theta }_{1}{\theta }_{s-1}+\cdots +{\theta }_{q}{\theta }_{s-q})\text{，}s < q{\text{，}}\\& 0\text{，}{\rm{others}}{\text{。}}\end{aligned}\right. \end{aligned}$

(10)

由式(9)和式(10)可求解获得 $ \mathrm{\phi } $ 和 $ \mathrm{\theta } $ 的估计值，从而确定式(3)的具体形式，可用于序列预测。

同时式(9)中的自相关系数与自协方差存在如下关系：

$ {\rho }_{s}=\rho \left(t\text{，}t-s\right)=\frac{{\gamma }_{{\rm{t}}\text{，}s}}{{\sigma }_{{\rm{t}}}{\sigma }_{{\rm{t}}-s}}{\text{。}} $

(11)

因此，自相关系数也可以进行序列稳定性检验，平稳序列具有短期相关性，即短时间间隔的序列值之间相互影响较强，而长时间间隔的序列值之间影响较弱。同时在自相关系数衰减性方面，平稳序列的衰减速度明显快于非平稳序列，且其值在零附近随机波动。

1.5 模型构建流程图

使用ARIMA模型进行序列预测的基本流程如图1所示。

2 实验结果及分析 2.1 平稳性检验

以某集装箱船船首摇摆角度数据为基础进行算法验证。船载传感器在某段时间内采集样本数据47次，每次采集100个样本值，为避免噪声干扰，取每次采样数据的样本均值作为纵摇角度序列，如图2所示。

分析可知，船舶纵摇角度序列呈现非平稳特性，且其序列单位根检验统计量对应的p值为0.6211，显著大于0.05，因此可认定角度序列为非平稳序列，需对其进行差分运算。同时为检验模型预报结果，选取前42次数据为拟合数据序列进行研究，最后5次数据为检验序列。

2.2 差分运算分析

非平稳的角度序列进行差分后，数据将表现出平稳特性，后续分析以一阶差分为例，其差分数据的时序图和自相关图如图3所示。

分析可知，一阶差分后的角度序列在均值附近波动较为平稳，序列呈现较强的短期相关性，在零均值附近波动，且此时序列的单位根检验p值为0.001，显著小于0.05，因此可认为此时的角度序列为平稳序列。

2.3 模型构建

通过自相关图和单位根检验，可知差分次数 $ {d}=1 $ 时，序列平稳。根据研究分析q和q值应不大于4，利用式（8）的AIC准则进行定阶，各阶数p和q组合时分别对应的AIC值如表1所示。

分析可知，随着p值的增大，相应的AIC值基本呈现逐渐减小的趋势，随着q值的增大，相应的AIC值有起伏波动，最终确定最小的AIC值所对应的p值和q值分别为4, 2，即此时对应的模型为ARIMA(4, 1, 2)。

模型确定后，可根据式(9)和式(10)进行模型参数估计，其值如表2所示。

2.4 模型预测

模型参数确定后，即可使用ARIMA模型进行角度序列预测，并与实际值进行对比，其结果如图4所示。

分析可知，基于一阶差分的ARIMA模型能够对船舶纵摇角度序列进行预测。从图4(a)可知，其预测值与实际值的变化趋势相近；从图4(b)可知，预测误差均较小。表明ARIMA模型的预测较为准确，模型参数设置也较为合理。

为对比不同差分次数下的ARIMA预测结果，分别进行二次差分和三次差分运算，相应的模型参数如表3所示。

模型参数确定后，分别使用ARIMA模型进行角度序列预测，其结果分别如图5和图6所示。

预测结果分析可知，原始序列经过二次和三次差分运算后均获得平稳序列，所得ARIMA模型亦均可进行角度序列值的预测，但预测结果不尽相同，同时各预测模型对应的MSE值分别如表4所示。

结合预测误差图和MSE值分析，二阶差分所获模型的预测结果更为准确，即ARIMA(3,2,3)模型能更好的进行本文所述集装箱船的纵摇角度值预测。

3 结　语

本文通过对集装箱船纵摇角度值的原始数据进行平稳性分析，采用具有差分运算的ARIMA模型进行时间序列值预测，并以误差和均方误差为指标，对比分析不同差分次数产生的不同估计参数ARIMA模型的预测效果。结果表明，优化差分次数获得的ARIMA模型具有更好的预测效果，验证了本文方法的科学性和适用性。