0 引　言

NURBS曲线是一种用于表示和建模曲线和曲面的数学工具，它具有较高的灵活性和精确性，可以通过控制点和权重来调整曲线的形状。在船体曲面结构设计中，可以利用NURBS曲线来建模船体的外形和内部结构，通过调整控制点和权重来优化曲面的形状，以满足设计要求。小波变换是一种数学工具，用于分析信号的时频特性。在船体曲面结构设计中，可以利用小波变换来分析船体曲面的局部特性，如曲率、法向量等。通过对曲面进行小波变换，可以获取曲面的局部特性信息，并根据设计要求进行优化调整。

本文的研究方向是基于NURBS和小波变换的船体曲面结构优化设计方法，重点介绍了基于NURBS进行船体曲线和曲面的拟合过程，逐步优化船体曲面结构设计，以达到最优的设计效果。

1 NURBS样条曲线的基本研究

非均匀有理B样条（NURBS样条）曲线具有局部性、灵活性、自由曲面表达清晰等优点，在二维三维CAD产品设计中有广泛的应用，其表达式为：

$ p(u) = \frac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 0}^n {{N_{i,k}}} (u){d_i}{\omega _i}}}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 0}^n {{N_{i,k}}} (u){\omega _i}}} \text{。} $

式中： $ {d_i} $ 为曲线的控制顶点； $ {\omega _i} $ 为与顶点相对应的权值因子； $ \displaystyle\sum\limits_{i = 0}^n {{N_{i,k}}} (u) $ 为k次样条的基函数。

B样条曲线的节点矢量为 $ T\left( {{t_0},{t_1},...,{t_n}} \right) $ ，且 $ {t_i} < {t_{i + 1}} $ ，则第i个p次B样条基函数定义如下：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{N}_{i,0}}({t}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,{{t}_i} \leqslant t < {t_{i + 1}}} ，\\ {0,{\rm{else}}} ，\end{array}} \right.} \\ {{N_{i,p}}({t}) = \frac{{{t} - {{t}_i}}}{{{{t}_{i + p}} - {{t}_i}}}{{N}_{i,p - 1}}({\rm t}) + \frac{{{{t}_{i + p + 1}}}}{{{{t}_{{\text{i}} + 1}}}}{{N}_{i + 1,p - 1}}(t)} ，{\rm else}。\\ \end{array}} \right. $

式中： $ {{N}_{i,p}}({t}) $ 为在区间 $ \left[ {{{t}_{\text{i}}},{{t}_{{\text{i}} + {p} + 1}}} \right] $ 上的分段函数，共有P个节点。

NURBS样条的基函数是一组用于定义NURBS曲线和曲面的数学函数，常用的基函数为幂函数^[1]、多项式函数等，如图1所示。

NURBS样条具有以下特性：

1）局域非负性

$ {N_{t,p}}(t)\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { \geqslant 0}，\; {t \in \left[ {{t_i},{t_{i + p + 1}}} \right]}，\\ { = 0，\;\rm{else}}。{{\text{ }}} \end{array}} \right. $

2）递推性

$ {{{N}}_{i,p}}({{t}}) = F\left( {{{{N}}_{{{i}},p - 1}}({{t}})} \right) \text{。} $

3）归一性

$ \sum\limits_{i = 0}^n {{N_{i,p}}} (t) = 1 \text{。} $

4）正数性。

$ {N_{t,p}}(t) \geqslant 0 \text{。} $

NURBS样条曲线具有局部控制性，即修改一个控制点只会影响与之相邻的部分曲线或曲面，同时具有良好的插值性，即可以通过控制点完全重建曲线或曲面。

图2为基于NURBS样条曲线的插值拟合实例。可知，基于NURBS样条可得到5个节点产生的拟合曲线，拟合效果较好。

2 多分辨小波变换理论研究

多分辨小波变换（Multiresolution Wavelet Transform）是一种信号处理技术，用于将信号分解成不同频率的子信号，它基于小波函数，通过多次迭代将信号分解成低频和高频分量，从而实现对信号的多尺度分析。

多分辨小波变换的理论基础是小波分析和多尺度分析。小波分析是一种数学工具，用于将信号分解成一组基函数（小波函数）的线性组合。这些基函数具有不同的频率和尺度，可以用于描述信号在不同频率和时间尺度上的变化。多尺度分析是一种信号处理方法，用于将信号分解成不同尺度的子信号，以便更好地理解和处理信号的特征。

多分辨小波变换的优点是可以对信号进行多尺度分析，同时保留信号的时域和频域信息。它在信号压缩、图像处理、语音识别等领域具有广泛的应用。

对于某非线性信号 $ x\left( t \right) $ ，定义其具有平方可积：

$ \int\limits_R^{} {} {\left| {\frac{{x\left( \omega \right)}}{\omega }} \right|^2}{\rm{d}} \omega \leqslant \infty \text{。} $

式中： $ x\left( w \right) $ 为小波函数；ω为频率。

$ x\left( t \right) $ 的平移与伸缩变换如下式：

$ {x_s}\left( t \right) = \frac{1}{{\sqrt s }}x\left( {\frac{{t - \alpha }}{s}} \right) \text{。} $

式中，s和 $ \alpha $ 均为变换因子。

信号的傅里叶变换为 $ f\left( t \right) $ ，则小波变换为：

$ \begin{gathered} W{T_f}\left( {s,t} \right) = \left\{ {f\left( t \right),x\left( t \right)} \right\} = \frac{1}{{\sqrt s }}\int\limits_{}^{} {f\left( t \right)} x\left( {\frac{{t - \alpha }}{s}} \right){\rm{d}}t \text{。} \end{gathered} $

多分辨小波变换的步骤如下：

步骤1　选择合适的小波函数作为基函数，常用的小波函数有Haar小波、Daubechies小波^[2]、Morlet小波函数等。Haar小波函数在信号压缩等领域有着广泛的应用，其表达式如下：

$ \psi \left( t \right) = \left\{ \begin{split} &1，\;\;0 < t < \frac{1}{2} ，\\ &- 1，\frac{1}{2} < t < 1 ，\\ &0，\;\;{\rm{else}。} \\ \end{split} \right. $

Morlet小波函数是一个复指数函数，其实部表示信号的振幅变化，虚部表示信号的相位变化，其模型为：

$ M\left( t \right) = C{e^{\frac{{{t^2}}}{2}}}\cos \left( {5t} \right) \text{。} $

图3为Morlet小波函数的波形图。

步骤2　对信号进行多次迭代分解，将信号分解成低频和高频分量。低频分量表示信号的整体趋势和低频成分，高频分量表示信号的细节和高频成分。

步骤3　重复步骤1和步骤2，直到达到所需的分辨率或分解层数。

3 基于NURBS和小波变换的船体结构拟合 3.1 基于NURBS样条曲线的船体曲线优化设计

利用非均匀B样条函数进行了船体的型线设计，具体步骤如下：

步骤1　结合数据库的曲线型值数据，采用插值法生成初始的B样条曲线。型线的顶点为：

$ {V_{i,j}}\left( {i = 0,1,...,m;j = 0,1,...,n} \right) \text{。} $

参数方向矢量分别如下：

$ F = \{ \underbrace {0,{t_{p + 1}}, \cdots ,{t_n},1}_{p + 1}\} ;K = \{ \underbrace {0,{w_{q + 1}}, \cdots ,{w_n},1}_{q + 1}\} \text{。} $

生成非均匀B样条曲线为：

$ S(F,K) = \sum\limits_{i = 0}^n {\sum\limits_{j = 0}^n {{N_{t,p}}(F)} } {N_{j,p}}(K){V_{i,j}} 。$

$ {N_{j,p}}(K) $ 和 $ {N_{t,p}}(F) $ 分别为p次B样条的基函数，图4为B样条的P次节点曲线控制示意图。图中可见6个P次节点，产生的B样条曲线具有较好的节点控制效果。

步骤2　基于多分辨小波变换算法，对型线方程进行多尺度分析，通过插值生成B样条曲线的控制节点。

步骤3　对于船体某些复杂边线，如纵剖线等，如果边线的最低点没有数据，则重复步骤2中的插值，产生复杂边线的最低点，然后进行曲线的拟合。

步骤4　依次利用B样条曲线的节点，拟合产生船舶的水线、纵剖线、龙骨线等型线。

图5为基于B样条生成的船舶型线、型面示意图。

其中，型线包括纵剖线、横剖线、水线等，型面包括水线面、型表面、纵剖面、横剖面等。

3.2 基于NURBS样条曲线的船体曲面设计

船舶曲面拟合是在曲线拟合的基础上完成的，包括以下关键环节：

1）曲面连续性判断

基于NURBS的曲面表达式为：

$ S(u,v) = \frac{{\displaystyle\sum\limits_{i = 0}^n {\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^m {{\omega _{i,j}}} } {d_{i,j}}{N_{i,k}}(u){N_{j,l}}(v)}}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 0}^n {\displaystyle\sum\limits_{j = 0}^m {{\omega _{i,j}}} } {N_{i,k}}(u){N_{j,l}}(v)}} \text{。} $

假定2个相邻曲面 $ {S^1}(u,v) $ 、 $ {S^2}(u,v) $ ，若 $ {S^1}(1,v) = {S^2}(0,v) $ ，则曲面为连续曲面^[3]，当存在函数 $ p(v) \geqslant 0 $ 和 $ q(v) \geqslant0 $ ，存在：

$ {\left. {\frac{{\partial {S^2}(u,v)}}{{\partial u}}} \right|_{u = 0}} = {\left. {p(v)\frac{{\partial {S^1}(u,v)}}{{\partial u}}} \right|_{u = 1}} + {\left. {q(v)\frac{{\partial {S^1}(u,v)}}{{\partial v}}} \right|_{u = 1}} \text{。} $

此时2个曲面称为二阶连续。

基于NURBS的船舶曲面拟合流程如图6所示。

2）曲面的连接

由于船体造型复杂，难以用单个曲面拟合整体的复杂曲面，因此，需要将曲面划分成若干个曲面片，然后通过光滑的连接形成最终的曲面。

本文使用OpenGL进行船体曲面的连接，OpenGL是由SGI公司开发的一种三维图像库开发平台，OpenGL进行船体曲面拟合的基本步骤为：

步骤1　创建一个OpenGL程序并设置窗口大小。

步骤2　创建一个缓冲对象（Vertex Buffer Object，VBO）来存储输入的曲面数据。然后创建一个几何着色器（Geometry Shader），并将其附加到OpenGL程序中。在几何着色器中，编写代码来对输入的曲面进行细分，将细分后的曲面数据写入缓冲对象（Output Vertex Buffer Object，OVBO）。

步骤3　在几何着色器中，设置输出的图元类型为三角形带（Triangle Strip），使用gl_Position变量来设置输出顶点的位置，使用gl_PrimitiveID变量来设置输出顶点的索引，使用gl_in变量来访问输入的顶点数据。

步骤4　基于B样条进行曲面拟合，建立顶点之间的连接曲面，最终使用gl_out变量来输出曲面^[4]。

图7为基于OpenGL平台的船体曲面拟合效果图。

图中可见，基于OpenGL平台的船体曲面拟合为多个曲面，不同曲面之间采用光滑连接。

4 结　语

为了提高船体型线和曲面结构的设计水平，本文研究一种基于NURBS和小波变换的船体曲面结构优化设计方法。该方法一方面利用了NURBS曲线在特征型线的拟合优势，另一方面利用了多分辨小波变换的尺度解析能力。在OPEN GL平台的测试结果表明，该方法的拟合效率高、精度高。